初中數學直線與圓的位置關系教案.doc

課 題直線與圓的位置關系教學目標1.理解直線與圓的位置關系,明確直線與圓的三種位置關系的判定方法,培養(yǎng)學生數形結合的數學思想.2.會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系及會利用直線與圓的位置關系解決相關的問題，讓學生通過觀察圖形,明確數與形的統(tǒng)一性和聯系性.重點、難點教學重點：直線與圓的位置關系的幾何圖形及其判斷方法.教學難點:用坐標法判斷直線與圓的位置關系.考點及考試要求教 學 內 容 4.2.1 直線與圓的位置關系整體設計教學分析 學生在初中的學習中已了解直線與圓的位置關系,并知道可以利用直線與圓的交點的個數以及圓心與直線的距離d與半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系,但是,在初中學習時,利用圓心與直線的距離d與半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系的方法卻以結論性的形式呈現.在高中學習了解析幾何以后,要考慮的問題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關系的方法.解決問題的方法主要是幾何法和代數法.其中幾何法應該是在初中學習的基礎上,結合高中所學的點到直線的距離公式求出圓心與直線的距離d后,比較與半徑r的關系從而作出判斷.適可而止地引進用聯立方程組轉化為二次方程判別根的“純代數判別法”,并與“幾何法”欣賞比較,以決優(yōu)劣,從而也深化了基本的“幾何法”.含參數的問題、簡單的弦的問題、切線問題等綜合問題作為進一步的拓展提高或綜合應用,也適度地引入課堂教學中,但以深化“判定直線與圓的位置關系”為目的,要控制難度.雖然學生學習解析幾何了,但把幾何問題代數化無論是思維習慣還是具體轉化方法,學生仍是似懂非懂,因此應不斷強化,逐漸內化為學生的習慣和基本素質.課時安排：2課時教學過程第1課時導入新課思路1.平面解析幾何是高考的重點和熱點內容,每年的高考試題中有選擇題、填空題和解答題,考查的知識點比較廣泛，直線方程和圓的方程的建立、直線與圓的位置關系等也是必考內容,本節(jié)主要學習直線與圓的關系.思路2.(復習導入)(1) 直線方程：Ax+By+C=0(A,B不同時為零).(2) 點到直線的距離公式：(2)圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(3)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0)，圓心為(-,-),半徑為.推進新課新知探究提出問題初中學過的平面幾何中,直線與圓的位置關系有幾種？我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？如何結合解析幾何的相關知識深化（數字化）初中的判定方法？如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關系呢？闡述方程的解與圖形上點的坐標的關系。判斷直線與圓的位置關系有幾種方法？它們的特點是什么？討論結果：初中學過的平面幾何中,直線與圓的位置關系有直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交三種.直線與圓的三種位置關系的含義是-幾何法判斷:直線與圓的位置關系公共點個數圓心到直線的距離d與半徑r的關系圖形相交兩個dr相切只有一個d=r相離沒有dr方法一,可以依據圓心到直線的距離與半徑長的關系判斷直線與圓的位置關系.方法二：判斷直線l與圓的位置關系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實數解；直線與圓的位置關系的判斷方法：幾何方法步驟：1把直線方程化為一般式,求出圓心和半徑.2利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離.3作判斷：當dr時,直線與圓相離；當d=r時,直線與圓相切;當dr時,直線與圓相交.代數方法步驟：1將直線方程與圓的方程聯立成方程組.2利用消元法,得到關于另一個元的一元二次方程.3求出其判別式的值.4比較與0的大小關系,若0,則直線與圓相離；若=0,則直線與圓相切;若0,則直線與圓相交.反之也成立.應用示例例1 已知直線l：3x+y-6=0和圓C的方程：x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關系.如果相交,求出它們的交點坐標.活動:學生思考或交流,回顧判斷的方法與步驟,教師引導學生考慮問題的思路,必要時提示,對學生的思維作出評價;方法一,判斷直線l與圓的位置關系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實數解；方法二,可以依據圓心到直線的距離與半徑長的關系判斷直線與圓的位置關系.解法一:由直線l與圓的方程,得消去y,得x2-3x+2=0,因為=(-3)2-412=10,所以直線l與圓相交,有兩個公共點.解法二：圓x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心C的坐標為(0,1),半徑長為,圓心C到直線l的距離d=.所以直線l與圓相交,有兩個公共點.由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程,得y1=0;把x2=1代入方程,得y2=3.所以直線l與圓相交有兩個公共點,它們的坐標分別是(2,0)和(1,3).點評:比較兩種解法,我們可以看出,幾何法判斷要比代數法判斷快得多,但是若要求交點,仍需聯立方程組求解.例2 已知圓的方程是x2+y2=2,直線y=x+b,當b為何值時,圓與直線有兩個公共點,只有一個公共點沒有公共點.活動:學生思考或交流,教師引導學生考慮問題的思路,必要時提示,對學生的思維作出評價.我們知道,判斷直線l與圓的位置關系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實數解,或依據圓心到直線的距離與半徑長的關系判斷直線與圓的位置關系.反過來,當已知圓與直線的位置關系時,也可求字母的取值范圍,所求曲線公共點問題可轉化為b為何值時,方程組有兩組不同實數根、有兩組相同實根、無實根的問題.圓與直線有兩個公共點、只有一個公共點、沒有公共點的問題,可轉化為b為何值時圓心到直線的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問題.解法一:若直線l：y=x+b和圓x2+y2=2有兩個公共點、只有一個公共點、沒有公共點,則方程組有兩個不同解、有兩個相同解、沒有實數解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以=(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,當=16-4b20,即-2b2時,圓與直線有兩個公共點；當=16-4b2=0,即b=2時,圓與直線只有一個公共點；當=16-4b20,即b2或b-2時,圓與直線沒有公共點.解法二：圓x2+y2=2的圓心的坐標為(0,0),半徑長為2,圓心到直線l:y=x+b的距離d=.當dr時,即,即|b|2,即b2或b-2時,圓與直線沒有公共點;當d=r時,即=,即|b|=2,即b=2時,圓與直線只有一個公共點；當dr時,即,即|b|2,即-2b2時,圓與直線有兩個公共點.點評：由于圓的特殊性,判斷圓與直線的位置關系,多采用圓心到直線的距離與半徑的大小進行比較的方法,而以后我們將要學習的圓錐曲線與直線位置關系的判斷,則需要利用方程組解的個數來判斷.變式訓練 已知直線l過點P(4,0),且與圓O：x2+y2=8相交,求直線l的傾斜角的取值范圍.解法一：設直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因為直線l與圓O相交,所以圓心O到直線l的距離小于半徑,即2,化簡得k21,所以-1k1,即-1tan1.（注意傾斜角的范圍）當0tan1時,0；當-1tan0時,.所以的取值范圍是0,)(,).解法二：設直線l的方程為y=k(x-4),由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.因為直線l與圓O相交,所以=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)0,化簡得k21.(以下同解法一)點評:涉及直線與圓的位置關系的問題,?？蛇\用以上兩種方法.本題若改為選擇題或填空題,也可利用圖形直接得到答案.思路2例1 已知圓的方程是x2+y2=r2,求經過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.活動:學生思考討論,教師提示學生解題的思路,引導學生回顧直線方程的求法,既考慮通法又考慮圖形的幾何性質.此切線過點(x0,y0),要確定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系數法(或直接求解).直線與圓相切的幾何特征是圓心到切線的距離等于圓的半徑,切線與法線垂直.解法一:當點M不在坐標軸上時,設切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1,因為圓的切線垂直于過切點的半徑,所以k=-.因為k1=所以k=-.所以經過點M的切線方程是y-y0=-(x-x0).整理得x0x+y0y=x02+y02.又因為點M(x0,y0)在圓上,所以x02+y02=r2.所以所求的切線方程是x0x+y0y=r2.當點M在坐標軸上時,可以驗證上面的方程同樣適用.解法二:設P(x,y)為所求切線上的任意一點,當P與M不重合時,OPM為直角三角形,OP為斜邊,所以OP2=OM2+MP2,即x2+y2=x02+y02+(x-x0)2+(y-y0)2.整理得x0x+y0y=r2.可以驗證,當P與M重合時同樣適合上式,故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.解法三:設P(x,y)為所求切線上的任意一點,當點M不在坐標軸上時,由OMMP得kOMkMP=-1,即=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以驗證,當點M在坐標軸上時,P與M重合,同樣適合上式,故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.點評:如果已知圓上一點的坐標,我們可直接利用上述方程寫出過這一點的切線方程.變式訓練 求過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點M(x0,y0)的圓的切線方程.解:設x0a,y0b,所求切線斜率為k,則由圓的切線垂直于過切點的半徑,得k=,所以所求方程為y-y0=(x-x0),即(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=(x0-a)2+(y0-b)2.又點M(x0,y0)在圓上,則有(x0-a)2+(y0-b)2=r2.代入上式,得(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r2.當x0=a,y0=b時仍然成立,所以過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點M(x0,y0)的圓的切線方程為(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r2.例2 從點P(4,5)向圓(x2)2y2=4引切線,求切線方程.活動:學生思考交流,提出解題的方法,回想直線方程的求法,先驗證點與圓的位置關系,再利用幾何性質解題.解:把點P(4,5)代入(x2)2y2=4,得(42)252=294,所以點P在圓(x2)2y2=4外.設切線斜率為k,則切線方程為y5=k(x4),即kxy54k=0.又圓心坐標為(2,0),r=2.因為圓心到切線的距離等于半徑,即=2,k=.所以切線方程為21x20y16=0.當直線的斜率不存在時還有一條切線是x=4.點評:過圓外已知點P(x,y)的圓的切線必有兩條,一般可設切線斜率為k,寫出點斜式方程,再利用圓心到切線的距離等于半徑,寫出有關k的方程.求出k,因為有兩條,所以應有兩個不同的k值,當求得的k值只有一個時,說明有一條切線斜率不存在,即為垂直于x軸的直線,所以補上一條切線x=x1.變式訓練 求過點M(3,1),且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線l的方程.解:設切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,因為圓心(1,0)到切線l的距離等于半徑2,所以=2,解得k=-.所以切線方程為y-1=-(x-3),即3x+4y-13=0.當過點M的直線的斜率不存在時,其方程為x=3,圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2,故直線x=3也符合題意.所以直線l的方程是3x+4y-12=0或x=3.例3 (1)已知直線l：y=x+b與曲線C：y=有兩個不同的公共點,求實數b的取值范圍；(2)若關于x的不等式x+b解集為R,求實數b的取值范圍.圖1解:(1)如圖1(數形結合),方程y=x+b表示斜率為1,在y軸上截距為b的直線l；方程y=表示單位圓在x軸上及其上方的半圓,當直線過B點時,它與半圓交于兩點,此時b=1,直線記為l1；當直線與半圓相切時,b=,直線記為l2.直線l要與半圓有兩個不同的公共點,必須滿足l在l1與l2之間(包括l1但不包括l2),所以1b,即所求的b的取值范圍是1,).(2)不等式x+b恒成立,即半圓y=在直線y=x+b上方,當直線l過點(1,0)時,b=-1,所以所求的b的取值范圍是(-,-1).點評:利用數形結合解題,有時非常方便直觀.知能訓練拓展提升圓x2+y2=8內有一點P0(-1,2),AB為過點P0且傾斜角為的弦.(1)當=時,求AB的長；(2)當AB的長最短時,求直線AB的方程.解:(1)當=時,直線AB