e值的計(jì)算.doc

密 級公開學(xué) 號081629畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文） e值的計(jì)算院（系部）：數(shù)理系姓 名：謝鵬燕年 級：2008級2班專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)指導(dǎo)教師：劉偉明教師職稱：副教授 2012年 5 月 31日北京摘 要是數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)符號之一，稱為自然常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)。它最先由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1727 年使用。18世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家們在值的計(jì)算上不斷取得成果。從最初的利用極限的定義計(jì)算，到級數(shù)、連分?jǐn)?shù)，再到其它各種方法，計(jì)算得到的的近似值精度越來越高。本文在閱讀了相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，選擇了七種前人研究的經(jīng)典而又有代表性的方法來介紹值的計(jì)算，理論上計(jì)算了近似值與真實(shí)值的誤差和收斂速度，比較了各種方法的精度，分析了各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并利用MATLAB軟件將各種方法編程，近似計(jì)算值，比較結(jié)果。在定義的基礎(chǔ)上，結(jié)合極限的思想，對極限的定義算法進(jìn)行了改進(jìn)。通過各種方法，可以了解一定的值計(jì)算的歷史，掌握計(jì)算值的方法和技巧。值的計(jì)算是一項(xiàng)偉大的數(shù)學(xué)工程，隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的快速發(fā)展，值的計(jì)算的方法越來越多。值的計(jì)算的理論研究很大程度的促進(jìn)了數(shù)學(xué)和其它學(xué)科的發(fā)展。關(guān)鍵詞：自然常數(shù)， 值的計(jì)算，近似計(jì)算AbstractThe number e is one of the most important symbols in mathematics. It is called Natural Constant. It is natural logarithm base. It was first used in 1727 by Euler who was a Swiss mathematician. Since the 18th century, mathematicians obtained lots of achievements in the calculation of e. It is calculated from the initial definition of limit to series, fractions and other methods. The accuracy of the approximation of e was getting higher and higher. Having read the relevant paper, I select seven kinds of methods which are classical and representative to introduce the calculation of the number e. The paper calculates the deviation between e and its approximation and the convergence rate. It also compares the accuracy of these methods. And it analyzes the advantages and disadvantages of these methods. Also, the paper uses MATLAB to write programs for these methods which will calculate different approximation of e and compares the results. Based on the definition and the thought of limit, it improves the algorithm of the limit of definition. When reading the methods of the calculation of e, we can learn about some history of the research on e more or less and master some methods and skills.The calculation of e is a great mathematical project. With the rapid development of mathematics, the methods of the calculation of e are developing more and more. The theoretical research of the calculation of e promotes much to the development of mathematics and other disciplines.Key words：Natural Constant, the calculation of e, the calculation of approximation目 錄第一章 前言11.1 值計(jì)算的意義11.2 值計(jì)算的歷史背景11.3現(xiàn)有的值計(jì)算方法31.4研究的基本內(nèi)容，擬解決的主要問題3第二章 的綜合知識52.1極限定義52.2 的無理性和超越性82.3 的發(fā)展、應(yīng)用11第三章 計(jì)算值的方法123.1 概述123.2 七種計(jì)算值的方法12第四章 結(jié)論與展望30參考文獻(xiàn)31致 謝32附 錄33第一章 前 言1.1 值計(jì)算的意義是數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)符號之一，稱為自然常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)。的研究對時(shí)代的數(shù)學(xué)水平有一定的衡量作用，同時(shí)，在研究計(jì)算值方法的同時(shí)，數(shù)學(xué)家們可以引發(fā)新的概念、方法和思想以及新的算法，從而產(chǎn)生新的問題，促進(jìn)其他領(lǐng)域?qū)W科的發(fā)展。至今為止，的大部分研究成果，已經(jīng)應(yīng)用到實(shí)際中了，比如金融、股票等行業(yè)，當(dāng)然它應(yīng)用的形式是利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算以達(dá)到預(yù)測、分析等的目的。正因?yàn)榈淖饔迷絹碓酱螅絹碓矫黠@，因此，值的計(jì)算的研究顯得尤為重要，具有實(shí)際意義，能促進(jìn)數(shù)學(xué)和其它學(xué)科甚至社會生產(chǎn)的發(fā)展。在閱讀了大量的相關(guān)文獻(xiàn)之后，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)見諸于報(bào)刊的關(guān)于值的計(jì)算的專業(yè)論文很少，多數(shù)文獻(xiàn)提到值的計(jì)算時(shí)只有定義和級數(shù)，最多能提到連分?jǐn)?shù)，少數(shù)文獻(xiàn)提到計(jì)算方法時(shí)也是一筆帶過，并無解析過程，難求一篇詳盡的關(guān)于值的計(jì)算的文章?；诖?，本文欲總結(jié)前人的研究成果，對值計(jì)算的一些方法進(jìn)行綜述，對各種方法的精度進(jìn)行理論分析，比較結(jié)果，分析各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并試圖對定義的極限算法進(jìn)行改進(jìn)。1.2 值計(jì)算的歷史背景1.2.1 總述自然常數(shù)最先是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1727 年使用的。它是Euler名字的第一個(gè)字母，后來人們確定用作為自然對數(shù)的底，以此來紀(jì)念歐拉。同時(shí)人們猜測，用作為自然對數(shù)的底的另一個(gè)原因是指數(shù)的英文拼寫為exponential，其首字母是。是個(gè)無理數(shù)，其值為。自然常數(shù)使用之日起，歷經(jīng)的每個(gè)時(shí)代都有無數(shù)科學(xué)家致力于對它的研究。從最初得到的數(shù)列的極限作為其定義，歐拉自己還研究出了它的連分?jǐn)?shù)表示法，到利用泰勒展開得到級數(shù)進(jìn)行計(jì)算，無不是數(shù)學(xué)家們的努力成果，再到后現(xiàn)代的研究中， 1980年發(fā)現(xiàn)的一種連乘的計(jì)算方法，都體現(xiàn)了值的計(jì)算方法的發(fā)展。1.2.2 值計(jì)算的研究歷史自然常數(shù)發(fā)現(xiàn)以來，對于它的研究從未停止過。歐拉在研究極限時(shí)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)極限值是存在的，并且不是一個(gè)有理數(shù)，為了表示這個(gè)極限，就將它記作。的使用最早見于1736年歐拉的力學(xué)著作中。在隨后的研究中，歐拉又發(fā)現(xiàn)一些連分?jǐn)?shù)可以表示，由于極限計(jì)算的收斂速度都相對較慢，歐拉發(fā)現(xiàn)連分?jǐn)?shù)計(jì)算的收斂速度要快得多。隨著指數(shù)函數(shù)的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們迫不及待的利用泰勒級數(shù)展開將展成級數(shù)的形式，從而得到的級數(shù)計(jì)算公式，而級數(shù)計(jì)算的收斂速度較之極限也快得多。17世紀(jì)中期，歐拉首先證明是一個(gè)無理數(shù)。19世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家埃爾米特和德國數(shù)學(xué)家林德曼又證明是一個(gè)超越數(shù)。19世紀(jì)以來，關(guān)于的研究不斷深入，從原來的對數(shù)理論拓展應(yīng)用到其他理論。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在素?cái)?shù)理論，虛數(shù)理論，分形理論，級數(shù)理論，微積分，數(shù)值計(jì)算，概率論方面的研究都有很大的作用，甚至在某些尚未證明的猜想上也都有所聯(lián)系。在分析學(xué)中，比較常用的計(jì)算的方法主要有兩種，其一是利用極限另一種方法是利用級數(shù)當(dāng)值取得足夠大時(shí)，可以使得到的近似值與的誤差足夠小。在后續(xù)的研究中比較典型有1980年發(fā)現(xiàn)的pippengger，是一種冪遞減的連乘算法，算法簡單且高效，收斂速度較快。在其它領(lǐng)域的作用越來越多，越來越重要，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，計(jì)算的方法將越來越多，并且借助于高級計(jì)算機(jī)，可以得到的的精確度也越來越高。1.2.3 近代研究1854 年，英國數(shù)學(xué)家?？怂故状谓o出的很多位數(shù)的小數(shù)值，但格萊歇爾指出了在?？怂沟臄?shù)值中前137 位是正確的，而后面出現(xiàn)了錯(cuò)誤，他在糾正了錯(cuò)誤之后給出了 的205 位小數(shù)值。1884 年，布爾曼算出了 的346 位小數(shù)值，并且發(fā)現(xiàn)他的計(jì)算與?？怂沟那?87 位是相同的，而后面卻不同。1887 年，阿拉姆算出了以10 為底的的對數(shù)的272 位小數(shù)值。到了20 世紀(jì)60 年代初，已經(jīng)有人用計(jì)算機(jī)把算到萬位了。1.3現(xiàn)有的值計(jì)算方法最早計(jì)算值的方法是使用定義計(jì)算的，對式而言，整個(gè)式子的增加速度隨著的增大而減小。此方法計(jì)算簡單但計(jì)算量大，由于收斂速度過慢，導(dǎo)致在開始的階段計(jì)算得到的值精度不夠高，后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)可以使用泰勒級數(shù)的邁克勞林展開計(jì)算，級數(shù)計(jì)算值的方法簡單高效，只要計(jì)算十多個(gè)數(shù)字之和即可得到相對于極限計(jì)算的幾千萬甚至幾億的精度，因此級數(shù)計(jì)算值的方法使得值的精度大大的提高。近代研究時(shí)計(jì)算其值就是使用泰勒級數(shù)展開不斷增加和式的項(xiàng)數(shù)而得到的。歐拉在以后的研究中也逐漸發(fā)現(xiàn)一些新的公式，他發(fā)現(xiàn)很多連分?jǐn)?shù)可以表示成與有關(guān)的代數(shù)式，另外還有一些極限也可以逼近，1980年，數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)一個(gè)連乘公式可以計(jì)算。在后續(xù)的研究中，對極限的定義進(jìn)行了改進(jìn)，使得原來只有一階收斂的極限算法提高到了二階收斂，在改進(jìn)中受到啟發(fā)，繼續(xù)對改進(jìn)進(jìn)行理論研究。1.4研究的基本內(nèi)容，擬解決的主要問題1.4.1 研究的基本內(nèi)容1）介紹的極限定義、由來、歷史和性質(zhì)。2）搜集文獻(xiàn)，整理值計(jì)算研究的成果，將前人研究的方法比如極限、級數(shù)等的計(jì)算方法作討論，分析。并且對各種方法進(jìn)行比較。3）對各種方法進(jìn)行編程，借以分析各種方法的精度。4）對定義的極限算法進(jìn)行改進(jìn)，對其收斂的速度作討論，改進(jìn)收斂的速度。1.4.2 解決的主要問題1）對選擇的方法進(jìn)行誤差、精度分析，對可以計(jì)算收斂速度的作收斂分析，對不能計(jì)算收斂速度（比如連分?jǐn)?shù)）的作數(shù)據(jù)列表，比較收斂速度，比較各種算法的優(yōu)缺點(diǎn)。2）定義的極限算法收斂速度太低，改進(jìn)其收斂速度，對改進(jìn)的算法進(jìn)行理論研究。3）給出各種算法的MATLAB程序。第二章 的綜合知識2.1極限定義2.1.1的出現(xiàn)1614年，英國數(shù)學(xué)家納皮爾是歷史上第一位公布對數(shù)表的人，瑞士鐘表制造者比爾吉于1620年也公布了對數(shù)表。他們從出發(fā)，憑借天才般的直覺，選擇了非常接近1的數(shù)作為底數(shù) 。比爾吉取，納皮爾取。在比爾吉的對數(shù)中，對應(yīng)于兩個(gè)相鄰指數(shù)和的真數(shù)的值分別為其中對有比吉爾利用此關(guān)系構(gòu)造了對數(shù)表，只要計(jì)算出對應(yīng)于的的值之后，即可在此基礎(chǔ)上加上而得到對應(yīng)于的真數(shù)的值。若取或得此時(shí)對數(shù)的底數(shù)為這個(gè)數(shù)已經(jīng)很接近2.718281828。的首次發(fā)現(xiàn)是通過對一個(gè)復(fù)利問題的研究，1683年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布.伯努利研究了這個(gè)復(fù)利問題，他試圖計(jì)算出當(dāng)時(shí)的極限。他利用二項(xiàng)式定理，得到這個(gè)極限在23之間。這是對 的近似值的首次估計(jì)，也是數(shù)學(xué)史上第一次用極限來定義一個(gè)數(shù)，即1690年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在給惠更斯的一封信中首次用字母來表示自然對數(shù)的底。而現(xiàn)在用來表示自然對數(shù)的底應(yīng)歸功于瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉，在俄羅斯彼得堡科學(xué)院寫的一部手稿中，歐拉建議“將對數(shù)為1的數(shù)記作，即 (當(dāng)時(shí)的對數(shù)是自然對數(shù))，并在書中16次出現(xiàn)代替2.718281828。符號首次公開出現(xiàn)是在1731年歐拉寫給哥德巴赫的一封信中。另外，有關(guān)數(shù) 的一個(gè)奇妙的式子被視為數(shù)學(xué)美的一個(gè)象征，那就是歐拉公式其中1是正整數(shù)也是實(shí)數(shù)的基本單位，是虛數(shù)的基本單位，0是唯一的中性數(shù)，它們都具有獨(dú)特的地位，最具有代表性?？梢哉f，來源于代數(shù)，來源于幾何，來源于分析，當(dāng)初對數(shù)的發(fā)明者無論如何在二百年前沒有想到，數(shù)與其它的數(shù)居然如此和諧地統(tǒng)一在一個(gè)式子中。2.1.2 極限的存在性下面就需要證明定義的極限的存在性，即要證明數(shù)列極限的存在性，需要利用分析學(xué)的定理，即單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列存在極限。1）單調(diào)性證明根據(jù)平均值不等式于是整理上述不等式，得即此數(shù)列單調(diào)遞增。2）有界性證明再次利用平均值不等式，當(dāng)時(shí)整理上述不等式，得同時(shí)于是上述不等式是在的條件下推導(dǎo)的，但是由于是單調(diào)遞增的，因此對同樣成立。即此數(shù)列是有上界的。于是可以確定數(shù)列的極限是存在的，且對此，可以再構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，其通項(xiàng)為根據(jù)分析學(xué)的思想于是得到再證數(shù)列是遞減的，根據(jù)上述有界性的證明，任意取一個(gè)正整數(shù)，對任意的，有整理上述不等式，得對比數(shù)列和，前者單調(diào)遞增，后者單調(diào)遞減，且兩者的極限相等，由此可證明如下結(jié)論：對任意的和，都有證明：可利用反證法，若存在和，使得由于單調(diào)遞減，故必存在一個(gè)正整數(shù)，使得同時(shí)同樣的由于單調(diào)遞增，于是從而得到這與相矛盾。證畢，結(jié)論成立。于是，顯然利用這個(gè)結(jié)果有助于估計(jì)的范圍。2.2 的無理性和超越性17世紀(jì)中期，歐拉首先證明是一個(gè)無理數(shù)。19世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家埃爾米特和德國數(shù)學(xué)家林德曼又證明是一個(gè)超越數(shù)。所謂超越數(shù)是指這個(gè)數(shù)不是任何整系數(shù)方程的根。證明無理性和超越性的方法有很多，這里各選擇其中一種。1)無理性利用反證法證明。要證明為無理數(shù)，根據(jù)不等式得這說明不是一個(gè)整數(shù)。為了證明是一個(gè)無理數(shù)，假設(shè)是有理數(shù)，那么就令，其中、均為正整數(shù)。由于不是整數(shù)，故。于是顯然等式左邊的為整數(shù)，而等式左邊的第一項(xiàng)也為整數(shù)，故等式右邊第二項(xiàng)也為整數(shù)，此時(shí)，因此這與整數(shù)的性質(zhì)矛盾，故為無理數(shù)。歐拉被認(rèn)為是第一個(gè)證明是無理數(shù)的人，但是歐拉采用的是他自己發(fā)現(xiàn)的連分?jǐn)?shù)的方法。他已經(jīng)證明了每一個(gè)有理數(shù)都能表示一個(gè)有限的連分?jǐn)?shù),他以連分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)證明了表示成連分?jǐn)?shù)時(shí)是無限的，因此證明了是無理數(shù)。2）超越性同樣利用反證法來證明。假設(shè)不是超越數(shù)，那么為某個(gè)非零整系數(shù)多項(xiàng)式的根 （2-1）對于任意大于和的素?cái)?shù)，構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式那么它的次數(shù)為,而的階導(dǎo)數(shù)為0，故令： 兩邊積分那么由假設(shè)，為方程（2-1）的根： （2-2）從的構(gòu)造上知的階及階以上的導(dǎo)數(shù)均為整系數(shù)多項(xiàng)式且各項(xiàng)系數(shù)都能被整除，而及其前階導(dǎo)數(shù)在處都等于0。所以也都是的整數(shù)倍。另外，在處的前階導(dǎo)數(shù)均為0，而不被整除（因?yàn)椋?，但在處的、的階導(dǎo)數(shù)均為的倍數(shù)，故是一個(gè)不被整除的整數(shù)。又因?yàn)椴徽?，所?除第一項(xiàng)不被整除外，其余各項(xiàng)均為的倍數(shù)，而0被整除，因而上述和式為不等于0的整數(shù)。由于,當(dāng)在區(qū)間上取值時(shí)，顯然有從而有記則因?yàn)閜為固定的正整數(shù)，所以 故（2-2）式右邊當(dāng)時(shí)以0為極限，而（2-2）式左邊總為非0正整數(shù)，所以矛盾，因此為超越數(shù)。2.3 的發(fā)展、應(yīng)用關(guān)于 的函數(shù)是隨著微積分學(xué)的產(chǎn)生可以解決變量之間的函數(shù)關(guān)系而發(fā)展起來的。1727 年歐拉在一篇未發(fā)表的手稿中引入了作為自然對數(shù)的底，于是也正式出現(xiàn)。1748 年歐拉又給出的極限形式，即并且進(jìn)一步揭示出指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的聯(lián)系這就是著名的歐拉公式，這實(shí)際上已經(jīng)把指數(shù)概念推廣到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域。對數(shù)的引進(jìn)對于簡化運(yùn)算有很大好處， 除1 以外的正數(shù)都可作為對數(shù)的底，由于我們習(xí)慣使用十進(jìn)位小數(shù)，因此從實(shí)際計(jì)算的角度看，采用以10 為底的常用對數(shù)是比較方便的。但是對對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，若不以作為對數(shù)函數(shù)的底數(shù)，結(jié)果將比以作為底數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果復(fù)雜得多，這是以簡潔為特點(diǎn)的數(shù)學(xué)所不愿見到的，因此在計(jì)算中“自然”地選擇了以作底。特別是，反映自然界規(guī)律的函數(shù)關(guān)系， 若是以指數(shù)形式或?qū)?shù)形式出現(xiàn)，則必定是而且只能是以 為底的。所以以為底的對數(shù)叫自然對數(shù)。正因?yàn)槿绱耍谧匀豢茖W(xué)中有著重要的地位和作用。如原子物理和地質(zhì)科學(xué)中考察放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律或地球年齡時(shí)要用到，在用齊奧爾科夫斯基公式算火箭速度時(shí)要用到，甚至算儲蓄最優(yōu)利息及生物增殖問題時(shí)用復(fù)利率，也使用到了。奇跡般地出現(xiàn)，還可舉出數(shù)學(xué)上最值得稱道的發(fā)現(xiàn)之一的“素?cái)?shù)分布定理”。這定理是：從1到任何自然數(shù)之間所含素?cái)?shù)的百分比，近似等于 的自然對數(shù)的倒數(shù)，且越大，這個(gè)規(guī)律越準(zhǔn)確。這是被稱為“數(shù)學(xué)王子”的德國數(shù)學(xué)家高斯在1792 年僅15 歲時(shí)發(fā)現(xiàn)的，但直到1896 年才被法國數(shù)學(xué)家阿德瑪和大致同時(shí)的比利時(shí)數(shù)學(xué)家布散所證明。在實(shí)際中，的應(yīng)用遠(yuǎn)多于上述提到的，并且隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的不斷發(fā)展，隨著經(jīng)濟(jì)社會的不斷進(jìn)步，的研究越來越深入，它的作用會越來越大，越來越廣泛。第三章 計(jì)算值的方法3.1 概述自然常數(shù)的計(jì)算是從它極限的定義開始的，此方法形式簡單，操作方便，但是計(jì)算相對復(fù)雜，且收斂太慢，涉及的數(shù)值太大，在沒有計(jì)算機(jī)而用純手工計(jì)算的年代，很難有突破，因此最早期得到的值精度相對較低。后來得到的級數(shù)的方法有了質(zhì)的飛躍，不僅繼承了前一種方法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又比極限的方法有更好的收斂性；此種方法只要計(jì)算十幾項(xiàng)就能得到一個(gè)比較精確的結(jié)果，正是由于它的簡單而收斂性好，因此的近似計(jì)算發(fā)展的速度提升得很快，以至于在當(dāng)下的近似值有部分還是通過增加級數(shù)的項(xiàng)數(shù)來得到的。在后續(xù)的研究中也不斷得到的計(jì)算公式，它的發(fā)現(xiàn)者歐拉的連分?jǐn)?shù)也在其中。正是這些計(jì)算方法使得值的計(jì)算百花齊放，碩果累累，也正是這些理論的發(fā)展，才能使得在高級計(jì)算機(jī)的幫助下得到的的精確度越來越高。本文選擇了七種計(jì)算值的方法，第一種為定義的極限算法，第二種為一般極限的算法，第三種為泰勒級數(shù)的方法，對這三種方法，本文做了重點(diǎn)分析，計(jì)算出了其收斂速度，并進(jìn)行了誤差的理論分析和數(shù)據(jù)試驗(yàn)。第四種為兩個(gè)連分?jǐn)?shù)計(jì)算值的方法，第五種為1980年研究出的pippengger積的方法，對這兩種方法，限于能力，無法計(jì)算誤差，沒有做理論分析，只給出了數(shù)據(jù)試驗(yàn)，根據(jù)數(shù)據(jù)對比其它算法的收斂速度。第六種方法為定義的極限算法的改進(jìn)，得到了改進(jìn)的計(jì)算值的公式，并進(jìn)行了數(shù)據(jù)試驗(yàn)。在改進(jìn)的基礎(chǔ)上，第七種方法再對改進(jìn)本身做了大膽猜想，對改進(jìn)算法做出了理論研究，給出改進(jìn)算法公式的通項(xiàng)。同時(shí)，在此聲明后兩種方法的理論全為筆者的獨(dú)立研究成果，鑒于閱讀的文獻(xiàn)有限，無法保證前人是否已經(jīng)得到同樣的結(jié)果，因此視為已有的計(jì)算方法。3.2 七種計(jì)算值的方法3.2.1極限的定義在發(fā)現(xiàn)極限之初，有相當(dāng)一部分人認(rèn)為此極限不存在，因?yàn)?，無數(shù)個(gè)大于1的數(shù)相乘必然趨近于無窮。但歐拉在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大時(shí)，的值持續(xù)增大，但是增大的速度越來越慢，他計(jì)算了當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為2.715568521；當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為2.716923932；兩者相差不到千分之一，可見其值增大的速度非常慢。在后續(xù)的研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大時(shí)，這個(gè)代數(shù)值不斷增大卻不會超過某個(gè)值，歐拉得出的結(jié)論是，上述極限是存在的，并且極限的值為，是個(gè)無理數(shù)，即知道了這個(gè)極限是收斂的，對于極限收斂的速度，作一個(gè)理論研究。把值的近似值記作，誤差數(shù)列記作。對極限算法的誤差 （3-1）利用得代入（3-1）式，得 （3-2）再利用可得代入（3-2）式得 （3-3）由（3-3）式可知，定義的極限計(jì)算是一階收斂的。再對誤差進(jìn)行理論分析，已知那么當(dāng)時(shí)，誤差；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。且可以推得，要使近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，即使得時(shí)，的近似取值。于是解得由于此處做了放大處理，因此需要達(dá)到近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，的近似取值為。（涉及的數(shù)字太大，無法驗(yàn)證）。利用定義的極限計(jì)算值的誤差列表如下（取10位有效數(shù)字，下同）表3-1 近似值，誤差表近似值絕對誤差502.6915880290.0266937991002.7048138290.0134679995002.7155685210.00271330710002.7169239320.001357896100002.7181459260.0001359013.2.2 極限算法對極限可以證明此極限的值就是。1）證明，設(shè)再根據(jù)Stolz公式，得即2）求其近似值與的誤差，得再求極限 由Stolz定理將展開得，代入上式由此得于是可知利用數(shù)列近似計(jì)算的收斂速度為。對此極限進(jìn)行誤差理論分析，由于那么那么當(dāng)時(shí)，誤差；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。可以推得，要使近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，于是解得由于此處做了放大處理，因此要達(dá)到近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，的近似取值為。（涉及的數(shù)字太大，無法驗(yàn)證）利用此極限計(jì)算值的誤差列表如下表3-2 近似值，誤差表近似值絕對誤差502.5663063990.151975429602.5871106450.131171183702.6025946910.115687137802.6146038150.103678013902.6242111620.0940706661002.6320853230.0861965051502.6569209690.061360859由于此處計(jì)算時(shí)，涉及到，導(dǎo)致計(jì)算到180多時(shí)就超過了計(jì)算機(jī)的計(jì)算范圍，因此沒有得到更精確的結(jié)果。3.2.3 級數(shù)算法利用泰勒級數(shù)對指數(shù)函數(shù)進(jìn)行邁克勞林展開令，得作近似計(jì)算時(shí)，對那么誤差為顯然，級數(shù)計(jì)算的收斂速度是階的。對級數(shù)計(jì)算的誤差進(jìn)行理論分析，可以證明證明，對上式不等號左右約去一個(gè)，得兩邊同乘以 （3-4）即要證明只需證明（3-4）式。對任意的那么則（3-4）式得于是 （3-5）則結(jié)論成立。那么根據(jù)上述結(jié)論，當(dāng)時(shí)，誤差；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。事實(shí)上，此處可以做更精確的誤差分析，對于（3-5）式，取前一個(gè)不等式兩邊同乘以之后，再加上，得于是對誤差對于此結(jié)論，當(dāng)時(shí)，誤差；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，?？梢酝频?，要使近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，于是解得此處作了放大處理，要達(dá)到近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，的近似取值為。經(jīng)編程驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，此代數(shù)式的值就可以達(dá)到10位有效數(shù)字下無誤差。相比于極限計(jì)算時(shí)以上的精度。以此看來，級數(shù)計(jì)算的收斂速度要比極限計(jì)算的收斂速度快得多。利用泰勒級數(shù)計(jì)算值的誤差列表如下表3-3 近似值，誤差表近似值絕對誤差22.5000000000.21828182832.6666666670.05161516242.7083333330.00994849552.7166666670.00161516262.7180555560.00022627372.7182539680.00002786082.7182787700.00000305992.7182815260.000000303102.7182818010.000000027112.7182818260.0000000023.2.4 連分?jǐn)?shù)歐拉后來在研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)幾種連分?jǐn)?shù)的方法可以計(jì)算其值，比較典型的有兩種，其一其連分?jǐn)?shù)的法則是第個(gè)分?jǐn)?shù)符號下的數(shù)字為：若可以被3整除，則第個(gè)分?jǐn)?shù)符號下的整數(shù)為，其余為1。經(jīng)編程驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，近似值在10位有效數(shù)字下無誤差。此方法與級數(shù)計(jì)算的收斂速度相當(dāng)，精度相當(dāng)。此處難以計(jì)算誤差數(shù)列，故將到之間的近似值和絕對誤差列表表3-4 近似值，誤差表近似值絕對誤差22.7500000000.03171817232.7142857140.00399611442.7187500000.00046817252.7179487180.00033311062.7183098590.00002803172.7182795700.00000225882.7182835820.00000175492.7182817180.000000110102.7182818350.000000006112.7182818230.000000005122.7182818290.000000001其二其連分?jǐn)?shù)的法則是第個(gè)分?jǐn)?shù)符號下的整數(shù)為，分子為。經(jīng)編程驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，近似值10位有效數(shù)字下無誤差。此方法比級數(shù)計(jì)算和第一種連分?jǐn)?shù)計(jì)算的收斂速度略快，精度略高。難以計(jì)算其誤差數(shù)列，將到之間的近似值和絕對誤差列表表3-5 近似值，誤差表近似值絕對誤差22.6666666670.05161516132.7272727270.00899089942.7169811320.00130069652.7184466020.00016477462.7182633320.00001849672.7182836940.00000186682.7182816580.00000017092.7182818430.000000015102.7182818270.0000000013.2.5 連乘法，Pippenger積1980年，數(shù)學(xué)家研究得到一種冪遞減連乘的Pippenger積，為的一種計(jì)算公式第個(gè)括號內(nèi)有個(gè)數(shù)字，其括號內(nèi)數(shù)字為冪為。經(jīng)編程驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，近似值在10位有效數(shù)字下無誤差。此方法與級數(shù)和第一種連分?jǐn)?shù)計(jì)算的收斂速度、精度相當(dāng)。同樣的，此種方法難以計(jì)算誤差數(shù)列，因此將到之間的近似值和絕對誤差列表表3-6 近似值，誤差表近似值絕對誤差22.725344526-0.00706269832.720050513-0.00176868542.718724192-0.00044236452.718392432-0.00011060362.718309480-0.00002765272.718288741-0.00000691382.718283557-0.00000172892.718282261-0.000000432102.718281936-0.000000108112.718281855-0.000000027122.718281835-0.000000007132.718281830-0.0000000023.2.6 對定義的極限算法的改進(jìn)考察不確定數(shù)列極限可以證明此數(shù)列的極限值就是。證明，是的同階無窮小，于是存在一個(gè)常數(shù)（），使得由于于是顯然根據(jù)夾逼定理，得證畢，結(jié)論成立。利用定義的極限計(jì)算誤差的方法，可得將展開帶入誤差式子中，得 （3-6）在極限中，其收斂的速度是一階的，因?yàn)榍蟮玫慕Y(jié)果中有一項(xiàng)為，（3-6）式中還有一項(xiàng)（此處把負(fù)號帶上是為了后面的計(jì)算方便），是的等價(jià)無窮小。若兩項(xiàng)能約去，即取為，則可以得到為二階收斂。那么可得極限的收斂速度為二階，從而實(shí)現(xiàn)了對極限一階收斂的改進(jìn)。對改進(jìn)的極限算法進(jìn)行誤差分析。計(jì)算 （3-7）將展開 將上式代入（3-7）式，得 那么對誤差根據(jù)上式，那么當(dāng)時(shí)，誤差；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。同樣的，可以推得，要使近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，于是解得此處做了放大處理，因此需要達(dá)到近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，的近似取值為。經(jīng)編程驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，可以達(dá)到近似值在10位有效數(shù)字下無誤差。相比于定義的計(jì)算收斂速度快得多。利用此改進(jìn)極限計(jì)算值的誤差列表表3.2.6 近似值，誤差表近似值絕對誤差102.7140808460.004200982502.7181033120.0001785161002.7182368630.0000449665002.7182800190.00000180910002.7182813760.0000004533.2.7 對定義的極限算法的改進(jìn)啟發(fā)受到上述改進(jìn)算法的啟發(fā)，繼續(xù)研究極限 （3-8）同樣的可以證明此極限值為。證明，存在一個(gè)正數(shù)，使得只要，上式成立，于是證畢，結(jié)論成立。利用定義的極限計(jì)算誤差的方法，可得將展開將上式帶入誤差式子中，得 （3-9）由（3-9）式，要使（3-8）的極限收斂速度為三階，只要（3-9）式括號內(nèi)的前兩項(xiàng)和為0，解得那么可得極限的收斂速度為三階，再次實(shí)現(xiàn)了對極限收斂速度的改進(jìn)。對改進(jìn)的極限算法進(jìn)行誤差分析，由（3-9）式，對誤差于是，當(dāng)時(shí)，誤差；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。同樣的，可以推得，要使近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，于是解得此處做了放大處理，因此要達(dá)到近似值在10位有效數(shù)字下無誤差，的近似取值為。經(jīng)編程驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，可以達(dá)到近似值在10位有效數(shù)字下無誤差。相比于定義的計(jì)算收斂速度快得多。利用此改進(jìn)極限計(jì)算值的誤差列表表3.2.6 近似值，誤差表近似值絕對誤差102.7181772620.000104566502.7182809370.0000008921002.7182818280.0000001125002.7182800190.000000001事實(shí)上，對于上述改進(jìn)定義的算法，可以做進(jìn)一步理論研究，試著繼續(xù)考察數(shù)列極限其中 為常數(shù)，且，其中為任意有限的正數(shù)，研究上述數(shù)列的收斂速度是否能達(dá)到階，即為任意階收斂。同樣的可以證明此數(shù)列的極限值就是。證明，取，則 （3-8）由（3-8）式，存在一個(gè)常數(shù)（）此時(shí)，只要滿足，上式成立，即可得于是上述不等式左右兩邊的極限都為，根據(jù)夾逼定理 （3-9）證畢，結(jié)論成立。再證明此不定極限能達(dá)到任意有限階收斂，用數(shù)學(xué)歸納法，已經(jīng)證明了時(shí)的結(jié)論，假設(shè)時(shí)，極限的收斂速度為階，要證明時(shí)，極限的收斂速度為階。當(dāng)時(shí)，利用定義極限計(jì)算誤差的方法，可得將展開由于對（3-9）式的收斂性為階，因此在首項(xiàng)和之間的所有單項(xiàng)式被約，若合并同類項(xiàng)，可以得到關(guān)于的函數(shù)式，記作當(dāng)時(shí)，利用定義極限計(jì)算誤差的方法，可得若將展開將上式中所有含的單項(xiàng)式合并，含有僅有一項(xiàng)為，那么顯然可以得到關(guān)于的函數(shù)，記作那么，若要（3-9）極限的收斂速度為階，那么只要此時(shí)可以約去包含的所有單項(xiàng)，再代入到誤差公式，得到階的收斂速度。證畢，結(jié)論成立。用此理論計(jì)算了時(shí)的，分別為，觀察數(shù)列前五項(xiàng)，做出猜想若猜想成立，那么極限的收斂速度為階，為任意正整數(shù)，且誤差即可以使（3-9）收斂的速度為任意階，這取決于的取值。其實(shí)，極限中的正好是的階泰勒級數(shù)的邁克勞林展開式。因此，展開的項(xiàng)數(shù)越多，得到的精度越高。最后，得到定義的極限算法的改進(jìn)的通項(xiàng)為其收斂的速度為階，若要提高收斂的速度，只要增加括號內(nèi)的項(xiàng)數(shù)，即增大的值。第四章 結(jié)論與展望在查閱了諸多文獻(xiàn)之后，第三章論述中選擇了七種已有的計(jì)算值的方法，對于前三種方法進(jìn)行重點(diǎn)介紹，從理論上計(jì)算了誤差，分析了誤差，并給出收斂的速度，分析了它們的優(yōu)缺點(diǎn)。后兩種方法限于筆者水平，同時(shí)也是計(jì)算式子所限，無法從理論上計(jì)算誤差和收斂速度，只做出了其近似值和誤差實(shí)際值的列表。在極限定義方法的基礎(chǔ)上，論述中給出了一種改進(jìn)的二階極限計(jì)算方法，此方法在原有定義的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，通過改變極限的通項(xiàng)，并且證明極限值的不變性，利用近似值與真實(shí)值之間的誤差討論得到一種新的極限通項(xiàng)，使其收斂速度由一階上升到二階，具有一定的實(shí)際意義。最后在二階改進(jìn)的基礎(chǔ)上得到啟發(fā)，繼續(xù)對改進(jìn)理論進(jìn)行研究，得到改進(jìn)算法的通項(xiàng)。從論述中可以看出，前兩種極限算法的收斂速度都比較慢，而其后三種計(jì)算方法收斂速度都比較快，從比較中很容易看出級數(shù)的計(jì)算方法是最理想的，其它的方法不是收斂太慢就是計(jì)算太復(fù)雜。級數(shù)的方法不管是在手工計(jì)算時(shí)期還是在計(jì)算機(jī)時(shí)代都對值的近似計(jì)算發(fā)展作出了不可替代的作用。最后兩種方法是改進(jìn)的方法，第一種改進(jìn)方法在定義的收斂速度基礎(chǔ)上提高一階，第二種改進(jìn)方法是在第一種的啟發(fā)下得到的，可以得到收斂速度為任意階的公式。上述七種方法并不能代表現(xiàn)代對于值近似計(jì)算的研究，但是體現(xiàn)了其發(fā)展，具有一定的理論價(jià)值，在值的近似計(jì)算的發(fā)展史上占據(jù)了不可動搖的理論地位和意義。當(dāng)今世界的數(shù)學(xué)研究在計(jì)算機(jī)的幫助下已經(jīng)有了質(zhì)的飛躍，值的精確度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了當(dāng)時(shí)的手工計(jì)算， 值計(jì)算的方法也越來越多，而作為一個(gè)數(shù)學(xué)常用常數(shù)，應(yīng)用的也越來越廣泛，可以說值計(jì)算的理論研究很大程度的促進(jìn)了數(shù)學(xué)和其它學(xué)科的發(fā)展。參 考 文 獻(xiàn)1 A.H.J.Sale. 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