畢業(yè)設計（論文）-非慣性系中的力學定理.doc

陜西理工學院畢業(yè)論文畢業(yè)論文 題 目 非慣性系中的力學定理 學生姓名 學號 所在學院 物理與電信工程學院 專業(yè)班級 物理學1103 指導教師 完成地點 陜西理工學院 2015年6月5日第8頁 共8頁非慣性系中的力學定理（陜西理工學院物電學院物理學1103班，陜西 漢中723001）指導教師：摘要 在非慣性系中，力學系統(tǒng)的相關定理對于處理非慣性系中的某些動力學問題具有簡潔、方便和易于求解的特點。因此，從發(fā)現(xiàn)牛頓定律以來，人們就對非慣性系中力學定理的研究十分重視。而本文從慣性系的牛頓方程出發(fā)，考慮了其在非慣性系中的變化；利用加速度合成定理，給出了非慣性系的牛頓方程，由此推導出了非慣性系中的動量定理，角動量定理，動能定理等。關鍵詞 非慣性系；動量定理；角動量定理；動能定理引言 對于牛頓定律，我們已經(jīng)知道它適用于所有的慣性參照系。但是實際上，人們并沒有找到真正慣性參照系。我們通常所使用的慣性系，例如地球坐標系、太陽坐標系等實際上都是非慣性參照系。因此，我們需要推導出適用于非慣性參照系中的牛頓方程。在國內(nèi)外力學的相關教材中大多數(shù)對于慣性系中的相關力學定理進行了詳細介紹和解釋，然而對非慣性系中的力學定理討論不深，或者說介紹的不夠全面。而對于非慣性系，在實際生活中，很多領域我們都需要用到非慣性系，如航空航天、外星空探求等范圍的許多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；還有許多文獻資料對非慣性系做了大量研究，例如潘營利研討了非慣性系下基本形式拉格朗日方程及其運用1。王耘濤,馮立芹等研究了非慣性系彈簧諧振子振動周期的計算2。這些文獻和應用都有對非慣性系的相關問題進行了深入研究，但是對于非慣性系中的力學定理卻采取各自的方法去推導，這就導致非慣性系中的力學定理相關理論繁雜，讓人們很難學習到系統(tǒng)的非慣性系中的力學定理，這顯然違背了物理學中化繁為簡的規(guī)律。所以，本文希望通過一種統(tǒng)一的方法來研究非慣性系中力學系統(tǒng)的相關定理。人們在用經(jīng)典力學來研究物體的機械運動時，為了描述物體的運動狀態(tài)，首先要選擇合適的坐標系。而人們知道了但凡牛頓第二定律可以運用的參照系稱為慣性參照系，反之，牛頓第二定律不適用的參照系稱為非慣性參照系。經(jīng)過研討，人們發(fā)現(xiàn)了但凡相對地面靜止或做勻速直線運動的參照系都是慣性參照系，而相對某慣性參照系作非等速直線運動的參照系是非慣性參照系。事實上，人們通常所說的地面也是一個非慣性系。人們對慣性參照系進行了許多的討論研究同時，也對非慣性參照系進行了討論研究。為了能夠在非慣性參照系中可以使用牛頓第二定律，假如物體受到一個力的作用，這個力是由加速度矢量及其物體的質(zhì)量的乘積并冠以負號來決定。由于找不到施力物體，所以這個力不是一個實在的力，而是一個虛擬的力，把這個力稱為“慣性力”。在很多情況下，慣性力的力矩和功可能為零。慣性力的存在使得我們可以將適用于慣性參照系的牛頓定律仍舊可以在非慣性參照系中可以使用，因此研究非慣性系的力學定理具有重要的意義。然而,隨著科學進步和不斷發(fā)展，對于非慣性系中力學系統(tǒng)的相關定理不僅僅有這些研究，有許多理論著作對此已經(jīng)有了深入的研究，且人們已經(jīng)慢慢將此運用于實際生活和各種尖端科學領域中。并且，它們對于人們的實際生活和生產(chǎn)，以及科學的進步發(fā)揮著重要作用，且在應用于許多領域。在機器人領域，欠驅(qū)動機器人以各種機器人如空間和水下機器人等多種形式出現(xiàn)在各行各業(yè)中4。還有許多領域都需要在非慣性系下建模，非慣性系在其中起著非常重要的作用 6-11。再比方基于非慣性運動狀態(tài)的氣象無人機測風方法研究，利用與非慣性坐標相關的非慣性力來描述鐵路貨車鉤緩系統(tǒng)各部件的運動12-13。這些都是關于非慣性系的相關應用，當然非慣性系還在其他領域有著更多的應用。本文從慣性系的牛頓方程發(fā)，回顧了利用加速度合成定理推導非慣性系的牛頓方程的過程。利用慣性力，把慣性系中的力學理論稍加修改，移植到非慣性中，從而得到非慣性系中的動量定理、角動量定理、動能定理等。1.非慣性系中的牛頓方程的回顧我們已經(jīng)知道牛頓運動定律是經(jīng)典力學的基礎，但是，牛頓運動定律只適用于慣性系。而我們所知道的慣性系如地球、太陽等都不是嚴格意義上的慣性系。因此，我們要建立一個適合于非慣性系的牛頓方程。假設運動坐標系為，固定坐標系為， 如果動坐標系相對于坐標系做加速平移運動，坐標系是慣性系，那么絕對加速度即加速度的合成定理： （1.1）則在這個加速平動坐標系中的牛頓方程是： （1.2)在上式中，是物體受到的作用力，但其中不是力，其來源于相對于慣性系的加速運動。這種形式上的力就是慣性力。慣性力依賴于，即依賴于系的運動方式。如果從經(jīng)典力學方面來看的話，慣性力在幾何上有意義，而在物理上沒有意義。由此而得出，我們可以引用慣性力，從而可以用經(jīng)典力學理論來解決非慣性系中的運動問題。這也是本文所使用的主要推導方法，從而得出非慣性系中力學系統(tǒng)的相關定理。如果運動坐標系為和固定坐標系為有共同的坐標原點。且系繞原點以角速度旋轉(zhuǎn)。絕對加速度即加速度的合成定理為: (1.3)在上式中，是相對加速度： (1.4)是牽連加速度，只與坐標系的旋轉(zhuǎn)有關，其后兩項與有關，是坐標系的轉(zhuǎn)動造成的。而第一項和有關，是坐標系的不穩(wěn)定性形成的： (1.5)若是物體既處于平動，同時也處于轉(zhuǎn)動那么： (1.6)是柯里奧利加速度，其由和的相互影響產(chǎn)生的： (1.7)若固定坐標系是一個慣性系，那么牛頓定律在其中成立。因而把(1.3）式帶入牛頓方程，可得加速系中的牛頓方程： （1.8）上式中的和分別為牽連慣性力和柯里奧利慣性力。假如運動坐標系為和固定坐標為系不僅有共同的坐標原點，且有一個坐標軸是重合的那么坐標系為平面旋轉(zhuǎn)坐標系。此時，的運動繞固定軸轉(zhuǎn)動，是坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度。若固定坐標是一個慣性系，轉(zhuǎn)動的是加速系坐標系，那么我們就可以得到平面旋轉(zhuǎn)系中的動力學方程： （1.9） 上式為含有慣性力的牛頓方程。其中沿橫向;慣性離心力沿矢徑的正向；若以指向前方，那么柯氏慣性力指向右方。對于柯氏慣性力，其大小是由動坐標系旋轉(zhuǎn)的角速度和質(zhì)點相對速度的大小及方向有關。綜上所述，我們可以知道式（1.2）、式（1.6）和式（1.7）分別為加速平動坐標系、空間旋轉(zhuǎn)坐標系和平面旋轉(zhuǎn)坐標系的牛頓方程。如果牛頓方程既處于平動，也處于轉(zhuǎn)動。那么根據(jù)牛頓定律，再代入式（1.4）、式（1.6）和式（1.7），那么就可以得到： (1.10)上式就是適用于平動和轉(zhuǎn)動的牛頓方程。綜上所述，我們可以知道式(1.2)、式(1.6 )和式(1.7)分別為加速平動坐標系、空間旋轉(zhuǎn)坐標系和平面旋轉(zhuǎn)坐標系的牛頓方程。而式(1.10 )適用于平動和轉(zhuǎn)動.其中，我們可以看到它們都含有有慣性力。特別是空間旋轉(zhuǎn)坐標有牽連慣性力和柯里奧利慣性力，而平面旋轉(zhuǎn)坐標系慣性離心力和柯氏慣性力。就像之前所說，雖然慣性力在幾何上有意義，而在物理上沒有意義。但是，慣性力卻對牛頓定律在實際應用中發(fā)揮著重要作用，也給我們研究非慣性系中力學系統(tǒng)的相關定理提供了極大的方便。2.非慣性系中的動量定理我們已經(jīng)知道慣性系中的動量定理在對處理物體間的碰撞或沖擊作用的問題有著非常重要的作用，且在經(jīng)典力學中占有十分重要的地位。而接下來本文將會把慣性系中的動量定理引入慣性力進一步推廣到非慣性系中,從而得到其表達式。動量定律,在慣性系中表述為:物體中系統(tǒng)總動量的變化率等于作用于該物體上的外力的矢量和.對于這一結(jié)論，在非慣性系中也是適用的，這就只要在外力中加上作用于該系統(tǒng)中所有物體上的慣性力就可。若某質(zhì)點的質(zhì)量為，對固定慣性系的速度為，那么其動量是。在經(jīng)典力學中有一個基本假定就是物體的質(zhì)量不隨時間變化，因此有牛頓方程可得： (2.1)上式中的是物體所受外力的矢量和。這個方程給出了物體的動量和外力的瞬時關系，其被稱為微分形式的動量定理。在前面我們已經(jīng)理解到非慣性系中的動量定理，只要在外力中加上作用于該系統(tǒng)中所有物體上的慣性力就可以得到非慣性系中的動量定理。所以，對于非慣性系，某質(zhì)點所受的力有物體所受的力、慣性力和、慣性離心力和柯氏慣性力,根據(jù)牛頓定律，由此就可以得到方程(1.10)。那么接下來，引用(2.1)式，代入(1.10)式就可得： (2.2)上式就是非慣性系中的動量定理，其為微分形式來表示。它的含義就是：物體中系統(tǒng)總動量的變化率等于作用于該物體上的外力和各種慣性力的矢量和，有物體所受的力、慣性力和、慣性離心力和柯氏慣性力等。上式既可用于平動，也可用于轉(zhuǎn)動。 下面對這個問題進行一些討論。1）若，則式（2.2）變?yōu)閼T性系中的動量定理，即： (2.3)2）若，但，則式（2.2）變?yōu)椋?（2.4）那么上式中，其參照系是非慣性系中的平動加速參照系。3） 若，那么式（2.2）變?yōu)椋?(2.5)在上式中，其參照系是既作勻加速直線運動，又作勻角速轉(zhuǎn)動的非慣性參照系。3.非慣性系中的角動量定理從以上推導過程，我們已經(jīng)知道要使角動量定理適用于非慣性系，那么就要依據(jù)非慣性系的力學定律推導出適用于非慣性系的角動量定理。關于角動量，它是描述物體轉(zhuǎn)動性質(zhì)的物理量，也叫做動量矩。角動量定理是牛頓方程的一個重要推論，也是解決轉(zhuǎn)動問題的基本定理。如果用表示角動量，用表示力矩，那么角動量定理可寫為： (3.1) 它表示：某一質(zhì)點對任意慣性點的角動量的時間的導數(shù)等于作用到該質(zhì)點上的合力矩。 在非慣性系中選某固定參考點,設為質(zhì)點的位置矢量。用矢乘非慣性系中的牛頓定律(1.10)，可以得到： (3.2)上式就是關于角動量的合力矩，也是外力矩和各慣性力矩的矢量和。再將式(3.2)代入式(1.10)中，則可以得到： (3.3)上式就是非慣性系中的角動量定理，它可用于平動，也可用于轉(zhuǎn)動。下面對這個問題進行一些討論。1） 若，則式(3.3)變?yōu)閼T性系中的角動量定理，即： （3.4)2） 若，而，則式(3.3)變?yōu)椋?（3.5）那么上式中，其參照系是平動非慣性參照系。4.非慣性系中的動能定理關于非慣性系中的動能定理，我們可以根據(jù)以上的推導方法，由非慣性系中的牛頓定理來推導出來。那么如果對于某一個質(zhì)點，由牛頓方程可得：用矢量標乘上式，那么可以得到： (4.1) 因為，所以上式可變?yōu)椋?（4.2） 令，則： (4.3)此式是慣性系的質(zhì)點的動能定理，表示：質(zhì)點動能的增量等于外力的對質(zhì)點做的功。那么關于非慣性系中動能定理，不只有外力做的功也有各種慣性力做的功。那么由(1.10)式和(4.3)式，可得： (4.4)又因為，即柯氏慣性力做功為零。這是因為，柯氏慣性力始終與相對速度方向保持垂直，因此不做功。所以非慣性系中動能定理柯氏慣性力做功為零，不需要考慮它。則(4.4)式可變?yōu)椋?(4.5)上式就是非慣性系中的動能定理，表示對質(zhì)點合力做的功。由此可看出，動能定理在慣性系和非慣性系中都可以使用。5.應用與展望通過本文，我們已經(jīng)初步了解到非慣性系中的牛頓定理、動量定理、角動量定理和動能定理等。而以上這些定理卻在物理學中有著重要的應用，例如在航空領域，處理非慣性系中的某些動力學的知識，起到非常重要的應用價值。特別是關于航空航天方面的牛頓力學問題，就需要非慣性系中的角動量定理來解決。還有動力剛化問題，通過應用非慣性系中力學系統(tǒng)的相關定理來研究，這也對研究航天器動力學和柔體動力學的研究有重大意義。在航天航空結(jié)構(gòu)中，其中柔性梁這個部件應用的非常多，而其中的柔性多體系統(tǒng)的動力學問題就需要引用非慣性系中的相關力學定理來解決。隨著對非慣性系中的力學定理的研究更加的深入，在實際生產(chǎn)和科學技術(shù)領域中，非慣性系中的力學定理將會有著越來越多的應用?，F(xiàn)在人們對于非慣性系中力學系統(tǒng)的相關定理研究，已經(jīng)從理論知識延伸到實際應用中，其在實際生活和科學科技領域都有著重要的應用。通過引用慣性力推導出非慣性系中的力學定理，這一過程不僅為解決非慣性系中動力學問題提了供一種有效的方法,也大大方便了人們對于非慣性系中的動力學問題在實際生活和科技應用等方面的研究。特別是航天航空結(jié)構(gòu)中，柔性多體系統(tǒng)的動力學問題，非慣性系中的力學定理在其中發(fā)揮著重要的作用。當然，對于物理學的力學系統(tǒng)的研究也需要應用到非慣性系中的力學定理。所以，非慣性系中的相關力學系統(tǒng)對于物理學以及對實際生活和生產(chǎn)的應用，起著不可替代的作用。由此也可看出，非慣性系中的相關力學系統(tǒng)的應用前景非常的廣闊，大部分都是如今非常尖端的科學技術(shù)，特別是航空航天事業(yè)。因此，對于非慣性系的研究應用，在未來將會發(fā)揮著更加重要的作用。6.結(jié)語本文主要從慣性系的牛頓方程發(fā)，首先描述了利用加速度合成定理推導非慣性系的牛頓方程的過程。之后再利用慣性力，把慣性系中的力學理論稍加修改，移植到非慣性中，從而得到非慣性系中的動量定理、角動量定理、動能定理等。通過這樣一種統(tǒng)一的方法來研究非慣性系中力學系統(tǒng)的相關定理，從而使人們系統(tǒng)的，簡單的了解非慣性系中的相關力學定理。參考文獻1 潘營利. 非慣性系下基本形式拉格朗日方程及其應用J. 渭南師范學院學報,2009,24(5):2427.2 王耘濤,馮立芹. 非慣性系彈簧諧振子振動周期的計算J. 內(nèi)蒙古民族大學學報(自然科學版),2013,28(1):1113.3 耿明超,趙鐵石,趙飛等. 非慣性系下彈性欠驅(qū)動機器人動力學建模及應用J. 中國機械工程,2014,25(15):20802085.4 張娟,舒亞峰,劉自強等. 非慣性系下旋轉(zhuǎn)壓電層合懸臂梁的動力學建模及控制J. 陜西科技大學報,2014,32(3):143147.5 和興鎖,宋明,鄧峰巖. 非慣性系下考慮剪切變形的柔性梁的動力學建模J. 物理學報,2011,60(4):044501-(16)6 Xiao Liu,Tieshi Zhao,Erwei Li,et al. Modeling and Analysis of Foldable Parallel Stabilized Platform in Non-inertial SystemJ. Journal Of Mechanical Engineering,2013,49(17):101109.7 Pengcheng Wang,Yongchun Fang, Jilei Xiang,et al. Dynamics Analysis and Modeling of Ship-mounted Boom CraneJ. Journal Of Mechanical Engineering,2011,47(20):3440.8 肖宇,徐國華,招啟軍. 基于非慣性系的懸停狀態(tài)旋翼CFD/CSD耦合氣動分析J. 空氣動力學學報,2014,32(5):675681.9 宮厚軍,楊星團,姜勝耀. 運動條件下反應堆自然循環(huán)模型J. 清華學學報(自然科學版),2013,53(4):432436.10 計新. Unruh單粒子態(tài)擁有左右成分時在振幅阻尼通道下的量子消相干J. 延邊大學學報(自然科學版), 2012,38 (1):4446.11 梁立孚,王鵬,宋海燕. 在非慣性系中研究動力剛化問題J. 哈爾濱工程大學學報,2012,33(8):10521056.12 周樹道,王彥杰,王敏,葉松,朱國濤. 基于非慣性運動狀態(tài)的氣象無人機測風方法研究J. 傳感技報,2011,24(11)：155158.13 丁莉芬,謝基龍,Ahmed A.SHABANA. 非慣性坐標在列車縱向力分析中的運用J. 鐵道學報,2012,34(1):1318.14 王劍華,李康,劉筠等.理論力學M. 陜西科學技術(shù)出版社,2009（第一版）.Mechanics theorem of non-inertial systemChen Jie(Grade11,Class03,Major Physics ,Physics Dept.,