畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）-非慣性系中的力學(xué)定理.doc

陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文畢業(yè)論文 題 目 非慣性系中的力學(xué)定理 學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) 所在學(xué)院 物理與電信工程學(xué)院 專業(yè)班級(jí) 物理學(xué)1103 指導(dǎo)教師 完成地點(diǎn) 陜西理工學(xué)院 2015年6月5日第8頁(yè) 共8頁(yè)非慣性系中的力學(xué)定理（陜西理工學(xué)院物電學(xué)院物理學(xué)1103班，陜西 漢中723001）指導(dǎo)教師：摘要 在非慣性系中，力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)定理對(duì)于處理非慣性系中的某些動(dòng)力學(xué)問(wèn)題具有簡(jiǎn)潔、方便和易于求解的特點(diǎn)。因此，從發(fā)現(xiàn)牛頓定律以來(lái)，人們就對(duì)非慣性系中力學(xué)定理的研究十分重視。而本文從慣性系的牛頓方程出發(fā)，考慮了其在非慣性系中的變化；利用加速度合成定理，給出了非慣性系的牛頓方程，由此推導(dǎo)出了非慣性系中的動(dòng)量定理，角動(dòng)量定理，動(dòng)能定理等。關(guān)鍵詞 非慣性系；動(dòng)量定理；角動(dòng)量定理；動(dòng)能定理引言 對(duì)于牛頓定律，我們已經(jīng)知道它適用于所有的慣性參照系。但是實(shí)際上，人們并沒(méi)有找到真正慣性參照系。我們通常所使用的慣性系，例如地球坐標(biāo)系、太陽(yáng)坐標(biāo)系等實(shí)際上都是非慣性參照系。因此，我們需要推導(dǎo)出適用于非慣性參照系中的牛頓方程。在國(guó)內(nèi)外力學(xué)的相關(guān)教材中大多數(shù)對(duì)于慣性系中的相關(guān)力學(xué)定理進(jìn)行了詳細(xì)介紹和解釋，然而對(duì)非慣性系中的力學(xué)定理討論不深，或者說(shuō)介紹的不夠全面。而對(duì)于非慣性系，在實(shí)際生活中，很多領(lǐng)域我們都需要用到非慣性系，如航空航天、外星空探求等范圍的許多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；還有許多文獻(xiàn)資料對(duì)非慣性系做了大量研究，例如潘營(yíng)利研討了非慣性系下基本形式拉格朗日方程及其運(yùn)用1。王耘濤,馮立芹等研究了非慣性系彈簧諧振子振動(dòng)周期的計(jì)算2。這些文獻(xiàn)和應(yīng)用都有對(duì)非慣性系的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，但是對(duì)于非慣性系中的力學(xué)定理卻采取各自的方法去推導(dǎo)，這就導(dǎo)致非慣性系中的力學(xué)定理相關(guān)理論繁雜，讓人們很難學(xué)習(xí)到系統(tǒng)的非慣性系中的力學(xué)定理，這顯然違背了物理學(xué)中化繁為簡(jiǎn)的規(guī)律。所以，本文希望通過(guò)一種統(tǒng)一的方法來(lái)研究非慣性系中力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)定理。人們?cè)谟媒?jīng)典力學(xué)來(lái)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，為了描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，首先要選擇合適的坐標(biāo)系。而人們知道了但凡牛頓第二定律可以運(yùn)用的參照系稱為慣性參照系，反之，牛頓第二定律不適用的參照系稱為非慣性參照系。經(jīng)過(guò)研討，人們發(fā)現(xiàn)了但凡相對(duì)地面靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系都是慣性參照系，而相對(duì)某慣性參照系作非等速直線運(yùn)動(dòng)的參照系是非慣性參照系。事實(shí)上，人們通常所說(shuō)的地面也是一個(gè)非慣性系。人們對(duì)慣性參照系進(jìn)行了許多的討論研究同時(shí)，也對(duì)非慣性參照系進(jìn)行了討論研究。為了能夠在非慣性參照系中可以使用牛頓第二定律，假如物體受到一個(gè)力的作用，這個(gè)力是由加速度矢量及其物體的質(zhì)量的乘積并冠以負(fù)號(hào)來(lái)決定。由于找不到施力物體，所以這個(gè)力不是一個(gè)實(shí)在的力，而是一個(gè)虛擬的力，把這個(gè)力稱為“慣性力”。在很多情況下，慣性力的力矩和功可能為零。慣性力的存在使得我們可以將適用于慣性參照系的牛頓定律仍舊可以在非慣性參照系中可以使用，因此研究非慣性系的力學(xué)定理具有重要的意義。然而,隨著科學(xué)進(jìn)步和不斷發(fā)展，對(duì)于非慣性系中力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)定理不僅僅有這些研究，有許多理論著作對(duì)此已經(jīng)有了深入的研究，且人們已經(jīng)慢慢將此運(yùn)用于實(shí)際生活和各種尖端科學(xué)領(lǐng)域中。并且，它們對(duì)于人們的實(shí)際生活和生產(chǎn)，以及科學(xué)的進(jìn)步發(fā)揮著重要作用，且在應(yīng)用于許多領(lǐng)域。在機(jī)器人領(lǐng)域，欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人以各種機(jī)器人如空間和水下機(jī)器人等多種形式出現(xiàn)在各行各業(yè)中4。還有許多領(lǐng)域都需要在非慣性系下建模，非慣性系在其中起著非常重要的作用 6-11。再比方基于非慣性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的氣象無(wú)人機(jī)測(cè)風(fēng)方法研究，利用與非慣性坐標(biāo)相關(guān)的非慣性力來(lái)描述鐵路貨車(chē)鉤緩系統(tǒng)各部件的運(yùn)動(dòng)12-13。這些都是關(guān)于非慣性系的相關(guān)應(yīng)用，當(dāng)然非慣性系還在其他領(lǐng)域有著更多的應(yīng)用。本文從慣性系的牛頓方程發(fā)，回顧了利用加速度合成定理推導(dǎo)非慣性系的牛頓方程的過(guò)程。利用慣性力，把慣性系中的力學(xué)理論稍加修改，移植到非慣性中，從而得到非慣性系中的動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等。1.非慣性系中的牛頓方程的回顧我們已經(jīng)知道牛頓運(yùn)動(dòng)定律是經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)，但是，牛頓運(yùn)動(dòng)定律只適用于慣性系。而我們所知道的慣性系如地球、太陽(yáng)等都不是嚴(yán)格意義上的慣性系。因此，我們要建立一個(gè)適合于非慣性系的牛頓方程。假設(shè)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系為，固定坐標(biāo)系為， 如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系做加速平移運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)系是慣性系，那么絕對(duì)加速度即加速度的合成定理： （1.1）則在這個(gè)加速平動(dòng)坐標(biāo)系中的牛頓方程是： （1.2)在上式中，是物體受到的作用力，但其中不是力，其來(lái)源于相對(duì)于慣性系的加速運(yùn)動(dòng)。這種形式上的力就是慣性力。慣性力依賴于，即依賴于系的運(yùn)動(dòng)方式。如果從經(jīng)典力學(xué)方面來(lái)看的話，慣性力在幾何上有意義，而在物理上沒(méi)有意義。由此而得出，我們可以引用慣性力，從而可以用經(jīng)典力學(xué)理論來(lái)解決非慣性系中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。這也是本文所使用的主要推導(dǎo)方法，從而得出非慣性系中力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)定理。如果運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系為和固定坐標(biāo)系為有共同的坐標(biāo)原點(diǎn)。且系繞原點(diǎn)以角速度旋轉(zhuǎn)。絕對(duì)加速度即加速度的合成定理為: (1.3)在上式中，是相對(duì)加速度： (1.4)是牽連加速度，只與坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)有關(guān)，其后兩項(xiàng)與有關(guān)，是坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)造成的。而第一項(xiàng)和有關(guān)，是坐標(biāo)系的不穩(wěn)定性形成的： (1.5)若是物體既處于平動(dòng)，同時(shí)也處于轉(zhuǎn)動(dòng)那么： (1.6)是柯里奧利加速度，其由和的相互影響產(chǎn)生的： (1.7)若固定坐標(biāo)系是一個(gè)慣性系，那么牛頓定律在其中成立。因而把(1.3）式帶入牛頓方程，可得加速系中的牛頓方程： （1.8）上式中的和分別為牽連慣性力和柯里奧利慣性力。假如運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系為和固定坐標(biāo)為系不僅有共同的坐標(biāo)原點(diǎn)，且有一個(gè)坐標(biāo)軸是重合的那么坐標(biāo)系為平面旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。此時(shí)，的運(yùn)動(dòng)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，是坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度。若固定坐標(biāo)是一個(gè)慣性系，轉(zhuǎn)動(dòng)的是加速系坐標(biāo)系，那么我們就可以得到平面旋轉(zhuǎn)系中的動(dòng)力學(xué)方程： （1.9） 上式為含有慣性力的牛頓方程。其中沿橫向;慣性離心力沿矢徑的正向；若以指向前方，那么柯氏慣性力指向右方。對(duì)于柯氏慣性力，其大小是由動(dòng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的角速度和質(zhì)點(diǎn)相對(duì)速度的大小及方向有關(guān)。綜上所述，我們可以知道式（1.2）、式（1.6）和式（1.7）分別為加速平動(dòng)坐標(biāo)系、空間旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和平面旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的牛頓方程。如果牛頓方程既處于平動(dòng)，也處于轉(zhuǎn)動(dòng)。那么根據(jù)牛頓定律，再代入式（1.4）、式（1.6）和式（1.7），那么就可以得到： (1.10)上式就是適用于平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的牛頓方程。綜上所述，我們可以知道式(1.2)、式(1.6 )和式(1.7)分別為加速平動(dòng)坐標(biāo)系、空間旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和平面旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的牛頓方程。而式(1.10 )適用于平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng).其中，我們可以看到它們都含有有慣性力。特別是空間旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)有牽連慣性力和柯里奧利慣性力，而平面旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系慣性離心力和柯氏慣性力。就像之前所說(shuō)，雖然慣性力在幾何上有意義，而在物理上沒(méi)有意義。但是，慣性力卻對(duì)牛頓定律在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，也給我們研究非慣性系中力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)定理提供了極大的方便。2.非慣性系中的動(dòng)量定理我們已經(jīng)知道慣性系中的動(dòng)量定理在對(duì)處理物體間的碰撞或沖擊作用的問(wèn)題有著非常重要的作用，且在經(jīng)典力學(xué)中占有十分重要的地位。而接下來(lái)本文將會(huì)把慣性系中的動(dòng)量定理引入慣性力進(jìn)一步推廣到非慣性系中,從而得到其表達(dá)式。動(dòng)量定律,在慣性系中表述為:物體中系統(tǒng)總動(dòng)量的變化率等于作用于該物體上的外力的矢量和.對(duì)于這一結(jié)論，在非慣性系中也是適用的，這就只要在外力中加上作用于該系統(tǒng)中所有物體上的慣性力就可。若某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，對(duì)固定慣性系的速度為，那么其動(dòng)量是。在經(jīng)典力學(xué)中有一個(gè)基本假定就是物體的質(zhì)量不隨時(shí)間變化，因此有牛頓方程可得： (2.1)上式中的是物體所受外力的矢量和。這個(gè)方程給出了物體的動(dòng)量和外力的瞬時(shí)關(guān)系，其被稱為微分形式的動(dòng)量定理。在前面我們已經(jīng)理解到非慣性系中的動(dòng)量定理，只要在外力中加上作用于該系統(tǒng)中所有物體上的慣性力就可以得到非慣性系中的動(dòng)量定理。所以，對(duì)于非慣性系，某質(zhì)點(diǎn)所受的力有物體所受的力、慣性力和、慣性離心力和柯氏慣性力,根據(jù)牛頓定律，由此就可以得到方程(1.10)。那么接下來(lái)，引用(2.1)式，代入(1.10)式就可得： (2.2)上式就是非慣性系中的動(dòng)量定理，其為微分形式來(lái)表示。它的含義就是：物體中系統(tǒng)總動(dòng)量的變化率等于作用于該物體上的外力和各種慣性力的矢量和，有物體所受的力、慣性力和、慣性離心力和柯氏慣性力等。上式既可用于平動(dòng)，也可用于轉(zhuǎn)動(dòng)。 下面對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行一些討論。1）若，則式（2.2）變?yōu)閼T性系中的動(dòng)量定理，即： (2.3)2）若，但，則式（2.2）變?yōu)椋?（2.4）那么上式中，其參照系是非慣性系中的平動(dòng)加速參照系。3） 若，那么式（2.2）變?yōu)椋?(2.5)在上式中，其參照系是既作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，又作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參照系。3.非慣性系中的角動(dòng)量定理從以上推導(dǎo)過(guò)程，我們已經(jīng)知道要使角動(dòng)量定理適用于非慣性系，那么就要依據(jù)非慣性系的力學(xué)定律推導(dǎo)出適用于非慣性系的角動(dòng)量定理。關(guān)于角動(dòng)量，它是描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)性質(zhì)的物理量，也叫做動(dòng)量矩。角動(dòng)量定理是牛頓方程的一個(gè)重要推論，也是解決轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題的基本定理。如果用表示角動(dòng)量，用表示力矩，那么角動(dòng)量定理可寫(xiě)為： (3.1) 它表示：某一質(zhì)點(diǎn)對(duì)任意慣性點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用到該質(zhì)點(diǎn)上的合力矩。 在非慣性系中選某固定參考點(diǎn),設(shè)為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量。用矢乘非慣性系中的牛頓定律(1.10)，可以得到： (3.2)上式就是關(guān)于角動(dòng)量的合力矩，也是外力矩和各慣性力矩的矢量和。再將式(3.2)代入式(1.10)中，則可以得到： (3.3)上式就是非慣性系中的角動(dòng)量定理，它可用于平動(dòng)，也可用于轉(zhuǎn)動(dòng)。下面對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行一些討論。1） 若，則式(3.3)變?yōu)閼T性系中的角動(dòng)量定理，即： （3.4)2） 若，而，則式(3.3)變?yōu)椋?（3.5）那么上式中，其參照系是平動(dòng)非慣性參照系。4.非慣性系中的動(dòng)能定理關(guān)于非慣性系中的動(dòng)能定理，我們可以根據(jù)以上的推導(dǎo)方法，由非慣性系中的牛頓定理來(lái)推導(dǎo)出來(lái)。那么如果對(duì)于某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由牛頓方程可得：用矢量標(biāo)乘上式，那么可以得到： (4.1) 因?yàn)?，所以上式可變?yōu)椋?（4.2） 令，則： (4.3)此式是慣性系的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，表示：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于外力的對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功。那么關(guān)于非慣性系中動(dòng)能定理，不只有外力做的功也有各種慣性力做的功。那么由(1.10)式和(4.3)式，可得： (4.4)又因?yàn)?，即柯氏慣性力做功為零。這是因?yàn)?，柯氏慣性力始終與相對(duì)速度方向保持垂直，因此不做功。所以非慣性系中動(dòng)能定理柯氏慣性力做功為零，不需要考慮它。則(4.4)式可變?yōu)椋?(4.5)上式就是非慣性系中的動(dòng)能定理，表示對(duì)質(zhì)點(diǎn)合力做的功。由此可看出，動(dòng)能定理在慣性系和非慣性系中都可以使用。5.應(yīng)用與展望通過(guò)本文，我們已經(jīng)初步了解到非慣性系中的牛頓定理、動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理和動(dòng)能定理等。而以上這些定理卻在物理學(xué)中有著重要的應(yīng)用，例如在航空領(lǐng)域，處理非慣性系中的某些動(dòng)力學(xué)的知識(shí)，起到非常重要的應(yīng)用價(jià)值。特別是關(guān)于航空航天方面的牛頓力學(xué)問(wèn)題，就需要非慣性系中的角動(dòng)量定理來(lái)解決。還有動(dòng)力剛化問(wèn)題，通過(guò)應(yīng)用非慣性系中力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)定理來(lái)研究，這也對(duì)研究航天器動(dòng)力學(xué)和柔體動(dòng)力學(xué)的研究有重大意義。在航天航空結(jié)構(gòu)中，其中柔性梁這個(gè)部件應(yīng)用的非常多，而其中的柔性多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題就需要引用非慣性系中的相關(guān)力學(xué)定理來(lái)解決。隨著對(duì)非慣性系中的力學(xué)定理的研究更加的深入，在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，非慣性系中的力學(xué)定理將會(huì)有著越來(lái)越多的應(yīng)用?，F(xiàn)在人們對(duì)于非慣性系中力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)定理研究，已經(jīng)從理論知識(shí)延伸到實(shí)際應(yīng)用中，其在實(shí)際生活和科學(xué)科技領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。通過(guò)引用慣性力推導(dǎo)出非慣性系中的力學(xué)定理，這一過(guò)程不僅為解決非慣性系中動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提了供一種有效的方法,也大大方便了人們對(duì)于非慣性系中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題在實(shí)際生活和科技應(yīng)用等方面的研究。特別是航天航空結(jié)構(gòu)中，柔性多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，非慣性系中的力學(xué)定理在其中發(fā)揮著重要的作用。當(dāng)然，對(duì)于物理學(xué)的力學(xué)系統(tǒng)的研究也需要應(yīng)用到非慣性系中的力學(xué)定理。所以，非慣性系中的相關(guān)力學(xué)系統(tǒng)對(duì)于物理學(xué)以及對(duì)實(shí)際生活和生產(chǎn)的應(yīng)用，起著不可替代的作用。由此也可看出，非慣性系中的相關(guān)力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用前景非常的廣闊，大部分都是如今非常尖端的科學(xué)技術(shù)，特別是航空航天事業(yè)。因此，對(duì)于非慣性系的研究應(yīng)用，在未來(lái)將會(huì)發(fā)揮著更加重要的作用。6.結(jié)語(yǔ)本文主要從慣性系的牛頓方程發(fā)，首先描述了利用加速度合成定理推導(dǎo)非慣性系的牛頓方程的過(guò)程。之后再利用慣性力，把慣性系中的力學(xué)理論稍加修改，移植到非慣性中，從而得到非慣性系中的動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等。通過(guò)這樣一種統(tǒng)一的方法來(lái)研究非慣性系中力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)定理，從而使人們系統(tǒng)的，簡(jiǎn)單的了解非慣性系中的相關(guān)力學(xué)定理。參考文獻(xiàn)1 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