11由2012年三道高考解析幾何題得到的圓錐曲線性質(zhì).doc

由2012年三道高考解析幾何題得到的圓錐曲線性質(zhì)高考題1(2012福建文21)如圖1，等邊三角形的邊長為，且其三個頂點均在拋物線上.(I)求拋物線的方程；(II)設(shè)動直線與拋物線相切于點，與直線相交于點.證明以為直徑的圓恒過軸上某定點.圖1 (參考答案：(I)；(II)以為直徑的圓恒過軸上的定點(0,1).)高考題2(2012福建理19)如圖2，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率.過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8.(I)求橢圓的方程(II)設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.圖2(參考答案：(I)；(II)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點，且點的坐標(biāo)是(1,0).)高考題3(2012安徽理20)如圖1，點分別是橢圓的左、右焦點，經(jīng)過作軸的垂線交橢圓的上半部分于點，過點作直線垂線交直線于點.圖3(I)如果點的坐標(biāo)是(4,4)，求此時橢圓的方程；(II)證明：直線與橢圓只有一個交點.(參考答案：(I)；(II)略.)文獻(xiàn)1研究了高考題1,2的一般情形(專著2第55-56頁的文章也早就研究了它們)，本文由這三道高考題又得到了圓錐曲線的兩條性質(zhì).定理1設(shè)圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線)的一條準(zhǔn)線及其對應(yīng)的焦點分別是.(1)若過準(zhǔn)線上任一點作兩條直線分別與切于點，則點共線且；(2)若過焦點作直線分別與交于點，再過點分別作的切線交于點，則點在準(zhǔn)線上且；(3)過上的任一點作的切線能交準(zhǔn)線于點，若的與準(zhǔn)線垂直的對稱軸上的定點滿足恒成立，則定點重合且直線與也相切(其中點是直線與的另一交點)；(4)過上的點作直線與準(zhǔn)線交于點，則直線與相切.為證明定理，先給出兩個引理(見專著2第22頁)：引理1 (1)若是橢圓上一點，則該橢圓以點為切點的切線方程是；(2)若是雙曲線上一點，則該雙曲線以點為切點的切線方程是；(3)若是拋物線上一點，則該拋物線以點為切點的切線方程是.引理2 (1)若是橢圓外一點，切該橢圓于，則切點弦的方程是；(2)若是雙曲線外一點，切該雙曲線于，則切點弦的方程是；(3)若是拋物線外一點，切該拋物線于，則切點弦的.定理1的證明 先證拋物線的情形.可不防設(shè)，得.(1)可設(shè)，由引理2(3)，得，所以得點共線.當(dāng)及時，均易證得.(2)因為直線的斜率一定存在，所以可設(shè)其方程為，又設(shè).由引理1(3)，得，所以，即點在準(zhǔn)線上.由及，得，所以.又，可證.(3)設(shè)，由引理1(3)，得，所以可求得它與準(zhǔn)線交于點，又，設(shè)，由可證得定點重合.再由結(jié)論(2)及同一法，可得欲證成立.(4) 由結(jié)論(1)得. 易知點不是的頂點，所以可不妨設(shè)點在軸的右方.過點作拋物線的右半支的切線，切點為.由“”的結(jié)論，得.又，可得點重合，所以直線與相切.再證橢圓的情形.可不防設(shè)，得.(1)可設(shè)，由引理2(1)，得，所以得點共線.當(dāng)及時，均易證得.(2)可設(shè)，又設(shè).由引理1(1)，得，所以，即點在準(zhǔn)線上.由及,得，即.又，可證.(3)設(shè)，由引理1(3)，得，所以可求得它與準(zhǔn)線交于點，又，設(shè)，由可證得定點重合.再由結(jié)論(2)及同一法，可得欲證成立.(4) 由結(jié)論(1)得. 這里只證是焦點在軸上的橢圓情形.易知點不是長軸的端點，所以可不妨設(shè)點在軸的上方.過點作上半橢圓的切線，切點為.由“”的結(jié)論，得.又，可得點重合，所以直線與相切.最后證雙曲線的情形.可不防設(shè)，得.(1)可設(shè)，由引理2(1)，得，所以得點共線.當(dāng)及時，均易證得.(2)可設(shè)，又設(shè).由引理1(1)，得，所以，即點在準(zhǔn)線上.由及,得，即.又，可證.(3)設(shè)，由引理1(3)，得，所以可求得它與準(zhǔn)線交于點，又，設(shè)，由可證得定點重合.再由結(jié)論(2)及同一法，可得欲證成立.(4) 由結(jié)論(1)得. 這里只證是焦點在軸上的雙曲線的情形.易知點不是實軸的端點，所以可不妨設(shè)點在軸的上方.過點作的上半部分的切線，切點為.由“”的結(jié)論，得.又，可得點重合，所以直線與相切.定理2 (1)設(shè)是焦點在軸上的橢圓或雙曲線(其離心率是，左、右焦點分別為，左、右準(zhǔn)線分別為)，過曲線上的任一點(但不在軸上)作的切線交分別于點，則(當(dāng)存在時)，(當(dāng)存在時)；(2)設(shè)是焦點在軸上的橢圓或雙曲線(其離心率是，左、右焦點分別為，直線分別是的過左、右頂點的切線)，過曲線上的任一點(但不在軸上)作的切線交分別于點，則；(3)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線及焦點分別是，的過頂點的切線是，過上的不是頂點的任一點作的切線，與分別交于點，則.證明 (1)由定理1(1)立得.下面再給出一種統(tǒng)一的證明.這里只證雙曲線的情形，并且只證(當(dāng)存在時).設(shè)雙曲線，可得雙曲線過點的切線方程為，所以.可得.由，可得.(2)這里也只證雙曲線的情形.設(shè)雙曲線，可得雙曲線過點的切線方程為，所以.可得.由，可得.(3)可不防設(shè)，直線即軸，切線，可得，所以無論是否存在，均可