（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）多層擴充法解hammerstein方程.pdf

中【lj 大學(xué)碩士半位論文中義摘要 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 多層擴充法解h a m m e r s t e i n 方程 專業(yè) 學(xué)位申請人 導(dǎo)師及職稱 計算數(shù)學(xué) 李建飛 陳伸英教授 摘要： 在本文中，我們將一種多層擴充算法推廣到非線性算子方程，同時給出多層 擴充法成立的充分條件，并將此方法應(yīng)用于h a r n m e r s t e i n 方程山于多尺度方法 下的非線性算子方程在其算子值域上具有層次結(jié)構(gòu)，我們通過對方程值域空間的 擴充和解空問的擴展，采用一種計算策略，以獲得方程在較細層空問中的逼近解 在此策略下，每次擴充后需要迭代求解的方程組規(guī)模都跟初始層中的一樣，因而 極大的減少了計算工作量我們證明了這種方法得到的逼近解在孤立解的一定鄰 域內(nèi)是唯一1 存在的，并且保持了與最佳逼近相同的收斂階最后，論文給山一個數(shù) 值算例用于驗證多層擴充法的效率和精確性 關(guān)鍵詞： h a m m e r s t e i n 方程，多小波，非線性算子方程，多層擴充法 中t l l 大學(xué)碩士學(xué)位論文英文摘要 am u l t i l e v e la u g m e n t a t i o nm e t h o df o rs o l v i n g h a m m e r s t e i ne q u a t i o n s m a j o r n a m e s u p e r v i s o r c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s l ij i a n f e i p r o f e s s o rc h e nz h o n g y i n g a b s t r a c t ： i nt h i sp a p e r , w ee x t e n dam u l t i l e v e la u g m e n t a t i o nm e t h o dt on o n l i n e a ro p e r a t o r e q u a t i o n s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h i sm e t h o da r ep r e s e n t e d a n dw ea p p l yt h e m u l t i l e v e la u g m e n t a t i o nm e t h o dt oh a m m e r s t e i nt y p e w en o t i c et h a tt h e m u l t i s e a l e m e t h o d sf o rn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sl e a dt oal e v e ls t r u c t u r ei nt h er a n g eo ft h e o p e r a t o gb ye x t e n d i n gt h es o l u t i o ns p a c eo ft h eo p e r a t o re q u a t i o na n da u g m e n t i n gt h e r a n g es p a c eo ft h eo p e r a t o r ，a l la p p r o x i m a t es o l u t i o ni nf i n e rl e v e ls p a c ei so b t a i n e d w i t has t r a t e g y ，d u et ot h es a m es i z eo ft h ee q u a t i o n sw h i c hn e e dt ob ei t e r a t e di n a u g m e n t e ds p a c ea si ni n i t i a ll e v e l ，t h ec o s t so fc o m p u t i n ga r er e d u c e dg r e a t l y w e p r o v et h a tt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nb yt h i sm e t h o di su n i q u ei ns o m en e i g h b o r h o o do f t h ei s o l a t e ds o l u t i o na n dk e e p st h es a m ec o n v e r g e n c er a t ea st h eb e s ta p p r o x i m a t i o n i nt h ee n do ft h ep a p e r , an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c ya n d a c c u r a c yo ft h em e t h o d ， k e yw o r d s ： h a m m e r s t e i ne q u a t i o n s ，m u l t i w a v e l e t ，n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s ，m u l t i l e v e l a u g m e n t a t i o nm e t h o d i i i 中i h l 夫?qū)W碗士學(xué)位論文第章引言 第一章引言 1 1h a m m e r s t e i n 方程及傳統(tǒng)數(shù)值解法 形如 r u 0 ) 一( f ，s ) 妒( s ，( s ) ) d s = ，( t ) ，t d ，( 1 1 ) j d 的力程被稱為h a m m e r s t e i n 積分方程其中，d 是科”( m 芝1 ) 上的閉區(qū)域或者流 形該類方程屬于第二類f r e d h o l m 型積分方程，它最早由h a m m e r s t e i n 在1 9 3 0 年的一篇論文中提并研究，后來成為研究非線性積分方程的一個重要對象 h a m m e r s t e i n 方程產(chǎn)生于物理和一些其它自然學(xué)科，通常源于非線性微分方程巾 的邊值問題如磁流體動力學(xué)( m a g n e t o h y d r o d y n a m i c s ) 中的一個邊值問題 ”8 7 ( 刪= o ，。( o ，1 ) ， ( 1 ，2 ) 【y ( o ) = ( 1 ) 一0 ， 便可以轉(zhuǎn)化為h a m m e r s t e i n 型積分方程 剪( ) = ，1 ( ，。) 。p 擴( s ) ) d s ， 【o ，1 ，( 1 3 ) j 0 其中核函數(shù) 琊壚羔 這類方程還廣泛出現(xiàn)在中子遷移理論，核物理和化學(xué)反應(yīng)理論上，因而有其特殊 的研究價值不同于線性方程，大量的非線性方程由于其不同的非線性結(jié)構(gòu)，往往 需要獨立的理論，這使得研究的難度增大借助于泛函和拓撲方法，非線性方程的 研究有了很大發(fā)展，但仍未形成系統(tǒng)的理論，即使在可解性問題上，也有不少困 難 然而，h a m m e r s t e i n 方程作為一類特殊的非線性方程，許多現(xiàn)有的數(shù)值方法都 能夠應(yīng)用過來h a m m e r s t e i n 方程的數(shù)值逼近研究開始于上個l h ：紀5 0 年代與線 性積分方程相似，非線性積分方程的數(shù)值求解過程主要包含了兩個方面首先將 方程在有限維空閥中離散化，得到。一個非線性系統(tǒng)常見的方法有投影方法，退化 h a m m e r s t e l n 方程及f 統(tǒng)數(shù)值解法 中l(wèi) h 人學(xué)碩士學(xué)位論文 核方法，n y s t r 6 m 方法等。其次，尋找一個有效的方法求解非線性系統(tǒng)，如各種迭 代方法 投影方法主要有p e t r o v g a l e r k i n 方法，g a l e r k i n 方法，配置法，最小二乘法等 投影方法求解方程( 1 1 ) 即是尋找有限維空間中的逼近解 滿足非線性系統(tǒng) “。= a j c j 驢nc 小t ( 小班( s 喜刪) 如) 刈山棚 其中 。 ，n ：l 是兩。的一組基底， f ) 警- 是一族有界線性泛函不同基底和泛函的 選擇將產(chǎn)生不同的投影方法我們將在第二章中主要介紹g a l e r k i n 方法和配置 法 假設(shè)核k 可以通過形如 k 。( t ，s ) = 玩g 斛 i = 1 的函數(shù)來逼近，其中函數(shù)族 b n ，。) 翟，是線性無關(guān)的，代入方程( 1 1 ) 得到逼近方 程 啡卜喜剮母上蜘“媯?cè)研锨?令；= 、如g ，。( s ) 妒( s ，“。( s ) ) 幽，則 “。( t ) = ) + 。晶刪 t = 】 求解方程( 1 1 ) 的退化核方法即是求 。 墨，使其滿足非線性系統(tǒng) ，= 加以，妒( “+ 塾取癬，) 如，川，n 中l(wèi) lj 大學(xué)砸士學(xué)位論文 第一章弓吉 n y s t r 6 m 方法屬一種求積方法，假設(shè)方程( 1 1 ) 的積分部分可以用數(shù)值積分逼 近，即 卜( t ，s ) 妒( 。( s ) ) d sz ( t ，t 蚰) 砂( t 。m u 。( t 啦) ) ， j d ：1 其中 “h ，k ：。是求積系數(shù)， o 咄 警1 為求積節(jié)點，于是得到 。( t ) = w 。，k k ( t ，) 妒( “mu 。( 時) ) + ) ，t d k = l 求解方程( 1 1 ) 的n y s t r 6 m 方法即是求u 。( “。) ，使其滿足非線性系統(tǒng) u 。( t ) = w 。, k k ( t ，t 蚰) 妒( t 吣，u ( k ，k ) ) + 以i l ，n k = 1 1 2 數(shù)值領(lǐng)域相關(guān)研究 a t k i n s o n 和p o t r a 于1 9 8 7 年在【a p 中以u r y s o h n 方程為例，研究了非線性 算子方程。一庀z 的投影方法及迭代投影方法，建立了非線性算子方程迭代投影 方法超收斂的一般框架他們使用了s l o a n 等1 9 8 5 年在研究線性積分方程時提 出的迭代方法這種方法后來被稱為s l o a n 迭代 同年，k u m a r 和s l o a n 在 k s 】中給出了h a m m e r s t e i n 方程的一種變型，他們 用z ( s ) 代替方程( 1 1 ) 中的非線性項，原方程變?yōu)?r z ( t ) = 妒( t ，( t ) + k ( t ，s ) z ( s ) 出) ，t d ， 該變型使得非線性系統(tǒng)在迭代求解時可以減少積分的計算量，我們將在2 1 節(jié)中 介紹這種方法k u m a r 在f k u l 】中研究了這種變型下迭代配置法的超收斂性 9 0 年代，k a n e k o 和y x u 在【k x 2 討論了h a m m e r s t e i n 方程在迭代g a l e r k i n 方法。卜| 的超收斂性，同時將結(jié)果推廣到帶有弱奇性核的h a m m e r s t e i n 方程中，另 外，弱奇性h a m m e r s t e i n 方程迭代配置法的超收斂性討論見【k n p 對于非線性 積分方程，a t k i n s o n 在【a t l 中比較全面地總結(jié)了常見的數(shù)值解法，包括一些我們 這里沒有介紹的方法，如投影方法的離散形式，b r o y d e n 方法，2 嘲格方法，多嘲 格方法等 1 2 數(shù)值領(lǐng)域相關(guān)研究中i i l 大學(xué)碩士學(xué)位論文 外推法也是微積分方程研究的一個重要方面【h a n 】中g(shù) h a n 在對h a m m e r - s t e i n 方程使用離散配置法后對誤差進行漸進展開，使用r i c h a r d s o n 外推法大大提 高了解的精度相關(guān)外推法在積分方程中應(yīng)用的文獻可參考【h w l ，h w 2 ，h w 3 另外，文章【h r e 中提出了一種有效的類割線迭代方法他們將h a m m e r s t e i n 方程( 1 1 ) 表示為f ( “) = 0 ，修改傳統(tǒng)割線迭代格式 u 。+ l = u 。一【“。一1 ，u n ；f “f ( u 。) ， u _ 1 ) u o 為預(yù)先給定 為帶參數(shù)a 的形式 “一1 ，t t o 預(yù)先給定， y 。= a u 。+ ( 1 一a ) u 一1 ， a 0 ，1 u r n + l = “。一【o h ，。；明一1 f ( “。) ， 其中，“。：f 】定義為差商叢劃y = 盟業(yè)他們指出，該方法有一般割線方法不計算n - - u n 偏導(dǎo)的優(yōu)點，同時。當(dāng)a 接近1 的時候幾乎與牛頓迭代法有同等的收斂速度 隨著多分辨分析的出現(xiàn)和發(fā)展，具有緊支集和消失矩性質(zhì)的小波或多小波被 廣泛應(yīng)用于微積分方程求解小波壓縮算法的開創(chuàng)性研究可追溯到g b e y l k i n ，r c o i f m a n 年v r o k h l i n 在1 9 9 1 年發(fā)表的文章【b c r ，他們構(gòu)造正交且具有緊支集 的小波基用于離散化積分算子，得到的系數(shù)矩陣大部分元素的絕對值很小，從而 在不影響收斂性的情況下可以將其忽略得到稀疏的矩陣該思想后來被廣泛應(yīng) 用，如d a h m e n ，p r o e s s d o r f 和s c h n e i d e r 在f d p s l ，d p s 2 】中使用周期小波作基底 求解第二類f r e d h o l m 積分方程，并提出了合理的矩陣壓縮策略，達到快速求解目 的a l p e r t 在【a 1 中最早構(gòu)造出多尺度小波基，在離散化積分算予后，得到了稀疏 的系數(shù)矩陣k a n e k o 。n o r e n 和n o v a p r a t e e p 用a l p e r t 構(gòu)造的這種多尺度小波作基 底，分析了h a m m e r s t e i n 方程在p e t r o v g a l e r k i n 方法和迭代p e t r o v g a l e r k i n 方法 下解的收斂結(jié)果，并指出在使用迭代法求解時，j a c o b i 矩陣大部分元素的絕對值 非常小，因此可以考慮開發(fā)一種截斷策略來減少積分的計算量據(jù)我們所知，目前 尚未有人完成這個工作 z c h e n ，c a m i c c h e l l i 和yx u 在 c m x l 中使用分片多項式小波基，構(gòu)造 了第二類弱奇性核f r e d h o l m 積分方程的p e t r o v g a l e r k i n 方法，在保持穩(wěn)定性和 收斂性的前提下提m 矩陣壓縮策略，得到了數(shù)值稀疏的系數(shù)矩陣多尺度快速 4 ，、1l 中j l 大學(xué)碩士學(xué)位論文第一章引吉 算法用于第二類f r e d h o l m 積分方程的其它文獻可參考 c m x 2 ，c m x 3 隨后，z c h e n ，b w u 和y x u 在算子方程多層方法【c m x 4 的基礎(chǔ)上提出了基于算子值 域空間y 。和算子方程解空問x 。直和分解的多層擴充算法( 見 c w x l ) 在直和 分解 x 十m = x k o 上w + j 一- - o 上w b + m v 扛 m = v o 上z 缸 1 0 1 o 上z + m ， 下，他們將逼近算子方程a 。= 厶的的算子a 。表示為矩陣 4 k i9 。扎。 a k m ：21 1 吼+ 。 氕+ l 州+ 1k + 1 h e + k + 1 記逼近方程為 4 舢?！? m ) = + 。 然后將a 。分裂為玩。厶。之和，得到 3 k ，?！? m ) = + 。一甌m 2 t k ( 1 9 2 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中覷。，g 。分別反映a 。的低頻和高頻部分，并且可以通過擴充 魄。h ，c 。- 棚應(yīng)彳 垤0 按照。定的分裂方法，段。的逆比較容易求得在 文章中，他們采用了一種類似g a u s s s e i d e l 迭代的策略，并證明該方法在適當(dāng)條 件下是穩(wěn)定的，且保持了原逼近方法相同的收斂階由于每遞增一層，增加的計算 量工作僅僅在擴充的部分，因此降低了積分計算量，而且由于系數(shù)矩陣的特殊結(jié) 構(gòu)，使得計算速度大大提高他們指出，這種方法適合用來開發(fā)自適應(yīng)算法，另外， 多層擴充算= 去在不適定問題中的應(yīng)用見【c x y 1 3 主要工作及論文結(jié)構(gòu) 本文主要工作是將【m x ，c m x l 中介紹的多尺度方法，應(yīng)用到h a m m e r s t e i n 方程卜，在此基礎(chǔ)上研究非線性算子方程的分解，給出非線性算子方程多層擴充 一5 一 n m 機 帥 押 皿 拈舢熹咿 3 豐嬰工作及論文結(jié)構(gòu)中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 算法成立的充分條件，同時分析了算法卜- 方程解的唯一性和收斂性，最后使用多 層擴充法求解h a m m e r s t e i n 方程及其變型，并給出算例 本文由四部分構(gòu)成在第二章我們回顧h a m m e r s t e i n 方程的常見投影方法， 在第三章里介紹h a m m e r s t e i n 方程的多小波方法我們在第四章討論非線性算子 方程的多層擴充算法，并應(yīng)用到h a m m e r s t e i n 方程 符號說明 d n ：= d i m x 。，表示空間兩。的維數(shù) n ：= 1 ，2 n o ：= o ，l ，2 ，) z 。：= 0 ，1 ，2 ，n 一” ，( o 一( x ，) ：= ! 鏟，表示相應(yīng)于第二個變量的偏導(dǎo) 6 中i l 大學(xué)碩十學(xué)位論文第_ 章h a m m e r s t e i n 方程的投影方法 第二章h a m m e r s t e i n 方程的投影方法 2 1h a m m e r s t e i n 方程及其等價變型 為了方便，在本文中，我們?nèi) = 【0 ，1 】，研究形為 p 1 饑( t ) 一南( t ，s ) 砂( s ，? z ( s ) ) d s = ，( t ) ，t o ，1 】， ( 2 1 ) j 0 的h a m m e r s t e i n 積分方程，女，砂是已知函數(shù)，“是待求的函數(shù)妒( s ，口) 對v 是非 線性的 在整篇文章中，我們假設(shè)方程( 2 1 ) 滿足以下條件 h 1 ，c o ，1 1 h 2 核k ( t ，8 ) 滿足 s u p l t ( t ，s ) i c f s 0 ，對任意的，”2 r 有 妒( s ，v 1 ) 一妒( s ，v 2 ) i c 1 i u l 一v 2 1 ( 2 4 ) h 4 函數(shù)妒( s ， ) 相應(yīng)于 的偏導(dǎo)妒( o 1 ( s ，v ) 在 0 ，1 瓞上連續(xù)，且滿足 l i p s c h t i z 條件，即存在個常數(shù)島 0 ，對任意的 l ， 2 r 有 砂( o 1 ( s ，口1 ) 一妒( o ，1 ( s ，。k ) l g j 】 1 一v 2 1 ( 2 5 ) h 5 對于口c o ，1 1 ，妒( s ， ) ，妒( 0 , 1 ( s ， ) c o ，1 定義線性算子k ：l ”f o ，1 】一c o ，1 為 咒“( ) ：1k ( t s ) ( s ) d s j o 7 r 2 6 、 21 h a m m e r s t e i n 方程及其等價變型 中ij 大學(xué)碩士學(xué)位論文 以及連續(xù)有界算子皿c o ，1 】一c o ，l 】為 則方程( 2 1 ) 可以寫為 若令 則 霍z ( 妨：= 妒( ，z ( ) ) u 一庀t = f 丁u ：= f + 趕札 “= 丁u ( 2 7 ) ( 2 8 ) f 2 9 ) ( 2 1 0 ) 在條件h 2 下由( 2 6 ) 定義的算子趕是l ” o ，1 一c o ，1 】卜- 的緊算子 ( a r z e l a a s c o l i 定理) 同時它是線性的，所以k 是l 。 u ，l 】一c o ，lj 上的全連續(xù) 算子通常情況下，不是c o ，1 】上的全連續(xù)算子( 除非砂( s ， ) 與”無關(guān)) 由 ( k z 】，p 7 4 ，p 8 1 ) 知，算子丁是e o ，1j 卜的全連續(xù)算子根據(jù)s c h a u d e r 不動點定理 ( 見【a h ，定理4 5 - 4 ) ，算子丁在c o ，1 ) 上至少有一個不動點 我們介紹k u m a r 和s l o a n 在 k s 中提出的h a m m e r s t e i n 方程的變型令 由方程( 2 1 ) 得到 代入式子( 2 。1 1 ) 得 ( 2 1 1 ) n ( t ) = ，( + k ( t ，s ) z ( s ) d s ，t f o ，1 ，( 2 1 2 ) j o z ( t ) = 妒( t ，( t ) + f ok ( t ，s ) z ( s ) d s ) ，t 【。：1 ， ( 2 1 3 ) 表示成算子形式為 2 = f k 。+ f 1 8 ( 2 1 4 ) 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章h a m m e r s t c i n 方程的投影方法 若令 則 t z ：= f j c z + f 1 z = t z 由 k s i 可知，算了于是l ”【o ，l 】一l o 。 o ，1 的傘連續(xù)算子 我們不加證明的給出f k s 】巾的一個引理 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 引理2 1 ：假設(shè)”o 是方程( 2 8 ) 的一個幾何孤立解( 以下簡稱孤立解) ，則由 z o ：一m “o 定義的z o 是方程( 2 1 4 ) 的一個孤立解；反之，若z o 是方程( 2 1 4 ) 的一 個孤立解，則由t z o ：= f + e z o 定義的o 是方程( 2 8 ) 的一個孤立解 上述變型使得在使用迭代法求解h a m m e r s t e i n 方程由投影方法得到的非線 性系統(tǒng)時，可以減少積分的計算量，并且在一定條件下解的收斂速度更快，我們將 在第三章里具體捕述而引理2 1 確保了方程( 2 8 ) 和方程( 2 1 4 ) 解的一一對應(yīng)關(guān) 系 2 2 投影方法 考慮h a m m e r s t e i n 方程( 2 8 ) ，令x 為一b a n a c h 空間，庀，皿定義為映x 到自 身的算子， x 。) 為x 的一個有限維子空間序列，其維數(shù)定義為蟊：一d i m n 。假 設(shè)對于任意的t x ，存在一個序列 u 。) ，u 。x 。滿足 設(shè)投影算子r ：x 一，k ，并且滿足 r f l c 0 以上兩個條件等價于對任意的“x 有 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) b “一“| | 一0 ， 一o 。( 2 1 9 ) 9 2 2 投影靠法 中【j 大學(xué)碩士學(xué)位論文 方程( 2 8 ) 的投影格式為 玨禮一r 疋皿亂。= r 工嶼；x 。 ( 2 。2 0 ) 對于h i l b e r t 空問x ，我們定義相應(yīng)的范數(shù)和內(nèi)積為” l 和 若 只。定義為x x 。上的正交投影算子，則此定義下的投影格式( 2 2 0 ) 為求解 h a m m e “t e i n 方程的g a l e r k i n 方法設(shè) 妒。d ：鼠) 是x 。的一組基則對任給 的“。x 。可表示為 d 一1 u ，。= fa n , j j ， ( 2 2 1 ) j = o 對，- 2 ( 21 ) 的g a l e r k i n 方法即是要求 n 。j ：j 玩。) 滿足以下非線性系統(tǒng) 若定義7 ) 札：x x 。為插值投影算子： d 。一i r u ( ) ：= “( “一) 島刪 b = 0 其中 “，k ) ：；1 是一組插值結(jié)點， 厶，磚：；1 為插值基函數(shù)，滿足 厶t ( t ) = 6 柳，j 磊。 上式中，6 幻為k r o n e c k e r 記號在此定義下的投影方程( 2 2 0 ) 記為 d n 一1，1 d n 一1 州曠湖) z 地蚶，蝴，?！眃 s 2 篆鼠觶) ， 取t = t 。，j 乙。，由( 2 2 5 ) 及( 2 2 4 ) ，我們得到 f 2 2 3 ) ( t 。) 一r 1 。s ) 妒( 剛。( 。) ) ( f s ：f ( t 。) ，j 玩。 ( 2 2 6 ) ( ) 一上。( 。，3 ) 妒( 剛。( 5 ) ) 出2 ) ， 玩n 2 2 6 1 0 222 、) 妒 d 、， 妒 o “倒玩 屯 ，1tz 砂 s 。h ，m ， 妒妒 0 ，對于充分大的n ，方程( 2 2 0 ) 在o 的某個鄰域 b ( 螄，6 ) 內(nèi)有唯一解t , 。并且存在兩個常數(shù)c 1 ，c 2 0 ，使得 c l1 只；u o 一“o | | sl l t h t z o 【| ( 毛1 1 7 1 u ( ) 一2 t o ( 2 2 8 ) 2 3 迭代投影方法的超收斂性 我們在上一節(jié)的基礎(chǔ)上討論迭代投影方法的超收斂性 假設(shè)i t o c o ，1 1 是方程( 2 1 ) 的一個孤立解，“。是投影格式( 2 2 0 ) 在“o 的 某個鄰域口( 咖，6 ) ，5 0 內(nèi)的唯一解定義迭代投影解 也，。：= f + 壇皿亂。 一1 1 一 ( 2 2 9 ) 2 3 迭代投影方涮、的超收斂性 用投影算子r 作用于上式得 比較( 2 2 0 ) 和( 2 3 0 ) 有 r 也。= r f + r 瓦。 = r 如 可見，是矗。在x 。的投影把( 2 - 3 1 ) 代入( 2 2 9 ) 得 我們觀察 矗。= f + 聒7 也。 _ j 血。一u o l i = i i k ：u ，。一j c u o l i ， 根據(jù)條件h 2 ，h 3 ，并且使用h 6 1 d e r 不等式有 | l 缸。一u o l i a l l t 如一u o l l ，c 0 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 ，3 4 ) 所以迭代投影方法的收斂速度至少等_ _ i ：普通投影方法的收斂速度 若取r 為正交投影算子，則( 2 3 2 ) 為迭代g a l e r k i n 方法若取r 為插 值投影算子，則( 2 3 2 ) 為迭代配置法a t k i n s o n 在【a p 】中研究了非線性算予 方程z = 趕的迭代投影方法，給出了超收斂的條件同年k u m a r 在【k u l 中獲得迭代配置法的超收斂性隨后k a n e k o ，n o r e n 和yx u 在帶光滑核及 弱奇性核的h a m m e r s t e i n 方程的超收斂性上做了。些研究工作相關(guān)文獻見 【k u l ，k n p ，k n x i ，k x 2 下面我們只引用一個迭代g a l e r k i n 方法超收斂的結(jié)果作為本章的結(jié)束 定理2 4 ： a t l 假設(shè)c o ，1 】是方程( 2 1 ) 的一個孤立解“。是投影格式 ( 2 2 0 ) 在u o 的某個鄰域b ( u o ，j ) ，6 0 內(nèi)的唯一g a l e r k i n 方法解設(shè)1 不是 ( 疋皿) 7 ( u o ) 的特征值，對于充分大的，迭代g a l e r k i n 格式( 2 3 2 ) 在b ( u o ，6 ) 內(nèi)有 唯一迭代解血。，并且滿足： n 。一u o l l 。sl i ( z 一7 ) n ) t 幻l o 。 m a x ll ( z 一只。) “o l l 。、| l 圮( u o ) ( z 一7 ) i l 。) ， ( 2 3 5 ) 1 2 中i 1 大學(xué)碩士學(xué)位論文第二章h a m m e r s t e i n 方程的投影方法 a t l d n s o n 和p o t r a 在【a p 中指出，迭代解如超收斂，當(dāng)且僅當(dāng) 也等等蟛掣一0 ， 禮一o o 在上述定理中，若核充分光滑，有 色。一“o l l 。= o ( 】1 ( z 一7 ) u o l l 乙) ( 2 3 6 ) 1 3 中t h 大學(xué)碩十學(xué)位論文第三章h a m m e r s t e i n 方程的多小波方法 第三章h a m m e r s t e i n 方程的多小波方法 3 1 多尺度小波基的構(gòu)造 在這一節(jié)我們介紹 m x 中構(gòu)造不變集上的分片多項式小波基的方法 設(shè)e 是歐氏卒間璉上的一一個有界閉集，x 是完備的度量空間定義中 咖。：e 乙，p t ) 為一族壓縮映射，若e 滿足 e = 西( e ) ：= u 咖。( e ) e 6 z p 則稱e 是相應(yīng)于西的一個不變集 我們限定如下條件： ( a ) e 有非空內(nèi)部，對于任意的e ，e 7e 玩，e e 有 m e a s ( 妒。( e ) n 砂。，( e ) ) = 0 其葉，m e a , s ( a ) 表示集合a 的l e b e s g u e 測度 ( b ) 對于任意的ee 瓦，茁1 存在且連續(xù)， 記e ：= ( e o ，e l ，e n - 1 ) 刃：一毛毛毛，n 次，定義映射 札：一九o0 咖。】0 0 仉，。 其中。定義為函數(shù)的復(fù)合運算記既，。：= 九( e ) ：e 瓦，滿足以下條件 ( c ) 存在兩個非零常數(shù)c 一，c + 0 使得 c p 一”莖m a x d ( e n ，。) ：ee 況 c + p 一“， ( 3 1 ) 其中，d ( a ) ：= s u p l * 一y l ：，y a ) 為集合a 的直徑令島= e ，則所有政，。 組成的集合 b ：= 既，。：e n e = 。( e ) ，e 瓦) ， ( 3 2 ) 形成集合e 的個多尺度劃分 一1 5 3i 多尺度小波基的構(gòu)造中【j j 火學(xué)碩士學(xué)位論文 假設(shè)x l 2 ( e ) ，x ，l 是定義在晶，n n o 上的次數(shù)不超過q 一1 的多項式 空間定義線性算子互：l 2 ( e ) 一l 2 ( e ) ，e 4 為 ( 互 ) ( t ) ：= l 兒r u 。虻1 ( ) ) ( 。( e ) ， ( 3 3 ) 其中x a 為集合a 的特征函數(shù)容易驗證l i 正i l = 1 ，則x ?？捎蓌 o 經(jīng)遞推式 x 。= 0 1 互x ，n n ( 3 4 ) 生成其中a 0 1 b 表) j 纜i na ，b 的直和因此，由上述遞推式生成的空間序列 x 。：n n o ) 具有嵌套結(jié)構(gòu) 定義w 。+ 1c x 。+ l 滿足 并且令x o = w o ，則有 和 x 。一i x 。， 億n ( 3 5 ) x 。0 1 砜+ 1 ) n n 0 ， ( 3 6 ) = 0 1 w i e n o l 2 ( e ) 定義x ( o ) = d i m x 。= q ，顯然，w 。，i n o 的維數(shù) 蚺劃m 砜= 二鬻，。叫 b ， 假設(shè)w 厶：= u 。j ：n n o ，j z w ( 。) 是空問w 。的一組標準正交基，對于任一 j z 0 ，根據(jù)前面介紹的集合e 的劃分方法，j 可以唯一的表示為 j = p ( e ) r + l 一1 6 一 f 3 8 1 好 中t ll 大學(xué)碩士學(xué)位論文第三章h a m m e r s t e i n 方程的多小波方法 其中，r ：= w ( 1 ) = g 一1 ) ，f 磊，p ( e ) 代表不變集f 經(jīng)札加細后的某個子集 的位置，它是一個常數(shù)，可以表示為以下形式 p ( e ) = p ”一1 e o + + “e 。一2 + e 。一1 ，( 3 9 ) 因此，x 。的基底五。由所有w i ，i 互h 的基底組成，即 k 嵯k ，暇 ( 3 1 0 ) au 1b 表示a ub 且a n b = 曲，若記u 。一 ( i ，j ) ：i 玩+ 1 ，j z 0 【 】) ，鼴然 = s p o i i w i ，j ：( i j ) u 。 根據(jù)以卜定義，我們給m 如下命題【m x 命題3 1 ：假設(shè)e e 7 乙，則對所有的“，v l 2 ( e ) 有 命題3 2 ：下面式子成立 命題3 3 ：下面式子成立 一疋。， ( 3 1 1 ) 命題3 3 給出了具體生成x ?？臻g基底的方法即先分別構(gòu)造x o ( w o ) 空間 和其正交補空間w 1 的基底再通過( 3 1 1 ) 遞推得空間w ，i 磊+ a o ，1 ) 的基 底，最后根據(jù)( 3 1 0 ) 得到的一組基底由構(gòu)造過程知，每個基函數(shù)都有緊支集， 即 s u p p ( w i j ) 九( e ) ，e 忍，i 1 ， 1 7 一 n 砜 正 0 酶 一w 兀 u 唧 五 l u 睥 】| “ 3 1 多尺度小波基的構(gòu)造中t h 大學(xué)碩卜學(xué)位論文 特別地，x o ( w o ) 及w 1 的基的支集即為e 另外，w i , j 具有q 階消失矩，即 i r 毗j ( t ) ，出：o ，r 毛 j e ( 3 1 2 ) 例1 ：我們令x 。為不超過1 次的分片多項式空間，取p = 2 ，定義不變集【0 ，1 】上 的一族壓縮映射為： jc o ( t ) = i t ，t 0 ，1 1 ， 【c i l l ( t ) = t 丁+ l ，t 0 ：1 】 首先，構(gòu)造空間x o ( w o ) 的標準正交基底( 圖3 1 ) w 0 , 0 ( ) = 1 ，t 【0 ，1 ，6 0 0 , 1 ( t ) = 、，百( 2 1 ) ，t 0 ，1 ( a ) - j o ，o ( t ) 圖3 1w o 的基底 其次，構(gòu)造空間w i 的標準正交基底( 圖3 ，2 ) mf1 6 t ，t o ，o 5 ， 0 嬸卜15 6 ( 0 5 ，l 】 ( b ) “o l ( t ) 毗m ，= x 嘶：3 ( 1 - 4 t ，) 、, i 黜5 】 以上4 個函數(shù)構(gòu)成空間x 1 的一組標準正交基底按照3 1 節(jié)的理論，我們定義保 范算子互為 ( 互u ) ( t ) ：一、2 u 。西孑1 0 ) x 擊。， 一1 8 中ij 1 人學(xué)碩十學(xué)位論文第王章h a m m e r s t e i n 力程的多小波力法 潮3 2w ，的基底 其中，e o ，1 ) ，則可以由w 1 的基底生成w 2 的四個基函數(shù)( 圖3 3 ) 啦以，= x 2 ( 1 - 1 2 t ) , 蠢，s 】 i 怕( 1 8 t ) ，t 0 ，o 2 5 1 ， u 2 ，l ( t ) = 怕( s t 一3 ) ，t ( o2 5 ，o 球 10 ，t ( 0 5 ，1 ， 10 ，t 0 ，o5 ， u 2 ，2 ( t ) = 、，臣( 7 1 2 t ) ，t ( 0 5 ，o 7 5 ， l 以( u 一1 2 ) ，t ( 0 7 5 ，1 1 ， 10 ，t 0 ，o 孔 咄3 ( t ) = 怕( 5 8 t ) ，t ( o 5 ，o 7 5 ， i 怕( 8 一7 ) ，t ( o 7 5 ，1 】 以上8 個函數(shù)構(gòu)成了空間x 2 的一組基以此類推，我們可以得到任意空間x 。的 一組標準正交基底 3 2 多小波g a l e r k i n 方法解h a m m e r s t e i n 方程 設(shè)( 。) 為的i 階廣義導(dǎo)數(shù)，對于1 p ，定義s o b o l e v 空間 w 侈 o ，1 】：= ：“。l 9 【o ，l 】，0 莖i 7 n ) 1 9 一 3 2 多小渡g a l e r k i n 方泣解h a m m e r s t e i n 方程巾1 1 1 人學(xué)碩十學(xué)位論文 ( a ) “2o ( t ) i ；l 、 。 ( c ) u 2 2 ( ) 其范數(shù)定義為 u i i 歸 圖3 3w 2 的基底 ? 夕 ，i ? i ，o - v ( d ) u 23 ( t ) 1 口 0 ，使得g a l e r k i n 格式( 3 1 3 ) 在o 的某個鄰域b ( “o ，5 ) 內(nèi)有唯一解u 。，并且存在一個常數(shù)c o ，使得 u 。一u o l l 。c h ”i i o ；| w 品n 1 ( 3 1 6 ) 這是投影方法的一般結(jié)論，電可參考a t k i n s o n 和p o t r a 在【a p 】中對u r y s o h n 方程研究的結(jié)果 我們可以使用牛頓迭代法求解( 3 1 5 ) 觀察( 3 1 5 ) 中的項 ( 刪ea i 4 w t 4 ) , c o i , , y ) = 1 l 1k ( t , s ) 妒j ) e u( s ( 。， 由于內(nèi)層積分與未知系數(shù)a i , j 相關(guān)，在每次迭代時，積分需要被重復(fù)計算為此， 我們引入2 1 節(jié)中提到的變型( 2 1 4 ) 相似于( 3 1 3 ) ，方程( 2 1 4 ) 的g a l e r k i n 格式 為 z n = 只。皿( 咒+ ，) ， ( 3 1 8 ) 我們需要求 z n = 眠j x ( i o ) e v 。 一2 】一 如 刀 d l 0 0 j 嘶 u 、， s ? “ j 妯 “ o 膽 3 2 多小波g a l 巨r(nóng) k i n 由注解h a m m e r s t e l n 方程中| 大學(xué)碩十學(xué)位論文 滿足非線性系統(tǒng) 而 。o ) e u n 時，使得 ( 工一r t 7 ( t l o ) ) 一1 | | l f 32 3 1 成立，則算子方程“一n t 的投影逼近方程t z 。= r t u 。在“o 的某個鄰域 b ( u o ，j ) ，6 0 內(nèi)有唯一解u 。 我們現(xiàn)在回到h a m m e r s t e i n 方程變型格式解的討論令 則得到 ?。? ( 尼z 。+ f )( 3 2 4 ) = r t z n ( 3 2 5 ) 根據(jù)2 1 節(jié)的分析，于是l o 。 o ，l 】上的全連續(xù)算子假設(shè)z o l 。 0 ，1 是方程 ( 2 1 4 ) 的一個孤立解，由引理3 7 知，7 - ( z o ) 是三?！緊 ，1 】上的緊線性算子因此有 于，)