（計算數(shù)學專業(yè)論文）生物型體競爭模型的高分辨率高精度方法.pdf

生物型體競爭模型的高分辨率高精度方法 沈俊 中國科學技術(shù)大學數(shù)學系 中國合肥2 3 0 0 2 6 h i g hr e s o l u t i o nh i g ho r d e rs c h e m e sf o ra h i e r a r c h i c a ls i z e 。s t r u c t u r e dm o d e l j u ns h e n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s u n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yo fc h i n a h e f e i2 3 0 0 2 6 p ，r c h i n a 導(dǎo)師姓名： 系別專業(yè)： 研究方向： 完成時間： 舒其望教授 數(shù)學系計算數(shù)學專業(yè) 偏微分方程數(shù)值解 2 0 0 7 年5 月 摘要 生物型體競爭模型f h i e r a r c h i c a ls i z e s t r u c t u r e dp o p u l a t i o nm o d e l ) 是生物數(shù)學中 一類非常重要的競爭模型，這一類模型通過生物以型體大小為基礎(chǔ)的相互競爭關(guān)系描 述了生物總數(shù)量隨時間演變的規(guī)律，具有重要而廣泛的應(yīng)用價值，比如森林中各種植 物對陽光的競爭模型、動物之間爭奪食物與生殖優(yōu)勢的競爭模型等等。計算此類模型 的主要難點在于方程的一些系數(shù)與邊界條件中包含生物密度函數(shù)的全局積分，以及方 程中包含的非線性的生長率、死亡率和繁殖率等函數(shù)。 本文主要對此類型體競爭模型進行了細致的研究分析，構(gòu)造發(fā)展了一系列便于計 算的數(shù)值計算格式，包括一階顯式迎風有限差分格式、二階顯式高分辨率有限差分格 式和五階顯式高精度有限差分w e n 0 ( w e i g h t e de s s e n t i a l l yn o n o s c i l l a t o r y ) 格式，并 通過理論分析與大量數(shù)值算例證明了這些格式在數(shù)值計算這類模型方程中的良好性質(zhì) 與優(yōu)越性。 對于一階迎風格式和二階高分辨率格式，我們證明了其具有總變差有界即t v b ( t o t a lv a r i a t i o nb o u n d e d ) 性質(zhì)，進而證明了這兩種數(shù)值格式的穩(wěn)定性與收斂性。同時 我們分別給出了光滑解和間斷解的數(shù)值算例驗證了這兩種數(shù)值格式的良好性質(zhì)。 針對生物型體競爭模型的具體特點，我們又構(gòu)造了相應(yīng)的高階精度的w e n o 差分 格式，并通過大量數(shù)值算例驗證了該格式的優(yōu)異性質(zhì)。對比一階迎風格式、二階高分 辨率格式和其他已有的一階與二階差分格式，我們的高階w e n o 格式展現(xiàn)了其顯著的 卓越性，在所有計算模型方程的光滑解和間斷解的數(shù)值算例中，高階w e n o 格式都可 以使用少得多的格點數(shù)來得到更為優(yōu)異精確的結(jié)果。我們又將其應(yīng)用于食蚊魚的型體 競爭模型( g a m b u s s i a 姐i n z s ) ，進一步展現(xiàn)了高階w e n o 格式的計算優(yōu)越性。 關(guān)鍵詞：生物型體競爭模型，迎風格式，高分辨率格式，穩(wěn)定性，收斂性，w e n o 格式 高階精度 k e y w o r d s ：h i e r a r c h i c a ls i z e - s t r u c t u r e dp o p u l a t i o nm o d e l ，u p w i n ds c h e m e ，h i g hr e s o l u t i o ns c h e m e ，s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e ，w e n os c h e m e ，h i g ho r d e ra c c u r a c y i n a b s t r a c t h i e r a r c h i c a ls i z e - s t r u c t u r e dp o p u l a t i o nm o d e li sa ni m p o r t a n ts t r u c t u r e dp o p u - l a t i o nm o d e li nm a t h e m a t i c a lb i o l o g y t h i sm o d e lm a i n l yd e s c r i b e st h ee v o l u t i o no f h i e r a r c h i c a l l ys i z e - s t r u c t u r e dp o p u l a t i o na tag i v e nt i m e h i e r a r c h i c a ls i z e - s t r u c t u r e d p o p u l a t i o nm o d e lh a sb e e nu s e di nm o d e l i n gm a n yb i o l o g yp r o b l e m ss u c ha sm o d e l i n g t h ec o m p e t i t i o nf o rs u n l i g h ti naf o r e s ta n dm o d e l i n gt h ec o m p e t i t i o nf o rf o o da n dt h e a d v a n t a g eo fr e p r o d u c t i o na m o n gs o m ek i n do fa n i m a l s t h em a i nt e c h n i c a le o m p l i c a - t i o ni st h ee x i s t e n c eo f o b a lt e r m si nt h ec o e m c i e n ta n db o u n d a r yc o n d i t i o nf o rt h i s m o d e lw i t hn o n l i n e a rg r o w t h ，m o r t a l i t ya n dr e p r o d u c t i o nr a t e s i nt h i sp a p e rw ed e v e l o pa n dd i s c u s st h r e ee x p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e s ，n a m e l y af i r s to r d e ru p w i n ds c h e m e ，as e c o n do r d e rh i g hr e s o l u t i o ns c h e m ea n daf i f t ho r d e r w e i g h t e de s s e n t i a l l yn o n o s c i l l a t o r y ( w e n o ) s c h e m ef o rs o l v i n gt h eh i e r a r c h i c a ls i z e - s t r u c t u r e dp o p u l a t i o nm o d e lw i t hn o n l i n e a rg r o w t h ，m o r t a l i t ya n dr e p r o d u c t i o nr a t e s f o rt h ef i r s to r d e ru p w i n ds c h e m ea n dt h es e c o n do r d e rh i g hr e s o l u t i o ns c h e m e ， w ep r o v et h e i rt v b ( t o t a lv a r i a t i o nb o u n d e d ) p r o p e r t y t h e nw ep r o v es t a b i l i t ya n d c o n v e r g e n c ef o rb o t hs c h e m e sa n dp r o v i d en u m e r i c a le x a m p l e st od e m o n s t r a t et h e i r c a p a b i l i t yi ns o l v i n gs m o o t ha n dd i s c o n t i n u o u ss o l u t i o n s s e c o n d l yw ed e v e l o pah i g ho r d e re x p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c ew e n os c h e m ef o r s o l v i n gt h em o d e l w ec a r e f u l l yd e s i g na p p r o x i m a t i o n st ot h e s eg l o b a lt e r m sa n d b o u n d a r yc o n d i t i o n st oe n s u r eh i g ho r d e ra c c u r a c y c o m p a r i n gw i t ht h ef i r s to r d e r m o n o t o n ea n ds e c o n do r d e rt o t a lv a r i a t i o nb o u n d e ds c h e m e sf o rt h es a m em o d e l ，t h e h i g ho r d e rw e n os c h e m ei sm o r ee f f i c i e n ta n dc a np r o d u c ea c c u r a t er e s u l t sw i t hf a r f e w e rg r i dp o i n t s n u m e r i c a le x a m p l e si n c l u d i n go n ei nc o m p u t a t i o n a lb i o l o g yf o rt h e e v o l u t i o no ft h ep o p u l a t i o no fg a m b u s s i aa f f i n i s ，a r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h eg o o d p e r f o r m a n c eo ft h eh i g ho r d e rw e n os c h e m e 中國科學技術(shù)大學學位論文相關(guān)聲明 本人聲明所呈交的學位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行研究工作 所取得的成果。除已特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含任 何他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。與我一同工作的同志對本研究 所做的貢獻均已在論文中作了明確的說明。 本人授權(quán)中國科學技術(shù)大學擁有學位論文的部分使用權(quán)，即：學 校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子 版，允許論文被查閱和借閱，可以將學位論文編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢 索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學位論文。 保密的學位論文在解密后也遵守此規(guī)定。 作者簽名：渺筱 紗口 年j 月一日 致謝 首先我要向我的導(dǎo)師舒其望教授致以我最真摯的感謝與敬意。 五年來在舒老師的悖停教誨下，我不僅學到了寶貴的知識，更領(lǐng)悟 到許多為人做事的道理。舒老師和藹包容的態(tài)度、廣博的知識、嚴 謹敏銳的思維和風趣幽默的講解都給予我深深的影響。本文從選題 到每一個結(jié)果都凝聚著舒老師大量的心血，在此我再一次向舒老師 致以誠摯的謝意。 特別感謝張夢萍教授對我的指導(dǎo)和幫助。五年來張夢萍教授在 生活與學習上給予我大量的支持，使我得以順利地完成學業(yè)。 我還要感謝計算數(shù)學專業(yè)的馮玉瑜教授、劉儒勛教授、陳發(fā)來 教授、韓厚德教授和鄧建松教授等各位老師。通過他們耐心細致的 授課與指導(dǎo)，我學到了許多有用的知識，為論文的完成打下了良好 的基礎(chǔ)。 另外我也要感謝科學計算與應(yīng)用幾何實驗室的兄弟姐妹們多 年來的支持與幫助。感謝他們給予了我一個和睦融洽的學習環(huán)境， 使我能夠順利的完成論文的寫作。與他們生活的點點滴滴都將成為 我今后的美好回憶。 謹以此文獻給我親愛的父母和姑姑、姑父，衷心感謝他們一直 以來對我的理解與支持。 第一章緒論 在這一章中我們主要將介紹生物型體競爭模型的歷史背景，發(fā)展與現(xiàn)狀及其在生 物數(shù)學中的重要意義，并且對生物型體競爭模型的數(shù)值方法做了簡要的回顧。 1 1 生物型體競爭模型簡介 如何模擬一個或多個生物種群個體數(shù)量在特定的環(huán)境下隨時間的演變在生物數(shù)學 中是一個非常重要的課題，其主要的研究手段是根據(jù)生物種群的生理特征和競爭關(guān)系 按照某種規(guī)律進行結(jié)構(gòu)化研究，建立在這種規(guī)律下生物種群個體數(shù)量隨著時間與環(huán)境 的變化而變化的模型。在一個生物種群中，科學家們按照生物個體的年齡、發(fā)育程度、 型體的大小或其他的生理特征將其劃分為不同的層次結(jié)構(gòu)，其中按照型體大小劃分具 有廣泛而普遍的意義，例如在模擬一個森林中各種植物對陽光的競爭時一般按照植物 型體的高低或大小來劃分其對陽光的爭奪能力，顯然較高的大樹能獲得更多的陽光， 從而獲得寶貴的競爭優(yōu)勢( 參見5 4 ，9 8 1 ) ；在食蚊魚的繁衍模型中，型體的大小對其 獲得在繁殖中的優(yōu)勢至關(guān)重要，研究發(fā)現(xiàn)繁殖能力強的食蚊魚其型體大小都集中在某 個范圍之內(nèi)，體型過小或過大的魚其繁殖能力都遠遠小于體型中等的( 參見f 5 5 ，8 1 ) 。 生物學家與數(shù)學家們在一個多世紀以來對結(jié)構(gòu)化生物種群進行了廣泛而深入的研 究( 例如5 5 ，9 7 ，6 6 ，3 8 ，3 1 ，1 2 ，1 6 ，8 6 ，9 8 ，6 5 j 等文獻) ，建立了多種多樣的生物結(jié)構(gòu)模型， 如型體競爭模型( s i z e - s t r u c t u r e dm o d e l ) f 5 5 ，6 6 ，8 1 、年齡競爭模型( a g e ，s t r u c t u r e d m o d e l ) ( 9 7 ，3 8 1 等，在構(gòu)造這些模型時，其主要假設(shè)是在每個給定的時 b 1 上，生物個體 數(shù)量的變化完全取決于當時的環(huán)境和個體的生理規(guī)律( 繁殖率、死亡率、成長速度等) ， 并且環(huán)境和生理規(guī)律對生物個體的影響隨著個體的型體、年齡或者其他生理特征變化 而隨之變化，而反過來生物的數(shù)量對環(huán)境也會造成影響，從而根據(jù)這些變化規(guī)律構(gòu)造 出生物個體數(shù)量隨時問變化的方程( 組) 。在上世紀八十年代之前，受到計算機技術(shù)和 數(shù)值模擬方法的限制，對這些模型方程的研究方法主要局限在解析求解的方法，而實 際上絕大多數(shù)這類生物模型方程都是復(fù)雜的非線性問題，用解析的方法很難得到其準 確解。進入上世紀八十年代以來，特別是從九十年代開始，隨著計算機技術(shù)和數(shù)值模擬 方法的蓬勃發(fā)展，使用數(shù)值方法模擬計算這類生物模型方程得以迅速流行起來，涌現(xiàn) 了大量關(guān)于數(shù)值計算模擬生物競爭模型方程的文章( 例如f 4 ，6 ，1 4 ，5 ，8 9 ，9 0 ，3 ，2 1 等) 。 在這篇文章中我們主要針對生物型體競爭模型方程構(gòu)造了一系列高分辨率高精度 的數(shù)值格式?？紤]如f 5 ，7 4 1 中所給出的生物形體競爭模型方程 u t + ( g ( x ，q ( x ，t ) ) ) 。+ m ( x ，q ( x ，t ) ) “= 0 ，( z ，t ) ( 0 ，l 】( 0 ，t 】 ，l 9 ( 0 ，q ( o ，) ) “( o ，t ) = e ( t ) + p ( z ，q ( x ，t ) ) u ( x ，t ) d z ，t ( 0 ，卅( 1 1 ) ，0 u ( x ，0 ) = u o ( z ) ，?！? ，l 】 6 2 0 0 7 生 第一章緒論 中國科學技術(shù)大學博士學位論文第7 頁 1 1 生物型體競爭模型簡介 其中u ( x ，t ) 是在時間t 時個體大小為x 的生物密度，包含全局積分的函數(shù)q ( z ，t ) 定 義如下 q ( 毛t ) = o l 叫延) “( f ，) 必+ ( f ) u 饈，) d f ，0 n 0 ；9 ( l ，q ) = o ；g q ( x ，0 ) o 。 ( h 2 ) m ( z ，q ) 對x 和q 均非負連續(xù)可導(dǎo)。 ( h 3 ) p 0 ，q ) 對。和q 均非負連續(xù)可導(dǎo)，并且存在常數(shù)u l o 滿足 s u p z ，q ) e f o ，q 1 0 , ) p ( z ，v ) su l 。 ( h 4 ) w ( x ) 非負連續(xù)可導(dǎo)。 ( h 5 ) c ( t ) 非負連續(xù)可導(dǎo)。 ( h 6 ) 札o b v o ，叫且“o ( z ) 0 。 ( 1 3 ) 從假設(shè)h 1 一h 6 出發(fā)，因循【4 ，6 ，2 3 ，87 】的思想， 5 1 中作者第個證明了包含非線性生 長率、繁殖率、死亡率函數(shù)的生物型體競爭模型( 1 1 ) 其弱解的存在唯一性并且給出了 一個收斂到該弱解的一階隱式差分格式。 我們指出( 5 中給出的一階隱式格式雖然可以收斂到( 1 1 ) 的弱解，但是其精度 只有一階并且是隱式格式，為了構(gòu)造更加便于計算模擬( 1 1 ) 的數(shù)值格式，我們在 2 0 0 7 生 第一章緒論 中國科學技術(shù)大學博士學位論文 第9 頁 1 2 生物型體競爭模型的數(shù)值方法回顧 f 7 4 1 中首先給出了一階顯式迎風有限差分格式并證明了格式具有t v b ( t o t a l v a r i a t i o n b o u n d e d ) 性質(zhì)，從而可以收斂到( 1 ，1 ) 的唯一弱解，然后根據(jù)f 4 0 ，5 8 1 中基于m i n m o d 函 數(shù)的m u s c l ( m o n o t o n i cu p s t r e a m - c e n t e r e ds c h e m ef o rc o n s e r v a t i o nl a w s ) 格式，我 們接著構(gòu)造了一個便于計算的高分辨率二階顯式有限差分格式，并且在驗證二階格式 具有設(shè)定的精度和高分辨蠱性質(zhì)的同時證明了其具有和一階顯式格式一樣的t v b 性 質(zhì)以及收斂性。在上述兩種格式性質(zhì)的證明當中，我們參考了 5 ，2 3 ，4 0 ，6 7 ，8 7 】中的 一些思想，但需要指出的是由于方程的全局約束條件、顯式時間離散和二階精度等因 素的存在。給我們的證明帶來了極大的難度。 盡管在7 4 1 中構(gòu)造的高分辨率二階格式比一階格式精確得多，我們還是希望能夠 得到f 11 ) 的更高精度的格式。由于模型方程的解可能含有間斷部分，我們期望新的高 階格式具有非線性穩(wěn)定性，在對解的光滑部分保持高階精度的同時在間斷部分可以得 到銳利單調(diào)的間斷圖像?；诖四康?，我們在f 7 3 】中根據(jù)計算流體力學和一般守恒律 方程中取得成功的w e n o 格式f 5 3 ，7 5 ，7 9 ，8 0 1 并針對方程( 1 ，1 ) 的具體特點構(gòu)造了五 階精度的有限差分w e n o 格式。在f 7 3 1 的數(shù)值算例中，我們首先給出了一個間斷解的 例子，通過與7 4 1 中構(gòu)造的格式對比圖像我們展示了w e n o 在處理解的間斷部分時的 良好性質(zhì)：其次我們根據(jù)1 8 1 中的方法構(gòu)造了一個具有光滑準確解的模型例子來驗證 w e n o 格式對于光滑解可以達到預(yù)期的五階精度；最后我們選取了一個具有典型生物 學意義的例子：食蚊魚的型體競爭模型( g a m b u s i aa f f i n i s ) ，通過這個例子我們不難看 到高階w e n o 格式的表現(xiàn)遠遠超過了 7 4 】中的二階高分辨率格式和 8 】中所使用的二 階格式( l a x - w e n d r o f f f 各式和b o x 格式) ，w e n 0 格式僅需使用少得多的格點數(shù)便可以 達到與這些二階格式相近或更佳的結(jié)果。在附錄i 中我們介紹了食蚊魚競爭模型的背 景資料，有興趣的讀者可以通過這個例子加深生物型體競爭模型的了解，更好地理解 生物型體競爭模型的意義。 下一節(jié)中我們將對生物型體競爭模型的主要數(shù)值方法做出一個簡要的回顧。 1 2 生物型體競爭模型的數(shù)值方法回顧 自從生物型體競爭模型提出以來，由于方程邊界條件和系數(shù)中全局約束的存在以 及非線性的生長率、繁殖率和死亡率函數(shù)等影響，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)想要對較為一般的模 型方程求出準確解是十分困難的，從而越來越多的研究學者開始使用數(shù)值模擬方法來 得到關(guān)于方程解的性態(tài)信息。 對于形如( 1 1 ) 的生物型體競爭模型，我們很自然的想法就是以計算雙曲守恒律 型方程的格式為基礎(chǔ)來構(gòu)造其數(shù)值格式。l a x - w e n d r o f f 方法是最早應(yīng)用于計算模擬生 物型體競爭模型的有限差分方法之一，例如在f o o e e 給出的一個兩步l a x - w e n d r o f f 格 式。盡管l a x - w e n d r o f f 方法具有二階精度并且便于計算，但是在計算含有間斷部分的 2 0 0 7 生 第一章緒論 中國科學技術(shù)大學博士學位論文第1 0 頁 1 2 生物型體競爭模型的數(shù)值方法回顧 模型解時會在間斷區(qū)域出現(xiàn)較大的數(shù)值振蕩( 參見第四章食蚊魚算例部分的圖4 6 ) ， 并且據(jù)我們所知迄今為止仍沒有l(wèi) a x w e n d r o f f 方法對于較一般的生物型體競爭模型方 程的收斂性結(jié)果，從而l a x - w e n d r o f f j f 法并不是計算一般非線性生物型體競爭模型的 可靠方法。 為了增強數(shù)值格式的穩(wěn)定性，一系歹g 針對生物型體競爭模型的隱式有限差分格式 相繼被構(gòu)造出來( 例如【9 中給出的二階精度b o x 格式和【5 】中的一階隱式格式) ，但是 9 1 中指出對于二階精度的b o x 格式，想要得到較為一般情形下的生物型體競爭模型的 收斂性結(jié)果仍然是極為困難的，并且b o x 格式仍然無法避免數(shù)值振蕩的出現(xiàn)( 參見第 四章食蚊魚算例部分圖4 7 ) 。在【5 l 中，作者給出了模型方程( 1 1 ) 的弱解定義積一個 一階隱式有限差分格式，并通過證明該隱式格式的收斂性的方法首次證明了包含非線 性生長率、繁殖率、死亡率函數(shù)的生物型體競爭模型( 1 1 ) 其弱解的存在唯一性。 如上一節(jié)我們指出的，5 1 中給出的一階隱式格式雖然可以收斂到( 1 1 ) 的弱解，但 是其精度只有一階并且是隱式格式，由此基于與5 1 中同樣的假設(shè)條件h 1 一h 6 ( 參見上 一節(jié)) ，我們在f 7 4 1 中構(gòu)造了可以收斂到模型方程( 1 1 ) 弱解的一階顯式有限差分格式 和二階高分辨率有限差分格式，首次得到了對于較一般非線性模型( 1 1 ) 仍能夠收斂到 其弱解的顯式有限差分格式，并且通過數(shù)值算例驗證了我們構(gòu)造的格式的精度和高分 辨率性質(zhì)。繼f 7 4 1 之后，我們在f 7 3 j 中又針對生物型體競爭模型( 1 i ) 構(gòu)造了盤階高精 度的有限差分w e n o 格式，并給出數(shù)值算例顯示了w e n o 格式在數(shù)值模擬生物型體 競爭模型的顯著優(yōu)越性。 在有限差分方法之外，常用模擬生物型體競爭模型的數(shù)值格式還有基于特征線 方法的a g n ( a g g r e g a t i o ng r i dn o d e s ) 和s g n ( s e l e c t i o ng r i dn o d e s ) 等格式( 參見 f 8 1 f 9 1 f 1 0 1 等) 。需要指出的是，盡管這兩種格式也都達到了二階精度，但足對于較一般 的非線性生物型體競爭模型目前為止僅僅證明了s g n 格式能夠收斂到c 2 連續(xù)的模型 方程解，并且其模型假設(shè)條件較h 1 一h 6 更為苛刻( 參見( 1 0 1 ) 。 第二章一階迎風有限差分格式 本章我們主要針對生物型體競爭模型構(gòu)造了一階顯式迎風差分格式，并證明了該 格式的總變差有界性( t v b ) ，從而證明了我們構(gòu)造的一階格式是穩(wěn)定且收斂的。考慮 如下的生物型體競爭模型 u t + ( 9 ( z ，q ( z ，t ) ) u ) 。+ m ( 。，q ( z ，) ) u = 0 ，( g ，t ) ( 0 ，l 】( 0 ，卅 柙，啪“( 叭) z ) + z 雕，i t ) ) ( 州) 出， t ( o ，t 】( 2 1 ) t ( z ，0 ) = u o ( z ) ， z 【o ，l l 其中“( 。，t ) 是在時間t 時刻個體大小為z 的生物密度，包含全局積分的環(huán)境因子 q ( x ，t ) 定義如下 q ( z ，t ) = 口z ?！? f ) u ( ，) 霹+ z ?！? ) u ( f ，) 武， 。 0 ；g ( l ，q ) = o ；g q ( x ，q ) so 。 ( h 2 ) m ( x ，q ) 對z 和q 均非負連續(xù)可導(dǎo)。 ( h 3 ) 盧( z ，q ) 對z 和q 均非負連續(xù)可導(dǎo)，并且存在常數(shù)u 1 o 滿足 s u p ( 。，q ) c o l 1 【o ，。) 盧扛，q ) s 【d 1 。 ( h 4 ) w ( x ) 非負連續(xù)可導(dǎo)。 ( h 5 ) c ( t ) 非負連續(xù)可導(dǎo)。 ( h 6 ) “o b v o ，l 】且u o ( z ) 20 。 下面我們針對模型方程( 2 1 ) 給出了一個一階迎風有限差分格式，并且將證明格 式的穩(wěn)定性和收斂性，從而為構(gòu)造二階高分辨率格式打下基礎(chǔ)。 首先我們定義一下本文常用的數(shù)學記號。我們假設(shè)區(qū)間0 ，l 1 被+ 1 個格點 o f ：0 j n 分割成個小區(qū)間，其中z o = 0 ，z = l 。為簡便起見我們設(shè)定這 個小區(qū)間都是相等的，區(qū)間長度記為z ，這樣就有x j = j a x 。需要指出的是這種假 設(shè)并不會對我們數(shù)值格式的分析有本質(zhì)影響，更一般的非均勻網(wǎng)格可以使用類似的分 析方法。類似地，我們記時間步長為t ，實際上時間步長t = 擴= t 1 一護在每 2 0 0 7 年中國科學技術(shù)大學博士學位論文 第1 2 頁 第二章一即風有限差分格式 一個時間步都可以根據(jù)穩(wěn)定性條件變化，但在格式的構(gòu)造當中我們僅需考慮時間上的 單步離散( 歐拉向前差分或者r u n g e - k u t t a 方法) ，由此為簡便起見我們這里統(tǒng)一使用 沒有上標n 的記號a t 。我們分別記蟛n 和叼為u ( 巧，護) 和q ( q ，t “) 的有限差分 近似，類似地，我們記 鯨= g ( x j ，四) ，露= 盧( 巧，餅) ，q n = m ( z j ，叼) ，嶼= 伽( 巧) ，儼= c ( t ”) 定義常用的有限差分算子如下 d 一( 叼) = 竺五- - 筍u 3 _ 1 ， + ( 哆) = 嗡。一哆，一( 哆) = 嵋一呼- ， 我們再定義格點函數(shù)u n 的l 1 和l 。模以及t v 半模 i l u l l 。j = l 吲，1 1 u 1 1 2 鼢怫 接下來我們給出本章將要介紹的求解( 2 1 ) 的一階顯式迎風有限差分格式，構(gòu)造如 2 + 蠼某熊+ 啊n 、n - o i 1sj ( 2 3 ) tz ，j 7 一。一 、 其左邊界條件的處理方法為 鮑n u n o = 伊+ g n u j n 。 j = z 環(huán)境影響因子q 由下面的公式得到 初值條件為 田= u 0 ( 巧) ， j = 1 ，2 ， 記a = 爵a t ，并改寫( 2 3 ) 為 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 哼+ 1 = 哆一a ( 或? 哼一彩n 一- “) 一t 孵“；= ( 1 一a 劈一t 孵) 哼+ a 班- t 乒t ，j 1 。 ( 2 6 ) 由于我們只需考慮單步離散格式，而( 2 6 ) 式右端只含有與時間儼有關(guān)的項，這樣當 不至于引起誤解的情況下我們就將上標n 省略掉。 下面我們證明數(shù)值解u “在時間護t 時的l 1 模有界性。首先我們假設(shè)叫n 0 ， 稍后我們會證明這種假設(shè)的合理性。 命題2 1 如果u 3 ”20 ，當t “t 時則有f l u “t l l 有界。 n ， “ 一 升 u 舢 = ， u 礦r z 曰 w 吼 + z n t uw ，日 = n jq 2 0 0 7 年中國科學技術(shù)大學博士學位論文第1 3 頁 第二章一階迎風有限差分格式 證明；由于q n 0 ，弼n 0 ( 假設(shè)h 2 ) 和或= 0 ( 假設(shè)h 1 ) ，我們得到 螻劌1 二嶁! ! a t = n + 一l n z = 一( 鱈嵋一班，唾。) 一喝哼z j = 1j = z 一( 鯨嵋一班，呼。) = 茹皤 = g ”+ e 繆哼z j = l c + u l | | u “1 1 1 這里g 為g ( t ) 在t 0 ，t i 上的上界，為假設(shè)h 3 中的p ( z ，q ) 上界，這樣當t 為常 數(shù)時，我們立刻得到 i l u ”i | l ( 1 + j l t ) l l u n - l i l l + c a t n 一1 s ( 1 + w z a t ) 4 i l u o i l l + ( 1 + u l t r c a t j = 0 z r u 0 + 掣她， 這里的u z 以及后面將要用到的“都是只與給定的函數(shù)g 、m 、g 、p 、最終時間r 以及初值函數(shù)u o 有關(guān)。當非常數(shù)的情況，只需做少量的調(diào)整我們的證明仍然能夠 成立。 由數(shù)值解的l 1 模有界性，我們可以容易地得到下面的環(huán)境影響因予q 的上界 i 叼i = 0 ( 假設(shè)h i ) ，我們令 p2 9 f o r a ，口i n 】9 ( 。，q ) o ( 2 8 ) 這樣即有 舊i 半 ( 2 9 ) 對于j2i 時，應(yīng)用式( 2 6 ) 、( 2 7 ) 以及函數(shù)m 的非負性我們得到 i 哼i ( 1 一a 療一1 一嵋一1 ) i i 礦。0 。o + a 9 j i i “一1 i i 。 s l i u ”一1 i i * 一a ( 療一1 一巧n - 1 “一1 i l 。 我們有 夠一乃n 一- l i = g ( q ，四- 1 ) 一g ( 巧一1 ，q j n 一1 ) 十g ( 一l ，研一1 ) 一g ( q 一1 ，q j n 一- 1 1 ) = 啦( 島，叼_ 1 ) x x + 絢( 巧“旬一1 ) ( 四一夠n 一- l i ) = 啦( 島，鐘。) z + 如( 巧一l ，留。) ( d 一1 ) q 哆a x 這里以及下面使用的符號句表示z = z 或z = q 在勺一。與白之間的某個值。由假設(shè) 有n l 和9 q ( x ，q ) s0 ，這樣我們就得到 a 9 。( 巧一l ，島) ( 一1 ) 1 q 哆一1 zs 0 對于j 2 1 ，我們立刻得到 i q i l u “一1 i f + s u p1 9 。0 ，q ) ii l u ”一1 i i o 。t d 忱 +a 一 n u+g 一 z n i u 露 +伊 1 1 n o u 盼 2 0 0 7 年中國科學技術(shù)大學博士學位論文 第1 5 頁 第二章一階迎風有限差分格式 ( 1 + “乜t ) l i “一1 。 綜合上述( 2 9 ) 式，顯然即有 i i 礦o * m a x e ”7 0 “。o o 。，：( g + u - “也) ) 0 , 4 在證明格式的總變差穩(wěn)定性之前，我們先證明下面的結(jié)果。 引理2 , 3 存在正的常數(shù)u 5 、岫及o j 7 滿足 l m 蛾a x 。i q ? 一呼l i w s a x , 1 m 蛾a x 。i g 。： 一班l(xiāng) l 0 3 5 。l m g a s x 一w , ，n 一哼l f 鴝。， ( 2 1 0 ) 其中1 蘭j n ， f 9 髯l 一2 鱈+ 劣l - 1 l ( 。2 + 。l u ，n + 1 一嵋i ) ， ( 2 1 1 ) 其中1 j n 一1 ， l m 9 a s x q ? + l 一吲w t a t ( 1 + t 礦( t 正”) ) ， 1 m 蛾a x 州j g ， ：+ 1 一夠i su 7 。( 1 + t y ( “) ) ， 【2 1 2 ) l m ：。a x ，i 丹“一丹i u 7 。( 1 + t v ( “) ) ， 其中0 j s n 。 證明：對于1 j n ，我們有 j 3 - i n l 留一啄，l = l a ”。霹+ 毗一n ”。霹一也磁l a x i = i t = ，+ 1 - 1 t 氣，l i ( a 一1 ) w j 釁i zsi l w l l l l u ”l l * a z 吣u 4 z ； l 鳋一班l(xiāng) f = g ( z j ，瞄) 一g ( z j l ，q ；) + g ( z j l ，q ；) 一9 ( z j l ，q - ) l 如( 幻，q ；) i a z + i g , ? ( x j - l 釕) il 研一呼，l s 岫z + 曲( 岫地z ) = 岫( 1 + w 3 u _ ，4 ) a x ； i 孵一哼，l = i m ( 巧，q ? ) 一m ( 一，q ? ) + m ( 一t ，鐘) 一m ( q 一- ，叼一z ) i m 。( 島，q n 一：t + m q ( x j 一，釕| | 研一q 工，i u 3 z + ( 岫z ) = w 3 ( 1 + 岫齜) z 2 0 0 7 年 中國科學技術(shù)大學博士學位論文 第1 6 頁 第二章一階迎風有限差分格式 這樣我們就證明了式( 2 1 0 ) ，其中 u 5 = m a x 3 “- ，_ o a ( 1 + u 3 “如) ) 對于式( 2 1 1 ) ，1 j n 一1 時我們有 j 蝣，一研+ 啦t i = f ( 班- 一夠) 一( 鯨一啦，) f = i + ( 奶，q ；) 石+ 9 。( x j t ，q ，n 八n 一9 ，) ) 忱( 奶+ i ，q n + 1 ) 一啦( 奶，q ? ) l z 這里，和，定義如下 + l g q ( x j ，銹an + 1 ) q 十i 巧n + l g q ( x j - 1 ，需) 嘶騭i ( 1 一a ) a z = i i i ，= i 乳( 奶+ - ，q 知- ) 一站( 毛，睇) l a z = i 如。( 西+ - ，q , l ) ( + z 一奶) + g 喲( 島，z 魏。) ( q 知，一q ；) i a x 2 岫礦+ “b “5 妒； j ，= | g q ( x j ， 苒1 ) q + l 略l 一9 q ( x j 一1 ，釕) 嘶q n i ( 1 一a ) a z = ( g q ( x j ，國務(wù)。) 一g q ( x j 釕) ) 嶼+ l 略l + g q ( x j “( nu 什ni ( 嶼“一) + 如( 巧- l ，叼) 嶼( t 毋z 一哼) f ( 1 一a ) 2 x z i g q 。( 易，國知t ) z + g q o ( x j t ，可知。) ( 0 n + 。一句) lo wj | 。o “o 。z + u s l l u “| 【* 0 叫z i l o 。護+ u 3 1 1 w l l 。l u j “+ l u j “l(fā) a x 瞎岫。2 + 嵋w 4 a x ( 2 w s a z ) + 嵋壩z 2 + 山引嘎l q i z 2 以蛐( 1 + 如) z 2 + 嵋z i u ，n + l 一叼| 這樣我們就證明了式( 2 1 1 ) ，其中 岫= m a x ( 岫( 2 + 眺4 - 2 v , a w 4 + 2 w ac _ 0 4 t a a ) ，瑤) 對于式( 2 1 2 ) ，0 j s 時我們有 t j n ， n i i q , ”一q , i = i 。掣r 1 + 毗“? ”一a 叫t u ? 一”。嵋i a x i t = l 1 = 3 + 1 # l l = j + lj n 心+ 1 一“? a z s 蛐“一u ? 阻 2 0 0 7 年中國科學技術(shù)大學博士學位論文 第1 7 頁 第= 章一階迎風有限差分格式 這樣對于i 2 1 ，均有 l “? + 1 一“? i = l a l n u n 。一啦，1 ) + m ? ? t i a 鱭l n ? 一u 。9 1 i + a l 卵一啦! i u 。n 一1 + l i m ”0 * i i u “0 。a t ( 2 1 3 ) 燦3 i t 覃一“= l i + w 4 w s a t + w 3 c l ) 4 a t ， 從而我們得到 同樣得到 q r l 一q ；i 岫( a 蛐j u ? 一玨衛(wèi)1 i + 齜+ 曲u 4 a t ) a z i = l = o j ；t v ( u ) a t + c 出咄+ w s ) l a t 1 鱈+ 1 一鱈l = 露“一劈l = i g ( x j ，夠“) 一9 乜，喏) i i g 口( x j ，島l l 研+ 1 一叼f u 3 1 q y “一鐘 啦t v ( u ”) r t + 罐齜( 岫4 - w 5 ) l a t ， i z ( z ，q n “) 一盧( 巧，鐘) l i & ( 巧，g i i q ；+ 1 一q ? 【u 。i q ? + 1 一四 胡r y ( “”) a t + 瑤岫( 岫+ w 5 ) l a t 綜上我們得證式( 2 1 2 ) ，其中 = m “( 訪，罐，她岫( 岫+ w s ) l ，以咄( 岫+ w s ) l ) 現(xiàn)在我們開始證明格式的總變差穩(wěn)定性。 命題2 4 t ”曼t 時，t v ( u “) 有界。 證明：首先我們改寫格式( 2 3 ) 如下 嵋“= n a 鯨( 哼一呼- ) 一a ( 療一啦1 ) u j - 一a t e ；畸 對于1 s j n 一1 ，我們有 = ( ( 略，一哆) 一a 蠕，( 詠- 一哼) + a 鱈( 嵋一u ，n 一，) ) 4 - ( 一a 哼( 9 知。一療) + a t 0 。( 療一劣l - ) ) + ( 一t ( ”盤l u ，n + 。一m j “哼) ) = 越+ 譬十c ； 2 0 0 7 年中國科學技術(shù)大學博士學位論文第1 8 頁 第二章一階迎風有限差分格式 這樣 現(xiàn)在我們每項分開分析，首先我們有 一1 ( ( 1 一 i = i n l = i 略。 i = i n 一1 = i 略。 = 1 a 粕) i 略- 一吲+ 增l 蟛n 一吐- i ) 一嵋l + 幻? l 砰一讓；i a 蝣i u 備一u _ n - 一哆l + a g l j - ? 一u ； 其中第一個不等式我們應(yīng)用了( 2 7 ) 式，最后一個等式我們應(yīng)用了g ( x n ，q ) = o 。我們 改寫b ? 項如下 騭= 一1 n ( g ，n + - 一療) + a 嵋二t ( 鱈一彰l t ) = a ( ( 9 t 一療) ( 哼一u ，n 一。) 一( 9 知。一2 9 ：+ 彰l - ) “；) 應(yīng)用引理2 3 ，我們得到 n 一1 i 曰l j = l c = 1 分析如下 n 1n 一1 a i 啦。一鱷i i 哼一呼。i + a i 蠕。一2 好+ 啦。| i 哼i j = l，= 1 n - 1 i v - 1 n 一1 i u s t i 叼一呼。l + w 4 w 6 a t 血+ i 哼一“二- i ) j = l j = l3 = 1 w 4 w 6 l a t + ( o j 5 + u 4 u 6 ) a t t v ( u ”) j 四i = a t l m j a + l u j + l 一騭略l + 嘴啊nl q n q n a t w 3 a x w 4 + w j n + 1 一吩n l t 這樣我們就得到了 l 叼is w s w 4 l a t + w s a t t v ( u “) j = l 令 o j 8 = m a x ( ( + 挑) u 4 l ，岫+ + u 4 岫) ， 我們有 一l t v ( u 州) w s a t + u 8 a t t v ( u “) + l 嵋一, t t ni + a 卯m j = l 皤 一 日 + 凹 舭州 + 露 糾 + 硝 0 ，應(yīng)用引理2 3 和( 21 3 ) 我們得到 j 嵋“一“；j s ；j 鰩“一鰩j “；+ ；j e ”1 一礦j + 詈i 哆“一嵋i 。+ 警i 雩”一露l z ，= 17 。 2 1 詈( u ，t y ( “”) 出+ t ) + 警t + 警( 她i 哆一呼 + 敞+ ) 磚+ 等l ( c 出t y ( 鏟) t + w 7 ) u 1 0 t v ( u ”) t + u 1 0 a t ， 其中 u ，。= m “( 鼉字c + l ，+ 警，鼉竽c - + 三，+ 害+ 警c 蛐+ ，三) 令o j l l = 蛐+ u l o ，我們有 丁y ( t 嚴+ 1 ) s ( 1 + u 1 1 a i