（光學(xué)專業(yè)論文）利用ppln晶體外腔倍頻產(chǎn)生780nm連續(xù)單頻激光光源.pdf

利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 ii 中 文 摘 要 780nm 波段的激光光源在科研以及實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的用途。如 780nm 對(duì)應(yīng)的是銣原子的 d2吸收線，可以進(jìn)行量子信息存儲(chǔ)、激光冷卻以及俘獲原子 等,在新型量子頻標(biāo)等前沿科學(xué)研究領(lǐng)域中也有著廣泛的用途。而且 780nm 波段 的激光光源可以通過光學(xué)參量過程獲得光通訊波段的 1560nm 量子糾纏態(tài)光源， 該波段的量子糾纏態(tài)光源在光纖中可以以最低損耗傳輸而盡量保持其量子特性 不受破壞，能夠進(jìn)行長(zhǎng)距離傳輸。近年來，隨著外加電場(chǎng)周期極化非線性晶體技 術(shù)的成熟發(fā)展，準(zhǔn)相位匹配技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，產(chǎn)生 780nm 激光光源的比 較簡(jiǎn)捷的方法是采用準(zhǔn)相位匹配倍頻技術(shù)。 本文的主要工作就是介紹我們實(shí)驗(yàn)小 組利用單頻半導(dǎo)體激光器種子源注入摻鉺光纖放大器獲得的 1560nm 單頻激光光 源泵浦由周期極化鈮酸鋰晶體構(gòu)成的倍頻腔， 通過外腔諧振倍頻技術(shù)， 產(chǎn)生高效、 穩(wěn)定的 780nm 激光光源的理論與實(shí)驗(yàn)研究。 本文首先在理論上分析研究了獲得最佳倍頻效率的條件， 從激光線寬的概念 出發(fā)，分析計(jì)算了泵浦激光線寬對(duì)倍頻效率的影響，可以作為實(shí)驗(yàn)過程的理論指 導(dǎo)。 泵浦源采用的是光柵反饋的半導(dǎo)體激光器種子源注入摻鉺光纖放大器獲得的 1560nm 單頻激光光源，倍頻晶體采用的是周期極化鈮酸鋰晶體，倍頻腔采用兩 鏡駐波腔。在泵浦功率為 960mw 時(shí)，獲得了最大功率 715mw 的倍頻光輸出， 倍頻效率達(dá)到 73%， 并通過鎖相放大技術(shù)以及電子伺服系統(tǒng)鎖定倍頻腔， 使得倍 頻光穩(wěn)定輸出。 采用半導(dǎo)體激光器種子源注入摻鉺光纖放大器獲得 1560nm 單頻激光光源， 這樣的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定、高效，但是存在的一個(gè)顯著缺點(diǎn)就是系統(tǒng)的額外噪 聲比較高， 在一些量子光學(xué)實(shí)驗(yàn)中， 大多期望 1560nm 激光光源以及 780nm 激光 光源是線寬比較窄，噪聲接近散粒噪聲極限的理想光源。所以在實(shí)驗(yàn)過程中，采 用共焦 f-p 腔弱反饋技術(shù)光學(xué)鎖定半導(dǎo)體激光器， 通過改善半導(dǎo)體激光器的運(yùn)轉(zhuǎn) 特性來改善整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)特性。在激光器自由運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，測(cè)量系統(tǒng)輸出 1560nm 激光的線寬為 2mhz，反饋鎖定后，線寬壓窄到 200khz，同時(shí)，1560nm 激光光 源的強(qiáng)度噪聲和位相噪聲分別降低了 13db 和 15db。 激光器自由運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)， 測(cè)量倍 頻腔輸出 780nm 激光的線寬為 2mhz，反饋鎖定激光器后，線寬壓窄到 300khz， 同時(shí)， 780nm 激光的強(qiáng)度噪聲和位相噪聲分別降低了 11db 和 13db。 實(shí)驗(yàn)中還測(cè) 中文摘要 iii 量了激光器反饋前后倍頻效率隨泵浦功率的變化關(guān)系，在同一泵浦功率下，反饋 鎖定激光器后，倍頻效率提高了約 2%左右，這是由于泵浦激光線寬被壓窄了， 與理論分析計(jì)算的結(jié)果相一致。 關(guān)鍵詞： 780nm；外腔諧振倍頻；線寬 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 iv abstract it is well known that 780nm is the transition wavelength of the d2 line of rubidium (rb) atom, the laser at this wavelength is widely used in scientific research, especially in quantum optics, such as quantum information storage, laser cooling, trapping atoms and new type of quantum frequency standard etc. on the other hand, to generate 1.5m continuous variable entanglement light at an optical communication wavelength, a high power cw single-frequency 780nm laser that can be used as a pump source of the opa is required, entangled light at 1.5m is very useful for long-distance quantum communication. recently, with the development of quasi-phase-matched (qpm) technique, a relatively convenient approach has been used to achieve a high-power single-frequency 780nm laser source by a frequency-doubling master oscillator fiber power amplifier (mopa) with using a quasi-phase-matched crystal. in this thesis, we investigate the high efficiency generation of a cw single-frequency laser source at 780nm from a cavity-enhanced second-harmonic generation (shg) of a seeded fiber amplifier. in theory we analyzed the best conditions for efficient frequency doubling. then from the concept of laser linewidth, investigated the effect of laser linewidth of pump laser on the conversion efficiency of shg. we obtain 715mw 780nm laser at the pump power of 960mw, and the maximum conversion efficiency is 73%. in some experiments of quantum optics, most expect the 1.5m and 780nm laser sources have narrow linewidth and low noises, the mopa system is unsuitable for such experiments because of its huge excess noise. by the seed diode laser optical locked to the resonant frequency of confocal fabry-perot (f-p) cavity, the intensity and phase noise of lasers were suppressed greatly and the linewidth of lasers were narrowed abstract v significantly. the linewidth of 1.5m laser was narrowed from 2mhz to 200khz, meanwhile, the intensity and phase noises were suppressed by 10db and 15db, respectively. the linewidth of the 780nm laser was narrowed from 2mhz to 300khz, meanwhile, the intensity and phase noises were suppressed by 11db and 13db, respectly. and the shg efficiency enhanced about 2% under the same pump power, this can be attributed to the narrowing of 1.5m laser linewidth and explained by our presented theoretical model. the experimental results are found to be in good agreement with the theoretical predictions. keywords: second harmonic generation; 780nm; linewidth 44 承承 諾諾 書書 本人鄭重聲明：本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是在導(dǎo)師指 導(dǎo)下獨(dú)立完成的， 學(xué)位論文的知識(shí)產(chǎn)權(quán)屬于山西大學(xué)。 如果今后以其他單位名義發(fā)表與在讀期間學(xué)位論文相 關(guān)的內(nèi)容，將承擔(dān)法律責(zé)任。除文中已經(jīng)注明引用的 文獻(xiàn)資料外，本學(xué)位論文不包含任何其他個(gè)人或集體 已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的成果。 學(xué)位論文作者(簽章)： 2009 年 5 月 日 緒論 1 第一章 緒論 第一章 緒論 1.1 引言 1.1 引言 在激光器問世之前，人們對(duì)于光學(xué)的認(rèn)識(shí)主要局限于線性光學(xué)1，大部分的 光學(xué)現(xiàn)象都可以用傳統(tǒng)的線性光學(xué)的原理來解釋。然而，隨著激光的問世，人們 對(duì)于光學(xué)的認(rèn)識(shí)也跟著發(fā)生了重要的變化， 用傳統(tǒng)的線性光學(xué)的基本觀點(diǎn)已經(jīng)不 能夠完全解釋大量的新的光學(xué)現(xiàn)象。比如當(dāng)一束激光射入到介質(zhì)以后，人們會(huì)發(fā) 現(xiàn)從介質(zhì)中出射的光束中會(huì)有一束或幾束很強(qiáng)的不同于入射光頻率的新頻率的 光束，這些新的光束可以處在與入射光頻率相隔很遠(yuǎn)的長(zhǎng)波邊或者短波邊，也可 以是在入射光頻率近旁的相干輻射；兩個(gè)光束在傳播中經(jīng)過交叉區(qū)域后，其強(qiáng)度 會(huì)互相傳遞，如果其中的一個(gè)光的強(qiáng)度增強(qiáng)，那么另一個(gè)光的強(qiáng)度就會(huì)減弱；而 且介質(zhì)的吸收系數(shù)也不再是一個(gè)常數(shù)，會(huì)隨著光束強(qiáng)度的增加等因素而變化，等 等。這些新的光學(xué)現(xiàn)象用傳統(tǒng)的線性光學(xué)的觀點(diǎn)已經(jīng)無(wú)法進(jìn)行解釋，必須應(yīng)用非 線性光學(xué)的原理2才能說明。非線性光學(xué)在激光器問世以后發(fā)展到今天，在基本 原理、新材料的研究、新效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用等方面都得到了巨大的發(fā)展。 倍頻過程，又稱為二次諧波產(chǎn)生（shg）過程，是一種最典型的非線性光學(xué) 過程。1961 年，弗蘭肯（franken）3等人將紅寶石激光束聚焦到石英晶體上， 發(fā)現(xiàn)出射的光束中不僅有紅寶石的 694.3nm 的光束，而且還存在有 347.15nm 的 紫外光，這就是最早發(fā)現(xiàn)的倍頻現(xiàn)象。由于在這個(gè)光倍頻實(shí)驗(yàn)過程中采用的是光 學(xué)性能比較差的石英晶體，倍頻效率很低（約 10-8） ，但是他們的工作開拓了一 個(gè)新的領(lǐng)域，至今為止激光倍頻仍然是最具有實(shí)際應(yīng)用的非線性光學(xué)效應(yīng)之一。 倍頻過程源自介質(zhì)對(duì)光場(chǎng)的二階非線性的響應(yīng)或極化， 激光倍頻是將激光向 更短波長(zhǎng)變換的主要方法之一。其中，外腔諧振倍頻技術(shù)是獲得高效穩(wěn)定的倍頻 激光輸出的常用的手段之一。 1966 年， a. ashkin4等人首次提出了利用外腔諧振 倍頻的技術(shù)來獲得高效、穩(wěn)定的倍頻光輸出。外腔諧振倍頻技術(shù)就是在獨(dú)立于泵 浦激光腔的一個(gè)外腔中放置倍頻晶體從而建立一個(gè)倍頻諧振腔。 外腔諧振倍頻的 優(yōu)點(diǎn)是由于諧振腔中基頻光共振可以產(chǎn)生高的內(nèi)腔循環(huán)功率密度， 從而可以最大 程度利用泵浦激光光源的能量，產(chǎn)生高效的倍頻光輸出；而且泵浦激光腔和倍頻 諧振腔是分立的兩部分，它們之間的干擾可以降到最小，分別調(diào)節(jié)這兩部分可以 使它們達(dá)到最佳的工作狀態(tài)，輸出的二次諧波功率和倍頻效率的穩(wěn)定性也比較 好。隨著激光技術(shù)的快速發(fā)展以及大量高質(zhì)量非線性晶體的出現(xiàn)，高效、穩(wěn)定、 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 2 連續(xù)可調(diào)諧的非線性光學(xué)頻率轉(zhuǎn)換技術(shù)得到了長(zhǎng)足的發(fā)展5。而且準(zhǔn)相位匹配技 術(shù)也逐漸趨于成熟， 準(zhǔn)相位匹配晶體的一個(gè)最大優(yōu)點(diǎn)是可以利用晶體的最大非線 性系數(shù)進(jìn)行頻率變換， 在晶體的整個(gè)透明區(qū)域內(nèi)相互作用的耦合波之間均可以得 到比較嚴(yán)格的相位匹配，從而拓寬了頻率變換的波長(zhǎng)范圍，所以可以應(yīng)用于不同 波長(zhǎng)范圍的頻率變換實(shí)驗(yàn)6-8。 本文的主要工作就是利用種子源注入摻鉺光纖放大器獲得的高功率 1560nm 連續(xù)單頻激光光源，泵浦由周期極化鈮酸鋰晶體構(gòu)成的倍頻腔，通過外腔諧振倍 頻技術(shù)獲得 780nm 高功率連續(xù)單頻激光光源。780nm 對(duì)應(yīng)的是銣原子吸收 d2 線，在原子物理及量子光學(xué)實(shí)驗(yàn)中有著廣泛的應(yīng)用，可以有效地進(jìn)行量子信息的 存儲(chǔ)9，激光冷卻與俘獲原子10，在新型量子頻標(biāo)11等前沿科學(xué)領(lǐng)域的研究中也 有著廣泛的應(yīng)用。2008 年，我們實(shí)驗(yàn)小組采用連續(xù)單頻的 780nm 激光光源泵浦 光學(xué)參量振蕩腔，通過光學(xué)參量振蕩過程獲得了連續(xù)變量 1.5m 的壓縮態(tài)光場(chǎng) 12， 從而可以進(jìn)一步制備 1.5m 波段的量子態(tài)糾纏源。 1.5m 是光通訊波段的低 損耗窗口， 可以進(jìn)行長(zhǎng)距離的量子信息處理。 在科研以及實(shí)際應(yīng)用中， 希望 780nm 激光光源盡可能功率高、線寬窄，從而滿足實(shí)驗(yàn)要求。采用鈦寶石激光器可以提 供這樣一個(gè) 780nm 波段的激光光源，但是鈦寶石激光器成本很高。近年來，隨 著光纖放大器在光纖通信領(lǐng)域的發(fā)展和廣泛應(yīng)用13,14， 采用種子源注入摻鉺光纖 放大器中可以獲得 1.5m 波段的光源，這種技術(shù)裝置簡(jiǎn)單、高效、穩(wěn)定，輸出的 1.5m 光源可以作為泵浦源通過倍頻過程產(chǎn)生 780nm 波段的激光光源。 2003 年， 美國(guó) thompson 等人15采用種子源注入光纖放大器獲得的高功率的 1.5m 泵浦 源，單次穿過兩塊串聯(lián)的周期極化鈮酸鋰晶體，通過外腔諧振倍頻過程在泵浦功 率為 5w 時(shí)產(chǎn)生了 900mw 的連續(xù)單頻 780nm 激光光源， 并應(yīng)用于激光冷卻實(shí)驗(yàn) 中。2006 年，法國(guó) grangier 小組16也是采用半導(dǎo)體激光器種子源注入光纖放大 器獲得的泵浦光單次穿過一塊準(zhǔn)相位匹配晶體， 通過倍頻過程產(chǎn)生了平均功率為 80mw 的 780nm 的激光光源。我們也將采用準(zhǔn)相位匹配晶體外腔倍頻技術(shù)來獲 得 780nm 波段的激光光源。 1.2 本論文的主要工作 1.2 本論文的主要工作 本論文的主要工作分為以下幾部分： 理論部分，從原理上簡(jiǎn)要介紹了二階非線性過程，特別是倍頻過程；介紹了 準(zhǔn)相位匹配晶體的工作原理以及其發(fā)展背景； 通過考慮模式匹配和阻抗匹配等因 素，理論得到倍頻器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)；從激光線寬的概念出發(fā)，理論上計(jì)算了泵浦 緒論 3 激光的線寬對(duì)倍頻效率的影響。 實(shí)驗(yàn)上， 用光柵反饋的半導(dǎo)體激光器種子源注入到摻鉺光纖放大器中獲得的 高功率連續(xù)單頻的 1560nm 激光光源作為泵浦源，采用準(zhǔn)相位匹配晶體外腔諧振 倍頻技術(shù)實(shí)現(xiàn)了 715mw（泵浦功率 960mw）780nm 連續(xù)單頻激光光源的制備； 并在實(shí)驗(yàn)過程中采用共焦 f-p 腔弱反饋技術(shù)鎖定種子源半導(dǎo)體激光器，壓窄了 1560nm 和 780nm 激光光源的線寬，降低了激光光源的強(qiáng)度噪聲和位相噪聲，同 時(shí)倍頻效率也得到了提高。 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 4 第二章 理論分析 2.1 二階非線性過程 光在介質(zhì)中的傳播過程就是光與物質(zhì)之間的相互作用過程， 這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)過 程可以看成是兩個(gè)分過程：即介質(zhì)對(duì)光的響應(yīng)過程以及介質(zhì)的輻射過程。如果介 質(zhì)對(duì)光的響應(yīng)是呈線性關(guān)系的，其光學(xué)現(xiàn)象就屬于線性光學(xué)的范疇，在線性光學(xué) 這個(gè)范疇內(nèi)，光在介質(zhì)中的傳播滿足獨(dú)立傳播原理和線性疊加原理；如果介質(zhì)對(duì) 光的響應(yīng)是呈非線性關(guān)系的，那么光在介質(zhì)內(nèi)的傳播過程中就會(huì)有新的頻率產(chǎn) 生，不同頻率的光波之間會(huì)產(chǎn)生耦合，這樣，光的獨(dú)立傳播原理和線性疊加原理 就不再成立，這種光學(xué)過程是屬于非線性光學(xué)領(lǐng)域的。 介質(zhì)在外界光波電場(chǎng) e 的作用下將引起介質(zhì)內(nèi)部的極化，其響應(yīng)由電極化 強(qiáng)度矢量 p 來表示。p 可以采用 e 的矢量?jī)缂?jí)數(shù)展開來表示為： . 3)3(2)2()1( +=eeep （2.1.1） )1( 代表介質(zhì)的電極化率，稱為線性極化率，第二項(xiàng)以上中的 )2( 、 )3( 稱 為非線性極化率。其中 )1( 項(xiàng)描述線性效應(yīng)，例如電光和光彈效應(yīng)， )3( 項(xiàng)描述 三階非線性效應(yīng)，例如四波混頻、三次諧波產(chǎn)生自相位調(diào)制（光學(xué)克爾效應(yīng) optical kerr effect） 、交叉相位調(diào)制（交叉克爾效應(yīng) cross-kerr effect） 、雙光子吸 收和喇曼過程（raman processes）等。我們只涉及與 (2)相關(guān)的光學(xué)二階非線性 過程， 從表達(dá)式中可以看出， 這個(gè)效應(yīng)和e ? 平方成正比， 所以和光場(chǎng)的強(qiáng)度有關(guān)。 光學(xué)的二次諧波產(chǎn)生（second harmonic generation）過程，即倍頻過程，是 一種典型的二階非線性光學(xué)過程。如圖 2-1 所示，是倍頻過程的原理圖17，表示 兩個(gè)低頻光子經(jīng)過非線性介質(zhì)后轉(zhuǎn)換為一個(gè)高頻光子， 兩個(gè)低頻光子來自同一光 場(chǎng)，頻率相等。通常將低頻場(chǎng)稱為基頻場(chǎng)，高頻場(chǎng)稱為二次諧波場(chǎng)。 在二階非線性過程中，能量守恒條件可以用頻率關(guān)系簡(jiǎn)單表示為： 321 =+，其中 1 、 2 表示低頻光場(chǎng)， 3 表示高頻場(chǎng)。動(dòng)量守恒條件可以 用波矢表示為： 321 kkk=+，其中cnk iii =（i=1,2,3）， i n表示不同頻率的光 3 1 ) 2 ( 1 1 1 圖 2-1 倍頻（shg）過程 理論分析 5 波在非線性介質(zhì)中的折射率。當(dāng)能量守恒和動(dòng)量守恒完全滿足時(shí)，表示系統(tǒng)滿足 相位匹配條件，當(dāng)系統(tǒng)不滿足相位匹配條件時(shí)，我們定義)( 213 kkkk+=，表 示相位失配量。 對(duì)于倍頻的情況， 相位匹配條件(共線情況)為 31 2=， 31 2kk=， 從而得到 )()( 31 nn= （2.1.2） 即在非線性介質(zhì)內(nèi)相互作用的不同頻率的兩光波折射率近似相等， 才滿足倍 頻過程的相位匹配條件。但是對(duì)于一般的光學(xué)介質(zhì)，由于色散效應(yīng)，折射率是隨 著頻率變化的， 例如， 在正常的色散區(qū)， 頻率高的光波折射率較高， 即有 13 nn， 因此，要想實(shí)現(xiàn)相位匹配條件必須采取某種措施，即相位匹配方式。 2.2 準(zhǔn)相位匹配技術(shù) 通常采用的相位匹配方式有角度相位匹配和溫度相位匹配。近年來，隨著 外加電場(chǎng)周期極化非線性晶體技術(shù)的成熟，準(zhǔn)相位（qpm）技術(shù)獲得了廣泛的 應(yīng)用18。 早在 1962 年， n.blembergen 等19就已經(jīng)提出， 利用非線性極化率的周期躍 變可以實(shí)現(xiàn)非線性光學(xué)頻率變換效率的增強(qiáng)。但是由于當(dāng)時(shí)加工制作工藝的落 后，無(wú)法制造出準(zhǔn)相位匹配所需的晶體，沒有得到實(shí)際的應(yīng)用。直到 20 世紀(jì) 90 年代，隨著制造周期性極化鐵電材料的進(jìn)步，實(shí)用的準(zhǔn)相位匹配器件以極快的速 度發(fā)展。準(zhǔn)相位匹配是在“介電體超晶格”中實(shí)現(xiàn)的。介電體超晶格指的是在介 電晶體中引入可與經(jīng)典波波長(zhǎng)相比擬的超周期結(jié)構(gòu)，也可以稱為光學(xué)超晶格、聲 學(xué)超晶格或者是微米超晶格。通常人們用超晶格的倒格矢來描述超晶格，方向垂 直于片疇。通過調(diào)節(jié)超晶格的倒格矢，即調(diào)節(jié)超晶格的周期，就可以彌補(bǔ)由于折 射率色散而引起的波矢失配，這就是準(zhǔn)相位匹配。利用周期極化晶體來實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)相 位匹配是一種有效而簡(jiǎn)便的方法。 鐵電材料是目前實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)相位匹配的比較理想材 料。所有的鐵電晶體在居里溫度以下都會(huì)表現(xiàn)出自發(fā)極化特性，而且在外加電場(chǎng) 的作用下能夠有效地實(shí)現(xiàn)鐵電疇反轉(zhuǎn)，從而改變晶體的自發(fā)極化方向。我們實(shí)驗(yàn) 室使用最多的準(zhǔn)相位匹配的周期極化晶體有周期極化磷酸氧鈦鉀(ppktp) 20-22、 周期極化鈮酸鋰（ppln) 23-24等。 根據(jù)光波與非線性介質(zhì)相互作用的經(jīng)典電磁場(chǎng)理論，在非線性過程中，對(duì) 與三波耦合的情況，設(shè)參與相互作用的三波頻率分別為 1 、 2 、 3 ，頻率 1 、 2 和 3 必須滿足能量守恒定律，即 213 +=。由于材料的色散，相速度是頻 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 6 率的函數(shù)，從而導(dǎo)致了隨頻率變化的相位關(guān)系，單位長(zhǎng)度的相位變化用相位失配 量 123 kkkk=來表示。 eff d為有效非線性系數(shù)，它與介質(zhì)的性質(zhì)和匹配方式 有關(guān)。 圖 2-2 是準(zhǔn)相位匹配原理示意圖，箭頭方向表示的是鐵電疇的自發(fā)極化方 向，相鄰兩片電疇的自發(fā)極化矢量相反，即第二片鐵電疇物性張量相對(duì)于第一片 鐵電疇物性張量而言，坐標(biāo)系統(tǒng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)了 180，與奇數(shù)階張量相聯(lián)系的電 疇的物理性質(zhì)， 如非線性光學(xué)系數(shù)、 電光系數(shù)、 壓電系數(shù)等都是同值， 符號(hào)由 “+” 變?yōu)椤?” ，所以此類單晶體的物理性質(zhì)不再是常數(shù)，而是空間坐標(biāo)的周期函數(shù)。 如果周期可以與經(jīng)典波波長(zhǎng)比擬，就稱為是光學(xué)超晶格。利用周期極化晶體實(shí)現(xiàn) 準(zhǔn)相位匹配，由于對(duì)晶體的自發(fā)極化方向進(jìn)行了周期性調(diào)制，使得在有效非線性 系數(shù)中引入了一個(gè)周期性的空間調(diào)制函數(shù)。 新的有效非線性系數(shù)可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示為（z 軸為通光方向） zik m meffeff m egdd = = （2.2.1） 其中, 5 , 3 , 1=m為準(zhǔn)相位匹配階數(shù)， m k是極化周期引入的倒格矢，滿足 = m km 2 （2.2.2） ba +=，為極化周期，a、b分別為正、負(fù)疇的厚度， )(2ba +稱為初 基倒格矢。 只考慮某一階準(zhǔn)相位匹配， eff d則可簡(jiǎn)化為 zik meffeff m egdd = （2.2.3） 由周期方波信號(hào)的傅立葉變換可知：)sin( 2 dm m gm =，其中d為反轉(zhuǎn)疇 的占空比系數(shù)，一般情況下5 . 0=d，所以 ef d+ z (zdeff eff d 圖2-2 準(zhǔn)相位匹配原理示意圖 理論分析 7 )exp( 2 zik m dd meffeff = ， （2.2.4） 將)(zdeff的表達(dá)式帶入到耦合波方程中得到qpm的相位失配量為： m kkkkk= 123 ， （2.2.5） 其波長(zhǎng)表達(dá)式為 )(2 1 1 2 2 3 3 = mnnn k ， （2.2.6） 相位失配量的頻率表達(dá)式為 )( 1 112233 =mnnn c k， （2.2.7） 因此，對(duì)準(zhǔn)相位匹配來說，欲使相位失配量0=k，只需使得極化周期滿足： 123 2 kkk m = （m為奇數(shù)） 。 而相干長(zhǎng)度的表達(dá)式為： 123 kkk lc = ， （2.2.8） 所以極化周期： c ml2=m(為奇數(shù))， （2.2.9） 簡(jiǎn)單說來，利用周期極化晶體實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)相位匹配，就是以 c l 2的奇數(shù)倍為周期， 周期性地改變 linbo3等鐵電材料的自發(fā)極化方向來補(bǔ)償相位失配， 在整個(gè)周期 極化長(zhǎng)度內(nèi)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換效率的持續(xù)增長(zhǎng)。 與雙折射相位匹配技術(shù)相比，準(zhǔn)相位匹配沒有雙折射相位匹配中關(guān)于波矢 方向和偏振方向的限制，通過選擇適當(dāng)?shù)臉O化周期，就可以實(shí)現(xiàn)相位匹配。具體 說來有如下優(yōu)點(diǎn)25：可以利用晶體較大的非線性系數(shù)；原理上可以利用晶體的 全通光范圍；可避免走離效應(yīng)的產(chǎn)生；非線性轉(zhuǎn)換效率高；允許設(shè)計(jì)成非臨界相 位匹配；調(diào)節(jié)方式簡(jiǎn)單多樣，如溫度調(diào)諧、角度調(diào)諧、泵浦波長(zhǎng)調(diào)諧等。 我們實(shí)驗(yàn)采用的倍頻晶體是周期極化鈮酸鋰晶體(ppln)，周期極化鈮酸鋰晶 體(ppln)較ktp晶體的優(yōu)點(diǎn)是有效非線性系數(shù)大，非線性相互作用效率高，晶 體尺寸也可以做到很大。但是ppln晶體的缺點(diǎn)是它的光損傷閾值低、光折變效 應(yīng)明顯，而且極化時(shí)需要的矯頑場(chǎng)電壓很高，大約為20kv/mm，所以目前晶體 的厚度做不厚，在1mm左右。ktp晶體有較高的光損傷閾值，光折變效應(yīng)不敏 感，在常溫下就可以工作，而且ktp晶體極化時(shí)需要的矯頑場(chǎng)電壓低，僅為 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 8 linbo3晶體的十分之一， 所以很容易實(shí)現(xiàn)幾個(gè)毫米厚的周期極化反轉(zhuǎn)。 但是ktp 晶體的有效非線性系數(shù)要低一些，非線性相互作用效率會(huì)比ppln晶體低一些。 我們使用周期極化鈮酸鋰晶體，只要把它的工作點(diǎn)溫度控制在100以上，就可 以避免光折變效應(yīng)。 ninbo3晶體屬于負(fù)單軸晶體，它的空間群是r3c( 6 3v c)，透光范圍為 400-5000nm。晶體的光折射率隨著光波波長(zhǎng)和晶體溫度的變化關(guān)系可以用下面 的經(jīng)驗(yàn)公式表示26： 2 1 22 ii 2 iiii 222 ii c +d t n ( ,t)=(a +bt +-g) - ( e + ft ) (2.2.10) i=o,e，表示的是尋常光和非常光兩種情況；t是晶體工作溫度（單位為k）； 是光波波長(zhǎng)（單位為nm）。上述關(guān)系在400-5000nm的波長(zhǎng)范圍，0-400的溫 度范圍內(nèi)均成立。鈮酸鋰晶體折射率參數(shù)如下表2.1所示，根據(jù)公式（2.2.10）可 以計(jì)算在不同波長(zhǎng)不同溫度下晶體的折射率。實(shí)驗(yàn)中要利用ppln晶體最大非線 性系數(shù)d33，采用的基頻光偏振方向?yàn)閑偏振光，所以用公式（2.2.10）計(jì)算晶體 折射率時(shí)用到的參數(shù)是上表中非常光折射率的計(jì)算參數(shù)。 表2.1 鈮酸鋰晶體的折射率參數(shù) i a b c d e f g o 4.9130 0 1.173105 1.6510-22.121022.7010-5 -2.7810-8 e 4.5567 2.60510-7 0.97105 2.7010-22.011025.4010-5 -2.2410-8 周期極化鈮酸鋰晶體采用的匹配方式是準(zhǔn)相位匹配方式，不考慮角度問題， 通過控制晶體的工作溫度就可以達(dá)到最佳的相位匹配，獲得高效倍頻光的輸出。 我們從理論上計(jì)算了晶體在某個(gè)極化周期下所對(duì)應(yīng)的中心溫度以及帶寬，如圖 2.3所示為歸一化的倍頻效率隨著晶體溫度變化的理論曲線。當(dāng)處于中心溫度時(shí)， 位相失配量為零，倍頻效率最高；當(dāng)溫度向中心溫度兩邊偏移時(shí)，失配量逐漸增 大，倍頻效率迅速下降。我們計(jì)算中取晶體極化周期為18.6m，基頻光波長(zhǎng)為 1560nm，晶體長(zhǎng)度為20mm，理論計(jì)算出倍頻過程中非線性晶體中心溫度為 122，當(dāng)倍頻效率下降大值的一半時(shí)，此時(shí)的溫度偏離中心溫度的值定義為晶 體溫度的帶寬。從圖2-3我們可以看出，溫度帶寬為4左右。 理論分析 9 2.3 倍頻腔的設(shè)計(jì) 諧振倍頻腔按腔內(nèi)共振的模式的數(shù)量可以分為單共振、雙共振和三共振幾 種。i類匹配時(shí)，因?yàn)閮墒l光實(shí)際上是完全相同不可區(qū)分的，所以只有單共 振（基頻光共振）和雙共振（基頻光和倍頻光都共振）兩種。ii類匹配時(shí)，兩束 基頻光偏振相互垂直， 在雙折射倍頻晶體中經(jīng)歷的折射率不同， 相當(dāng)于光程不同， 是兩個(gè)模式，而兩個(gè)基頻模式必須同時(shí)共振，所以只有雙共振和三共振兩種。 不同的模式頻率、偏振方向可能不同，經(jīng)歷的折射率就可能不同，它們?cè)谇?內(nèi)的光程就不一定是波長(zhǎng)的整數(shù)倍，所以不一定同時(shí)共振。實(shí)踐中往往通過調(diào)節(jié) 非線性晶體溫度、插入光楔或充氣體的方法來微調(diào)光程。 常見的外腔倍頻腔型結(jié)構(gòu)有環(huán)形腔和駐波腔。環(huán)形腔由三個(gè)以上腔鏡組成， 結(jié)構(gòu)靈活，便于調(diào)節(jié)和探測(cè)，但是環(huán)形腔相對(duì)要復(fù)雜一些，穩(wěn)定性也較差一些。 駐波腔由兩個(gè)腔鏡組成，腔鏡的的數(shù)量相對(duì)環(huán)形腔少，損耗小，腔鏡鍍膜要求零 度入射的反射率容易實(shí)現(xiàn)，穩(wěn)定性好，容易調(diào)節(jié)，但是駐波腔靈活性差，其他光 場(chǎng)很難介入。 為了盡量提高倍頻效率并保證穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)，我們考慮單共振的兩鏡駐波腔來作 為倍頻腔。如圖所示。 圖2-3 歸一化倍頻效率隨溫度變化的理論曲線 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 10 m1為輸入耦合鏡，對(duì)基頻光反射率為r1，透射率為t1，對(duì)倍頻光高反。m2 為輸出耦合鏡，對(duì)基頻光高反，對(duì)倍頻光高透。ppln晶體長(zhǎng)為l，倍頻腔腔長(zhǎng) 為l。p1為基頻光泵浦功率，pr為由m1反射的基頻光功率，pc為倍頻腔內(nèi)基頻 光的循環(huán)功率，在腔內(nèi)沿晶體正向傳播和反向傳播的光均滿足相位匹配條件，p2 為由m2輸出的倍頻光功率，由于向右傳播的基頻光與晶體相互作用產(chǎn)生向右傳 播的倍頻光經(jīng)m2輸出，向左傳播的基頻光與晶體相互作用產(chǎn)生的倍頻光經(jīng)m1 反射后也經(jīng)m2輸出，所以p2包括這兩部分的和。 設(shè)計(jì)倍頻腔時(shí)主要考慮兩個(gè)因素：如何實(shí)現(xiàn)模式匹配和阻抗匹配，從而得到 最佳倍頻效率。 2.3.1、非線性轉(zhuǎn)換系數(shù) 模式匹配就是通過設(shè)計(jì)腔長(zhǎng)和腰斑等得到最佳聚焦因子， 使得光束腰斑最佳 聚焦與晶體中心，并和腔模很好地匹配，從而提高有效相互作用轉(zhuǎn)換效率，并獲 得高的倍頻光功率。 當(dāng)一束基模高斯光束穿過倍頻晶體時(shí)，如圖2-5所示，非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)由 下式給出4,27： （2.3.1） cnn hldeff sh 021 1 3 2 2 16 = p2 pc m2 pr p1 m1 ppln 圖2-4 諧振倍頻腔 理論分析 11 其中，c是真空中的光速， 0 是真空中的介電常數(shù)， 1 n是基頻光在晶體介質(zhì) 中的折射率， 2 n是倍頻光在晶體介質(zhì)中的折射率， 1 是基頻光波長(zhǎng)，l是晶體長(zhǎng) 度， eff d是非線性倍頻晶體的有效非線性系數(shù)，h是boyd-kleinman(b-k)聚焦因 子，表示晶體中高斯光束的形狀對(duì)非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)的影響。 最佳聚焦因子27 22 (1) (1) 1exp()()() ( , , , , ) 4(1)(1) i hd d ii + + = + （2.3.2） 其中， 2/kb=， b是共焦參數(shù)， 1 2 0 kb=（ 0 是光束腰斑半徑） ， 21 2kkk=是波矢失配 量， 在非臨界相位匹配時(shí)等于零， 1 k和 2 k分別表示基頻光和倍頻光的傳播常數(shù)， 111 /2nk =；2/ 1 bk=，是雙折射角，2/b=，2 21 =， 1 、 2 分別表示晶體對(duì)基頻光和倍頻光的吸收系數(shù)。bl /=，l / )f21 ( =，f是 光束腰斑到晶體一邊的距離，具體哪邊關(guān)系不大，因?yàn)樽詈髤⒓佑?jì)算的是光束腰 斑偏離晶體中心的歸一化距離。將參數(shù)帶入上面的式子（2.3.1） 、 （2.3.2） ，容 易求得：聚焦因子6 . 0=h，非線性倍頻系數(shù)00112. 0= sh 。實(shí)驗(yàn)上我們通過讓 激光光束單次穿過非線性倍頻晶體測(cè)量了晶體的非線性倍頻系數(shù)，為 00175. 0= sh ， 和理論計(jì)算值有差別， 存在差別的原因可能是由于我們?cè)诶碚撚?jì) 算中給出的晶體的非線性系數(shù)是在1064 nm波段的有效非線性系數(shù)，和晶體在 1560nm波段的值有一定的差別。我們可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量到的非線性倍頻系數(shù)反 推出晶體在1560nm波段所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)確的最大非線性系數(shù)， 然后再進(jìn)行理論計(jì)算， 盡量減少理論與實(shí)驗(yàn)的誤差，獲得接近具體實(shí)驗(yàn)的理論指導(dǎo)。 圖2-5 晶體中的高斯光束 l f gussian beam crystal 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 12 表2.2 倍頻腔部分參數(shù)表 參數(shù) 符號(hào) 數(shù)值 基頻光波長(zhǎng) 1 1560nm 倍頻光波長(zhǎng) 2 780nm 晶體折射率(基頻) n1 2.1314 晶體折射率(倍頻) n2 2.14097 晶體長(zhǎng)度 l 20mm 晶體吸收系數(shù)(基頻) 1 0.1%cm-1 晶體吸收系數(shù)(倍頻) 2 0.1%cm-1 晶體雙折射角 0 有效非線性系數(shù) deff 9.0310-8esu. 光束腰斑到晶體一邊的距離 f 10mm 光束腰斑 0 58m 倍頻腔長(zhǎng) l 57mm 2.3.2、倍頻的最佳轉(zhuǎn)換條件及倍頻效率 在得到較為準(zhǔn)確的非線性轉(zhuǎn)換系數(shù)后，我們?cè)诶碚撋显O(shè)計(jì)如何達(dá)到倍頻過 程中阻抗匹配。所謂阻抗匹配就是選擇一個(gè)合適的輸入耦合鏡的透射率，使得反 射光場(chǎng)強(qiáng)度為零， 泵浦基頻光全部耦合進(jìn)入倍頻腔， 如圖2-3所示， 即使得0= r p。 提高基頻光在腔內(nèi)的循環(huán)功率，從而獲得高功率的倍頻光輸出。 倍頻腔輸入耦合鏡的最佳透射率與非線性倍頻系數(shù)、最大泵浦功率均有關(guān) 系。 我們定義 m r為腔的反射率，表示內(nèi)腔循環(huán)功率 c p在腔內(nèi)循環(huán)一周所剩下的 比率， 2 2 2 rttr shm = （2.3.3） 其中 ， =1t （2.3.4） 為所有的內(nèi)腔損耗，包括晶體的吸收、散射、晶體端面鍍減反膜的剩余反 射率、鏡面散射及腔鏡鍍反膜達(dá)不到完全反射等引起的對(duì)基頻光的損耗，它可以 通過測(cè)量倍頻腔的精細(xì)度來推算。 shsh t=1 ， （2.3.5） sh 為基頻光轉(zhuǎn)換為倍頻光的效率， cshsh p=， （2.3.6） 理論分析 13 2 r為倍頻腔輸出耦合鏡m2對(duì)倍頻光的反射率。 只有當(dāng)泵浦基頻光的模式與倍頻腔的模式達(dá)到最佳匹配時(shí)，才能提高從基 頻光到倍頻光的轉(zhuǎn)換效率。在倍頻腔實(shí)現(xiàn)“模式匹配”的條件下，由倍頻腔反射 的基頻光功率以及倍頻腔內(nèi)循環(huán)功率可以表示為28： 2 sin4)1 ( 2 sin4)( 2 1 2 1 2 1 2 1 1 mm mm r rrrr rrrr p p + + = （2.3.7） 2 sin4)1 ( 2 1 2 1 1 1 mm c rrrr t p p + = （2.3.8） 其中，是基頻光在倍頻腔中往返一周后的相移。當(dāng)倍頻腔中基頻光共振 時(shí)，0 2 sin2= ，反射的基頻光功率為 2 1 2 1 1 )1 ( )( m m r rr rr p p = （2.3.9） 通過選擇適當(dāng)?shù)妮斎腭詈乡R透射率，使得 m rr = 1 （2.3.10） 由上面（2.3.9）式可得到 0= r p （2.3.11） 這樣，基頻光全部耦合進(jìn)倍頻腔中，即實(shí)現(xiàn)了倍頻過程中的“阻抗匹配” ， 此時(shí)輸入耦合鏡的最佳透射率可以表示為： mopt rtt=1 1 （2.3.12） 倍頻腔中基頻光共振時(shí)，腔內(nèi)基頻光的循環(huán)功率為： 2 1 1 1 )1 ( m c rr t p p = （2.3.13） 由上式 （2.3.12） 、 （2.3.13）可知，輸入耦合鏡最佳透射率不僅與、 sh 有 關(guān)，而且與泵浦功率 1 p有關(guān)，所以，當(dāng)倍頻腔結(jié)構(gòu)確定后， “阻抗匹配”條件依 賴于泵浦功率。 腔內(nèi)二次諧波功率最大為29： 2 2 4 cshin pp= （2.3.14） 倍頻效率： 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 14 1 2 p p = （2.3.15） 結(jié)合實(shí)驗(yàn)上已知參數(shù)可以求得輸入耦合鏡的最佳透射率以及相對(duì)應(yīng)的最佳 倍頻效率，我們求得在在最大基頻光泵浦功率為1w時(shí)，topt=9.35%。實(shí)驗(yàn)過程 中我們選用與之接近的t=13%的輸入耦合鏡。 圖2-6 不同內(nèi)腔損耗下，(a)諧波功率隨泵浦功率的變化曲線， （b）倍頻效率隨泵浦功率的變化曲線 =0.1% =0.3% =0.2% =0.4% （b） =0.2% =0.3% =0.1% =0.4% (a) 理論分析 15 不同的內(nèi)腔損耗對(duì)倍頻效率和輸出諧波功率的影響較大， 圖2-6是在t=13% 時(shí)，不同的內(nèi)腔損耗條件下，倍頻效率、諧波功率和泵浦功率的關(guān)系曲線?？梢?看出，在1w泵浦時(shí)，內(nèi)腔損耗如果增加0.1%，倍頻效率就會(huì)減小大約3-5%。 實(shí)驗(yàn)過程中在腔形已經(jīng)確定的情況下，可以通過選用優(yōu)質(zhì)的光學(xué)元件、保持光學(xué) 表面的清潔等措施來降低內(nèi)腔損耗，從而提高倍頻效率。 2.4 激光線寬對(duì)倍頻效率的影響 前面2.3節(jié)的理論分析是在沒有考慮基頻光的線寬得到的二次諧波功率以及 倍頻效率隨基頻光功率的變化關(guān)系。事實(shí)上，由于振幅漂移和位相漂移，激光場(chǎng) 總是有一定的起伏， 從而導(dǎo)致激光不是一個(gè)理想的單色波， 而是具有一定的線寬。 激光線寬對(duì)激光與非線性介質(zhì)的相互作用有一定的影響30。這一節(jié)我們首先從 激光線寬的概念出發(fā)，理論上分析計(jì)算泵浦激光線寬與二次諧波效率的關(guān)系。 2.4.1 激光線寬 光場(chǎng)的時(shí)間相關(guān)函數(shù) )()()( )()( += + tetetg （2.4.1） 它的傅立葉變換是光場(chǎng)的功率譜 = 0 )(re 1 )( i egds （2.4.2） 從功率譜曲線上可以反映激光的線寬。 解時(shí)間相關(guān)函數(shù)是一個(gè)比較復(fù)雜的過程。這里考慮一種相對(duì)簡(jiǎn)單的處理方 法，利用?？?普朗克方程給出相位擴(kuò)散系數(shù)的幾率分布，從而可以得到激光線 寬的表達(dá)式。為了說明光場(chǎng)的位相漂移，可以用如圖2-7所示的一個(gè)復(fù)矢量來描 述電磁場(chǎng)31，點(diǎn)表示由于自發(fā)輻射過程引起的相位的微小變化，這種變化完全 是隨機(jī)的，是逐漸擴(kuò)散分布在2的范圍內(nèi)的。假定這種小的相位的改變是由于 瞬時(shí)自發(fā)輻射，自發(fā)輻射的時(shí)間要遠(yuǎn)小于光場(chǎng)的演化時(shí)間。 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 16 考慮激光在遠(yuǎn)高于閾值以上運(yùn)轉(zhuǎn)的情況，強(qiáng)度漂移可以忽略，光場(chǎng)可以看成 是穩(wěn)態(tài)場(chǎng)，光場(chǎng)的表達(dá)式為 )(exp)( 0 )( titinte= + （2.4.3） n是頻率為 0 的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)的光子數(shù)。自發(fā)輻射速率為 a，由于隨機(jī)的自發(fā)輻 射過程，電場(chǎng)的相位產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的漂移。因?yàn)閳?chǎng)的強(qiáng)度漂移可以忽略，相位漂 移是沿角方向的一維隨機(jī)漂移。在經(jīng)過時(shí)間t后，走離距離為?的幾率為 )( 21 2 t)( 1 )( t ep a a ? ? = (2.4.4) 根據(jù)角位移，我們得到 tn e n p a a )( 21 2 t )( = (2.4.5) 其中，nl =（如圖2-7所示） ，)(p滿足相位漂移方程 2 2 = p d t p (2.4.6) 這里， n d 4 a = (2.4.7) 我們?cè)賮砜磮?chǎng)的二階相關(guān)函數(shù)，對(duì)于穩(wěn)態(tài)場(chǎng)，只需要確定)()0( )()( + ee， n 圖2-7 相位的隨機(jī)漂移 l 理論分析 17 從圖可以看出 ii eeneetete 0 )() 0 ()()( )()()()(+ =+ (2.4.8) 根據(jù)式(2.5.5) ，有 = di edep )(cos (2.4.9) 因此，有 di entete + =+ 0 )()( )()( (2.4.10) 場(chǎng)的功率譜 22 0 0 )()( )( )()(re 1 )( 0 d d n detetes i + =+= + (2.4.11) 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的洛倫茲線型，如圖2-8所示。 圖2-8 歸一化頻譜曲線 譜線的半高全寬 n2 2 a =d即激光的線寬。 2.4.2 泵浦激光線寬對(duì)倍頻效率的影響 我們還是考慮圖2.3所示的單端輸出的駐波腔，腔內(nèi)只有基頻光是共振增強(qiáng) 的。假設(shè)對(duì)于基頻光，腔的精細(xì)度較高，可以認(rèn)為腔內(nèi)循環(huán)功率 c p幾乎保持恒 定值，這就必須考慮由于倍頻過程對(duì)共振基頻光的消耗，當(dāng)然這種二次諧波轉(zhuǎn)換 利用 ppln 晶體外腔倍頻產(chǎn)生 780nm 連續(xù)單頻激光光源 18 損耗比較小。 1 t定義為輸入耦合鏡對(duì)基頻光的透射系數(shù)，是基頻光循環(huán)一周時(shí) 的內(nèi)腔損耗（包括晶體的吸收、散射以及晶體端面鍍減反膜的剩余反射率等引起 的損耗） ， c p是內(nèi)腔循環(huán)功率， sh 是非線性轉(zhuǎn)換因子。單次穿過非線性晶體時(shí) 的非線性損耗是 cshp ,由于光線往返一周兩次穿過非線性晶體， 最大非線性損耗 為4 cshp 。 由于環(huán)境的影響，激光場(chǎng)有一個(gè)相位漂移，可以用下面的式子來描述泵浦場(chǎng) )(exp)( 00 titiete pp = （2.4.12） 其中， 0p e和 0 分別是泵浦場(chǎng)的場(chǎng)振幅和角頻率。假定隨機(jī)相位)(t的運(yùn)動(dòng) 是服從高斯統(tǒng)計(jì)分布的布朗運(yùn)動(dòng)，可以用維納隨機(jī)過程描述。 0)(=t |)|()()(ttt