（理論物理專業(yè)論文）分子束分布函數(shù)的研究.pdf

獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學位論文是本人在導師指導卜- 進行的研究工作及取得的 研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得密2 j 婢或其他教育機構(gòu) 的學位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均 已在論文中作了明確的說明并表示謝意。 學位論文作者簽名：；二霍主 簽字日期：巧年歲月，；日 學位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學位論文作者完全了解巒 甚吠方有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定， 有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復印件和磁盤，允許論文被查閱和 借閱。本人授權(quán)蔥毅欠和以將學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行 檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編學位論文。 ( 保密的學位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學位論文作者簽名 ；2 崔生 導師簽名 咄嘏 簽字日期： 2 磚年5 月，；只簽字翻期：廠年一月j 中同 學位論文作者畢業(yè)去向：欺印乞孑 乞物詛與忘乞2 衽亨f 屯 工作單位：碹友眵琵善 屯 電話：。竹一，3 。j7 7 通訊地址：喧良啐薔? 復扮訖f 阮 郵編：2 4 占。，7 摘受 摘要 分子束是研究分子的結(jié)構(gòu)以及分子同其它物質(zhì)相互作用的重要手段。固體、 液體和稠密氣體中的分子間距較小，有復雜的相互作用，很難研究單個孤立分 子的性質(zhì)。稀薄氣體分子間距較大，其相互作用隨壓強的減小變?nèi)?，但因分?無規(guī)運動，使得對分子本身的探測和研究較困難。分子束中，分子作準直得很 好的定向運動，它們之間的相互作用可予忽略，利用它來研究分子的性質(zhì)及其 相互作用較為理想。所以分子束技術(shù)在原子物理、分子物理以及氣體激光動力 學、等離子體物理、化學反應(yīng)動力學，甚至在空間物理、天體物理、生物學中 都有重要應(yīng)用。它也是研究固體表面結(jié)構(gòu)的重要手段。 由于瀉流技術(shù)特別是分子束技術(shù)的廣泛應(yīng)用，研究分子束的分布顯得尤為 重要。氣體分子的速度分布范圍遍及所有可能的區(qū)間，分子束中的分子由于整 體運行速度較大，其中的速度分布與麥克斯韋速度分布相比較明顯不同。與速 度有關(guān)的能量、動量、頻率和波長等各種物理量的分布規(guī)律的討論是本文的重 點，也是本文區(qū)別于其它文獻的特點。 本文主要從以下幾方面闡述： 第一章介紹了分子束的相關(guān)知識以及研究分子束的必要性。 第二章從理想氣體分予的麥克斯韋速度分布出發(fā)導出麥克斯韋速率分布。 第三章從理想氣體分子的麥克斯韋速率分布給出分子束的速率分布函數(shù)的 具體形式。 第四章從分子束的速率分布函數(shù)出發(fā)推導了與速度有關(guān)的能量、動量、頻 率和波長等物理量的分布函數(shù)。 第五章將各種分布函數(shù)加以比較，得出相關(guān)結(jié)論。 關(guān)鍵詞：分子束，能量，動量，頻率，波長 分f 束分布函數(shù)的研究 a b s t r a c t t h er e s e a 咒ho fm o l e c u i eb e 矗mi sa ni m p o r t a n tm e a n s ，t h r o u g hw h i c hw e c a ns t u d yt h es t r u c t u r eo fm o l e c u ka n dt h ei n t e r a c t i o na m o n gm o l e c u l ea n d o t h e rm a t t e 璐1 t sh a r dt oa n a l y s et h en 疊t n no fs i n g l em o l e c u l ef o r t h es p a c e a m o n gs o l i d ，l i q u i d i n t e n s eg a si ss m a ha sw e na st h e i rc o m p i i c a t e di n t e r a c t i o n t h eb i g g e rt h e3 p a c ea m o n gt h i ng a sm o l e c u i e sa 陽，t h ei e s st h ei n t e r a c t i o ni s ， a c c o r d i n gt ot h en d u c eo fp r e s s u r e ，b u tt h em o v e m e n t sa r ei r r e g u i a r t h e r e f o 托， i ti sd 潲c u nt od e t e c ta n ds t l i d yt h em o l e c u i ei t s e l f h o w e v e r m o l e c u l em o v e s d i r e c t l y 玨m o l 佻u l eb e 8 ma n dt h e i ri n t e r a c t 沁nc a nb ei g n o r e d ，s oi t sg o o dt o s t u d yt h en a t u 糟o fm o l e c u i ea n dt h e i ri n t e m c t i o n t h e r e f o r e ，t h e 托c h n o l o 科o f m o l e c u i eb e 8 ml i 疊si m p o r l a n l 凸p p n 矗n c et om o j e c h l ep h y s i c s 、g 日s1 矗s e rd y n 矗m i 雌、 p l a s m ap h y s i c s 、c h e m i s t r yr e a c t i o nd y n a m i c s ，o f c o u r s e ，t os p a c ep h y s i c s 、9 1 0 b e p h y s i e sa n db i o i o g y m e 跏w h i l e ，i ti sa ni m p o r t 矗n tm e a n st os t l i d yt h es t r u c t u 腿 o fs o l i ds u r f a c e b e i n ga p p l i e dw i d e l y ，i t sv e l 了s i g n i 矗c a 玨tt os t u d yt h ed i s t r i b u t i o no f m o l e c u l eb e a m r i bg a sm o l e c u l e ，i t sv e i o c i t y 聃n g e si na up o s s i b l es p a c e ，b u tt h e m o l e c u l e si nm o l e c u l eb e a ma 鄺d i f f e rf o rm e y 陽nq u i c k 耽t h a ti s ，i ti s 矗p p a r e n t l yd i 骶啪t 舶mm a 礬r e i ls p e e dd i s t r i b h t i o n s u c hd i s t “b u t i o nn l l 鸛 c o r n l 8 t i v e l yw i t hv e l o c i 姆a se n e r 酗m o m e n t u m ，f r e q u 蛐c ya n dw a v e l e n g t h ，a 他 t h ek e yp o i to ft h i ss t l i d yp a p e ra sw e na st h ed i 仃b n c ef m mo t h e r1 t e r a t u r e s t h i st e x t 既p 丑t i a t e sm a i n i yd “a i l si ns u c ha s p e c t sa sf o l l o w i n g ： i nc h 趣p t e r1 ，c o r r e l a t i o n a lk n a w l e d g ea b o u tm o l e c u l eb e a ma n dw h yt h e p a p e rs t l i d ym o l e c u i eb e a mi si n n 田d u c e d i nc h a p t e r2 ，f h mv e l o c i t yd i s t r i b h t i o nf i l n c t i o no fi d e a lg a s e o u sm o l e c u l e ， t h i sp 疊p e rd e d u c e sm a x w e n ss p e e dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n i nc h a p t e r3 ，m o l e c u i eb e a m ss p e e dd i s t n b u t i o nf h n c t i o ni sd e d u c e df r o m m 疊x w e u ss p e e dd i s t r i b u t i o nf h n c t i o n 2 i nc h a p t e r4 ，f o mm o l e c u l eb e a m ss p e e dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，t h i sp a p e r d e d u c e se n e r g y 、m o m e n t u m 、f r e q u e n c ya n dw a v e l e n g t hd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n i nc h a p t e r5 ，a n yc o n c l u s i o ni sd r a w nt h r o u g hc o m p a r i n go n ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n st o8 n o t h e r k e y w o r d s ：m o l e c u l eb e a m ，e n e r g y ，m o m e n t u m ，f r e q u e n c y w a v e i e n g t h 3 分于束分布函數(shù)的研究 第一章緒言 瀉況投木特剔是分f 柬蘞木的j 泛應(yīng)用饅得我們討論分子乘尤為必娶。分 子束是研究分子的結(jié)構(gòu)以及分子同其它物質(zhì)相互作用的重要手段。固體、液體 和稠密氣體中的分子間距較小，有復雜的相互作用，很難研究單個孤立分子的 性質(zhì)。稀薄氣體分子間距較大，其相互作用隨壓強的減小變?nèi)?，但因分子無規(guī) 則運動，使得對分子本身的探測和研究較困難。 文獻 1 卜 1 9 分別從不同的角度闡述了理想氣體分子的m a x w e l l 速度分布 律和速率分橢并求出了四個特征捌礦= 辱、= 層咿雁、 v ，：1 0 8 7 7 ，睜墮) ：文獻 2 0 討論了布朗粒子的速度分靠函數(shù)；文獻 2 1 2 2 ym 各自表明了分子射線束中的速率分布情況；文獻 2 3 卜 2 6 分別討論了理想氣體 分子按頻率、波長和平動能分布的不同規(guī)律；文獻 1 卜 9 分別用兩種方法推 導出分子束速率分靠函數(shù)，( v ) 咖= i 條i 焉v 3 咖，并求出了分子束的特征速 率的值，即平均速甄= j 等、均方根速鼽礦等和最概然速率 j 3 七r ”靜2 、i 。 本文首先從麥克斯韋速度分布函數(shù)，( 叱) = ( - i 二) ”2 e2 ”推出麥克斯韋速 上冗k i 率分布函數(shù)廠( v ) = 4 石( ) ”p 一衙，v 2 ，進而導出了分子束的速率分布函數(shù) 己7 【k l f ( v ) 咖= 夏筆了e x p ( 一豸v 3 咖，最后依次導出分子束的能量分布函數(shù) f ( 。) d s = 磊導i 壽s d 占、分子束動量分布函數(shù)，( p ) 咖= 夏翥殺f e 一翥p 3 印、 第一章緒苦 分子束波長分布函數(shù)f ( 旯) d a = 一i e ：一a2 d 和分子束頻率分布函數(shù) 。 2 f 小七7 1 1 2 矗 厶2 h f ( p ) d p 2 丟壽8 ”y d y ；并求出了分子束的特征能量平均能量、均方根能 量、最概然能量和中間能量) 、特征動量( 平均動量、均方根動量、最概然動量 和中間動量) 、特征波長( 平均波長、均方根波長、最概然波長和中間波長) 與 特征頻率( 平均頻率、均方根頻率、最概然頻率和中間頻率) 的表達式，然后 求出與它們一一對應(yīng)的速率，分別與分子束的速率分布函數(shù)及其相應(yīng)的特征物 理量進行比較，使大家對分子束的各種分布有全面深入地了解。 分f 柬分布函數(shù)的研究 第二章麥克斯韋速度分布律 在氣體中，分子以各種速率沿各個方向運動著。由于頻繁地互相碰撞，分 子之間不斷地交換動量和能量，使得它們的速度不斷地變化著。最后，在足夠 長時間內(nèi)的大量碰撞過程中，分子速度的各種改變在統(tǒng)計上互相抵消時，這時 就到達了宏觀的平衡態(tài)。處于平衡態(tài)的氣體，雖然每個分子在某一瞬時的速度 大小、方向都在隨機地變化著，但是大多數(shù)分子之日j 存在一種統(tǒng)計相關(guān)性，這 種統(tǒng)計相關(guān)性表現(xiàn)為平均說來氣體分予的速率( 指速度的大小) 介丁+ v 到v + 西的 概率( 即速率分布函數(shù)) 是不會改變的。1 8 5 9 年，英國物理學家麥克斯韋( l a x w e l l ) 把統(tǒng)計方法引入分子運動論，首先從理論上導出氣體分子速度分向律的公式。 由于實驗技術(shù)( 如高真空技術(shù)) 的限制，測定分子速率分布的實驗直到1 9 2 0 年 才由德國施特恩( o s t e r n ) 首次實現(xiàn)。 為了定量地描述氣體按速度的分布，首先引入速度分布函數(shù)。 2 1 速度分布函數(shù) 現(xiàn)在研究分子按速度的分布，每個分子都有自己的速度口= 匕f + q 歹+ 匕f 。 麥克斯韋在用幾率的概念推導速度分布的公式時，作了兩個基本假設(shè)：( 1 ) 在 平衡態(tài)下，分子速度在空間各方向的分布是各向同性的。( 2 ) 分子的三個速度 分量的分布是彼此獨立的。即速度在x 軸的分量為u 的幾率與它在另外兩個方 向上的分量的大小無關(guān)。 如圖2 1 所示，首先在速度空間中劃出 一個垂直于軸v 。的厚度為咖，的無窮大平板， 不管速度的弘z 分量如何，只要速度x 分量 1 在一匕+ 也范圍內(nèi)，則所有這些分子的代表 點都落在此很薄的無窮大平板中。 圖2 1 若設(shè)此平板中代表點數(shù)為州，則塑等生表示分子速度處于h u + 蛾而 6 第一二章麥克斯韋速度分布律 q 、v ：為任意值范圍內(nèi)的概率。 碌然這一概率與板的厚度咖。成比例，并有d ( 匕) = 可( h ) 咖， ( 2 1 ) 廠( u ) 咖，稱為分子x 方向速度分量概率分布函數(shù)。 同樣町分別求出垂直于k 軸及v ：軸的無窮大薄平板中代表點數(shù) 柳( ) = 彤( ) 以和拼( v ：) = 可( v ：) 咄。 ，( 0 ) 咖，和，( v ：) 咖：分別表示y 及z 方向速度分量的概率分布函數(shù)a 根據(jù)處于平衡態(tài)的氣體的分子混沌性假設(shè)，分子速度沒有擇優(yōu)取向，故 廠( 匕) 、廠( v 。) 、廠( v ：) 應(yīng)具有相同形式。 其次在速度空間中作一根平行于匕軸、截面積為也機的無窮長的方柱體。 因為分子落在垂直于叱軸的平板內(nèi)的概率是廠( u ) d 叱，分子落在垂直于k 軸的 平板內(nèi)的概率是，( _ ) 西，。由相互獨立的同時事件概率相乘法則可知，分子落 在方柱體內(nèi)的概率，即分子速率介于u k + 咖，0 一b + 叱，而匕任意的范圍 內(nèi)的分子的概率為方柱體內(nèi)代表點數(shù)d ( 叱，q ) 與總分子數(shù)的比值，即 ，( v 溉m 炒，= 掣產(chǎn) 最后作一體積為以蛾凼：的小立方體，計算出在小立方體中的代表點數(shù) 柳( 匕螄瞄，煲| j 掣就是所要求的概率。 因為u ，q ，v ：相互獨立，故 ! 翌馬孑越= 廠( k ) 蛾弛，) 咖v ：) 赴= 廠( 匕哆以) 咖，咄也 照然，速度分布函數(shù)( u ，v v ，v ：) 是分子分別按速度的x 、”z 方向分量的分布函 數(shù)廠( v ，) 、，( v 。) 、，廠( v ：) 的乘積 分了柬分布函數(shù)的研究 分子處于速度空間叱一心+ 也，_ 一0 + 毗，叱一心+ 也范圍內(nèi)的概率是 ，( u ，v ，匕) 與也嗚以的乘積。 在速度空間中單位體積內(nèi)的代表點數(shù)或代表點密度d 為 。= 裂瑚，v ：m 然代表點密度。凱匕的函數(shù)。 所以可以求出在速度空間中在v 附近任一體積元d q 內(nèi)找到代表點的數(shù)目為 矗 ，( v ) = d ( u ，v ，v ：) d q ( 2 2 ) 第一章麥克斯韋速度分布律 2 2速度分量分布函數(shù) 為簡單計，考慮分子僅在x 方向運動的情形。如果速度為v 。，及v 。：的兩個 同類分子發(fā)生彈性碰撞，碰撞后的速度為v ：。及v ：，出動能守恒條件有： v ：，+ t z5v ：+ 峨 ( 2 3 ) 在單位時間內(nèi)發(fā)生上述這種碰撞的次數(shù)必然與速度為v 。及v 。：的分子數(shù)成 薩比，即與乘積，( u ) ，( v ，：) 成正比。在平衡態(tài)下，分了速度從v 。及v ，：變到v ：l 及 v ：的正碰撞率必然與從v ：及v ：變到v 。，及v 。：的逆碰撞率相等，所以 ，1 ( v ，) ，( u ：) = ，( ) 廠( ：) ( 2 4 ) 容易驗證，當，( u ) 是如下的指數(shù)函數(shù)形式，( v ，) 。ce 蹦時就能同時滿足 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 兩式的要求。上式中夕的是常數(shù)，且盧= 蠢，其中是玻爾茲 曼常數(shù)。 一蛙 所以刪( 叱) = 4 p2 7 扯 其中系數(shù)這樣確定：把上式對v t 從一c 。到m 積分，其值應(yīng)等于分子總數(shù)， d ( v 。) = 刮己e 一赫扯= 積分得爿= 丟籍) ”2 因此獅滬( 殺，e 焉丸 把上式與( 2 1 ) 比較，得他) = 警= ( 翥2 e 一等 同醐咿掣= ( 翥) 1 ，蠆籌，( 咖鬻= ( 翥) 2 e 一番 因為，( v ，v ，v ：) 咖，西，咖：= ，( v ，) 咖，( v ，) 咖，廠( v ：) 西： 分于束分布函數(shù)的研究 眥以蠼m 妒( 齋) “2 e x 寸掣卜辦 撇川= ( 赤r e 坤 等鏟 憶s ， 蝴啪，= 掣= c 翥尸2 e x r _ 甜螂 概率密醐叼= 鬻的分稚曲線如圖2 2 所示： 它對稱于縱軸。 圖中打上斜線的狹條的面積為 仉炒掣= c 奇廣2 e x - 射也 圖2 2 ( 2 6 ) 對式( 2 6 ) 進行積分，就可以求出在某一速率附近定間隔內(nèi)的分子數(shù)概率。 o 第一蓽麥克斯書速度分布律 2 3 速率分布函數(shù) 1 速率分布函數(shù) 在許多實際問題( 如求分子的平均速率和平均動 能) 中，需要求速率在v v + 咖范圍內(nèi)( 方向任意) 的 分子數(shù)目。如圖2 3 ，在速度空聞中，這相當于求落在 以速率v 為半徑，厚度為咖的薄球殼內(nèi)的代表點數(shù)目。 根據(jù)( 2 2 ) 式，只要把球殼的體積d q = 4 丌v 2 咖乘阻代 表點密度d ( 注意具有相同徑向距離處的密度相同) ， 得到速率在v v + 西范圍內(nèi)的分子數(shù)是州= d 4 萬v 2 咖 代入( 2 3 ) ，得烈= 4 丌丟舞) p 一籌鞏 定義廠( v ) = 慧= 4 石丟翥) “2 孑籌為麥克斯韋速率分布函數(shù)。 其分布曲線如圖2 4 ，圖中左邊打斜條狹長區(qū)域面積 表示速率介于v v + 咖分子數(shù)與總分子數(shù)之比，而右 邊打斜條區(qū)域表示分子速率貪于v v + 咖內(nèi)分子數(shù)與 總分子數(shù)之比，其數(shù)值應(yīng)該從下面的積分求出 rm 肛卜，c 燾尸2 e x p - 嘉 v 2 西 圖2 3 圖2 4 齜a 峨f 總面積為f 巾肛r4 丌c 赤尸2 叫一籌卜 說明麥克斯韋速率分布是歸一化的。 2 理想氣體分子的平均速率、均方根速率、最概然速率 2 1 平均速率礦 礦= f = fa 廳( 去 ”2 e x p ( 一器卜璧= 岳池， 分子束分布函數(shù)的研究 2 2 均方根速率， 因= rv 2 - ，( v 枷= 等 ，= 犀= 舞 ( 2 8 ) z 3 最慨然邂翠v 。 因為速率分布函數(shù)是一連續(xù)函數(shù)，若要求極值可從極值條件警l = = o 釓= 犀= 詹 眩。， 從上式可見卅越小或? 越大，v 越大。 2 4 中間速率e 若選取合適的e ，使得氣體分子速率小于v 的數(shù)目與分子速率大于t 的數(shù)目 相等，則稱滿足這種條件的h 為中間速率。由上述分析，容易得到 r m ) 西= 圭 ( 2 1 0 ) 哪廳( 赤) p 嘉v 2 咖= 圭 故re 一：( 等一等 因為皤) ；= 圭，所以扯等v p 郴 1 r 廣_ 妊毒一把等拙。1 。 在m a t i a b 命令窗口中觚 茹p ：x k 枷，。) l m i e x p 卜一x “zj ，x ，u ，vj 并編寫?zhàn)當?shù)文件m m ： - ，i c f f o ”i n = - ，i h ( f ) a = l 2 + p ，o ) + p f “( 1 2 ) 一f + e x p ( 一f “2 ) 一s g r f ( p f ) 4 第二章麥克斯書速度分布律 初步估計，m l ，最后輸入止p r d ( 胛，1 ) ，采用長型格式輸出結(jié)果為： f = 1 0 8 7 6 5 2 0 3 1 7 5 8 1 7 1 0 8 7 7 ， 所以吲0 8 7 7 v ，堋7 7 j 等 ( 2 v v 。在速率分布曲線上理解為：，( v ) 曲線從原點出發(fā)，迅速增加到一極 大值后緩慢減小，逐漸靠近v 軸。曲線下的面積在極值點對應(yīng)的最可幾速率v 。左 側(cè)小于右側(cè)，表明左側(cè)的分子數(shù)小于右側(cè)的分子數(shù)，故應(yīng)在v 。的右側(cè)。v ，對應(yīng) 的分布概率值為，( 啪= 4 乃( 五) ；e 一籌v - 警，對單個分子而占，其速率小于葉 的概率等于速率大于v 的概率：對大量分子而言，中間速率的統(tǒng)計意義在于速率 小于v 的分子數(shù)等于速率大于v 的分子數(shù)。 3 幾點說明： 3 1 由于麥克斯韋在導出麥克斯韋速度公布律，卅 過程中沒有考慮到氣體分子間的相互作用，故這 一速度分布律一般適用于平鏞態(tài)的理想氣體。在 平衡狀態(tài)下氣體分子密度膽及氣體溫度都有確 定均一的數(shù)值，故其速率分布也是確定的，它僅 。 是分子質(zhì)量及氣體溫度的函數(shù)，其分布曲線隨 分子質(zhì)量或溫度的變化趨勢如圖2 5 。 圖2 5 3 2 麥克斯韋分布本身是統(tǒng)計平均的結(jié)果，它與其它的統(tǒng)計平均值一樣，也會 有漲落，但當粒子數(shù)為大數(shù)時，其相對均方根偏差是微不足道的 3 3 事實上，在統(tǒng)計物理中利用系綜理論的正則分布也能導出同樣的速度分布 律而且表明該分布律還適用于非理想氣體，不論它是化學純的還是混合的。 3 4 計算分子運動的平均距離時用平均速率、討論分子的平均平動能時利用方 均根速率不同，中間速率和最概然速率都是在研究分子的速率分布時考慮的兩 種速率，區(qū)別僅在于前者著重研究速率低于某一速率的分子數(shù)占總分子數(shù)的一 坌至塞坌查墮墼塑翌壅 半( 或?qū)蝹€分子而色速率低于該速率的概率等于o 5 ) ，而后者強調(diào)的是在某 一速率附近的分子數(shù)比任意其它的速率附近相等間隔內(nèi)的分子數(shù)都要多( 或?qū)?單個分子而言，速率在該速率附近的概率最大) 。若氣體分予不滿足麥克斯韋速 率分向，中側(cè)速率的定義及其統(tǒng)計意義仍然不變，只是其數(shù)值發(fā)生了相應(yīng)地變化 ( 由具體的分布函數(shù)決定) 。若速率分卻函數(shù)沒有歸一化，則在求中間速率的數(shù)值 時( 2 1 0 ) 式應(yīng)換成f 廠( v ) 咖= 【_ 廠( v ) 咖即可。 受三至莖要塑羔堊壁坌塑堡 2 4 相對于v 。的( 麥克斯韋) 速度分量分布與速率分布 如果計算氣體分子速度分量( 或速率v ) 在某給定范圍內(nèi)的分子數(shù)或概率， 可把麥克斯韋速度分布式或速率分布式分別作變量變換，使之變換為相對于最 概然速率的速度分量分布或速率分靠的形式。 l 相對于v 。的速度分量( 麥克斯韋) 分布 令其中“，= 曼，其中v 。為最概然速率，則 r p 他) 也= 掣：( 裔) 2 e x p 一期帆 變換為掣- ( 拱e 醑朗協(xié)。 若要求出分子速度工方向分量小于某一叱數(shù)值的分子數(shù)所占的比率，則可對上 式積分等= r 掣= ( 腳油： ( 2 1 2 ) 只要將被積函數(shù)唧( 一“：) 在積分區(qū)間。一“，范圍內(nèi)展開為冪級數(shù)，逐項積分，即 可求出( 2 1 2 ) 式。在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中稱( 2 1 2 ) 式為誤差函數(shù)，以e 礦( x ) 表示e 礦q ) = ( ) e e x p ( 一x 2 ) 出 ( 2 1 3 ) 、石 w 誤差函數(shù)有表可奄。如表2 1 。 2 相對于v 。的麥克斯韋速率分稚 若令描：三，可將麥克斯韋速率分句表示為 v p 第三章分子柬的速率分布律 第三章分子束的速率分布律 若在有分子瀉流的氣體容器之外保持足夠高真空度，對準容器上的小孔放 置一組準直狹縫，則有容器逸出的絕大部分分子都被準直狹縫擋住，而極少量 穿過準直狹縫的分子基本不受其他殘余氣體分子碰撞，就形成一束分子射線。 為避免散射效應(yīng)，在分子束進行方向上各孔的厚度都應(yīng)極薄。分子射線是容器 鐘平街態(tài)下氣體的取樣。由于分子柬中的粒子數(shù)不多，其間的相互作用微不足 道。因此，用這射線束就便于研究基本上孤立的粒子的性質(zhì)。下表列舉了歷史 上有關(guān)分子束的卓越工作。 年代j ：作者貢獻 1 9 1 1杜諾依爾第一次設(shè)計弗制成分子束裝置 1 9 2 0頗特思用銀原f 柬證實麥克斯韋速度分布律 1 9 2 l 1 9 2 2斯特恩與蓋拉赫用銀原子柬在磁場中的偏轉(zhuǎn)證實了空間量子化 1 9 2 7費普斯與泰勒實現(xiàn)氫源子糶在非均勻磁場中偏轉(zhuǎn)的實驗 斯特恩、艾斯特曼為證實德布羅意物質(zhì)波假說，進行了氫分子和氮原 1 9 2 9 1 9 3 1 與弗利胥子的衍射實驗 用分子束方法測出質(zhì)子磁矩，發(fā)現(xiàn)它大約為理論預(yù) 1 9 3 3 斯特恩等人 期值的2 5 倍：他為發(fā)展分子束方法作出了一系列 貢獻，因而獲1 9 4 3 年諾貝爾物理學獎 首次用分子柬共振法實現(xiàn)核磁共振，為1 9 4 6 年珀塞 爾和布洛赫分別用共振法和核感應(yīng)法測量核磁矩作 1 9 3 8 拉比等人 了準備。拉比獲1 9 4 4 年諾貝爾物理學獎，珀塞爾和 布洛赫獲1 9 5 2 年諾貝爾物理學獎 測定氨原子能級的蘭姆位移，為量子電動力學提供 1 9 4 7蘭姆與雷瑟福 了重要根據(jù)，蘭姆獲1 9 5 5 年諾貝爾物理學獎 1 9 4 8賴昂斯靠氨中的微波吸收建立第一臺氨分子鐘 發(fā)明微波激射器，在此基礎(chǔ)上1 9 6 0 年梅曼利用紅寶 1 9 5 4湯斯等人 石獲得激光。湯斯等人獲1 9 6 4 年諾貝爾物理學獎 坌至塞坌塑里塾塑墮莖 分子束中，分子作準直得很好的定向運動，它們之間的相互作用可予忽略， 利用它來研究分子的性質(zhì)及其相瓦作用較為理想。所以分子束技術(shù)在原子物理、 分子物理以及氣體激光動力學、等離子體物理、化學反應(yīng)動力學，甚至在空間 物理、天體物理、生物學中都有重要應(yīng)用。它也是研究固體表面結(jié)構(gòu)的重要手 段。 分子束是一宏觀粒子流，其中的分子不是朝各個方向運動機會均等的；速 率分布也不同于麥克斯韋速率分布律，但與容器內(nèi)平衡態(tài)氣體分子的麥克斯韋 速度分布是有聯(lián)系的。 下面依照平衡態(tài)氣體的瀉流規(guī)律來推導出分子束中的速率分布函數(shù)。 1 氣體分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布 氣體分子的速率分布與分子束速率分布不同。圖3 1 所示的真空加熱爐( 分子源) 中金屬蒸汽( 理想氣體) 的 分子速率分布廠( v ) 咖與，( v ) 咖并非一回事。，( v ) 咖表示 加熱爐內(nèi)氣體的分子速率介于v v + 咖的分子數(shù)d 與總圖3 1 分子射線柬實驗 分子數(shù)之比。因為處于平衡態(tài)的分子源中氣體分子的平均速度為零，平均來 說，每一分子均不改變空間位置，故，( v ) 咖是“靜態(tài)”的速率分布。但分子束 中的分子都在作勻速運動，說明f ( v ) 咖是一種“動態(tài)”的分布，它表示了粒子 通量( 指單位時間內(nèi)透過的分子束中的分子數(shù)) 中的速率分布。但，( v ) 咖與 f ( 訂咖間存在一定關(guān)系，故可利用實驗測得的速率分布的曲線求得理想氣體速 率分布。 2 分子束速率分布( s p e e dd i s t r i b u t i o no f m o l e c u l a r b e a m ) 因為從加熱爐器壁小孔中逸出的分子就是無碰撞向小孔運動的分子，在防 時間內(nèi)從洲面積的小孔逸出的分子數(shù)可寫為 肚丟 玩撕= f 去呵( v ) 咖幽西 ( 31 ) 由上述積分式可知，其中速率為v v + 咖范圍內(nèi)的分子數(shù)是 第三章分了柬的速率分布律 州，= 三( v ) 西洲加 ( 3 2 ) 將麥克斯韋速率分布表達式代入洲。= 三4 石( 番尸2 。e x p ( 一等) v 3 西出出 因為氣體分子是輻射狀地從小孔射出的，從各個方向射出的分子的速率分布相 同，所以從小孔射出的總分子數(shù)中的速率分布就等于分子束中的速率分布 ，( v ) 西。 考慮到；：、塑，則分予束速率分布f ( ，) 咖可表示為： ￥刪 m 肌主珈c 齋尸2 j 囂- e x 卅務(wù)v 3 西 ：蕓未e x p ( 一黑) v 3 咖 ( 3 3 ) 2 j 麗懈p 卜j 西) ”?？?) 分子束速率分布也可用如下方法求得。 因為分子束中的分子處于宏觀運動狀態(tài)( 它不同于處于平衡態(tài)的理想氣體， 從宏觀上看，平衡態(tài)氣體的分子均處于靜止狀態(tài)) 。因而分子束的速率分布函數(shù) 正比于，( v ) 咖。 故f ( v ) 咖= ( v ) v 西 由歸一化條件r f ( v ) 咖= 彳r ，( v ) v 西= 1 ( 3 4 ) 而對于速率分布，其平均速率為；= f v ，( v ) 西 ( 3 5 ) 可知分子柬速率分布的歸一化系數(shù)爿= = 囂 ( 3 6 ) 分子束速率分布為 m 肛辱鋤c 翥聲唧c 一器礦咖= 蜀齋嘶務(wù)一咖 3 特征速率 3 1 平均速率v 。 9 分r 柬分布函數(shù)的研究 = r 卿肛齋加t 一舞咖= j 萼 慨， 3 2 均方根速率喙。， 因為磊= r 卿咖= 薪f 唧t 一籌h 5 咖= 等 批枷，：質(zhì)：辱 ( 3 8 ) ： 3 最欖然運翠 由塹盟：o 小， ” 得妒警 ( n ” 3 4 中間速率”新 若選取合適的”如，使得分子束速率小于”柬的數(shù)目與分子束速率大于v 女，的 數(shù)目相等，則稱滿足這種條件的k ，為中間速率。由上述分析，容易得到 r 即) 咖= 導 ( 3 1 0 ) 即嘉p 豢礦咖= 圭 e 魯辦吾嵋， 令蠢v 羹，強妣5 = 2 地 ( 3 - ) 利用m a t i a b 解得：命令窗口中輸入：z = 1 6 7 8 3 4 6 9 9 0 0 1 6 6 6 a 1 6 8 ( 3 1 2 ) 所岷，“8 3 j 等 ( 3 1 3 ) 它們均比麥克斯韋速率分布中的相應(yīng)值要大些，這是因為氣體分子處于動 奈陰而談竅女的分子浼小的蟣會相對每必 2 0 第二章分了束的速率分布律 4 討論四種速率的關(guān)系 比較( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 3 ) 四式，則有 ”莉：”柬，：v ：”。2 l ：1 0 6 ：1 0 9 ：1 1 5 且有f ( 9 柬，) ：，( v 璇，) ：f ( v ) ：f ( ”。) = l ：o 9 9 ：o 9 8 ：o 9 3 關(guān)于這個結(jié)果，可以從頻率分布曲線圖3 2 ( 圖 中表示了四種頻率的相對大小) 來理解：因為 ”柬，j ， y + 喙。，在附近可能出現(xiàn)的粒子 數(shù)最多，然后隨著頻率的增加，曲線呈“f 降趨勢， 當然在”裳，、v 。、v 出。附近可能出現(xiàn)的分予數(shù)目會 逐漸減少。 ( 3 1 4 ) ( 3 。1 5 ) 圖3 2 分于柬分布函數(shù)的研究 第四章分子束的其它分布律 在研究分子束的相關(guān)問題時，經(jīng)常討論一些與能量、動量、頻率和波長等 與速率有關(guān)的物理量的分布情形，因此有必要姆分子柬的速率分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為 相應(yīng)物理量的分布函數(shù)。由德布羅意關(guān)系知，任何實物粒子都具有粒予性和波 動性，在研究分子束時，同樣應(yīng)該考慮分子的波動性。因為反映波動性的頻率 比反映經(jīng)典運動的速率更能反映運動的本質(zhì)，歇以頻率分布函數(shù)比速率分兩函 數(shù)有更廣泛的適用范圍和更深刻的物理實質(zhì)。 本章共分四個部分逐一說明。 4 1 分子束能量分布函數(shù) 1 分子柬能量分布函數(shù) 因為單個分子的能量與其速率的關(guān)系為s = 孚 ( 4 1 ) 即v 擺骱= 去 ( 4z ) 所以警川v 肌齋i 籌咖= 志i 寺硎阱出 ( 4 3 ) 其中h 曲2 話壽叩一百佰就是分子束的能量分布函數(shù)，它表示系統(tǒng)中單位能量間 隔內(nèi)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比率。 與分子束的速率分布函數(shù)比較，不難發(fā)現(xiàn)分子束的能量分布函數(shù)的形式更 簡單，它只與熱力學溫度有關(guān)，而與分子的質(zhì)量無關(guān)， 即各種分子質(zhì)量的氣體都具有一個統(tǒng)一的能量分布函 數(shù)，而用分子束的速率分布函數(shù)處理時則需要多個不 同的速率分布函數(shù)。 如圖4 1 為分子束的能量分布曲線，圖中陰影部 分的面積表示能量在s s + d s 之間的分子數(shù)占總分子 圖4 1 第四章分于束的h 它分布律 數(shù)的比率。 又f m 脅= 擊p 寺刊川 ( 4 4 ) 這說明分子束的能量分布函數(shù)f ( s ) 也是歸一化函數(shù)，這很顯然，因為所有分子 的能量必介于0 之間。 2 1 平均能量；。 ；一= p ( 州弘擊p 。如- 2 胛 ( 4 i5 ) 2 2 均方根能量嗉。 因為蠆= f 押加擊p 壽覷娟耐 所以啄。= 屬= 酞r ( 4 6 ) 2 3 最概然能量 因為警= 志者q = 志e 哪一旁 由警l 。_ o 得鏟r ( 4 7 ) y 柬p 對應(yīng)的是分子束能量分布的幾率最大值，即若取相等的能量間隔，則在 最概然能量附近的能量間隔內(nèi)的粒子數(shù)最多。 2 4 中間能量顫。 擊寺卅s = 圭 一上p 礎(chǔ)音：! 七r 如 2 分 柬分布函數(shù)的研究 一去。一囂+ 占h 一壽如：土 一畝7 + 吉n ”如2 言 即p 芬：2 + 2 魚 青7 1 令魚：x 七r 貝0p 。= 2 + 2 x 代入( 3 1 2 ) 式x z l 6 8 所以，= 1 6 8 r 3 討論 3 1 四種能量間的關(guān)系 比較( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 1 0 ) 四式，則有 嗉p ：喙，：占 ：占泉一= l ：1 6 8 ：2 ：2 4 5 且有f ( ) ：f ( 嗉，) ：f p ，) ：，( 嗉。) = l ：o 8 5 ：0 7 4 ：0 5 7 關(guān)于這個結(jié)果，可以從能量分布曲線圖4 2 ( 圖中表示了四種能量的相對大小) 來理解：因 為 喙， s 。 ，在附近可能出現(xiàn)的粒 子數(shù)最多，即囅。對應(yīng)著曲線極值點的橫坐標，然 后隨著能量的增加，曲線呈下降趨勢，所以在s 柬j 、 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) f 。、。：附近可能出現(xiàn)的分子數(shù)目會逐漸減少。 圖4 2 3 2 分子束速率分布和能量分布的差別 1 ) 根據(jù)式( 4 1 ) 計算分別與v 。、”柬。、9 瓤和”勘相對應(yīng)的能量，并逐一 與四式( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 1 0 ) 比較： 憋：墅豎 ；女 ( 4 1 3 ) t 2 1 f v ( ；。) = v 寨。， ；。 v ( 。，) ”靜 莉 v ( ) ，即v ( 咚。) 最 大，v ( ) 最小，而v ( ；。) = ”求。，即石，對應(yīng)的速率就等于v 牽。，這從另一方 面指出了的物理意義 分于柬分布函數(shù)的研究 4 2 分子束動量分布函數(shù) 1 分子束動量分布函數(shù) 因為單個分子的動量與其速率的關(guān)系為p = 胴， 即。：衛(wèi)且西：皇芝 所以警川v 臚齋e 焉舳= 嘉e 焉喀魯 1p ! = i 毛石p2 ”p 3 咖= f ( p ) 印 2 f 腳丁1 2 311 其中默p ) 2 面：再8 一麗，為分子束的動量分布 函數(shù)，它表示系統(tǒng)中單位動量間隔內(nèi)的粒子數(shù)占總 粒子數(shù)的比率。對應(yīng)的分子束動量分布曲線如圖4 3 所示，圖中陰影部分的面積表示動量在p p + 勿之 間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 又f ，( p ) 印= i ：再f 。一嘉p 3 咖= 1 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 。2 3 ) 圖4 3 ( 4 2 4 ) 這說明分子束的動量分布函數(shù)以p ) 也是歸一化函數(shù)，這與分子束的速率分布函 數(shù)f ( v ) 是歸化函數(shù)的理解是相同的。 2 特征動量 2 l 平均動量p 。 j 。= f 廊艫赤p 嘉咖= 浮 他z s ， 2 2 均方根動量鯫。 因為西= f 聲( 黼= 赤p 嘉p 5 印嘲女r 所阻。= 磊：2 鬲 2 3 最概然動量 o ， 得p ，= 3 m t r 2 4 中間動量p 。， 赤肛嘉p 協(xié)圭 一j 二p tp ：如一嘉：三 一面萬上p 餓“2 j 第四章分子柬的其它分布律 = 志e 嘉p 嘉+ 3 】= 。2 麗爵“7p 乙【一簫+ 3 】劃 一赤妒嘉+ 赤肛南班圭2 聊七r 1 軋2 ，l 七r 山2 贍 n 2 即p2 m i r = 2 + 2 _ 二l 2 研七丁 令! 己：。 2 m 七丁 則礦= 2 + 2 工 由( 3 1 2 ) 式x * 1 6 8 得p 。= 1 8 3 而萬 3 討論 3 1 四種動量的關(guān)系 比較( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) 四式，則有 p 束p ：p 蓑，：p 女：p 柬圳。= 1 ：1 0 6 ：l 0 8 ：l 1 5 2 7 ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) $ r m p l 3 p r m2 分_ j ：束分布函數(shù)的研究 且有f ( p 靴) ：f ( p 柬，) ：，( p 。) ：f ( p 柬用，) = 1 ：o 9 9 ：o 9 8 ：0 9 3 ( 4 3 0 ) 關(guān)于上述兩式，可以從動量分布曲線倒4 4 ( 吲 中表示了四種動量的相對大小) 來理解：因為 風， p 瓤 ；。 o 時，波長不變時隨熱力學溫度增加單位灄度 m ! 竺 “ vm 間隔內(nèi)的粒予數(shù)出現(xiàn)的概率將增加； 分了柬分布函數(shù)的研究 當a 。魚一，即( 蕓) 。 o 時，波長不變時單位溫度間隔內(nèi)的粒子數(shù)出現(xiàn)的概 m v d 率隨熱力學溫度增加而減?。?當五：l ，即( 蕓) 。= o 時，單位溫度間隔內(nèi)的粒子數(shù)出現(xiàn)的概率與溫度 v 女一 d 無關(guān)。 2 特征波長 2 1 平均波長丑。 j 。= f 州刪扛嘉f 砉i 燾d 且 2 2 均方根波長砝，。 因為砭= p 哪) 以= 一嘉f 專赤扯等 所以k = 庸= 赤 2 3 最概然波長k 因為等一嘉扣去扣淼、嘉c 等蝴2 ， d 2 ( 刪七r ) 2 以。 五 2 ( 腳七r ) 。旯5 、州七r 。 由矧。一o 得2 赤 2 4 中間波長a 。 一嘉卜志扣一嘉驢志扣 一嘉p 嘉出一j 急= 一嘉e ，嘉如+ 志2 晰七7 1 由五2 2 刪七7 1n t ，五2 ( 4 4 3 ) ( 4 4 4 ) ( 4 4 5 ) 蘆 第舊章分r 柬的其它分布律 一番扣孤+ 嘉麗d 嘉= 2 聊i r 五2 2 研七r 南 丑2 嘉扣廄+ 嘉驢瓣喀2 m 七r a 22 所七，舡秈五。 阢2 “7 碡一2 + 2 蒙嘉2 掰七r 五2 令嘉一 貝0p 。= 2 十2 x 由( 3 1 2 ) 式x 。1 6 8 得 ：o 5 5 ! ! 封 m 七r 3 討論 3 1 四種波長的關(guān)系 比較( 4 4 3 ) ( 4 4 4 ) ( 4 4 5 ) ( 4 4 6 ) 四式，則有 ：k ，：a m ：。，= 1 ：1 2 2 ：1 4 0 ：1 5 8 且有，( 丑郫) ：，( ，) ：f ( 萬。) ：f ( & 。) = l ：o 8 4 ：o 6 3 ：o 4 5 這個結(jié)果可以從波長分布曲線圖4 6 ( 圖中表示 了四種波長的相對大小) 來理解：因為 厶， ；， v ( a 。) v 柬p v ( 萬，) v 莉 v ( k ) 。 本節(jié)給出分子束的波長分布函數(shù)的形式，并解釋了負號的意義，計算出相 應(yīng)的特征波長。因為實驗上對分子波長的測定較測定分子速率更容易，所以它 比分子束速率分布函數(shù)有更深刻的物理意義和更廣泛的應(yīng)用前景。 亙。 第四章分于束的其它分布律 4 。4 分子束頻率分布函數(shù) 1 分子束頻率分布函數(shù) 如果不考慮相對論效應(yīng)，則p = 魯= 篆 “5 7 ) 投2 n 叭