凸輪機構的模糊優(yōu)化設計論文

淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 1 -頁 共 53 頁 - 1 - 目 錄 1 引言 1 2 模糊優(yōu)化的數學基礎 3 2.1 模糊集合 3 2.2 隸屬函數 8 2.3 模糊性的度量 9 2.4 模糊矩陣與模糊關系 11 2.5 模糊綜合評判 16 3 凸輪機構的模糊優(yōu)化設計 20 3.1 凸輪機構的應用和分類 20 3.2 凸輪機構的設計要求及其計算公式 22 3.3 凸輪機構模糊優(yōu)化設計的數學模型 23 3.4 凸輪機構模糊約束的 隸屬函數 的確定 24 3.5 凸輪機構模糊優(yōu)化設計的求解 25 3.6 優(yōu)化結果分析 48 結論 50 致謝 52 參考文獻 53 畢業(yè)設計（論文）中文摘要 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 2 -頁 共 53 頁 - 2 - 凸輪機構的模糊優(yōu)化設計 摘 要： 模糊優(yōu)化設計包括建立數學模型和應用計算機優(yōu)化程序求解這樣兩個方面的內容。如何從實際問題中抽象出正確的數學模型，是工程模糊優(yōu)化設計的關鍵之一，也是工程設計人員進行模糊優(yōu)化設計的首要任務。與常規(guī)優(yōu)化設 計一樣，目標函數、約束條件和設計變量是模糊優(yōu)化設計數學模型的三要素。 而在各類機器中，為了實現(xiàn)各種復雜的運動要求，廣泛應用著凸輪機構。近年來，國內外采用優(yōu)化設計方法進行凸輪機構設計已取得較大的進展。但以往的工作均未考慮到凸輪機構中有些因素的模糊性，致使難以迅速獲得諸方面皆滿意的方案，考慮到約束條件的模糊性，本文建立了凸輪機構的模糊優(yōu)化數學模型，并對一實例進行了模糊優(yōu)化設計。 關鍵詞： 凸輪機構 模糊 優(yōu)化設計 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 3 -頁 共 53 頁 - 3 - 畢業(yè)設計（論文）外文摘要 Fuzzy optimal design on cam mechanisms Abstract: A fuzzy optimal designment including the establishment of the mathematical model and getting a correct answer based on computer optimal process. How getting a right mathematical model from the practical problem is one of the keys of the engineering fuzzy optimal designments,as well as the first task of the staffs when they are doing fuzzy optimal designments. As a conventional optimal designment, the objective function , constraint and optimization are the three factors of the mathematical model of a fuzzy optimal designment. In order to achieve lots of complex requirements of the campaign, people use cam mechanisms widely in all kinds of machines. People have made great progress in using the optimal design methods to design cam in recent years. But the work in the last years did not take some ambiguous factors of the cam into account, so it is difficult to get a program that can satisfy all aspects of the cam if you want to get it very quickly. Taking the fuzzy factors of the constraints into account, we established a fuzzy optimal mathematical model of the cam, and we made a fuzzy optimal design on an example of the cam. Keywords: cam ； yuzzy ； optimal design 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 4 -頁 共 53 頁 - 4 - 1 引言 近幾年來 , 對擺動滾子從動件平面凸輪機構進行普通優(yōu)化設計的較多 , 并能從眾多滿足設計要求的可行方案中 , 選出實現(xiàn)設計目標的最佳方案。但由 于設計中根據設計規(guī)范或經驗確定的某些參數取值的不確定性 , 以及影響設計的某些因素如載荷性質、材質好壞又很難用確定的數值表示 , 這就導致了設計的模糊性。而普通優(yōu)化設計均未對這些模糊因素進行分析 , 致使設計方案難以更好地符合客觀實際 , 為此需建立模糊優(yōu)化設計的數學模型。 1.1 本課題的研究意義 凸輪機構廣泛用于各種自動機中。例如，自動包裝機自動成形機自動裝配機自動機床紡織機械農業(yè)機械印刷機械自動辦公設備自動售貨機陶瓷機械加工中心換刀機構高速壓力機械自動送料機械食品機械物流機械電子機械自 動化儀表服裝加工機械制革機械玻璃機械彈簧機械和汽車等。 凸輪機構之所以能夠得到廣泛的應用，是因為它具有傳動 導向和控制等功能。當它作為傳動機構時，可以產生復雜的運動規(guī)律；當它作為導向機構時，可使工作機械的動作端產生復雜的運動軌跡；當它作為控制機構時，可控制執(zhí)行機構的工作循環(huán)。凸輪機構還具有以下優(yōu)點：高速時平穩(wěn)性好，重復精度高，運動特性良好，機構的構件少，體積小，剛性大，周期控制簡單，運動特性良好，機構的構件少，體積小，剛性大，周期控制簡單，可靠性好，壽命長。 1.2 本課題國內外研究現(xiàn)狀、水平和發(fā)展趨 勢 隨著社會發(fā)展和科技進步，各種自動機正朝著高效率 高精度 自動化程度高 優(yōu)良的性能價格比 壽命長 操作簡單和維修方便等方向發(fā)展。為適應這種發(fā)展形式，滿足自動機的要求，作為自動機核心部件的分度凸輪機構必須具有特性優(yōu)良的凸輪曲線和高速 高精度性能。 由于計算機軟件和數控技術的日益普及，凸輪 CAD/CAM 軟件的問世，為高速高精度凸輪機構的設計 制造和檢測提供了有利條件。 凸輪曲線特性優(yōu)良與否直接影響凸輪機構的精度 效率和壽命。多年來，世界上許多凸輪專家創(chuàng)造了數十種特性優(yōu)良的凸輪曲線。這些凸輪曲線完全能夠滿足各種 自動機的要求。其中，最常用的有修正正弦曲線 修正梯形曲線和修正等速曲線等。日本山梨大學牧野洋教授研發(fā)的三角函數通用凸輪曲線幾乎包括全部凸輪曲線。西岡雅夫博士開發(fā)了代數式通用凸輪曲線。利用這些通用凸輪曲線，輸入一定參數，就能得到滿足工作特性要求的凸輪曲線，從而制造出滿意的凸輪機構。 我國在凸輪機構研究方面歷史悠久，理論較深，但在設計 制造和檢測等應淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 5 -頁 共 53 頁 - 5 - 用技術方面，與美日德等工作發(fā)達國家比較，差距較大。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 6 -頁 共 53 頁 - 6 - 2 模糊優(yōu)化的數學基礎 1965 年， 美國控制論專家查德（ L. A. Zaden)。第一次提出了模糊集合的概念，標志著模糊學的誕生。 科學技術的發(fā)展，越來越突出這樣的一種矛盾：科學的深化要求研究工作數學化、定量化；但是，科學的深化意味著對象的復雜化，復雜 化的東西又難于精確化。計算機科學更是復雜化與精確化矛盾的焦點?？萍脊ぷ髡咴趯嵺`中感受到有一條不相容原理：當一個系統(tǒng)的復雜性增大時，我們呢使它精確化的能力將減小，在達到一定閥值以上時，復雜性與精確性將相互排斥。與復雜性緊緊相伴的，就是模糊性。 模糊數學的使命，就是解決上述矛盾，它是 研究和處理模糊現(xiàn)象的一種新的數學方法。 “模糊”與“數學”本是對立的詞，查德把兩者統(tǒng)一在一起，當然不是讓數學放棄它的嚴格性去遷就模糊性，而是要把數學方法打到模糊現(xiàn)象的禁區(qū)中去。但是，他也不把“模糊”二字看成是純粹消極的貶義詞，他認為應讓數學及計算機回過頭來吸取人腦在對復雜現(xiàn)象進行識別和判決中的特點，形成一種新的更加靈活而簡捷的處理手段與方法。 模糊數學把數學從二值邏輯的基礎上轉移到連續(xù)值邏輯上來，把絕對的“是” 、“非” 變?yōu)楦屿`活的東西，在適當的限域上去相對的劃分“是”與“非” 。 模糊數學試圖解決的任務是：一、給各門學科，尤其是給那些數學的“禁區(qū)” 如人文科學（對一個有人的智力活動參與其內的系統(tǒng)進行研究的科學，如經濟管理、人工智能、環(huán)境科學等等），提供新的語言和工具；二、使計算機能仿效人腦對復雜系統(tǒng)進行識別與判斷，提高自動化水平。 盡管這門學科還很不成熟，然而在國內外卻受到廣大科技工作者的熱切關注，發(fā)展迅速。 2.1 模糊集合 2.1.1 基本概念 集合論不僅是現(xiàn)代數學的基礎，也是模糊數學的必備知識。為了與模糊集合相區(qū)別，我們把以往接觸到的集合，如 A=(2,3,4,8)稱為普通集合（其全集稱為論域）。 對于模糊集合中的子集，是沒有明確邊界的，如“身高”這個集合，一個身高 1.75m的人既可屬于也可不屬于“高個”這一子集，由于沒有明確的邊界，我們將“高個”稱為“身高”這一論域的一個“模糊子集”（或模糊集），它具有模糊性，通常用下面帶波浪號的大寫字母表示（本文以上面帶波浪號的大寫字母表淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 7 -頁 共 53 頁 - 7 - 示），如 A 、 B 等。 2.1.2 隸屬度 為了表示某一元素與模糊子集的關系， Zadeh 提出了“隸屬度”的概念 ，即：對論域的每一個元素iu在閉區(qū)間 1,0 中給它一個對應的數字指標，用以表明iu對于模糊集 A 的隸屬程度，并用 iA uu或Aiu表示，稱元素iu對 A 的隸屬度，且滿足 10 iA uu。顯然， iA uu值愈大，表示iu對 A 的隸屬程度愈高。當 iA uu=0時，表示iu肯定不屬于 A ；當 iA uu =1時，表示iu肯定屬于 A 。在這兩種情況下，子集退化為普通集合。由此可見， Zadeh 引入模糊子集的基本思路是：把普通集合中的絕對隸屬關系加以擴充，使元素對“集合”的隸屬度由只能取 0 和 1 這兩個值，推廣到可以取單位區(qū)間 1,0 中的任意一個數值，從而實現(xiàn)定量地刻畫模糊性事物，這里，模糊度是處理問題的關鍵。 2.1.3 表示方法 Zadeh 表示法 A =mAmAA xxx / 2211 =mi iAix1 / (xi U) 當論域 U 中的元素為無窮不可數時，可記為 A =U A xx /)( （ x U ） 式中，iAi x/ 論域 U中的元素 xi與其隸屬度Ai之間的對應關系，不表示“分數” ； “ +”、“ ” 模糊子集在論域 U 上的整體，不表示“求和”； “ ” 各個元素與隸屬度對應關系的一個總括，不表示“積分”。 向量表示法 A ),( 21 AmAA 序偶表示法 , 2211 mAmAA xxxA 例 如圖， U 是給定的幾個物體， 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 8 -頁 共 53 頁 - 8 - a,b,c,d,e , 對每一元素指定一個隸屬程度 a 1, b 0.9, c 0.4, d 0.2, e 0. 按定義，便確定了 U 的一個模糊子集A ，它表示“圓塊塊”這一模糊概念，采用查德的 圖 1 圓塊兒 記法，寫為 A=1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d, (1.3) 不要誤把上式右端當作分式求和。分母放置元素，分子放置隸屬程度，“”號并無求和之意，這樣記法會帶來某些方便。元素 e對 A 的隸屬程度為 0,(1.3)不寫它。 向量表示：（ 1, 0.9, 0.4, 0.2, 0） 續(xù)偶表示； .,0,2.0,4.0,9.0,154321 xxxxx 2.1.4 運算規(guī)則 設 A 、 B 、 C 、 D 為論域 U 上的模糊子集，則有如下運算規(guī)則 相等：若 A=B，則對一切 x U ,有 xuA= )( xuB 包含：若 BA ，則對一切 x U ，有 xuA xuB 余（補）集：若 A 與 B 互為余（補）集，則對一切 Ux ，有 xuA=1- xuB 并集：若 BAC ,則對一切 Ux ，有 )(),(m a x)( xuxuxuABc = )( xuxuBA 交集：若 D= BA ,對一切 Ux ，有 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 9 -頁 共 53 頁 - 9 - )(xuDmin )(),( xuxu BA = )( xuxu BA 其中， 和 分別表示“取大”和“取小”運算。除上述運算外，還有一些模糊集之間的代數運算也是常用的，這里介紹一些簡單定義： (1) 代數積：記為 BA ，其隸屬函數BAu規(guī)定為BAu=BAuu (2) 代數和（或上界和）：記為 BA ，其隸屬函數BAu規(guī)定為BA= )1),()(m in ( xx BA (3) 絕對差：記為 BA ，其隸屬函數BA 規(guī)定為BA =BA 上述規(guī)則中任意兩個模糊集之間的運算都是在論域 U 中的每一個元素對這兩個模糊集的隸屬度間的運算。與普通集合一樣，模糊集滿足：冪等律、交換律、結合律、吸收律、分配律、復原律和對偶律，但一般互補律不成立，即 UAA ， AA ，這是模糊集和與普通集合的一個明顯區(qū)別。 例 設 54321 , xxxxxU 8.0,1,6.0,2.0, 4321 xxxxA 542114.09.05.0 xxxxB 則根據上述運算規(guī)則有 54321104.08.0019.06.05.02.0 xxxxxBA =5432118.019.05.0 xxxxx 4214.06.02.0 xxxBA 542112.04.08.0 xxxxA 42132.054.01.0 xxxBA 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 10 -頁 共 53 頁 - 10 - 5432111117.0 xxxxxBA 2.1.5 水平截集 模糊集本身沒有明確范圍，因此只有設法將模糊集合轉化為普通集合，才能應用通常的數學方法來處理，而水平截集則是在模糊集與普通集相互轉化中起著重要橋梁作用的概念。 設給定論域 U 上 的模糊 自集 A ，對任意 1,0 ，稱普通集合 UxxuxA A , 為 A 的 水平截集或稱 水平集。 例432119.075.085.0 xxxxA ，現(xiàn)在要了解這 4 個掘進隊哪個是“技術水平高”（ 90 分以上），哪個是“技術水平較高”（ 80 分以上），哪個是“技術水平一般”（ 70 分以上），于是： “技術水平高”的隊組成的普通 集合為 439.0 ,xxA “技術水平較高”的隊組成的普通集合為 4318.0 , xxxA “技術水平一般”的隊組成的普通集合為 43217.0 , xxxxA 這里7.08.09.0 , AAA即是 7.0,8.0,9.0 時 A 的水平截集， 稱為A的（置信）水平或閥值。 不難看出， A 是模糊子集，而A是普通集合，其直觀意義是， x隸屬函數達到或超過 的就算 x 是 A 元素。取一個模糊集 A 的 截集，實際上就是將其隸屬函數按下式轉換成特征函數， 如圖 1 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 11 -頁 共 53 頁 - 11 - 圖 1 A的特征函數 xuZxxA A, xuxuXAAxA ,0,1當當 水平截集具有三個性質： (1) BABA (2) BABA (3) 若 1 、 2 1,0 ，且 21 ，則211 AA 由 (3)可見，截集水平 越小，A越大，反之亦然。 當 1 時，得到最小的水平截集 1A ，稱為 A 的核； 當 0 時，得到最大的水平截集，稱為 A 的支集，記為： Supp A = 0, xuUxxA (U 為論域，稱 1A SuppA 為 A 的邊界。若 A 的核 1A 不是空集，則稱 A 為正規(guī)模糊子集，否則稱為非正規(guī)模糊子集。 從減小到 0(而未達到 0),A從核 1A 擴張為支集 SuppA ,因此普通子集族 10 A意味著是一個具有“彈性邊界”可變的、運動的集合。這樣就可把一個模糊集合論的問題轉化為一系列普通集合論的問題來處理，這種解法稱為水平截集法。 2.2 隸屬函數 2.2.1 隸屬函數的地位及概念 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 12 -頁 共 53 頁 - 12 - 在模糊數學中，隸屬度是建立模糊集合論的基石，隸屬函數是描述模糊性的關鍵。盡管統(tǒng)計學為隸屬函數的確定提供了較簡捷和較科學的方法，但它們的確定仍然是實際工作者感到棘手的問題。一個模糊集合在給定某種特性之后，就必須建立反映這種特性所具有的程度函數即隸屬函數。 2.2.2 隸屬函數的確定 模糊性的根源，在于客觀事物的差異之間存在著中介過渡，存在著亦此亦彼的現(xiàn)象。但是，在亦此亦彼之中依然存在著差異，依然可以相互比較，在上一層次中是亦此亦彼的東西，在下一層次中可能又是非此即彼的。這些 便在客觀上對隸屬函數進行了某種限定，使得禮數函數不能主觀任意地捏造，它們仍然具有一定的客觀規(guī)律性。 當然，隸屬函數的具體確定，確實包含著人腦的加工，其中包含某種心理過程。但是，歸跟到底，心理活動也是物質性的。心理物理學的大量實驗表明，人的各種感覺所反映出來的心理量與外界刺激的物理量之間保持著相當嚴格的定律（如偉伯定律、冪函數定律等），這些定律甚至在某些自然科學中扮演著基礎的角色。下面介紹確定隸屬函數的一般原則。 (1) 隸屬函數的確定過程，本質上是客觀的，但又容許一定的認為技巧，有時這種人為技巧對問題的解決 起決定作用。值得注意的是，人為技巧應該是合乎情理的，不能有悖于客觀實際。 (2) 在某些場合隸屬函數可以通過模糊統(tǒng)計試驗加以確定。一般來說，這種方法多是較為有效的。 (3) 在某些場合，可以用概率統(tǒng)計的結果予以推理而確定其隸屬函數。 (4) 在某些場合，可以用二元對比排序法確定隸屬函數的大致形狀，根據形狀選用適當的隸屬函數的模型。 (5) 在一定條件下，隸屬函數可以作為推理的產物。 (6) 某些模糊集合的隸屬函數可以經過模糊運算求得。 (7) 在模糊數學的許多應用領域中，隸屬函數可以通過“學習”而不斷完善。 實踐效果是檢驗和調整隸屬函數的依據。 (8) 隸屬函數的確定也可以通過專家的經驗來確定，目前在許多基于知識的專家系統(tǒng)中都是這樣來確定隸屬函數的。 2.3 模糊性的度量 2.3.1 模糊集合之間的距離 兩個模糊集合間的相似程度可以用他們之間的距離來度量，一般用符號 d或 s 表示。 2.3.2 模糊度 一個模糊集合 A ，其模糊程度是可以定量描述的。 1972 年德國學者 De laca淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 13 -頁 共 53 頁 - 13 - 提出了用模糊度來刻劃論域 U上的任意模糊集合 A 的 模糊程度的定量描述方法。模糊度 DA ,滿足下列條件： (1) 當且僅當 A 為 U 上的經典集合時， AD 0； (2) 當且僅當 5.0 xu A時， AD 取最大值，即 AD ； (3) 若對任意 Ux ，有 xuA 5.0 xuB 或 xuA 5.0 xu B 則 AD BD (4) A 與其補集 A ，其模糊度相同 ADAD 這個定義給出了關于模糊度的 四條公理。定義中的條件 (1)說明經典集合是不模糊的。條件 (2)表明當 5.0 xu A時是最模糊的，因為在相反的情況下的隸屬度也是 0.5，即 5.0 xuxu AA，因而對于這兩種情況不知該怎樣決策才好。條件 (3)表明隸屬度越靠近 0.5 越模糊，反之離 0.5 越遠越清晰。條件 (4)表明 A 與其補集 A 的模糊度是相同的，即 xuA與 xuA到 0.5 的距離相等。 2.3.3 貼近度 兩個模糊集之間接近程度的一種度量。 貼近度的一種形式： xuxuBA BA )( 例 321 , xxxU 3217.04.08.0 xxxA 3215.06.06.0 xxxB 5.07.06.04.06.08.0 BA = 5.04.06.0 =0.6 xuxuBA BA )( BA ， BA 分別叫做 A 與 B 的內積與外積。稱 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 14 -頁 共 53 頁 - 14 - BABABA 1, 或 BABABA 121, 為 A 與 B 的格貼近度。 2.3.4 隸屬原則 設nAAA ,., 21是 U 中的 n個模糊子集，lx是 U 中的一個元素， 若有， )() ,. . . .,(),(m a x21 onoooi xAxAxAxA ， （） 則認為 xo相對隸屬于iA， 這就是隸屬原則。 例 25.00154.082.0 ，A 58.087.05.0 ，B 以隸屬原則判定， 即（）式 Ax 3 Bx 4 2.4 模糊矩陣與模糊關系 2.4.1 模糊關系簡介 數學上講，一個確切的分類，要由一個等價關系來確定。對應地。一個模糊的分類，要由一個模糊的等價關系來確定。模糊關系在模糊數學中有著基本的理論意義。 2.4.2 模糊關系 設 U 是因素甲的狀態(tài)集， V 是因素乙的狀態(tài)集，若要同時考慮甲，乙兩因素，則可能狀態(tài)集是由 U 與 V 中任意搭配的元素對 (u,v)所構成，在數學上稱它為 U 與 V 的笛卡爾乘 積集，記作 VvUuvuVU ,:, . VU 是 U、 V元素之間的一種無約束的搭配，如果對這種搭配施加某種限制，這種限制便體現(xiàn)了 U 與 V之間的某種特定的關系。因此，在數學上便把 U、 V元素之間的關系定義成為 U V 的一個子集，這是所熟知的事實，相應地有從 U到 V的一個模糊關系 R 。 所謂從 U 到 V 的一個模糊關系 R ,是指 VU 的一個模糊子集。隸屬程度淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 15 -頁 共 53 頁 - 15 - vuR , 表示 u與 v具有關系 R 的程度。當 U=V， R 稱為 U上的模糊二元關系。 例 U=(1.4,1.5,1.6,1.7,1.8), V=(40,50,60,70,80), VU 的模糊子集 R 其隸屬 函數用矩陣表為18.02.0008.18.018.02.007.12.08.018.02.06.102.08.018.05.1002.08.014則 R 表示了身長（米）體重（公斤）對應關系。 2.4.3 模糊矩陣 當 U 與 V 都是有限集合時， R 可用一矩陣表現(xiàn)，這樣的矩陣（元素是介于0,1 之間的實數），稱為模糊矩陣，也記作 R 。 設 ijrR是 mn 維模糊矩陣， jkSS 是 rm 維模糊矩陣，令 jkijik Sri （ i=1, ,n,k=1, ,n） 易見 10 iki,則稱 ikiT 為 R 對 S 的復合矩陣，記作 SRT 例如4.009.03.001.04.01.01.05.02.01R 8.02.03.01.017.09.04.0S 則9.07.04.04.09.04.0 SR 矩陣的復合運算非常類似于普通矩陣乘法，只是將“”改為“ ” ，將“ ” 改為“ ” 。 2.4.4 模糊聚類 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 16 -頁 共 53 頁 - 16 - 模糊等價關系 設 R 是 U 上的一個模糊關系，其對應的模糊矩陣 R nmijr ，若滿足 (1) 自反性 1ijr (i=1,2, ,n) (2) 對稱性 jiij rr (I,j=1,2, ,n) (3) 傳遞性 RRR 則稱 mnijrR 是一個模糊等價矩陣，其關系是模糊等價關系。 由定義可見，自反性是矩陣的對角線上的元素全是，對稱性是 R 為對稱矩陣，而傳遞性不宜直接看出 ，需計算。一般情況下所建立的模糊關系只滿足反身性和對稱性條件，但可以證明這種模糊關系（ n 階矩陣）滿足下式 RRRRRR （ R n ） 其中， RR 是一個模糊等價關系，即模糊關系可通過計算改造成模糊等價關系。 模糊聚類分析 對事物按一定要求進行分類的數學方法叫聚類分析，它是研究分類的一種多元分析方法。在應用該方法時，關鍵是要把統(tǒng)計指標選擇得合理，也就是統(tǒng)計指標應該有明確的實際意義，有 較強的分辨力和代表性。在選定了統(tǒng)計指標后，進行聚類分析，大致分兩步。 第一步標定工作 設 U 是需要分類的對象的全體，先建立 U 上的模糊關系 R ，當 U 為有限集時， R 是一個矩陣，這一步稱為標定。實際上，標定工作是標出衡量被分類對象間相似程度的統(tǒng)計量ijr(i， j=1， 2， ， n)，由此得出模糊關系 R 。設被分類的每一對象iu，由一組數據imii xxx ,., 21表示，則ijr的計算方法與公式如下： (1) 數量積法 mkjkikij jiMxxjir1,1當當 其中 M 為一適當選擇的正數，且滿足 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 17 -頁 共 53 頁 - 17 - M mk jkikxx1m ax (2) 絕對值指數法 mk jkik xxij er 2 (3) 主觀評定法 請有經驗的專家評分，一般可用百分制。將評得的總分除以 100 后，即得閉區(qū)間 1,0 的一個數。為避免主觀片面，也可采用多人評分，再取平均值的方法來定出ijr。 第二步聚類 由上知， R 一般需改造成模糊等價關系。取 R 的乘冪 ,., 842 RRR 若在某一步有 nkk RRR 2 ，則 nR 便是一個模糊等價關系。 計算出 nR 后，選定適當的閥值 ,對 nR 進行截割。 根據聚類原則，即ix與jx在 水平上屬同類，當 ijr時，ix與jx歸為一類。由于所選的 值不同，便可對 U 進行動態(tài)聚類，得到聚類圖，該方法稱為模糊聚類傳遞包法。 例 以往對煤礦巖巷圈巖穩(wěn)定性分類多采用工程類比法，該方法具有一定的主觀性和片面性，為此采用模糊聚類法進行分類。通過對國外所采用過的幾十個巖石分類指標的分析，選定“位移穩(wěn)定時間、巖體聲波速度、點荷載強度、巖塊結構模糊”四個指標為分類指標，據此可大致確定出圍巖穩(wěn)定性類別。 已知某礦五條巷道 、的四個指標 值，試用模糊聚類傳遞包法對其的穩(wěn)定性進行判定。 經實際標定，該五條巷道的模糊相似矩陣為 00.138.043.041.047.038.000.139.034.041.043.039.000.148.062.041.034.048.000.147.047.041.062.047.000.1R R 的自反性和對稱性是顯然的，但不滿足傳遞性條件，故需進行改造。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 18 -頁 共 53 頁 - 18 - *2224 RRRRR ， *R 即為模糊等價關系。 選取 值對 *R 進行截割。當 =1 時，有 10000010000010000010000011R 這時 U 被分為 ，。 當 62.0 時，有 100000100000101000100010162.0R 這時 U被分為，。 同理， 48.0 時， U被分為，。 47.0 時， U被分為，。 41.0 時， U被分為，。 圖 2 模糊聚類圖 如果欲將其分為“穩(wěn)定、中等穩(wěn)定，不穩(wěn)定三類” ，則可取 48.0 。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 19 -頁 共 53 頁 - 19 - 2.5 模糊綜合評判 2.5.1 模糊綜合評判的意義 在生產、科研和日常生活中，人們常常需要比較各種事物，評價其優(yōu)劣好壞，以作相應的處理。例如，評價某新產品整機性能的好壞，評價某設計參數的合理程度等，以該進產品設計，提高產品質量。 由于同一事物具有多種屬性，因此，在評價事物 時應兼顧各個方面。特別是在生產規(guī)劃、管理調度等復雜系統(tǒng)中，作出任何一個決策時，都必須對多個相關的因素進行綜合考慮，這便是所謂的綜合評判問題。若這種評判涉及模糊因素，便是模糊綜合評判問題。 2.5.2 一級模糊綜合評判 模糊綜合評判就是應用模糊變換原理對其考慮的事物所作的綜合評判。它主要分為兩步：第一步先按單個因素進行評判，第二步再按所有因素進行綜合評判。 (1) 建立因素集 因素集是以影響評判對象的各種因素為元素組成的集合，通常用 U 表示，即 U=nuuu ,., 21 各元素iu代表各影響因素。這些因素通常都具有不同程度的模糊性。例如，在評判機械結構的安全系數時，其影響因素一般包括： 1u 設計水平 2u 制造水平 3u 材質好壞 4u 重要程度 5u 使用條件 6u 維修費用與災害損失費用 上述各因素iu所組成的集合，便是評判安全系數的因素集 U=nuuu ,., 21。 (2) 建立備擇集 (評判集 ) 備擇集是以評判者對評判對象可能作出的各種總的評判結果為元素組成的集合，通常用 V 表示，即 V= mvvv ,., 21 各元素 iv 代表各種可能的總的評判結果。模糊綜合評判的目的，就 是在綜合考慮所有影響因素的基礎上，從備擇集中得到一最佳的評判結果。例如，在評判安全系數時，備擇集中的元素 iv 即為可能選取的各種安全系數值，評判的結果便淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 20 -頁 共 53 頁 - 20 - 是從 V中得出一個最合理的安全系數。 (3) 單因素模糊評判 首先從因素集 U 中的單個因素出發(fā)進行評判，確定評判對象對備擇集中各元素的隸屬程度。設評判對象按因素集中第 i 個因素 iu進行評判時，對備擇集中第 j 個元素jv隸屬程度為ijr，則按第 i個因素iu評判的結果可用模糊集合表示為 mimiii vrvrvrR .2211 iR稱為單因素評判集，可簡單地表示為 imiii rrrR ,., 21 它是備擇集 V上的一個模糊集合。將 n 個因素的評判集組成一個總的評判矩陣 nmnnmmn rrrrrrrrrRRRR21222211121121 R 稱為單因素評判矩陣。 (4) 建立權重集 一般而言，各個因素的重要程度是不一樣的。為了反映各因素的重要程度，對各個因素iu應賦予一相應的權數iw。由各權數所組成的集合 nwwwW , 21 稱為因素權重集，簡稱為權重集。 (5) 模糊綜合評判 從單因素評判矩陣 R 可以看出； R 的第 i行，反映了第 i個因素影響評判對象取各個備擇元素的程度； R 的第 j 列，則反映了所有因素影響評判對象取第 j個備擇元素的程度。因此，可用每列元素之和 ni ijr1 j=1,2, ,m 來反映所有因素的綜合影響。但是這樣做并未考慮個因素的重要程度。如在上式的各項作用以相應因素的權數 iW ，便能合理地反映所有因素的綜合影響?；春９W院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 21 -頁 共 53 頁 - 21 - 因此，當權重集 W 和單因素評判矩陣 R 為已知時，便可作 模糊變換來進行綜合評判 RWB = nmnnmmnrrrrrrrrrwww21222211121121 , = mbbb , 21 式中，“ ”表示某種合成運算； B 稱為模糊綜合評判集； mjbj ,2,1 稱為模糊綜合評判指標，簡稱為評判指標。jb的含義為綜合考慮所有因素的影響時，評判對象對備擇集中第 j個元素 的隸屬度。 2.5.3 多級模糊綜合評判 在復雜系統(tǒng)中，由于要考慮的因素很多，各因素之間往往還有層次之分，并且許多因素還具有比較強烈的模糊性，若用一級模糊綜合評判模型，則難以比較系統(tǒng)中事物之間的優(yōu)勝劣汰次序，得不出有意義的評判結果。此時，需用多級模糊綜合評判。 當因素很多時，若用一級模糊綜合評判模型，則必然會遇到這樣一些問題，一是權數難以較為合理地分配，二是因重集中各權數都很小，會出現(xiàn)“泯沒”大量單因素評判信息的情況。在實際應用中，如果遇到這種情形，可把因素集 U按某些屬性分成幾類，先對每一類（因素較少）作 綜合評判，然后再對評判結果進行“類”之間的高層次的綜合評判。 (1) 將因素分類 先根據因素集中因素間的關系將 U 分成 N 類，即 U=nuuu ,., 21 (2) 一級模糊綜合評判 對每個 U=nuuu ,., 21的im個因素，按一級模糊綜合評判模型進行綜合 評判得 iii RWB i=1,2, ,N 式中， iW 為 iU 上的權重集，且 imiii wwwW , 21 ； iR 為對 U的單因素評判矩陣。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 22 -頁 共 53 頁 - 22 - (3) 二級模糊綜合評判。 U的總的評價句矩陣 R 為 NBBBR 21=nn RWRWRW2211 根據各類因素的重要程度，賦予每個因素類似相應的權數，設為 nwwwW , 21 則總的評判結果為 如果因素集 U的元素非常多時，則仿照上述步驟還可進行三級甚至更多級的模糊綜合評判。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 23 -頁 共 53 頁 - 23 - 3 凸輪機構的模糊優(yōu)化設計 在各類機器中，為了實現(xiàn)各種復雜的運動要求，廣泛應用著凸輪機構。近年來，國內外采用優(yōu)化設計方法進行凸輪機構設計已取得較大的進展。但以往的工作均未考慮到凸輪機構中有些因素的模糊性，致使難以迅速獲得諸方面皆滿意的方案，考慮到約束條件的模糊性，下面建立了凸輪機構的模糊優(yōu)化數學模型，并對一實例進行了模糊優(yōu) 化設計。 3.1 凸輪機構的應用和分類 當從動件的位移、速度和加速度必須嚴格地按照預定規(guī)律變化，尤其當原動件作連續(xù)運動而從動件必須作間歇運動時，則以采用凸輪機構最為簡便。 內燃機配氣機構和自動機床上控制刀架運動的都為凸輪機構。故凸輪是一個具有曲線輪廓或凹槽的構件，它運動時，通過高副接觸可以使從動件獲得連續(xù)或不連續(xù)的任意預期往復運動。 凸輪機構一般由凸輪、從動件、機架三個構件組成。常用的凸輪機構可分類如下： 3.1.1 按凸輪的形狀分 (1) 盤形凸輪 它是凸輪的最基本型式。這種凸輪是一 個繞固定軸線轉動并具有變化矢徑的盤形構件。 (2) 移動凸輪 當盤形凸輪的回轉中心趨于無窮遠時，凸輪相對機架作往復移動，這種凸輪稱為移動凸輪。 (3) 圓柱凸輪 這種凸輪可認為是將移動凸輪卷成圓柱體而演化成的。 盤形凸輪和移動凸輪與從動件之間的相對運動為平面運動；而圓柱凸輪與從動件之間的相對運動為空間運動，所以前兩者屬于平面凸輪機構，后者屬于空間凸輪機構。 3.1.2 按從動件的型式分 (1) 尖底從動件 尖底能與任意復雜的凸輪輪廓保持接觸，從而使從動件實現(xiàn)任意運動。但因為尖底易于磨損，故只宜用于傳 力不大的低速凸輪機構中。 (2) 滾子從動件 這種從動件耐磨損，可以承受教大的載荷，故應用最普遍。 (3) 平底從動件 這種從動件的底面與凸輪之間易于形成楫形油膜，故常用于高速凸輪機構之中。 以上三種從動件亦可按相對機架的運動形式分為作往復直線運動的直動從動件和作往復擺動運動的擺動從動件。 3.1.3 按凸輪與從動件維持高副接觸的方式分 (1) 力鎖合 利用從動件的重力、彈簧力或其他分力使從動件與凸輪保持接觸。 (2) 幾何鎖合 依靠凸輪與從動件的特殊幾何形狀而始終維持接觸。如凹槽凸輪，其凹槽兩側面間的距離等于滾子的直徑，故能保證滾子與凸輪始終接觸。顯然，這種凸輪只能采用滾子從動件。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 24 -頁 共 53 頁 - 24 - 幾何鎖合的凸輪機構可以免除彈簧附加的阻力，從而減小驅動力和提高效率；它的缺點是機構外廓尺寸較大，設計也較復雜。 凸輪機構的優(yōu)點是：只需設計適當的凸輪輪廓，便可使從動件得到任意的預期運動，而且結構簡單、緊湊、設計方便，因此在自動機床、輕工機械、紡織機械、印刷機械、食品機械、包裝機械和機電一體化產品中得到廣泛應用。它的缺點是： 1)凸輪與從動件間為點或線接觸，易磨損，只易用于傳力不大的場合； 2）凸輪輪廓加工比較困難； 3）從動件的行程不能不能過大，否則會使凸輪變得笨重。 3.1.4 凸輪機構的壓力角和自鎖 偏置尖底直動從動件盤形凸輪機構在推程角的一個位置時，當不考慮摩擦時，凸輪 作用于從動件的驅動力 F 是沿法線方向傳遞的。此力可分解為沿從動件的運動方向的有用分力 F1 和使從動件緊壓導路的有害分力 F2。驅動力 F 與有用分力 F1 之間的夾角 （或接觸點法線與從動件上力作用點速度的方向所夾的銳角）稱為凸輪機構在圖示位置時的壓力角。顯然，壓力角是衡量有用分力 F1和有害分力 F2 之比的重要參數。壓力角 愈大，有 害分力 F2 愈大，由 F2 引起的導路中的摩擦阻力也愈大，故凸輪推動從動件所需的驅動力也就愈大。當 增大到某一數值時，因 F2 引起的摩擦阻力將會超過有用分力 F1，這時，無論凸輪給從動件的驅動力多大，都不能推動從動件，這種現(xiàn)象稱為機構出現(xiàn)自鎖。機構開始出現(xiàn)自鎖的壓力角 lim 稱為極限壓力角，它的數值與支承間的跨距，懸臂長度，接觸面間的摩擦系數和潤滑條件等有關。實踐說明，當 增大到接近 lim時，即使尚未發(fā)生自鎖，也會導致驅動力急劇增大，輪廓嚴重磨損、效率迅速降低。因此，實際設計中規(guī)定了壓力角的許用值 。對擺動從動 件，通常取 =40- 50；對于直動件從動件通常取 =30 -38。滾子接觸、潤滑良好的支承有較好剛性時取數據的上限；否則取下限。 力鎖合式凸輪機構，其從動件的回程是由彈簧等外力驅動的，而不是由凸輪驅動的，所以不會出現(xiàn)自鎖。因此，力鎖合式凸輪機構的回程壓力角可以很大，其許用值可取 =70 - 80。 3.1.5 凸輪副的材料及其熱處理 凸輪和從動件應具有足夠的強度和耐磨性。一般應使從動件上與凸輪相接觸部分的硬度略低于凸輪的硬度，因更換從動件比更換凸輪價廉而簡便。 凸輪副常用材料及其熱 處理，可根據載荷情況按下表選用。 凸輪材料及其熱處理 材料類型 熱 處 理 硬 度 接觸疲勞強度極限 sHlim(MPa) 特 點 和 用 途 碳素鋼 正火 HB150 190 2HB+70 低速、輕載凸輪或從動件 調質 HB220 250 2HB+70 綜合性能較好，用于中低速、中載的凸輪或從動件 調質后表面淬火 HRC45 50 17HRC+200 中高速、中載、中等精度的凸輪或從動件 合金鋼 調質 HB220 285 2HB+70 性能優(yōu)于碳素鋼調質，應用情況同碳素鋼 調質后表面淬火 HRC45 50 17HRC+200 淬透性好，應用情況同碳素鋼 氮化 HV550 750 1050 接觸疲勞強度高，用于中高速、中載、高精度的凸輪或從動件 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 25 -頁 共 53 頁 - 25 - 3.2 凸輪機構的設計要求及其計算公式 3.2.1 設計要求 如圖 5-13 所示偏置直動滾子從動件盤形凸輪機構，已知凸輪沿順時針方向等角速度轉動， n=100r/min，當凸輪轉過升程角w=110 時，從動件按正弦加速度運 動規(guī)律運動，工作行程 h=40mm，從動件導路偏于凸輪回轉中心的左方，確定凸輪的最小基圓半徑br。 (1) 已知機構尺寸及有關參數 a=0.05m, c=0.015m , d=0.16m ,導路的摩擦系數 =0.1,凸輪軸半徑 rs=0.01m,外載荷 Q=400N，彈簧剛度 K=5000N/m，從動件質量m=5kg，凸輪基圓半徑與滾子半徑之比 k=3.5, 凸輪與滾子彈性模 量 5101.2 E Mpa， 凸輪的許用接觸應力 600MPa， 凸輪的角速度 w=10.472rad/s, w=110 =1.92rad， h=0.04m。 圖 5-13 從動件的作用力 (2) 變量 y的上下界 0.02m,則 y 的上界為 y=d-a-s-b=0.16-0.05-0.04-0.02=0.05m 當從動件在下死點時，因凸輪基圓半徑有 3106475.1 Tsb rrr,即 3101.45.3/01.075.1 bb rr ,故有 br 0.03m。假定偏距取最大值淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 26 -頁 共 53 頁 - 26 - e=-0.015m，則的 y 下界為 mery b 026.0015.003.0 2222 (3) 變量 e的上下界及 ， 根據機構尺寸，取 e =0,e = -0.015m，凸輪的許用最大壓力角 30 ,凸輪的許用接觸應力 600MPa。 3.2.2 凸輪機構的計算公式 按正弦加速度運動規(guī)律，計算從動件的位移 s，速度 s 和加速度 s 。 (1) 凸輪理論輪廓上任意點的曲率半徑 uuc 2 (2) 從動件的作用力 smFKsQPs 其中， Q為外載荷， K為彈簧剛度，sF為彈簧的預緊力， m為從動件系統(tǒng)的質量。 (3) 凸輪輪廓的法向力。在不考慮滾子與凸輪輪廓之間的摩擦力的條件下，由從動件作用力的平衡方程組解得 s i n22c o s caba PaN 其中， 21,NN 為從動件導路的反作用力， N為凸輪的法向力， 為摩擦系數，a,b,c為凸輪機構尺寸（見圖 5 13）。 (4) 凸輪輪廓的接觸應力 vqE 418. 其中， q為凸輪輪廓單位寬度的載荷 (取 q=N/0.75rb)， E為凸輪與滾子的材料綜合彈性模量，v為凸輪與滾子的綜合曲率半徑。 cbcbTTcTcTv k rkrrr rr 2 3.3 凸輪機構模糊優(yōu)化設計的數學模型 根據設計要求，在滿足正常運行條件下，確定凸輪的最小基 圓半徑 br （也可以說凸輪用料最少），其模糊優(yōu)化數學模型的建立如下： 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 27 -頁 共 53 頁 - 27 - 3.3.1 確定設計變量 由圖 5-13可知，影響基圓半徑的因素為其偏心距和滾子在下死點時 y 的數值。故設計變量 X=y,eT=x1,x2T 3.3.2 建立目標函數 由圖 5-13可知，目標函數 minF(X)=(x12+x22)1/2 3.3.3 確定約束條件 考慮從完全許用到完全不許用的中介過渡過程，把凸輪的接觸應力，凸輪的壓力角，凸 輪的基圓半徑等約束，視為設計空間中的模糊子集，約束條件如下： (1) 凸輪的接觸應力強度約束 s i n22c o s75.0418.021cabarP a Ebv (2) 凸輪的壓力角約束 1 wsy ewstg (3) 凸輪的最小基圓半徑約束 bb rr 3.4 凸輪機構模糊約束的隸屬函數的確定 3.4.1 凸輪的許用接觸應力 因 600MPa，故下界 l =600MPa，上界 u = =1.2 600=720MPa。 圖 5-14所示為其隸屬函數圖。隸屬函數為 =720,0720600,1206001600,1 3.4.2 凸輪的許用最大壓力角 因 =30 ,故下界 l =30 ,上界 u 1.2 30 =36 ,圖 5-15為其隸屬函數圖。隸屬函數為 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 28 -頁 共 53 頁 - 28 - 36,03630,630130,1 A 3.4.3 基圓的最小半徑 br br =3.024 10-2m, 上界 ubr =3.024 10-2m, 下界 Lbr = br =0.8 3.024=2.419 10-2m。其隸屬函數見圖 5-16。隸屬函數為 222210024.3,110024.310419.2,605.0419.210419.2,0bbbbbRrrrrrb 3.5 凸輪機構模糊優(yōu)化設計的求解 求解模糊優(yōu)化模型的基本途徑，是把模糊優(yōu)化問題轉化為非模糊優(yōu)化模型，再用普通優(yōu)化方法求解。本文選用了最優(yōu)水平截集法來實現(xiàn)這種轉化，然后用復合形法進行求解。 水平值可理解為設防水平，表示對 約束條件的滿足程度，不同的值可得到不同的優(yōu)化結果。越小，意味著越不嚴格滿足約束，結構安全性差，但對凸輪材料的投資就越小，反之，結構可靠，投資就越大。這就需要尋求一最優(yōu)的，以保證安全可靠的前提下得到具有最佳經濟效益的設計方案?？紤]到影響凸輪結構的因素，本文采用二級模糊綜合評判法得出最優(yōu)水平值，并用它去確定約束條件中各模糊邊界量， 從而將優(yōu)化模型轉化為普通優(yōu)化模型 。 3.5.1 優(yōu)化設計發(fā)展概況 優(yōu)化設計是 20 世紀初發(fā)展起來的一門新科學。它是將最優(yōu)化原則和計算技術應用于設計領域，為工程設計提供一種重要的科學設計方法。利用這種新的設計方法，人們就可以從眾多的設計方案中尋找出最佳設計方案，從而大大提高設計效率和質量，因此優(yōu)化設計是現(xiàn)代設計的特點。 一項機械產品的設計，一般需要調查分析，方案擬訂，技術設計，零件工作圖繪制等環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)設計方法通常在調查分析的基礎上，參照同類產品通過估算，經驗類比或試驗來確定初始設計方案。然后，根據初 試設計方案的設計參數進行淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 29 -頁 共 53 頁 - 29 - 強度，剛度，穩(wěn)定性等性能分析計算，檢查各性能是否滿足設計指標要求。如果不完全滿足性能指標的要求，設計人員將憑借經驗或直觀判斷對參數進行修改。這樣反復進行分析計算 性能檢驗 參數修改，直到性能完全滿足設計指標的要求為止。整個傳統(tǒng)設計的過程就是工人試湊和定性分析比較的過程，主要的工作是性能的重復分析。至于每次參數的修改，僅僅憑借經驗或直觀判斷，并不是根據某種理論精確計算出來的。實踐證明，按照傳統(tǒng)設計方法作出的設計方案，大部分都有改進提高的余地，而不是最佳設計方案。 傳統(tǒng)設計方 法只是被動地重復分析產品的性能，而不是主動地設計產品的參數。從這個意義上講它沒有真正體現(xiàn)“設計”的含義。其實“設計”一詞本身就包含優(yōu)化的概念。作為一項設計不僅要求方案可行 、合理，而且應該是某些指標達到最優(yōu)的理想方案。設計中的優(yōu)化思想在古代就有所體現(xiàn)。像這樣簡單的優(yōu)化設計問題用古典的微分方法很容易求解，但對于一般的工程優(yōu)化問題的求解，需要采用數學規(guī)劃理論并借助于電子計算機才能完成?；谶@一原因，“設計”中的優(yōu)化的概念一直未能得以很好的體現(xiàn)。例如，我國宋代建筑師李戒在其著作營造法式一書中曾指出：圓木做成矩形 截面梁的高寬比應為三比二。這一結論和抗彎梁理論推得的結果十分接近。根據梁彎曲理論，最佳截面尺寸應使梁截面抗彎截面系數 W最大。設截面寬為 b，高為 h,則要求 W=bh2/6 max。若圓木直徑為d，有 d2=b2+h2， W=b(d2-b2)/6,dW/db=(d2-3b2)/6=0。當 b=d/31/2 時， W 取極大值（ d2W/d2b=-b0），而 h=(2/3)1/2d，則有 21/2 1.414。這與 h/b=3/2=1.5 很相近。像這樣簡單的優(yōu)化問題用古典的微分法很容易求解，但對于一般工程優(yōu)化問題的求解，需要采用數學 規(guī)劃理論并借助于電子計算機才能完成?；谶@一原因，“設計”中優(yōu)化的概念一直位能得以很好體現(xiàn)。直到 20 世紀 60 年代，電子計算機和計算機技術迅速發(fā)展，優(yōu)化設計才有條件日益發(fā)展起來。 近 20 年來，隨著電子計算機的應用，在機械設計領域內，已經可以用現(xiàn)代化的設計方法和手段進行設計，來滿足對機械產品提出的要求。 現(xiàn)代化的設計工作已不再是過去那種憑借經驗或直觀判斷來確定結構方案，也不是像過去“安全壽命可行設計”方法那樣，即在滿足所提出的要求的前提下，先確定結構方案，再根據安全壽命等準則，對該方案進行強度、 剛度等的分析、校合進行修改，以確定結構尺寸。而是借助電子計算機，應用一些精確度教高的力學的數值分析方法（如有限元法等）進行分析計算，并從大量的可行設計方案中尋找出一種最優(yōu)的設計方案，從而實現(xiàn)用理論設計代替經驗設計，用精確計算代替近似計算，用優(yōu)化設計代替一般的安全壽命的可行性設計。 優(yōu)化方法在機械設計中的應用，既可以使方案在規(guī)定的設計要求下達到某些優(yōu)化的結果，又不必耗費過多的計算工作量。因此，產品結構、生產工藝等的優(yōu)化已經成為市場競爭的一種手段。例如，據資料介紹，在 16h 內，進行 16000淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 30 -頁 共 53 頁 - 30 - 個可行性設計 的選擇，從中選出一個成本最低、產量最大的方案，并給出必要的精確數據。而在這之前，求解這個問題，曾是一組工程師工作了一年，但僅做了三個設計方案，而他們的效率卻沒有一個可以和上述優(yōu)化方案相比。又例如，美國貝爾 (Bell)飛機公司采用優(yōu)化方法解決 450 個設計變量的大型結構優(yōu)化問題。在對一個機翼進行質量設計中，減輕質量達 35%。波音（ Boeing）公司也有類似的情況，在 747 機身的設計中，收到了減輕質量、縮短生產周期、降低成本的效果。武漢鋼鐵公司所引進的 1700 薄板扎機是德國 DMAG 公司提供的。該公司在對此產品進行 優(yōu)化修改后，就多贏利幾百萬馬克。 優(yōu)化方法不僅用于產品機構的設計、工藝方案的選擇，也用于運輸路線的確定、商品流動量的調配、產品配方的配比等等。目前，優(yōu)化方法在機械、石油、化工、電機、建筑、宇航、造船、輕工等部門都已得到廣泛應用。 在第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事上的需要產生了運籌學，提供了許多用古典微分法和變分法不能解決的最優(yōu)化方法。 20 世紀 50 年代發(fā)展起來的數學規(guī)劃理論形成了應用數學的一個分支為優(yōu)化設計奠定了理論基礎。 20 世紀 60 年代電子計算機和計算技術的發(fā)展為優(yōu)化設計提供了強有力的手段，使工程技術 人員能夠從大量煩瑣的計算機工作中解放出來，把主要精力轉到優(yōu)化方案選擇的方向上來。雖然近 20 多年來優(yōu)化設計方法已在許多工業(yè)部門得到應用，到最優(yōu)化技術成功地運用也機械設計還是在 20 世紀 60 年代后期開始的；雖然歷史較短，但進展迅速。十多年來在機構綜合 、機械零部件設計、專用機械設計和工藝設計方法都獲得應用并取得一定成果。 機構運動參數的優(yōu)化設計是機械優(yōu)化設計中發(fā)展較早的領域，不僅研究了連桿機構、凸輪機構等再現(xiàn)函數和軌跡的優(yōu)化設計問題，而且還提出了一些標準化程序。機構動力學優(yōu)化設計方面也有很大進展，如慣性力的 最優(yōu)平衡，主動件力矩的最小波動等的優(yōu)化設計。機械零、部件的優(yōu)化設計最近十幾年也有很大的發(fā)展，主要是研究各種減速器的優(yōu)化設計、減壓軸承和滾動軸承的優(yōu)化設計以及軸、彈簧、制動器等的結構參數優(yōu)化。除此之外，在機床、鍛壓設備、壓延設備、起重運輸設備、汽車等的基本參數、基本工作機構和主體結構方面也進行了優(yōu)化設計工作。 近年來，機械優(yōu)化設計的應用愈來愈廣，但還面臨著許多問題需要解決。例如，機械產品設計中零、部件通用化、系列化和標準化，整機優(yōu)化設計模型及方法的研究，機械優(yōu)化設計中離散變量優(yōu)化方法的研究，更為有效的 優(yōu)化設計方法的發(fā)掘等一系列問題，都需做較大的努力才能適應機械工業(yè)的發(fā)展的需要。 近年來發(fā)展起來的計算機輔助設計 (CAD)，在引入優(yōu)化設計方法后，使得在設計過程中能夠不斷選擇設計參數并選出最優(yōu)化設計方案，又可以加速設計速度，縮短設計周期。在科學技術發(fā)展要求機械產品更新周期日益縮短的今天，把 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 31 -頁 共 53 頁 - 31 - 優(yōu)化設計方法與計算機輔助設計結合起來，使設計過程完全自動化，已成為設計的一個重要發(fā)展趨勢。 機械優(yōu)化設計包括建立優(yōu)化設計問題的數學模型和選擇適當的優(yōu)化方法與程序兩方面的內容。由于機械優(yōu)化設計是應用數學方法尋 求機械設計的最優(yōu)方案，所以首先要根據實際的機械設計問題建立相應的數學模型，即用數學形式來描述實際設計問題。在建立數學模型時，需要應用專業(yè)知識確定設計的限制條件和所追求的目標，確立各設計變量之間的相互關系等。機械優(yōu)化設計問題的數學模型可以是解析式、試驗數據或經驗公式。雖然它們給出的形式不同，但都是反映設計變量之間的數量關系的。 數學模型一旦建立，機械優(yōu)化設計問題就變成一個數學求解問題。應用數學規(guī)劃方法的理論，根據數學模型的特點，可以選擇適當的優(yōu)化方法，進而可以選取或自行編制計算機程序，以計算機作為工具 求得最佳設計參數。 3.5.2 優(yōu)化設計問題的數學模型 設計變量 一個設計方案可以用一組基本參數的數值來表示。這些基本參數可以是構件長度、截面尺寸、某些點的坐標值等幾何量，也可以是重量、慣性矩、力或力矩等物理量，還可以是應力、變形、固有頻率、效率等代表工作性能的導出量。但是，對某個具體的優(yōu)化設計問題，并不是要求對所有的基本參數都用優(yōu)化方法進行修改調整。例如，對某個機械結構進行優(yōu)化設計，一些工藝、結構布置等方面的參數，或者某些工作性能的參數，可以根據已有的經驗先取為定值。這樣，對這個設計方案來 說，他們就成為設計常數。而除此之外的基本參數，則需要在優(yōu)化設計工程中不斷進行修改、調整，一直處于變化的狀態(tài)，這些基本參數稱做設計變量，又叫做優(yōu)化參數。 設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量來表示 x=x1 x2 . xnT 稱做設計變量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根據使用的方便任意選取。這些設計變量可以是一些結構尺寸參數，也可以是一些化學成分的含量或電路參數等。一旦規(guī)定了這樣一種向量的組成，則其中任意一個特定的向量都可以說是 一個“設計”。由 n 個設計變量為坐標所組成的矢空間稱做設計空間。一個“設計”，可用設計空間中的一點表示，此點可看成是設計變量向量的端點（始點取在坐標原點），稱做設計點。 約束條件 設計空間是所有設計方案的組合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的（例如面積取負值等）。如果一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行（或可接受）設計，反之則稱為不可行（或不可接受）設計。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 32 -頁 共 53 頁 - 32 - 一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱做約束條件，簡稱約束。在工程問題中，根據約束的性質可以把它們區(qū)分成性 能約束和側面約束兩大類。針對性能要求而提出的限制條件稱做性能約束。例如，選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求，衍架某點變形不超過給定值。不是針對性能要求，只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱為側面約束。例如，允許選擇的尺寸范圍，衍架的高在其上下限范圍之間的要求就屬于側面約束。側面約束也稱做邊界約束。 約束又可按其數學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。等式約束h(x)=0 要求設計點在 n 維設計空間的約束曲面上。不等式約束 gj(x)0 (j=1,2,.,m) 要求設計點在設計空間中約束曲面 g(x)=0 的一側（包括曲面本身）。所以，約束是對設計點在設計空間中活動范圍所加的限制。凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間中的活動范圍稱做可行域。如滿足不等式約束 gj(x)0 (j=1,2,.,m) 的設計點活動范圍，它是由 m個約束曲面 gj(x)=0 (j=1,2,.,m) 所形成的 n維子空間（包括邊界）。滿足兩個或更多個 gj(x)=0 點的集合稱做交集。在三維空間中兩個約束的交集是一條空間曲線，三個約束的交集是一個點。在 n維空間中 r 個不同約束 的交集的維數是 n-r 的子空間。等式約束 h(x)=0 可看成是同時滿足 h(x)0 和 h(x)0 兩個不等式約束，代表 h(x) 0 曲面。 約束函數有的可以表示成顯示形式，即反應設計變量之間明顯的函數關系，這類約束稱做顯式約束。有的只能表示成隱式形式，需要通過有限元法或動力學計算求得，機構的運動誤差要用數值積分來計算，這類約束稱做隱式約束。 目標函數 在所有的可行設計中，有些設計比另一些要“好些”，如果確實是這樣，則“較好”的設計比“較差”的設計必定具備某些更好的性質。倘若這種性質可以表示成設計變量 的一個可計算函數，則我們就可以考慮優(yōu)化這個函數，以得到“更好”的設計。這個用來使設計得以優(yōu)化的函數稱做目標函數。用它可以評價設計方案的好壞，所以它又被稱做評價函數，記做 f(x)，用以強調它對設計變量的依賴性。目標函數可以是結構重量、體積、功耗、產量、成本或其它性能指標（如變形、應力等）和經濟指標等。 建立目標函數是整個優(yōu)化設計過程中比較重要的問題。當對某一設計性能有特定的要求，而這個要求又很難滿足時，則若針對這一性能進行優(yōu)化將會取得滿意的效果。但在某些設計問題中，可能存在兩個或兩個以上需要優(yōu)化的指標 ，這淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 33 -頁 共 53 頁 - 33 - 將是多目標函數問題。例如，設計一臺機器，期望得到最低的造價和最少的維修費用。 目標函數是 n維變量的函數，它的函數圖象只能在 n+1 維空間中描述出來。為了在 n 維設計空間中反映目標函數的變化情況，常采用目標函數等值面的方法。目標函數的等值面，其數學表達式為 f(x)=c (c 為一系列常數），代表一族 n維超曲面。如在二維設計空間中 f(x1,x2)=c，代表x1-x2 設計平面上的一族曲線。 數學模型 優(yōu)化問題的數學模型是實際優(yōu)化設計問題的數學模型。在明確設計變量、約束條件、目標函數之后，優(yōu)化設計問題就可以表示成一般數學形式。 求設計變量向量 x=x1 x2 . xnT使 f(x) min 且滿足約束條件 hk(x)=0 (k=1,2,.,l) gj(x)0(j=1,2,.,m) 利用可行域概念，可將數學模型的表達進一步簡練。設同時滿足 gj(x)0(j=1,2,.,m)和 hk(x)=0(k=1,2,.,l)的設計點集合為 R，即 R 為優(yōu)化問題的可行域，則優(yōu)化問題的數學模型可簡練地寫成 求 x 使 minf(x) (x R) 符號“ ”表示“從屬于” 。 在實際優(yōu)化問題中，對目標函數一般有兩種要求形式：目標函數極小化 f(x) min 或目標函數極大化 f(x) max。由于求 f(x)的極大化與求 -f(x)的極小化等價，所以今后優(yōu)化問題的數學表達一律采用目標函數極小化形式。 優(yōu)化問題可以從不 同的角度進行分類。例如，按其有無約束條件分成無約束優(yōu)化問題和約束優(yōu)化問題。也可以按照約束函數和目標函數是否同時為線性函數，分成線性規(guī)劃問題和非線性規(guī)劃問題。還可以按問題規(guī)模的大小進行分類，例如，設計變量和約束條件的個數都在 50 以上的屬大型， 10 個以下的屬小型，1050 屬中型。隨著電子計算機容量的增大和運算速度的提高，劃分界限將會有所變動。 優(yōu)化問題的幾何解釋 無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對設計變量求目標函數的極小點。在設計空間內，目標函數是以等值面的形式反應出來的，則無約束優(yōu)化問題的極 小點即為等值面的中心。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 34 -頁 共 53 頁 - 34 - 約束優(yōu)化問題是在可行域內對設計變量求目標函數的極小點，此極小點在可行域內或在可行域邊界上。 3.5.3 普通優(yōu)化設計的一般解法 求解優(yōu)化問題可以用解析解法，也可以用數值的近似解法。解析解法就是把所研究的對象用數學方程（數學模型）描述出來，然后再用數學解析方法（如微分、變分方法等）求出優(yōu)化解。但是，在很多情況下，優(yōu)化設計的數學描述比較復雜，因而不便于直接用解析方法求解。另外，有時對象本身的機理無法用數學方程描述，而只能通過大量實驗數據用插值或擬合方法構造一個近似函數式，再來求其優(yōu)化解 ，并通過實驗來驗證，或直接以數學原理為指導，從任取一點出發(fā)通過少量試驗（探索性的計算），并根據實驗計算結果的比較，逐步改進而求得優(yōu)化解，這種方法是屬于近似的、迭代性質的數值解法。它不僅可用于求復雜函數的油畫界，也可以用于處理沒有數學解析表達式的優(yōu)化設計問題。因此，它是實際問題中常用的方法。不管是解析解法，還是數值解法，都分別具有針對無約束條件和有約束條件的具體方法。 在機械優(yōu)化設計中，大致可以分為兩類設計方法：優(yōu)化準則法和數學規(guī)劃法。 優(yōu)化準則法 從一個初始設計 kx 出發(fā)（ k 不是指數，而是上角標， kx 是 )(kx 的簡寫），著眼于在每次迭代中應滿足的優(yōu)化條件，按著迭代公式（其中 kC 為一對角矩陣） kkk xCx 1 來得到一個改進的設計 kx ，而無需再考慮目標函數和約束條件的信息狀態(tài)。 數學規(guī)劃法 從一個初始設計 kx 出發(fā)，對結構進行分析， 但是按照如下迭代公式 kkk xxx 1 (22) 得到一個改進的設計 1kx 。 在這類方法中，許多算法是沿著某個搜索方向 kd 以適當步長ka的方式實現(xiàn)對 kx 的修改，以獲得 kx 值的。此時式 (22)可寫成 kkkk daxx 1 而它的搜索方向 kd 是由目標函數和約束條件的局部信息狀態(tài)形成的。 數學規(guī)劃法的核心一是建立搜索方向 kd ，二是計算最佳步長 ka 。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 35 -頁 共 53 頁 - 35 - 由于數值迭代是逐步逼近最優(yōu)點而獲得近似解的，所以要考慮優(yōu)化問題解的收斂性及迭代過程的終止條件。 (1) 收斂性 指某種迭代程序產生的序列 ),1,0( kx k 收斂于 *1lim xx kk 點列收斂的 必要和充分條件是：對于任意指定的實數 0 ，都存在一個只與 有關而與 x 無關的自然數 N，使得當兩自然數 Npm , 時，滿足 pm xx 或 nipimi xx12)( 或nxx ipimi (2) 迭代終止準則 當新得到一個迭代點 1kx 后，我們就要檢驗這個店是否為最優(yōu)點活著 最優(yōu)點的近似點。檢驗的方法可因目標函數的性質及迭代方法的不同而不同。當迭代過程已接近最優(yōu)點 *x 時，相鄰兩次迭代所得到的點 kx 和 1kx 已經十分接近，而且它們所對應的目標函數值 )( kxf 和 )( 1kxf 也很接近。根據收斂條件，可以確定迭代終止準則即停機準則。一般采用以下幾種迭代終止準則： 當相鄰兩設計點 kx 和 1kx 之間的移動距離已達到充分小時，則可認為 1kx 是極小值點，此時可以終止迭代。若用向量模計算它的長度，則 kk xx 1 式中， 為一個事先給定的代表計算精度的足夠小的正數。式 kk xx 1 又稱為向量 kk xx 1 的模，它表示 n維空間中兩點 kx 和 1kx 之間的距離。 當相鄰兩設計點 kx 和 1kx 的目標函數值已充分接近，即目標函數的下降量已達到充分小時 ,則可認為 1kx 是極小值點，此時可以終止迭代。即 )()( 1 kk xfxf 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 36 -頁 共 53 頁 - 36 - 或用其相對值 )( )()( 1 k kk xf xfxf 式中， 為 一個事先給定的足夠小的正數。 當某次迭代點的目標函數梯度已達到充分小時，即 5)( kxf 此時可以終止迭代過程。這是由于函數極值點的必要條件是函數在這一點的梯度值的模為零。式中， 為一個事先給定的足夠小的正數。 只要滿足以上三點中之一，就可以認為目標函數值 )( 1kxf 已收斂于其極小值。也可以聯(lián)合應用以上幾式，進行綜合判斷。 必須指出，上述三個收斂準則都只是在一定程度上反映了迭代達到極小點的特點 ，但并不能保證所得到的極小點一定就是全局的最優(yōu)點，特很可能僅僅是一個局部的極小點。因此我們有必要考察是否為全局最優(yōu)點，通?？梢酝瑫r取若干個相距較遠的點作為出試點，分別進行迭代，考察它們最后迭代所得到的極小點是否趨于一致。若是一致的，則可認為目標函數是單峰的，所得到的極小點就是全局最優(yōu)點，否則，則認為目標函數是多峰的。此時可從若干個不同的極小點中，選擇其目標函數值最小的作為全局最優(yōu)點。 3.5.4 一維搜索方法 當方向 kd 給定，求最佳步長ka就是一元函數 )()()( 1 kkkkk adaxfxf 的極值問題，它稱作一維搜索。一維搜索是優(yōu)化搜索方法的基礎。 搜索區(qū)間的確定 通常我們采用進退法來確定搜索區(qū)間。一般用字母 a、 b 表示區(qū)間的左、右端點，即 a,b。這個區(qū)間首先應滿足 )()()( * bfafaf k baa k * 就是說，要保持極小點 *ka在搜索區(qū)間內。 如圖 1所示，先給定一個初始點 0a 以 圖 1 搜索區(qū)間 及初始步長 a （注意這里的步長是用于確 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 37 -頁 共 53 頁 - 37 - 定搜索區(qū)間的，與我們通過一維搜索步長完全是兩回事），計算函數值 )(0af和)( 0 aaf ，有 )()( 00 aafaf 則將初始步長 a 加大兩倍，再計算函數值 )3(0 aaf ，若有 )3()( 00 aafaaf 則可確定搜索區(qū)間如下 3, 00 aabaa 否則，將步長再加倍，重復前述步驟，最終可以找到搜索區(qū)間的上限即右端點 b，其下限即左端點始終為0aa。 以上過程稱為前進計算。 若計算，函數值 )(0af和)( 0 aaf ，其結果 如左圖 圖 2 所示，有 )()( 00 aafaf 可將步長加大兩倍并改變符 圖 2 搜索區(qū)間 號，計算 )2(0 aaf ，若有 )2()( 00 aafaf 則可確定搜索區(qū)間如下 ,2 00 aabaaa 否則，可將步長再加倍，繼續(xù)前述步驟，最終可找到搜索區(qū)間的下限即左端點 a，其上限即右端點始終為 aab 0。 以上過程稱為后退計算。 前進計算和后退計算合起來我們稱為進退法。 一維搜索區(qū)間的試探方法 搜索區(qū)間確定后，我們就可以在這個區(qū)間里求最佳步長 *ka。其基本思想是這樣的，我們一步一步地縮小搜索區(qū)間，并且保證每次縮小以后， *ka仍在此區(qū)淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 38 -頁 共 53 頁 - 38 - 間內，這樣當這個區(qū)間縮小到足夠小時，我們就可以將此區(qū)間的中點近似地作為所要求的最佳步長 *ka。 在實際計算中，最常用的一維搜索試探方 法是黃金分割法，又稱作 0.618法。它是用于 a,b區(qū)間上的任何單谷函數求極小值問題。對函數除要求“單谷”外不做其它要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適用面相當廣。黃金分割法是在搜索區(qū)間 a,b內適當插入兩點1a、2a，并計算其函數值。1a、2a將區(qū)間分成三段。應用函數的單谷性質，通過函數值大小的比較，刪去其中一段，使搜索區(qū)間得以縮短 ，每次縮短后的區(qū)間長度均為前次區(qū)間長度的 0.618 倍。然后再在保留下來的區(qū)間上做同樣的處置，如此迭代下去，使搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點的數值近似解。 黃金分割法要求插入點 1a 、 2a 的位置相對于區(qū)間 a,b兩端點具有對稱性，即 )(1 abba )(2 abaa 其中 為待定常數。 除對稱要求外，黃金分割法還要求在 保留下來的區(qū)間內再插入一點所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。具體步驟是這樣的：在區(qū)間 00,ba內取兩個黃金分割點，如圖 3 所示 )(618.0 0001 abba )(618.0 0002 abaa 計算 )( 1af 和 )( 2af 的值并進行比較，若 圖 3 黃金分割法 )()( 21 afaf 則說明要求的 *ka一定在 20,aa內，這時可去掉 02,ba一段，將 20,aa作為縮短后的新區(qū)間 ba, ， 20 , abaa 。在此新區(qū)間內保留有 1a 點，由于 )(618.0 0001 abba 新區(qū)間長度為 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 39 -頁 共 53 頁 - 39 - )(618.0)(00 abab 所以 )(618.00001 abba )(618.0)(382.00000 ababb )()(382.000 ababb )(382.000 aba 618.0/)(382.0 aba )(618.0 aba 因而， 1a 又是新區(qū)間 a,b內的一個黃金分割點，相當于前面 的 2a 。因此我們在進行第二次縮短區(qū)間時，只用計算一個新的黃金分割點及其函數值即可。這樣就簡化了計算。 反之，若 )()( 21 afaf 則說明要求的 *ka一定在 01,ba內，這時可去掉 10,aa一段，將 01,ba作為縮短后的新區(qū)間 ba, ，01 , bbaa 。此時，區(qū)間內保留有 2a 點，同樣道理，我們可以說明 2a 仍是新區(qū)間內的一個黃金分割點 )(618.002 abba 因此不論我們去掉哪一段，在進行下一次計算時，都只要計算一個新的點就可以了。 如此反復進行下去，直到搜索區(qū)間縮小到足夠小，滿足不等式 001abb 時，我們即可取此區(qū)間的中點作為所要求的最佳步長的近似值 )(21* aba k 其中 為一個事先給定的足夠小的正數。它代表了進行一維搜索是精度要求。 3.5.5 約束優(yōu)化方法 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 40 -頁 共 53 頁 - 40 - 約束優(yōu)化設計中的問題，大多數屬于約束優(yōu)化問題，其數學模型為 minf(x)=f nxxx , 21 s.t mjxxxgxgnjj ,2,10, 21 mkxxxhxhnkk ,2,10, 21 將解上式的方法稱為約束優(yōu)化方法。根據求解方式的不同，可分為直接解法，間接解法等。 直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，它的基本思路是在 m 個不等式約束條件所確定的可行域內，選擇一個初始點 0x ，然后決定可行搜索方向 d，且以適當的步長 ，沿 d 方向進行搜索，得到一個使目標函數值下降的可行的新點 1x ，即完成一次迭代。再以新點為起點，重復上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。每次迭代計算 均按以下基本迭代格式進行 kkkk dxx 1 （ k=1,2,.） 式中 k-步長； dk -可行搜索方向。 所謂可行搜索方向是指，當設計點沿該方向作微量移動時，目標函數值將下降，且不會越出可行域。產生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。 直接解法的原理簡單，方法實用。其特點是： (1) 由于整個求解過程在可行域內進 行，因此，迭代計算不論何時終止，都可 獲得一個比初試點好的設計點。 (2) 若目標函數為凸函數，可行域為凸集，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個局部最優(yōu)解，當選擇的初始點不相同時，則能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內選擇幾個差別較大的初始點分別計算，以便從求得的多個局部最優(yōu)解中選擇更好的最優(yōu)解。 (3) 要求可行域為有界的非空集，即在有界可行域內存在滿足全部約束條件的點，且目標函數有定義。 間接解法有不同求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數進行特殊的加權處理后，和目標 函數結合起來，構成一個新的目標函數，即將原約束優(yōu)化問題轉化成為一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標函數進行無約束優(yōu)化計算，從而間接地搜索到原約束問題的最優(yōu)解。 間接解法的基本迭代過程是，首先將上式所示的約束優(yōu)化問題轉化成新的無淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 41 -頁 共 53 頁 - 41 - 約束目標函數 mjlk kjxhHxgGxfx1 1 2121)()(, 式中 21, x-轉化后的新目標函數； mj jxgG1 1 ， lk kxhH1 2 -分別為約束函數 xgj ， xhk 經過加權處理后構成的某種形式的復合函數或泛函數； 21, -加權因子。 然后對 21 , x 進行無約束極小化計算。由于在新目標函數中包含了各種 約束，在求極值的過程中還將改變加權因子的大小。因此可以不斷地調整設計點，使其逐漸逼近約束邊界。從而間接地求得原約束問 題的最優(yōu)解。 例 求約束優(yōu)化問題 Minf(x)= 2121 2 xx s.t.h(x)= 022 21 xx 的最優(yōu)解。 解：該問題的約束最優(yōu)解 Tx 2.0,6.1* ， 8.0)( * xf 。 由幾何解釋知，約束最優(yōu)點 *x 為目標函數等值線與等式約束函數（直線）的切點。 用 間接解法求解時，可取 8.02 ，轉化后的新目標函數為 228.012, 2122212 xxxxx 可以用解析法求 min 2, x ,即令 0 ，得到方程組 08.02211 xx 06.11222 xx 解此方程組，求得的無約束最優(yōu)解為： Tx 2.0,6.1* ， 8.0, 2* x 。其結淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 42 -頁 共 53 頁 - 42 - 果和原約束最優(yōu)解相同。 間接解法是目前在機械優(yōu)化設計中得到廣泛應用的一種有效方法。其特點是： (1) 由于無約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟。已經研究出不少有效的無約束最佳優(yōu)化方法和程序，使得間接解法有了可靠的基礎。目前，這類算法的計算效率和數值計算的穩(wěn)定性也都有較大的提高。 (2) 可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題 (3) 間接解法存在的主要問題是，選取加權因子教為困難。加權因子選取不當，不但影響收斂速度和計算精度，甚至會導致計 算失敗。 隨機方向法 隨機方向法是一種原理簡單的直接解法。它的基本思路是在可行域內選擇一個初試點，利用隨機數的概率特性，產生若干個隨機方向，并從中選擇一個能使目標函數值下降最快的隨機方向，記作0d從初始點 0x 出發(fā)，沿 d 方向以一定的步長進行搜索，得到新點 x，新點 x 應滿足約束條件： mjxgj ,2,10 ，且 f(x)f( 0x ),至此完成一 次迭代。然后，將起始點移至 x,即令 xx 0 。重復以上過程，經過若干次迭代計算后，最終取得約束最優(yōu)解。 隨機方向法的優(yōu)點是對目標函數的性態(tài)無特殊要求，程序設計簡單，使用方便。由于可行搜索方向是從許多隨機方向中選擇的使目標函數下降最快的方向，加之步長還可以靈活變動，所以此算法的收斂速度比較快。若能取得一個教好的初始點，迭代次數可以大大減少。它是求解小型的機械優(yōu)化設計問題的一種十分有效的算法。 隨機方向法的計算步驟： (1) 選擇一個可行的初始點 ox ； (2) 產生 k 個 n維隨機單位向量 je (j=1,2,3, ,k)； (3) 取試驗步長0 ，計算出 k 個隨機點 jx (j=1,2,3, ,k)； (4) 在 k 個隨機點中，找出滿足條件的隨機點 Lx ，產生可行搜索方向 0xxd L (5) 從初始點 0x 出發(fā)，沿可行搜索方向 d 以步長 進行迭代計算，直到搜索到一個滿足全部約束條件，且目標函數值不再下降的新點 x 。 (6) 若收斂條件 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 43 -頁 共 53 頁 - 43 - 00xxxfxf 得到滿足，迭代終止。約束最優(yōu)解為 xx * ， xfxf * 。否則，令 xx 0 。 例 求約束優(yōu)化問題 minf(x)= 221 xx s.t. 0922211 xxxg 01212 xxxg 的最優(yōu)解 解 用隨機方向法程序，在計算機上運行，共迭代 13 次，求得約束最優(yōu)解： Tx 0.3,0027.0* ， 3* xf 。 復合形法 復 合形法是求解約束優(yōu)化問題的一種重要的直接解法。它的基本思路是在可行域內構造一個具有 k 個頂點的初始復合形。對該復合形各頂點的目標函數值進行比較，找到目標函數值最大的頂點（稱最壞點），然后按一定的法則求出目標函數值有所下降的可行的新點，并用此點代替最壞點，構成新的復合形，復合形的形狀沒改變一次，就向最優(yōu)點移動一步，直至逼近最優(yōu)點。 由于復合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對目標函數及約束函數的性狀又無特殊要求，因此該法的適應性較強，在機械優(yōu)化設計中得到廣泛應用。 初始復合的形成 復合形法是在可行域內直接搜索最 優(yōu)點，因此，要求初試復合形在可行域內生成，即復合形的 k 個頂點必須都是可行點。 生成初始復合形的方法有以下幾種： (1) 由設計者決定 k 個可行點，構成初始復合形。當設計變量較多或約束函數復雜時，由設計者決定 k 個可行點常常很困難。只有在設計變量少，約束函數簡單的情況下，這種方法才被采用。 (2) 由設計者選定一個可行點，其余的 (k-1)個可行點用隨機法產生。各頂點按下式計算 )( abrxjj (j=1， 2， ， k) 式中 jx-復合形中的第 j 個頂點； 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 44 -頁 共 53 頁 - 44 - a、 b-實際變量的下限和上限； jr-在 (0,1)區(qū)間內的偽隨機數。 用上式計算得到的 (k-1)個隨機點不一定都在可行域內，因此要設法將非可行點移到可行域內。通常采用的方法是，求出已經在可行域內的 L 個頂點的中心cx LjcjLx11 然后將非可行點向中心點移動 ，即 cLcL xxxx 11 5.0 若 1Lx 仍為不行點，則利用上式，使其繼續(xù)向中心點移動。顯然，重要中心點可行， 1Lx 點一定可以移動到可行域內。隨機產生的 (k-1)個點經過這樣的處理后，全部成為可行點，并構成初始復合形。 事實上，只要可行域為凸集，其中心點必為可行點，用上述方法可以成功地在可行域內構成初始復合形。如果可行域為非凸集，中心點不一定在可行域之內，則上述方法可能失敗。此時可以通過改變設計變量 的上下限，重新產生各頂點。經過多次試算，有可能在可行域內生成初始復合形。 (3) 由計算機自動生成初始復合行的全部頂點。其方法是首先隨機產生一個可行點，然后按第二種方法產生其余的 (k-1)個可行點。這種方法對設計者來說最為簡單，但因初始復合形在可行域內的位置不能控制，可能會給以后的計算帶來麻煩。 復合形法的搜索方法 在可行域內生成初始復合行后，將采用不同的搜索方法來改變其形狀，使復合形逐步向約束最優(yōu)點趨近。改變復合形形狀的搜索方法主要有以下幾種： (1) 反射 反射是改變復合形形狀的一種主要策略 ,其計算 步驟為 : 計算復合形各頂點的目標函數值 ,并比較其大小 ,求出最好點 LX ,最壞點 HX 及次壞點GX,即 LX : LXf =min kjjxf ,.,2,1 HX : kjjH xfXf , . . . ,2,1m a x 計算除去最 壞點 ux 外的 (k-1)個頂點的中心 cx 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 45 -頁 共 53 頁 - 45 - kj jcxkx111 從統(tǒng)計的觀點來看 ,一般情況下 ,最壞點Hx和中心點Gx的連線方向為目標函數下降的方向。為此，以cx點為中心，將最壞點Hx按一定比例進行反射，有希望找到一個比最壞 點Hx的目標函數值為小的新點Rx，Rx為反射點。其計算公式為 HCcR xxxx 176 式中 反射系數，一般取 3.1 。 反射點 Rx 與最 壞點 Hx ，中心點cx的相對位置如圖 4 所示。 判別反射點 Rx 的位置： 若 Rx 為可行點，則比較 Rx 和 Hx 兩點的目標函數值，如果 HR xfxf ，則 R x 取代 Hx ，構成新的復合形，完成一次 圖 4 相對位置 迭代；如果 HR xfxf ，則將 縮小 0.7 倍，用式（ 6-17）重新計算新的反射點，若仍不可行，繼續(xù)縮小 ，直至 HR xfxf 為止。 若 Rx 為非可行點，則將 縮小 0.7 倍，仍用式（ 6-17）計算反射點 Rx ，直至可行為止。然后重復以上步驟，即判別 Rxf 和 Hxf 的大小，一旦 HR xfxf ，就用 Rx 取代 Hx 完成依次迭代。 綜上所述，反射成功的條件是： HR Rj xfxf mjxg ,2,10 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 46 -頁 共 53 頁 - 46 - (2) 擴張 當求得的 反射點Rx為可行點 ，且目 標函數 值下降較 多（例 如： cR xfxf ），則沿反射方向繼續(xù)移動，即采用擴張的方法，可能找到更好的新點Ex，Ex稱為擴張點。其計算公式為 cRRE xxxx 式中 -擴張系數，一般取 1 。 擴張點 Ex 與中心點Cx、反射點 Rx 的相對位置如圖所示。 若擴張點 Ex 為可行點，且 )()( RE xfxf ,則稱擴張成功，用 Ex 取代 Rx ，構成新的復合形。否則稱擴張失敗，放棄擴張，讓用原反射點 Rx 取代 Hx ，構成新的復合形。 (3) 收縮 若在中心點Cx以外找不到好的反射點，還可以在Cx以內，即采用收縮的方法尋找較好的新點kx，kx稱為收縮點。其計算公式為 )(HCHk xxxx 式中 收縮 系數，一般取 7.0 。 收縮點kx與最壞點 Hx 、中心點Cx的相對位置如圖 5所示。 若 )()(Hk xfxf ，則稱為收縮成功，用kx取代 Hx ，構成新的 復合形。 圖 5 相對位置 (4) 壓縮 若采用上述各種 方法均無效，還可以采取將復合形各頂點項最好點靠攏，即采用壓縮的方法來改變復合形的形狀。壓縮后的各頂點的計算公式為 jLLj xxxx 5.0 Ljkj ；,. .,2,1 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 47 -頁 共 53 頁 - 47 - 壓縮后的復合形各項點的相對位置如圖 6所示。 然后，在對壓縮后的復合型采用反射、擴張或收縮等方法，繼續(xù)改變復合形的形狀。 除此之外，還可以 圖 6 復合形的壓縮變形 采用旋轉等方法來改變復合形形狀。應當指出的事，采用改變復合形形狀的方法越多，程序設計越復雜，有可能降低計算 效率可靠性。因此，程序設計時，應針對具體情況，采用某些有效的方法。 復合形法的計算步驟 基本的復合形法（只含反射）的計算步驟為： (1) 選擇復合形的頂點數 k，一般取 nkn 21 ，在可行域內構成具有 k 個頂點的初始復合形。 (2) 計算復合形各頂點的目標函數值，比較其大小，找出最好點 Lx 、最壞點 Hx及次壞點Gx。 (3) 計算除去最壞點 Hx 以外的 (k-1)個頂點的中心Cx。判別Cx是否可行，若Cx顆星點，則轉步驟 (4)；若Cx為非可行點，則重新確定設計變量的下限和上限制，即令 Lx ， cxb 然后轉步驟 (1)，重新構造初始復合形。 (4) 按式（ 6-17）計算反射 點 Rx ，必要時，改變反射系數 a 的值，直至反射成功，既滿足式（ 6-18）。然后以 Rx 取代 Hx ，構成新的復合形。 (5) 若收斂條件 211211 kjLj xfxfk 得到滿足，計算終止。約束最優(yōu)解為 : Lxx * , Lxfxf * 。否則，轉步驟 (2)。 淮海工學院二七屆本科畢業(yè)設計（論文） 第 - 48 -頁 共 53 頁 - 48 - 3.5.6