（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）bck代數(shù)的廣義模糊蘊(yùn)涵理想和廣義模糊bck濾子.pdf

b c k - 代數(shù)的廣義模糊蘊(yùn)涵理想和廣義模糊b c k 濾子 摘要 本文應(yīng)用了模糊點(diǎn)與模糊子集之間的關(guān)系，首先，給出b c k - 代數(shù)的( ，) ( ( ，v q ) ， 心v g ) ) 一模糊蘊(yùn)涵理想的定義，對其性質(zhì)進(jìn)行研究，得到了b c k - 代數(shù)的模糊子集為 b c k - 代數(shù)的( ，) ( ( ，v q ) ，心vg ) ) 一模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件，并描述了b c k - 代數(shù) 的( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想與模糊理想，模糊子代數(shù)之間的關(guān)系 接著，用上述方法，給出了b c k - 代數(shù)的 ，p ) ( 心vg ) ) 一模糊b c k - 濾子的概念， 討論了b c k - 代數(shù)的 ，p ) 一模糊b c k - 濾子的性質(zhì)，繼而，又將b c k - 代數(shù)的模糊b c k - 濾子概念作了進(jìn)一步的拓展，引入了b c k - 代數(shù)的( h ，九2 ) ( ( ，v q ( h ，k ) ) ) 一模糊b c l 卜濾子 的概念。并研究了( ，九2 ) 一模糊b c k - 濾子與( ，v q ( h 。k ) ) 一模糊b c k - 濾子間的關(guān)系 關(guān)鍵詞 b c k - 代數(shù)，理想，濾子，模糊蘊(yùn)涵理想，模糊b c k - 濾子 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b yt h eu s eo ft h er e l a t i o n sb e t w e f u z z yp o i n t sa n df 岫s u b s e t s ，f i r s to f a 1 1 ，t h ec o n c e p to f ( ，) ( ( ，v q ) ，( e , evg ) ) 一f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a lo fb c k - a l g e b r a si s g i v e n a n dt h e n , t h ep r o p e r t i e so f ( ，) ( ( ，v q ) ，( ，v 黿) ) 一f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a la l e i n v e s t i g a t e d ，s o m en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a taf u z z ys u b s e ti s a ( ，) ( ( ，v q ) ，( ，vg ) ) - f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a lo f b c k - a l g e b r a s a l ea c q u i r e d m o r e o v e r , t h er e l a t i o n sa m o n g ( e , e ) - f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l s ，f u z z yi d e a l sa n df u z z ys u b a l g e b r a so f b c k - a l g e b r a sa l ed e s c r i b e d t of o u o w , b y t h eu s eo f t h es a m ew a ya st h ea b o v e ，t h en o t i o no f ，p ) ( ( ，e v q ) ) 一 f u z z yb c k - f i l t e r si sg i v e n , a n dt h ep r o p e r t i e so f ，p ) 一f u z z yb c k - f i l t e ra l ed i s c u s s e d ， a f t e r w a r d s ，t og oas t e pf u r t h e r , t h ed e f m i t i o no ff u z z yb c k - f i l t e r si nb c k - a l g e b r a si sa l s o g e n e r a l i z e d ，t h ec o n c e p to f ( h ，九2 ) ( ( ，v q ( k 。k ) ) ) 一f u z z yb c k - f i l t e r si nb c k - a l g e b r a si s i n t r o d u c e d , ，a n dt h er e l a t i o no f ( 九i ，九2 ) 一b c k - f i l t e ra n d ( ，v q ( k ，k ) ) 一b c k - f i l t e r i s i n v e s t i g a t e d k e yw o r d s b c k - a l g e b r a , i d e a l , f i l t e r , f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l , f u z z y b c k - f i l t e r 西北大學(xué)學(xué)位論文知識產(chǎn)權(quán)聲明書 本人完全了解西北大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定。學(xué)校 有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版。本人允許 論文被查閱和借閱。本人授權(quán)西北大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi) 容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存 和匯編本學(xué)位論文。同時授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息研究所等機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論 文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫或其它相關(guān)數(shù)據(jù)庫。 保密論文待解密后適用本聲明。 學(xué)位論文作者簽名：劉盈盞指導(dǎo)教師簽名： 7 o o 年占月j 日 年月e l 西北大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作 及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外， 本論文不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得西 北大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的 同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝 意。 學(xué)位論文作者簽名：瀏銀率 2 d d 年石月 日 西北大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章緒論帚一早硒比 1 1 模糊集理論的概述及研究現(xiàn)狀 經(jīng)典數(shù)學(xué)是建立在經(jīng)典集合論的基礎(chǔ)之上而經(jīng)典集合論描述的對象具有確定性等 重要特征在當(dāng)時，這些性質(zhì)已經(jīng)滿足了人們認(rèn)識和研究客觀現(xiàn)象的需求，隨著現(xiàn)實生活 和客觀現(xiàn)象的復(fù)雜化，逐漸出現(xiàn)了這樣的問題：人們所研究的對象不具有確定性，即模 糊性，如：好壞、高矮、胖瘦等概念，這些概念的涵義是模棱兩可的現(xiàn)實生活中普遍存 在著這種模糊現(xiàn)象，隨著對客觀世界研究的深入和拓廣，實踐證明經(jīng)典數(shù)學(xué)理論有其局 限性，因此，經(jīng)典數(shù)學(xué)理論面臨著巨大的挑戰(zhàn)，解決不了類似這樣的問題，這說明經(jīng)典數(shù) 學(xué)有待于發(fā)展，以滿足人們認(rèn)識客觀世界的需要 針對上面提到的問題，于1 9 6 5 年，美國的計算機(jī)與控制論專家z a d e hl 久( 扎德) 【l 】 教授引入了模糊子集的概念：令x 為一個集合，x 上的模糊子集是這樣一個函數(shù) 肛：x _ 【0 ，l 】這個概念能使得人們能夠用精確的數(shù)學(xué)語言對模糊性進(jìn)行描述，它標(biāo)志 了模糊集理論的誕生模糊集理論是利用隸屬度函數(shù)的數(shù)學(xué)方法認(rèn)識和處理了現(xiàn)實生 活及理論中出現(xiàn)的模糊問題，適應(yīng)了信息論、現(xiàn)代控制論、計算機(jī)科學(xué)及系統(tǒng)論的發(fā)展 需要也為研究和處理其它不確定性問題提供了方法并在理論和實踐中得到廣泛應(yīng) 用，尤其在模糊決策、模糊關(guān)系方程及模糊模式識別等方面。與此同時，關(guān)于模糊集方 面理論研究也正在深入下去，一些學(xué)者將模糊集的概念應(yīng)用到經(jīng)典數(shù)學(xué)理論上，得到了 和經(jīng)典數(shù)學(xué)類似的模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)，如：1 9 7 1 年，作者r o s e n f e l da 【2 】將它應(yīng)用到群上，提出 了模糊子群的概念：設(shè)斗為群石的模糊子集，若對任給的x , y x ，有 p ( 】吵) p ( x ) t k y ) ；p ( 工1 ) p ( x ) 則稱為群x 的模糊子群 模糊子群的出現(xiàn)，標(biāo)志了模糊代數(shù)的產(chǎn)生從此開始了在模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)方面的探索 與研究1 9 8 0 年，日本學(xué)者k u r o k in 【3 弓】開始對模糊子半群進(jìn)行研究，提出了模糊子半群、 模糊理想的概念，對半群上的各模糊結(jié)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)的研究而這些概念都是一般子半 群及理想等定義的延伸它們均為從模糊代數(shù)研究開始以來，模糊代數(shù)領(lǐng)域最活躍的研 究內(nèi)容于1 9 8 2 年，l i u 6 將模糊子集的概念進(jìn)一步引入到群g 上，得到了模糊不變子群， 第一章緒論 等概念，促使對模糊代數(shù)的研究更進(jìn)一步深入到各代數(shù)分支中如：模糊子格7 1 、b c k - 代 數(shù)的模糊理想【8 1 等 1 2 b c k b c i 一代數(shù)及其研究進(jìn)展 邏輯代數(shù)是近代科學(xué)，如：人工智能，控制論，及計算機(jī)科學(xué)等許多科學(xué)領(lǐng)域推理機(jī) 制的代數(shù)基礎(chǔ)而b c k b c i 代數(shù)為兩類重要的邏輯代數(shù)日本學(xué)者i s e k ik 及i m a iy 嘲于 1 9 6 6 年引入了b c k - 代數(shù)的概念，即 一個系統(tǒng)( z ；，0 ) 稱叫做一個b c k - 代數(shù)，如果其滿足以下條件： ( 1 ) ( ( 工j ，) ( 工z ) ) ( z j ，) = 0 ； ( 2 ) ( 工( z j ，) ) j ，= 0 ； ( 3 ) 工宰x = 0 ； ( 4 ) 0 工= o ； ( 5 ) 工j ，= o n y * x = 0 蘊(yùn)涵戈= y 同年，k i s e k i 1 0 1 提出- j b c i 代數(shù)，把它視為b c k - 代數(shù)的推廣，即 在上述定義中去掉條件( 4 ) ，則稱( 置乞0 ) 為一個b c i 代數(shù) 自b c k b c i 代數(shù)的概念被引入以來，許多學(xué)者開始對其進(jìn)行擴(kuò)展和研究于1 9 7 5 年，i s e k i 鴟t 鋤a k as 又給出了交換b c k - 代數(shù)，正定關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)的概念 1 1 , 1 2 ： 一個b c k - 代數(shù)稱之為交換的，如果其滿足工人y = y 工，記工 y = y o ，工) ( 注： 如果石為一個交換的b c k - 代數(shù)，則記工h y = g l b x ，y ) 一個b c k - 代數(shù)稱之為正定關(guān)聯(lián)的，如果其滿足0 j ，) 幸z = o 力o z ) 一個b c k - 代數(shù)稱之為關(guān)聯(lián)的，如果其滿足工( y x ) = x 而上面這三類b c k - 代數(shù)間有著緊密聯(lián)系，于1 9 7 8 年，i s e k ik 與t a n a k as 1 3 1 又有一個 重要的發(fā)現(xiàn)，即下面的結(jié)論： 一個b c k - 代數(shù)為關(guān)聯(lián)的充要條件是：它為正定關(guān)聯(lián)的和交換的 其他眾多學(xué)者也對b c k - 代數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了更為深入的研究學(xué)者費(fèi)秀海、高建華 等人刻畫了有界交換b c k - 代數(shù)同格蘊(yùn)涵代數(shù)及m v 代數(shù)間的關(guān)系隨后，費(fèi)秀海與胡方 漢等人又研究了對合b c k - 代數(shù)的性質(zhì)，并描述了對合b c k - 代數(shù)同有界交換b c k - 代數(shù) 的關(guān)系作者鄭淑紅研究了有關(guān)b c k - 代數(shù)的模型論的性質(zhì) 2 西北大學(xué)碩士學(xué)位論文 隨著對b c k - 代數(shù)研究的推進(jìn)，于1 9 9 1 年，作者x io q 【8 】把模糊子集的概念引入到 b c k - 代數(shù)中，給出了模糊理想的定義： b c k b c i 代數(shù)的模糊子集為b c k b c i 代數(shù)的模糊理想，如果它滿足以下條件： ( 1 ) v x x ，p ( 0 ) p ( x ) ； ( 2 ) v x ，j ，x ，p ( 工) r a i n p ( ( 工。y ) ) ，p ( j ，) 從此開始了對模糊b c k - 代數(shù)的研究，作者j u ny b 討論了b c 尉b c i - 代數(shù)的廣義 模糊子代數(shù)的性質(zhì)作者杜娟1 8 1 在她的碩士畢業(yè)論文中，研究了更為廣泛的模糊子代數(shù) 的性質(zhì)，并進(jìn)一步探討了模糊b c k - 代數(shù)的一些理想的特征在眾多學(xué)者的努力下，有關(guān) b c k - 代數(shù)的模糊理論以驚人的速度發(fā)展著，其中以模糊理想和模糊濾子的發(fā)展最為迅 速 1 9 9 8 年，作者j 衄y b ，h o n gs m ，m e n gj 1 9 1 給出了模糊b c k - 濾子的概念 b c k - 代數(shù)的模糊子集p 為b c k - 代數(shù)的模糊b c k - 濾子，如果它滿足以下條件： ( 3 ) v x x ，r t ( d p ( 功； ( 4 ) v x ，j ，x ，“( x ) m i n p ( ( 工y ) ) ，p ( j ，) 在有界b c k - 代數(shù)的限制下，作者孟彪龍1 2 0 】研究了模糊b c k - 濾子、模糊集生成的模 糊b c k - 濾子以及b c k - 代數(shù)的所有模糊b c k - 濾子組成的集合的性質(zhì)等 對偶的，作者孟m e n gj ，g u ox i u e 2 q 討論了b c k b c i 代數(shù)的模糊集生成的模糊理 想、模糊理想格的性質(zhì)，進(jìn)一步研究了素模糊理想理論 而在交換b c k - 代數(shù)的限制下，作者j u n y b 及x i n x l 【2 2 1 研究了b c k 代數(shù)的模糊素 理想和可逆模糊理想的性質(zhì)不久，作者孟杰等矧又給出了b c k - 代數(shù)的模糊蘊(yùn)涵理想的 定義，研究了模糊蘊(yùn)涵理想的性質(zhì)，描述了模糊蘊(yùn)涵理想與模糊交換理想、模糊正蘊(yùn)涵理 想之間的關(guān)系 1 3 問題的提出 熱愛數(shù)學(xué)的眾多學(xué)者在對模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步探討的過程中，對模糊集的值域 【o ，1 】閉區(qū)間產(chǎn)生了興趣，進(jìn)而對其進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)值域【o ，l 】閉區(qū)間的限制條件有些強(qiáng)，不 利于模糊集理論在其它科學(xué)中進(jìn)行很好的應(yīng)用經(jīng)過這些學(xué)者的不斷努力，最后發(fā)現(xiàn)能 借助于作者p i lbm l i l lym 2 4 2 5 1 給出的模糊點(diǎn)的概念對其進(jìn)行擴(kuò)充，用特殊的模糊集即 模糊點(diǎn)與模糊集之間的關(guān)系，來研究模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)，b h a k a ts ，kd a sp 和y a ob 等作者在 第一章緒論 這方面作了大量的工作，得出一系列有益的結(jié)果，在1 9 9 6 年，作者b h a k a ts k ，d a sp 2 6 給出了( ，v q ) 一模糊子群的概念，并討論它的充要條件2 0 0 0 年，作者b h a k a tsk 【2 刀對 ( ，v q ) 一模糊正規(guī)子群的性質(zhì)進(jìn)行了研究而在2 0 0 3 年，作者y u a n x , z h a n g c ，r e n y 【2 8 】 又將模糊子群的概念作了進(jìn)一步的推廣，給出了( 九，p ) 一模糊子群的概念，給出了其充要 條件，研究了其在同態(tài)上的性質(zhì)2 0 0 5 年，作者y a ob 【2 9 】對模糊子群的研究又上升了一個 高度，將商群的概念進(jìn)行拓廣，研究了( v q ) 一商模糊子群的性質(zhì)用相同的思想方法， 作者y a ob 刪研究了( 九，p ) 一模糊正規(guī)子群與( 九，肛) 一商模糊子群的性質(zhì)作者陳敏3 1 1 給 出了廣義模糊子半群的定義，并討論了其相關(guān)性質(zhì)從此，掀起了用模糊點(diǎn)與模糊集之間 的關(guān)系的方法來研究模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)的浪潮逐步往其它代數(shù)結(jié)構(gòu)上擴(kuò)充，如作者b h a k a ts kd a s p 【3 2 】又研究了( ，v q ) 一模糊子環(huán)的性質(zhì)作者y a o b t 3 3 1 給出了( 九，p ) 一模糊子環(huán)和 ( 九，斗) 一模糊理想的概念等等 隨后，把這種思想引入到b c i b a 代數(shù)中，對b c k b c i 代數(shù)的模糊理想和模糊濾子 的概念進(jìn)行了擴(kuò)展，如作者張廣濟(jì)、于明業(yè)、周麗刮3 4 】，用模糊點(diǎn)與模糊集之間的關(guān)系給 出了( s ，t l 一模糊理想的定義并研究了其的性質(zhì)文 3 5 ，3 6 借助模糊點(diǎn)的概念，將作者在 模糊群，模糊半群上的轉(zhuǎn)移理論思想應(yīng)用到b c k - 代數(shù)中，刻畫了模糊理想，模糊交換理 和模糊正蘊(yùn)涵理想的特征作者孟彪龍【3 7 】在b c i 代數(shù)的中引入佶v g ) 一模糊b c k - 濾子 的概念，并研究了( ，v g ) 一模糊b c k - 濾子還有一些成功運(yùn)用這種思想的文章【3 8 刪 通過對這些理論成果的學(xué)習(xí)與研究，心中產(chǎn)生了這樣的疑問：在對模糊蘊(yùn)涵理想、 模糊b c k - 濾子進(jìn)行討論的過程中，模糊集的值域l o ，1 l 閉區(qū)間是否還可以更進(jìn)一步的拓 廣和延伸呢? 帶著這個問題，查閱了很多文獻(xiàn)，得出了以下結(jié)論 1 4 本文的主要工作和創(chuàng)新點(diǎn) 本文試圖將b c k - 代數(shù)的模糊蘊(yùn)涵理想和模糊b c k - 濾子的概念進(jìn)行推廣，并對其性 質(zhì)進(jìn)行探討，因為對理想和濾子的研究歷久彌新，由經(jīng)典的理想到模糊理想以至于模糊 蘊(yùn)涵理想，與此同時，經(jīng)典的濾子到模糊濾子以至于生成的模糊濾子，豐富了模糊代數(shù)的 結(jié)構(gòu)理論，本文在前人研究的基礎(chǔ)上將模糊蘊(yùn)涵理想的定義以及模糊濾子的概念作進(jìn)一 步的推廣旨在完善前人理論工作上起到拋磚引玉的作用 本文的主要創(chuàng)新點(diǎn)在于應(yīng)用樂模糊點(diǎn)與模糊集之間的關(guān)系，首先，給出了b c k - 代數(shù) 的廣義模糊蘊(yùn)涵理想的定義，描述了b c k - 代數(shù)的( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想與模糊理想，模糊 4 西北大學(xué)碩士學(xué)位論文 子代數(shù)之間的關(guān)系，隨后對其進(jìn)行研究，得到了b c k - 代數(shù)的模糊子集為b c k - 代數(shù)的廣 義模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件其次，將上面的方法，引入到b c k - 代數(shù)的模糊b c k - 濾子 上，給出了b c k - 代數(shù)上的廣義模糊b c k - 濾子的概念，研究了b c k - 代數(shù)上的 ，p ) 一模 糊b c k - 濾子的性質(zhì)，繼而，又將b c k - 代數(shù)的廣義模糊b c k - 一濾子的概念作了進(jìn)一步推 廣，給出了b c k - 代數(shù)的( 九。，九2 ) ( ( ，v q ( k 。k ) ) ) 一模糊b c k - 濾子的概念，并討論了它們之 間的關(guān)系最后，借助同態(tài)的概念，研究了b c k - 代數(shù)的( ，k ) 一模糊b c k - 濾子在同態(tài) 上的特征 第二章預(yù)備知識 第二章預(yù)備知識 本章第一部分介紹了b c k - 代數(shù)x 上的偏序集、有界b c k - 代數(shù)、模糊子代數(shù)、蘊(yùn) 涵理想、模糊蘊(yùn)涵理想以及模糊點(diǎn)的定義第二部分給出了b c k - 代數(shù)石上的有關(guān)理想、 模糊理想、模糊蘊(yùn)涵理想的性質(zhì)定理 注：在下文中，若沒有特別說明的情況，x 始終代表一個b c k - 代數(shù) 2 1 相關(guān)概念 為方便閱讀，本小節(jié)主要介紹了b c k - 代數(shù)x 的理想、蘊(yùn)涵理想、模糊蘊(yùn)涵理想以 及模糊子代數(shù)的定義等 定義2 1 1 x 的二元關(guān)系” 1 ( 4 ) g p 當(dāng)且僅當(dāng)t p ( 工) 且p ( x ) + f 1 ( 5 ) a u 當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a ，留， g ，v g ，弘p 均不成立 注：在下文中，若沒有特別說明的情況，a ，b 始終分別代表，q ，人9 ，v q 中任意一個 定義2 1 9 設(shè)t ，k 0 ，1 且 ，p ( 工) + f 2 k ，則模糊點(diǎn)被叫做 “擬重于”p ，并記為眠，b ) p 若“或吼h 。k ) p ，則記j r f v g ( ，k ) p 定義2 1 1 0 x 的非空子集f 稱叫做x 的b c k - 濾子，如果其滿足以下條件： ( 1 ) e f ； ( 2 ) 垤，y x ，n ( n x , n y ) f 和y f 蘊(yùn)涵z f ，記e * x = n x 2 2 相關(guān)定理 下面介紹了b c k - 代數(shù)x 的有關(guān)理想、蘊(yùn)涵理想模糊理想、模糊蘊(yùn)涵理想的性質(zhì)， 以方便對下文的研究 第二章預(yù)備知識 定理2 2 1 3 9 1x 的任何一個模糊蘊(yùn)涵理想均為彳的一個模糊理想 定理2 2 2 1 3 9 】 若x 是一個蘊(yùn)涵的b c k - 代數(shù)，則x 的任何一個模糊理想均為x 的 一個模糊蘊(yùn)涵理想 定理2 2 31 3 9 x 的一個模糊子集p 是x 的一個模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件 為：v t 0 ，l 】，當(dāng)u ( 肛，f ) f 2 j 時，它是x 的一個蘊(yùn)涵理想 定理2 2 4 1 3 9 1x 的任何一個模糊蘊(yùn)涵理想p 均為x 的一個模糊理想 定理2 2 51 3 9 】x 的任何一個模糊理想p 均為x 的一個模糊子代數(shù) 定理2 2 6 l ”】令p ，v 是x 的兩個模糊理想，且它們滿足p v ，p ( 0 ) = v ( 0 ) 若為x 的模糊蘊(yùn)涵理想，則v 也為x 的模糊蘊(yùn)涵理想 定理2 2 7 i * o 令i 和a 是x 的理想，且滿足，g 丸若，為一個蘊(yùn)涵理想，則a 也為一 個蘊(yùn)涵理想 8 西北大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章模糊蘊(yùn)涵理想和模糊b c k - 濾子的研究 本章主要從( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想、( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想、( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理 想、 ，1 3 ) - 模糊b c k - 濾子、( ，e v q ) - 模糊b c k - 濾子、( 九。，九：) 一模糊b c k - 濾子、和 ( ，九：) 一模糊b c k - 濾子在同態(tài)上的特征這七個方面研究了b c k - 代數(shù)x 上的模糊結(jié)構(gòu) 的性質(zhì) 3 1( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想 本節(jié)主要借助于特殊的模糊子集即模糊點(diǎn)與模糊子集之間的關(guān)系，引入了( ，) 一模 糊蘊(yùn)涵理想的定義，討論了( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想與模糊模糊蘊(yùn)涵理想、模糊子代數(shù)、模 糊理想之間的關(guān)系 定義3 1 1z 的一個模糊子集p 叫做x 的一個( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想，如果它滿足 條： ( ，1 ) v x x ，t ( 0 ，1 】，“= ，0 。l a ； ( ，2 ) 帆，y ，z x ，t ，s ( 0 ，l 】，( o 工) ) z ) ，p j x u l ，訂p 首先，給出x 的模糊子集“為x 的心) 一模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件 定理3 1 1 設(shè)p 是z 的一個模糊子集，則p 是x 的一個模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件 是：p 是z 的一個心) 一模糊蘊(yùn)涵理想 證明必要性設(shè)p 是x 的一個模糊蘊(yùn)涵理想 慨石，te ( o ，1 】，令l a ，則p ( x ) f ，由定義2 1 7 中的( 1 ) 知：p ( o ) 斗( 工) f ，即 0 ，斗，故( f 1 ) 成立 設(shè)( 工( j ，x ) ) z ) ，乙p j ，y ，z x ，t ，s ( o ，1 】，貝9 p ( 工o 工) ) z ) t ，“( z ) s 由定義2 1 7 中的( 2 ) 知：p ( 工) 血n p ( j ，z ) ) z ) ，p ( z ) m i n t ，s ) ， 因此p ，故( ，2 ) 成立 第三章模糊蘊(yùn)涵理想和模糊b c k - 濾子的研究 故p 是x 的( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想 充分性設(shè)p 滿足( f i ) ，( f 2 ) 因為( d p ，由( ，1 ) 知：0 p ( ，) p ，即r t ( o ) p ( x ) ，定義2 1 7d p f b j ( 1 ) 成立 因為壇，ye x ，( o o 工) ) z ) p “州一肛) i t , ( ：) p ，由( ，2 ) 知：p ，這里 q = m i n 肛 o 工) ) z ) ，“( z ) ，于是p ( 工) t 1 ，定義2 1 7 中的( 2 ) 成立 故p 是x 的模糊蘊(yùn)涵理想。 根據(jù)定理3 1 1 ，再結(jié)合定理2 2 3 ，定理2 2 4 ，定理2 2 5 ，定理2 2 6 ，我們可以得出以 下推論 推論3 1 1 設(shè)p 是x 的一個模糊子集，則是x 的一個心) 一模糊蘊(yùn)涵理想的充要 條件是：v t ( 0 ，1 】，當(dāng)【，( p ；f ) o 時，它是x 的一個蘊(yùn)涵理想 下面以推論的形式來描述x 的( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想與模糊理想，模糊子代數(shù)之間的 關(guān)系 推論3 1 2 設(shè)p 是x 的一個( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想，則p 是x 的一個模糊理想 注：推論3 1 2 的逆不一定成立 例3 1 1 設(shè)x 是一個b c k - 代數(shù)，其上的運(yùn)算和關(guān)系如下圖，p 是z 的模糊子集， 令p ( 0 ) = l ，p ( 1 ) = p ( 2 ) = p ( 3 ) = p ( 4 ) = f ，t 【o ，1 ) 通過常規(guī)計算可得是石的模糊理想， 但t t 不是x 的( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想，因為0 ，p ，“1 ( 3 1 ) ) 0 ) 。p ，但l 曲 l - l = l 。弘 ol23 4 00o00o 110l oo 222oo0 3333o0 4434l0 4 l ，2 0 若對b c k - 代數(shù)x 加以一定的限制，則推論3 1 2 的逆成立，雖口有下面的推論 推論3 1 3如果x 是一個蘊(yùn)涵b c k - 代數(shù)，則x 的每一個模糊理想u 都是x 的 ( ) 一模糊蘊(yùn)涵理想 推論3 1 4x 上的每個( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想都是x 上的一個模糊子代數(shù) 注：t t , v 是x 的任意兩個模糊子集，p v 當(dāng)且僅當(dāng)p ( 工) v ( 工) ，v x x 推論3 1 5p 和v 是z 的模糊理想，且滿足p v ，p ( 0 ) = v ( 0 ) 如果p 是j 的一個 1 0 西北大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( e , e ) - 模糊蘊(yùn)涵理想，則v 也是z 的一個( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想 3 2 ( ，v q ) 一模糊蘊(yùn)涵理想 文 4 0 研究了( ，v 吼k 九) ) 一廣義模糊關(guān)聯(lián)理想的性質(zhì)，在定義2 1 9 中，當(dāng) = 0 ，k = o 5 時，薯紙，b ) 肛即為模糊點(diǎn)與模糊子集之間關(guān)系的( 2 ) ：x , q p 針對這種情況， 下面我們將要討論( ，v q ( 0 0 ，) ) 一模糊蘊(yùn)涵理想，記為( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想 類似于上小節(jié)，首先，給出了b c k - 代數(shù)上的x ( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想的定義接 著研究( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件，給出與( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件 有關(guān)的推論最后，借助x 的v q - 匐j 集概念，進(jìn)一步研究了b c k - 代數(shù)z 上的( ，v q ) 一 模糊蘊(yùn)涵理想的性質(zhì) 定義3 2 1x 的模糊子集p 叫做一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想，如果它滿足條件： ( ，3 ) v x x ，t ( 0 ，l 】，五p = 0 ，v q p ； ( ，4 ) v x ，y ，z x ，t ，s ( 0 ，1 ，( o 工) ) z ) ，乙p j x u 抽l v q p 下面給出x 的( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想的性質(zhì) 定理3 2 1 設(shè)“是x 的一個模糊子集，則肛是x 的一個( ，v q ) 一模糊蘊(yùn)涵理想的充 要條件是： ( 日1 ) v x x ，弘( o ) m i n i ( 工) ，0 5 ； ( 日2 ) v x ，y ，z x ，p ( 工) m i n 斗( ( 工工) ) z ) ，p ( z ) ，0 5 證明必要性設(shè)弘是z 的一個( ，v q ) 一模糊蘊(yùn)涵理想 首先來證明( 日1 ) 成立 因為工p o ) p ，所以0 p ( ，) v q p 如果o p ( 曲p ，則 p ( o ) p ( 曲m i n p ( d ，0 5 ) ， 如果o p ( ，) g p ，則p ( 0 ) + p ( x ) l ，分以下兩種情況討論： ， ( o ) 0 5 ，那么自然有p ( o ) m i n p ( 工) ，0 5 u ( o ) 1 ，我們得：p ( x ) 0 5 ，因此x o ，“，由( 乃) 得：0 0 5 v q p ，當(dāng)0 0 5 l a 時，即有肛( 0 ) 0 5 ，這與“( 0 ) 1 ，于是p ( o ) 0 5 ，這與p ( o ) n ，因此 p ( 功m i n 加，0 5 = m i n p ( ( 工0 工) ) z ) ，i t ( z ) ，0 5 如果g u ，r l = m i i l p ( 0 o 工) ) z ) ，i t ( z ) ，則i t ( x ) + r l l ，當(dāng)i t ( x ) o 5 時，就有i t ( x ) m i n 如，0 5 = m i n 斗( o o 工) ) z ) ，i t ( z ) ，0 5 現(xiàn)證i t ( x ) 0 5 ， 因此( o o 工) ) z ) o 5 i t , z o 5 p ，由( f 4 ) 知：而5v q i t 如果而5 i t ，則i t ( x ) 0 5 ，這與 p ( 功 l ，則i t ( x ) 0 5 ，這也與i t ( x ) o 5 ，因此p ( 工) + 曲 f ，s ) l ，則( ，4 ) 成立 故p 是x 的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想 推論3 2 1 設(shè)p 是x 的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想，如果p 滿足：v x x ， i t ( x ) 0 5 ，則就是z 的一個模糊蘊(yùn)涵理想 1 2 西北大學(xué)碩士學(xué)位論文 推論3 2 2 設(shè)p 是x 的一個模糊子集，如果p 滿足：協(xié)x ，p ( 工) 0 5 ，則p 是x 的 一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想 在定理3 2 1 的基礎(chǔ)上。我對( ，v q ) 一模糊蘊(yùn)涵理想作了詳細(xì)的研究，將推論3 2 2 進(jìn)行了推廣，即有下面的定理 定理3 2 2 是彳的一個模糊子集，則p 是x 的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想的充 要條件是：v t ( o ，0 5 】，當(dāng)u ( 肛；f ) 0 時，它是x 的一個蘊(yùn)涵理想 證明必要性設(shè)p 是j 的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想，且t ( 0 ，0 5 】 如果x u ( p ；f ) ，貝0 肛( x ) t ， 由( h 1 ) 知p ( o ) r a i n t t ( x ) ，0 5 m m t ，0 5 = f ，故：o u ( “；f ) ( 爹如果( 工 ( y 工) ) 幸z ，z u ( p ；f ) ，則有斗“工( y x ) ) z ) f ，斗( z ) f ， 即有( ( x c v 工) ) 力。，弓肛，由( h 2 ) 就有： p ( 工) m i n p ( ( 工 工) ) z ) ，弘( z ) ，0 5 f ，0 5 ) = f ， 即x u ( p ；f ) ，所以u ( p ；f ) 是x 的一個蘊(yùn)涵理想 充分性設(shè)t ( 0 ，0 5 】，u ( 1 a ；t ) a 時是x 的一個蘊(yùn)涵理想 如果( 日1 ) 不成立，則有工x 和s ( o ，0 5 ) ，使得p ( 0 ) 占 m i n i 工o ) ，0 5 ，因此 0 u ( p ；s ) r x u ( x ；s ) ，矛盾 如果( h 2 ) 不成立，則有工，y ，z x 和s ( 0 ，0 5 ) ，使得 i l ( 工) f ，由( h i ) 得“( o ) m i n p ( o ，0 5 當(dāng)斗( z ) 0 5 時，有p ( o ) p ( z ) ，如果p ( z ) t ，那么p ( o ) t ，因此0 d ( p ；f ) 如果 i l ( z ) + f l ，那么p ( 0 ) + f 1 ，因此0 o ( ；f ) 當(dāng)肛( z ) 0 5 時，得p ( 0 ) 0 5 如果t 0 5 ，則肛( 0 ) t ，于是0 d ( p ；f ) 如果 t 0 5 ，則p ( o ) + f 1 ，于是0 d ( p ；f ) 綜上可得：0 d ( “；f ) 滿足( ，1 ) 設(shè)( 工( j ，工) ) z ，z o ( m t ) ，貝0 有 p ( ( 工o 工) ) 幸z ) t 或“( ( 工( y x ) ) z ) + f l 和p ( z ) t 或肛( z ) + f 1 ， 由( h 2 ) 有p ( 工) m i n p “x 宰o(hù) + 工) ) z ) ，p ( z ) ，0 5 = m i n i 血 p ( o o 石) ) 幸z ) ，p ( z ) ，0 5 ) ，存在以下兩種可能： ( dm i n p ( ( 工幸o z ) ) z ) ，p ( z ) o 5 ，貝9p ( x ) m i n p ( ( 工o x ) ) 力，p ( z ) ，如果 m i n p ( ( x o 工) ) z ) ，p ( z ) t ，貝0 p ( 工) f ，因此工d ( p ；f ) 如果m i n p ( ( z ( j ，工) ) z ) ，p ( z ) + f l ，則p ( x ) + f l ，因此x o ( 1 a ；t ) 曲 肛( o o 工) ) z ) ，( z ) ) o 5 ，我們有p ( x ) o 5 ，如果t o 5 ，則p ( 工) f ，于是 工d ( 肛；f ) 如果t 0 5 ，貝0 p ( 工) + f l ，因此工d ( p ；f ) 綜上可得：工d ( ；f ) 故滿足( 1 3 ) 即當(dāng)d ( p ；f ) 時，它是x 的一個蘊(yùn)涵理想 充分性設(shè)t ( 0 ，l 】，當(dāng)d ( p ；f ) g 時，它是x 的一個蘊(yùn)涵理想 如果p 不是x 的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想，存在以下兩種可能： 如果存在工x 和t e ( o ，0 5 】，使得p ( o ) t m i n p ( 砷，0 5 ， 于是0 e o c i - t ；t ) ，而工d ( 肛；f ) ，矛盾，所以( 日1 ) 成立 同理得( h 2 ) 成立因此p 是x 上的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想 定理3 2 4b c k - 代數(shù)上的任意( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想都是z 上的一個( ，v q ) - 模糊理想 證明令( f 4 ) 中的y = 0 即可得出結(jié)論 1 4 兩北大學(xué)碩士學(xué)位論文 定理3 2 5 在蘊(yùn)涵b c k - 代數(shù)中，每個( ，v q ) - 模糊理想都是石上的一個 ( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想 3 3 ( 三，三v ；) 一模糊蘊(yùn)涵理想 由定理2 2 3 知x 上的模糊子集a 是石上的一個模糊蘊(yùn)涵理想當(dāng)且僅當(dāng)v t 0 ，l 】， 當(dāng)u ( 氣f ) 彩時，它是x 上的一個蘊(yùn)涵理想又由定理3 2 2 知x 上的模糊子集a 是x 上的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件是v t ( o ，0 5 】，當(dāng)u ( 厶t ) f 2 j 時，它是x 上的一個蘊(yùn)涵理想由此來考慮當(dāng)九( o 5 ，1 】，【，( 氣t ) 是x 上的一個蘊(yùn)涵理想的情況 本節(jié)給出了( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想的概念，主要討論了它的充要條件，并綜合前兩 節(jié)的知識，分別描述了( ，) 一模糊蘊(yùn)涵理想、( ，v q ) - 模糊理想、( ，c v q ) - 模糊蘊(yùn)涵 理想與值域厶( 厶= 九：九( 0 ，1 且u ( 氣九) 是x 的一個蘊(yùn)涵理想) 之間的關(guān)系 定義3 3 1 設(shè)a 是x 上的一個模糊子集，稱a 是x 上的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理 想，如果它滿足條件： ( ，5 ) v 工x ，九( 0 ，l 】，0 1 e a 黽v q a ； ( ，6 ) v x ，y ，z x ，九，p ( 0 ，l 】， p ) a j ( 【y x ) ) z ) e v q a 或z p v 非 下面給出z 上的一個模糊子集為x 的一個( ，v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理想的充要條件 定理3 3 1 設(shè)a 是x 上的一個模糊子集，則a 是x 上的一個( ，e v q ) - 模糊蘊(yùn)涵理 想的充要條件是： ( 日3 ) v x e x ，m a x a ( 0 ) ，0 5 a ( x ) ； ( 日4 ) v x ，y ，z 工，m a x a ( x ) ，0 5 m i n a ( ( 工o 工) ) z ) ，a ( z ) 證明僅證( 日4 ) ，( h 3 ) 的情況類似可證 必要性若x , y ，z x 使得m a x a ( x ) ，0 5 九= m i n a ( o 工) ) z ) ，a ( z ) 則 九( 0 5 ，1 】，黽a 且( o 工) ) z ) l ，氣a ，于是( o 工) ) z ) x n 或氣社，因此 九a ( ( 工( y 幸工) ) z ) 九+ a ( ( 工( y 工) ) z ) l 或九a ( z ) 九+ a ( z ) 1 由此可得 九0 5 。矛盾 因而覘，y ，z x ，m a x a ( x ) ，0 5 m i n a ( 0 o 工) ) z ) ，a ( z ) 第三章模糊蘊(yùn)涵理想和模糊b c k - 濾子的研究 充分性設(shè)x x ，使得 e a ，s u a ( x ) m i n x ，p - t - g 有： 若a ( x ) 血 a ( ( 工 o + x ) ) z ) ，a ( z ) ，貝0 山 a ( ( z ( y 工) ) z ) ，a ( z ) m i n z ，p ， 因而a ( o o 工) ) z ) 九或a ( z ) p ，即( 工) ) 幸z ) “或z 。a ，因此 ( ( x o 工) ) 力x v g a 或z 。e v q a ( 爹若a ( x ) 0 5 ，則斗就是z 的一個模糊蘊(yùn)涵理想 由定理4 2 及定理5 3 ，可以得出x 的一個模糊子集是x 的一個心) 一模糊蘊(yùn)涵理想的 充要條件，即有下面的定理 推論3 3 2 設(shè)p 是x 的一個模糊子集，如果p 滿足：v x x ，p ( 工) 0 5 ，則p 是z 的一個