（運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)論文）幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜合.pdf

幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定勝分析與綜合 摘要 本文的第二章利用比較原理結(jié)合向量l y a p o n u v 函數(shù)，討論了多滯后時變系 統(tǒng)的不穩(wěn)定性。在2 1 中，首先研究了一類多滯后線性時變連續(xù)系統(tǒng)的不穩(wěn)定 性；通過建立多滯后線性定常輔助系統(tǒng)，利用相關(guān)的比較原理結(jié)合向量l y a p o n u v 函數(shù)，得到了多滯后線性時變連續(xù)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性的充分性定理。其次，研究了 一類多滯后非線性及區(qū)間系數(shù)時變連續(xù)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，得到了系統(tǒng)為不穩(wěn)定的 充分條件。在2 2 中，研究了一類多組非整數(shù)滯后線性時變離散系統(tǒng)的不穩(wěn)定 性以及一類多組非整數(shù)滯后非線性及區(qū)間系數(shù)離散系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，利用時滯離 散系統(tǒng)的比較原理與向量l y a p o n u v 函數(shù)，得到了上述系統(tǒng)不穩(wěn)定性的幾個充分 性定理。最后，舉例說明了所得結(jié)果的可行性。 本文的第三章，利用廣義l y a p u n o v 泛函研究了具有滯后的廣義系統(tǒng)的漸近 穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定問題。首先，提出一種期形式的廣義l y a p u n o v 方程，用來研究滯 后廣義系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，給出了漸近穩(wěn)定判定定理；其次，研究了控制帶有時 滯與不帶時滯的滯后廣義控制系統(tǒng)，利用相應(yīng)的r i c c a t i 方程，設(shè)計了滯后廣義 控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，給出了上述控制系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充分性判據(jù)。最 后，用例子說明了本文定理的可行性。 關(guān)鍵詞：多滯后時變系統(tǒng)：比較原理：向量l y a p u n o v 函數(shù)；滯后廣義系統(tǒng) 廣義l y a p u n o v 泛函 t h ea n a l y s isa n ds y n t h e s iso fs t a b ili t y ns e v er a fd e ia ys y s t e m s a b s t r a c t i nt h es e c o n dc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，t h ei n s t a b i l i t yo ft i m e v a r y i n g s y s t e m sw i t hm u l t i - d e l a yi sd i s c u s s e db yu s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p e a n dv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n i n 2 1 ，ac l a s so fl i n e a rt i m e v a r y i f i g c o n t i n u a ls y s t e m sw i t hm u l t i d e l a yi ss t u d i e df i r s tf o ri t si n s t a b i l i t y 、 b yc o n s t r u c t i n gt h ei i n e a rc o n s t a n ta s s i s t e ds y s t e mw i t hm u l t i d e l a y ， a p p l y i n gc o r r e s p o n d i n gc o m p a r i s o np r i n c i p l ea n dv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n t h es u f f i c i e n c yt h e o r e mo fi n s t a b i l i t yf o rl i n e a rt i m e v a r y i n gc o n t i n u a l s y s t e mw i t hm u l t i - d e l a ya r eo b t a i n e d a n dt h e n ，t h ei n s t a b i l i t yo fb o t h ac l a s so fn o n l i n e a ra n di n t e r v a lc o e f f i c i e n tt i m e v a r y i n gc o n t i n u a l s y s t e m sw i t hm u l t i d e l a yi ss t u d i e d ，a n dt h e t h 爸6 r e m so fi n s t n b i l i t yi n a b o v es y s t e m sa r eo b t a i n e d i n 2 2 ，t h ei n s c a n i l i t yo fac l a s so fl i n e a r t i m e v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m s w i t hm u l t f p 瞻f f o n i n t e g r a ld e l a y s i s d i s c u s s e d ，a n dt h e nt h ei n s t a b i l i t yo fb o t hac l a s so f n o n l i n e a ra n d i n t e r v a lc o e f f i c i e n tl i n e a rt i m e v a r y i n gd i , s c r e g es y s t e m sw i t hm u l t i p l e n o n - i n t e g r a ld e l a y s b yu s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l eo fd i s c r e t es y s t e m w i t ht i m e d e l a ya n dv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n ，s o m es u f f i c i e n c yt h e o r e m s o fi n s t a b i l i t yf o rt h e s es y s t e m sa r eo b t a i n e d f i n a l ，a ne x a m p l ei sg i v e n t od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo f t h eo b t a i n e dr e s u l t s i nt h et h i x 、dc h a p t e r ，t h el y a p u n o v sm e t h o di se m p l o y e dt os t u d y t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dt h ep r o b l e mo fs t a b i l i z a t i o no nt h es i n g u l a r s y s t e m sw i t ht i m e d e l a y f i r s t l y ，an e wt y p e o fl y a p u n o ve q u a t i o ni s p r e s e n t e dt os o l v et h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y o fs i n g u l a rs y s t e m sw i t h t i m e - d e l a y ：t h e t h e o r e mo fa s y m p t o t i cs t a b i l i t yi so b t a i n e d t h e n ， c o n t r o l l e rw i t ht i m e d e l a ya n dc o n t r o l l e rw i t h o u tt i m e d e l a yo fs i n g u l a r c o n t r o ls y s t e m sw i t ht i m e d e l a ya r es t u d i e d b yu s i n gt h ec o r r e s p o n d i n g r i c c a t ie q u a t i o n ，t h es t a t ef e e d b a c ki a wi sd e s i g n e d ，a n dt h es u f f i c i e n c y t h e o r e m so fa b o v ec o n t r o ls y s t e m sa r eo b t a i n e d f i n a l ，3 1 1e x a m p l es h o w s t h a tt h et h e o r e m so ft h i sc h a p t e ra r ef e a s i b l e k e y w o r d s ：t i m e v ar y in gs y s t e mw i t hm u i t i d e ia y ：c o m p ar is o t pr i n c ip ie ：v e c t o rl y a p u n o vf u n c t io n ：s in g u ia rs y s t e m sw i t ht i m e d e ia y l y a p u n o vm e t h o d 獨創(chuàng)聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的 研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰軍過的研究成果，也不包含未獲得其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書 使用過的材料。導(dǎo)我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了 明確的說明并表示謝意。 學(xué)位論文作者簽名：叩襪簽字日期：伽叩年4 月日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，有權(quán)保留并 向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人 授權(quán)學(xué)?？梢詫W(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用 影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。( 保密的學(xué)位論文在解密后 適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名 吖壤 導(dǎo)師簽字弓僻 簽字日期：么件b af 日簽字日期：知夕年6 月 日 學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向 工作單位： 通訊地址： 電話 郵編 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜臺 0 前言 一般來說，在任何實際系統(tǒng)( 包括大系統(tǒng)) 中，其狀態(tài)變量不可避免地都存 在著時間滯后( 簡稱滯后) 。實際系統(tǒng)中的滯后主要是由以下原因產(chǎn)生的： 1 實際系統(tǒng)變量測量的時間選擇； 2 用于實際系統(tǒng)中設(shè)備的物理性質(zhì)； 3 物質(zhì)的選擇與信號傳遞的不靈敏性。 例如在多層次、多遞階、多回路、多反饋、多輸入控制與大系統(tǒng)的多輸出響應(yīng)之 間，其數(shù)學(xué)模型通常是具有多組滯后的控制大系統(tǒng)。其中滯后的出現(xiàn)是由于大系 統(tǒng)中元器件本身有滯后、控制作用將滯后引入，及多層、遞階、多回路、反饋、 多輸入、多輸出的信號的傳遞等。滯后經(jīng)常產(chǎn)生于電子、機(jī)械、金屬、化工、生 命科學(xué)、海洋信息探測及經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)與管理系統(tǒng)中；也產(chǎn)生于地球的地震波、血液 中的內(nèi)分泌、空間中的電磁雷達(dá)，或計算機(jī)的視象表層處理、用遙控設(shè)備分析電 視圖象、數(shù)字控制計算機(jī)的輸出及對化學(xué)組分反應(yīng)進(jìn)行分析等等。如遙控機(jī)床的 運(yùn)行中，滾珠傳到絲桿具有時間滯后；人口動力系統(tǒng)中的人口數(shù)與過去的歷史與 過去的發(fā)展速度有關(guān)，具有時間滯后。有時為了便于系統(tǒng)的正常運(yùn)行，故意將滯 后引入系統(tǒng)，房間溫度控制系統(tǒng)就是這方面的一個典型例子。如果不將滯后引入 控制系統(tǒng)，恒溫控制繼電器將會連續(xù)不斷地產(chǎn)生抖動，從而不可能實現(xiàn)房間溫度 控制的目的?？捎袝r也因滯后對系統(tǒng)的影響不大，在系統(tǒng)的設(shè)計與模型中往往將 滯后略區(qū)，以無滯后的動力( 大) 系統(tǒng)來代替實際系統(tǒng)中有滯后的系統(tǒng)。但小滯 后有時對系統(tǒng)也會產(chǎn)生重大的影響，這時的實際系統(tǒng)一定要研究具有滯后的大系 統(tǒng)的特性。例如，從地球發(fā)出的一個信號去控制宇宙中的航天飛機(jī)或空間飛行器 ( 宇宙飛船) ，需要1 秒鐘時間，這1 秒鐘的時間滯后，將對宇宙飛船或航天飛 機(jī)的飛行產(chǎn)生巨大影響。可是，對化工過程中的鍋爐溫度控制，輸入一個控制信 號，有時經(jīng)過3 - 4 小時也不見有響應(yīng)信號輸出。這就需要考慮實際系統(tǒng)中的大 滯后對工程系統(tǒng)的影響。有時在過程控制中，滯后是一個時間t 的函數(shù)，如輸油 管道中的滯后，就是因季節(jié)不同出現(xiàn)滯后是時間t 的陡升曲線的情形，這就要考 慮無窮滯后、相關(guān)滯后對控制大系統(tǒng)鎮(zhèn)定的影響。另外，一個連續(xù)的最小相位( 穩(wěn) 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜合 定的) 被控對象，經(jīng)過采樣和離散化后，其脈沖傳遞函數(shù)有可能成為非最小相位 ( 不穩(wěn)定的) 。這是因為被控對象的傳輸滯后如果不是計算機(jī)采樣周期的整數(shù)倍 時，其中分?jǐn)?shù)部分經(jīng)過z 變換后可能產(chǎn)生一個絕對值大于1 的零點，控制系統(tǒng)就 變?yōu)榉亲钚∠辔涣?。對于一部分慢過程控制的化工、熱工對象，分?jǐn)?shù)滯后對離散 控制( 大) 系統(tǒng)的影響可以忽略不計；但對于快過程控制的機(jī)電對象，分?jǐn)?shù)滯后 對離散控制( 大) 系統(tǒng)的影響就不可能忽略，解決的方法之一，是在工程上采取 極點配置與自校正器。在經(jīng)濟(jì)大系統(tǒng)的預(yù)測及政府部門采用政策控制經(jīng)濟(jì)發(fā)展的 經(jīng)濟(jì)控制大系統(tǒng)中出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)滯后，都需要研究不能進(jìn)行迭代運(yùn)算的分?jǐn)?shù)滯后離 散( 迭代) 控制( 大) 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。 含有滯后的( 大) 系統(tǒng)，與含有滯后的控制( 大) 系統(tǒng)在數(shù)學(xué)理論上與工 程實際中都有其特殊的困難。甚至于有滯后的一階線性定常系統(tǒng)，也因其特征超 越方程有無窮多個特征根，其解空間是無窮維的。有滯后的一階非線性控制系統(tǒng)， 那就有更加復(fù)雜的動態(tài)響應(yīng)行為。這就是1 8 世紀(jì)在弦振動中產(chǎn)生了滯后系統(tǒng)以 來到今天，雖然在滯后系統(tǒng)的研究中發(fā)表了大量的論文，出版了多本著作，但滯 后系統(tǒng)的基本理論、穩(wěn)定、鎮(zhèn)定、振動、漸近性等研究一直處于方興未艾的美好 前景，形成國際前沿“熱門”的科研學(xué)科、領(lǐng)域。特別是在工程實際中不斷提 出滯后( 大) 系統(tǒng)研究的新領(lǐng)域，如一個特別重要的情形是用于波動方程的邊界 穩(wěn)定化( 鎮(zhèn)定) 反饋回路中含有滯后。某些嚴(yán)重的病態(tài)聯(lián)系已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)，如一些 其它類型的邊界穩(wěn)定化反饋方案中，“幾乎”對任意的滯后都會產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。 這些事實表明：些己知的邊界穩(wěn)定化方法，可能沒有足夠的魯棒性以適應(yīng)回路 中控制用微處理機(jī)所產(chǎn)生的滯后。含有滯后與觀測的分布參數(shù)控制( 大) 系統(tǒng)， 也是具有諸多困難的理論問題。 在國內(nèi)，1 9 6 3 年出版了秦元勛、劉永清、王聯(lián)的著作帶有時滯的動力系 統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性【1 】；該書于1 9 8 9 年三位作者與鄭祖庥一起修訂再版【z l 。1 9 8 7 年，李森林、溫立志出版了泛函微分方程1 3 1 。1 9 9 2 年，劉永清、唐功友出版 了大型動力系統(tǒng)的理論與應(yīng)用( 卷3 ) 滯后、穩(wěn)定與控制【4 】，該書是國內(nèi) 外第一本系統(tǒng)地論述滯后大系統(tǒng)的著作，突出了滯后大系統(tǒng)的工程應(yīng)用特點，同 時也兼顧了數(shù)學(xué)理論方法上的嚴(yán)密性。1 9 9 4 年，高為櫥、霍偉出版了大系統(tǒng) 的穩(wěn)定性、分散控制及遞階控制基礎(chǔ)魄，涂序彥出版了大系統(tǒng)控制論舊。 2 幾婁滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析r j 練臺 在國際上出版了如下作者的專著：1 9 5 8 年p i n n c y 【7 】：t 9 6 3 年b e l l m a n 和 c o o k e 8 ：1 9 6 6 年h a l a n a y 9 ：o g u z t o r e l i 1 0 ：1 9 7 1 年d h r y m e s 1 l 】；1 9 7 7 年 d r i v e r 1 2 】：h a l e 1 3 ：1 9 8 5 年b u r t o n 1 4 等。主要文獻(xiàn)有：1 9 8 1 年m o r i 1 5 1 ； 1 9 8 2 年s u h 和b i e n 1 6 ；1 9 8 5 年c h a n g ， 1 7 】：1 9 8 6 年h a m a m e 1 8 ；1 9 9 6 年n i 和c h e n 1 9 1 ；1 9 9 8 年y a n 、t s a i 和k u n g ； 2 0 ；2 0 0 0 年s h o u l i e 和l i h u a 2 1 ；2 0 0 2 年和2 0 0 3 年z h a n g 2 2 2 3 1 等。 早在1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k l 2 4 1 發(fā)現(xiàn)復(fù)雜電網(wǎng)絡(luò)模型是一個非傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型所 描述的系統(tǒng)廣義系統(tǒng)：1 9 7 7 年，l u e n b e r g e r l 2 5 1 又發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)動態(tài)投入產(chǎn)出模 型是由微分一差分方程所描述的慢變動態(tài)層子系統(tǒng)及代數(shù)方程所描述的快變靜態(tài) 層子系統(tǒng)組成的廣義復(fù)合系統(tǒng)。之后，人們在受限機(jī)器人、石油化工中的催化裂 化過程、人口、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)以及氣象預(yù)測等領(lǐng)域，也提出了若干不同類型的廣義 系統(tǒng)陋2 。因此，自2 0 世紀(jì)7 0 年代以來，廣義系統(tǒng)p 8 - 3 4 1 和滯后廣義系統(tǒng)3 5 - 4 5 1 以其更廣泛的形式和應(yīng)用背景引起了國內(nèi)外學(xué)者的極大關(guān)注，并且取得了許多突 破性的成果。 由于滯后是客觀世界及工程實際中普遍存在的現(xiàn)象，廣義系統(tǒng)中也包含了大 量帶有滯后的廣義系統(tǒng)。特別是有代數(shù)約束條件的滯后( 太) 系統(tǒng)及滯后控制( 大) 系統(tǒng)都是帶有滯后的廣義系統(tǒng)。因此，研究滯后廣義系統(tǒng)，將為科學(xué)技術(shù)、工程 實際提出新的理論方法與解決問題的新途徑。 1 9 8 0 年，s l c a m p b e l l 在其著作【2 8 1 中第三章中，對帶滯后的線性定常廣義 系統(tǒng) a 2 + a x ( t ) = c x ( t r ) + f ( t )( o 1 ) ( 其中x ( t ) 四”，a ，b ，c 均為月門常數(shù)矩陣，一為奇異矩陣。) 在初始值，= “， 初始函數(shù)。= 妒( ，) ，礦( f ) c ( 卜f ，0 ，尺”) ，假設(shè)礦( ，) 廠( f ) 無窮次可微，且各階導(dǎo)數(shù) 滿足一個復(fù)雜的關(guān)系式時，給出了解的存在唯一性，以及通解的表達(dá)式。直到 1 9 9 3 年，在國內(nèi)外，沒有再見到關(guān)于滯后廣義系統(tǒng)研究的其它報導(dǎo)。自1 9 9 3 年 以來。謝湘生、劉永清系統(tǒng)地開展了滯后廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定鎮(zhèn)定與控制的研究【2 7 1 。 而李遠(yuǎn)清、劉永清系統(tǒng)地研究了滯后廣義系統(tǒng)的基本理論，即解的存在性、唯一 性、整體性等，包括將s lc a m p b e l l 關(guān)于解的存在唯一性條件中，初始函數(shù)及 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定陸分析與綜合 強(qiáng)迫函數(shù)的無窮次可微條件降至只要求連續(xù)，以及廣義泛函微分方程的研究等， 并以著作形式給出總結(jié)【2 酬。溫香彩、關(guān)治洪、王偉、李遠(yuǎn)清分別與劉永清開展 了滯后廣義系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制 捌、測度型帶有脈沖的滯后廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1 4 6 - 4 8 1 、測度型帶有脈沖的滯后廣義系統(tǒng)的邊值問題【4 引、滯后廣義系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu) 控制解的存在唯一性等課題研究 2 6 3 7 1 。此外，蔣威、鄭祖庥 4 2 - 4 5 ，張慶靈【2 9 】， 梁家榮【3 3 】，陳潮m t h l 等，也對這一領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究，取得了豐碩成果。 本文在此基礎(chǔ)卜做了更進(jìn)一步的的研究。 4 幾婁滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析哼綜臺 1 預(yù)備知識 1 1 l y a p u n o v 穩(wěn)定性定理 考慮一股的月維非自治微分方程組 - - d x ：( f ，x ) ( 1 1 ) i 2 m 五jj x = c o l ( x ，屯，) = c o l ( f ，五，z ) c ，r 。】，g 保證( 1 1 ) 式解的唯一 性，j l f ( 1 ，0 ) ；0 定理1 1 釧若在某區(qū)域g 。上存在正定函數(shù)v ( t ，x ) ，使 警| 【，= 百o v + 善 i o v 肌。) ( 1 2 ) 則( 1 1 ) 式的平兒解x = 0 是穩(wěn)定的 1 2 切塔耶夫不穩(wěn)定性定理 定理1 2 5 町若存在v ( t ，x ) c g ，矗。j ，v ( t ，o ) = 0 ，使得 ( 1 ) 對t t 。，在原點任意鄰域內(nèi)，有v 0 的區(qū)域； ( 2 ) 在區(qū)域v 0 中，礦( ，) 有界： ( 3 ) 在y 。中，警h ，f 定，即v 占 o ，3 ， o ，使得在域礦 o ， 切f t o ，有 譬| ( 1 f o i ) “ 則( 1 1 ) 式的平兒解不穩(wěn)定( 圖1 ，1 ) 對一 ( 1 3 ) 幾類前后系統(tǒng)的穩(wěn)定忡分析j 綜合 1 3 比較原理 0 r 2 f 0 坐) 0 杉 心鄉(xiāng)1 圖1 1 肛+ 8 s i n ，旭+ c s i n ，k 。， 悟- ( c 州k + ( - 3 + 8 s i n t k i d v = ( 一3 十8 s i f l f ) z ? 十( s i n ，) x i x 2 + ( c 。s f ) x i x 2 + ( 一3 + 8 s i n 惻2 i d v ( 一3 + 8 s 叫奸+ 工h 巧2 + ( 。+ ，) 疊2 6 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析t j 綜合 v ( t ) v ( t o ) e 。一0 ( 當(dāng)r 斗0 0 ) ( 1 5 ) 出式( 1 5 ) 便可斷言( 1 4 ) 式的平凡解是浙近穩(wěn)定的而 2f - 2 + 8 s i n t ) d t v ( t o 歸 恰恰是微分方程 i d u = 2 ( - 2 + 8 s i n t ) u 【u ( t o ) = g ( t o ) 的解這個例子啟發(fā)我們，用李雅普諾夫函數(shù)，結(jié)合微分不等式可得到關(guān)于穩(wěn)定 性的許多更一般的結(jié)果下面我們介紹一般的比較方法 考慮一般的n 維非自治微分方程組 籌砒彳) ( 1 6 ) x = c o l ( x i ，工2 ，茗。) f = c o q a ，五，) c g h ，r “】，g 保證( 1 6 ) 式解的唯 一性，且f ( t ，0 ) ；0 同時考慮純量比較方程 掣：g ( ，c ，) ( 1 7 ) 劣7 、7 其中g(shù) c i x r + ，月】，g ( ，u ) z 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)u = 0 由于( 1 7 ) 式中的u 0 ，因 此，9 - ( 1 7 ) 式的平j(luò) 、l 解穩(wěn)定性定義中的仞始擾動u 。 0 ，為不致于引用過多的 定義和記號，不妨仍用一般方程平凡解的各種穩(wěn)定性的定義 定理1 3 ( 比較原理) 若存在正定連續(xù)函數(shù)礦( f ，x ) c j 尺”，r + 】，且關(guān)于x 滿足局部l i p s c h i t z 條件，y ( ，o ) ；0 ，v 沿( i 6 ) 式的解的右上導(dǎo)數(shù)滿足 d + v l ( 13 ) sg ( t ，v ) 則有以下結(jié)論： ( 1 ) ( 1 7 ) 式的平兒解穩(wěn)定，蘊(yùn)涵( 1 6 ) 式的平兒解穩(wěn)定： ( 2 ) 若v 還具有無窮小上界，那么( 1 7 ) 式的平凡解一致穩(wěn)定，蘊(yùn)涵( 1 6 ) 式的平 凡解一致穩(wěn)定： ( 3 ) ( 1 7 ) 式的平凡解漸近穩(wěn)定，蘊(yùn)涵( 1 6 ) 式的平凡解漸近穩(wěn)定： 7 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析口練臺 ( 4 ) 礦還有無窮小上界，則( 1 7 ) 式的平凡解一致漸近穩(wěn)定，蘊(yùn)涵( 1 ，6 ) 式的平 j 、l 解一致漸近穩(wěn)定； ( 5 ) 若存在 o ，b 0 ，使日 | 曠v ( t ，x ) ，且礦有無窮小上界，則( 1 7 ) 式的 平兒解指數(shù)穩(wěn)定，蘊(yùn)涵( 1 6 ) 式的乎凡解指數(shù)穩(wěn)定； ( 6 ) 若還存在紹k r ，使伊( 1 防5 ) v ( t ，x ) o ，使得x ( ，) = w 稱為可達(dá)集 定義1 4 3 系統(tǒng)f 1 4 3 ) 稱為脈沖可控的，如果系統(tǒng)的所以脈沖模都是可控 的 ， 定義1 4 4 系統(tǒng)( 1 4 3 ) 稱為強(qiáng)可控的，如果它既是只一可控的又是脈沖可控 的 定義1 4 5 系統(tǒng)( 1 4 3 ) 稱為完全可控的，如果對任意的，。 o ，z ( 0 ) r ”和 1 4 j r ”，都存在一控制輸入“( ，) c ? i ，使得工( f ) = w 0 幾婁滯后系統(tǒng)的話定性分析與綜合 2 多滯后時變系統(tǒng)的不穩(wěn)定性 2 1 引言 眾所周知，任何實際系統(tǒng)或多或少地都存在時間滯后，如生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)體 統(tǒng)、化學(xué)系統(tǒng)等；并且隨著近代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展及大規(guī)模工程的開發(fā)與“攻 關(guān)”，開展滯后大系統(tǒng)的研究就顯得非常迫切；因此，研究含有滯后的大系統(tǒng)就 有非常重要的理論意義和實際意義。目前，這一領(lǐng)域已有許多研究，取的了一些 成果，如國內(nèi)秦元勛等1 ，國際上p i n n c y e 等口1 嘲以及m o d t 等1 孓捌：其中， 文獻(xiàn)【4 】是國內(nèi)外第一本系統(tǒng)地論述滯后大系統(tǒng)的著作。但是，這些已有的結(jié)果 研究的主要是系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它們對不穩(wěn)定性的研究甚少；而有時研究某個實際 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是很困難的，這就需要先從反面確定一下它是否是不穩(wěn)定的，再做 出相關(guān)的處理。本章研究的即是滯后大系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。 本章所運(yùn)用的方法是比較原理【5 l 】結(jié)合向量l y a p o n u v 函數(shù)法。l y a p o n u v 函數(shù) 法是整個穩(wěn)定性理論的核心方法：它的許多基本定理及其各種推廣解決了許多實 際問題：但是有些問題卻很棘手，必須結(jié)合其它方法；其中理論上最完善、應(yīng)用 上最廣泛的便是比較原理。文獻(xiàn) 4 】在研究滯后大系統(tǒng)的穩(wěn)定性中所用的主要方 法之一就是比較原理。本文在此基礎(chǔ)上再結(jié)合向量l y a p o n u v 函數(shù)討論了多滯后 系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜合 2 2 多滯后時變連續(xù)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性 對多滯后時變系統(tǒng)，有時可以利用多滯后比較原理將一類多滯后時變系統(tǒng)化 為多滯后定常系統(tǒng)，這樣，時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性與否就轉(zhuǎn)化為判定定常系統(tǒng)的穩(wěn) 定性與否( 對多滯后定常系統(tǒng)的( 不) 穩(wěn)定性可以利用頻域法 4 1 研究) 。為此， 先做以下準(zhǔn)備工作： 2 2 1 準(zhǔn)備工作 在給出本文的主要結(jié)果之前，首先引入以下定義和引理。 有關(guān)定義 定義2 2 1 5 封向量函數(shù)w ( f ，r ) 是擬單調(diào)增加的，如果對任何給定的f 2 乇和所 有的r ，r ”r 。，使得當(dāng)r ，”，j = r ”( j = l ，2 ，礎(chǔ)_ ，f ) 時，滿足不等式 w i ( f ，r ) w f ( f ，r ”) i = 1 ，2 ，m 定義2 2 2 5 3 1 泛函妒( 玉，毫) 由下式確定 仍= 妒( ，毫) = 0 1 ，當(dāng)玉= 毫= o 0 f ，當(dāng)玉 o ；屯= o 嬲 【一1 ，當(dāng) o ；或毫= o 及毫 o 。記 _ i l = m a x r 5 r ；f ，- ，= l ，2 ，仃；r = l ，2 ，n 1 ( 2 2 2 ) 在島一h f 島上，給定連續(xù)的初始函數(shù)工。( f ) 1 2 幾婁滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定眭分忻與綜臺 ( t ) - - x o j ( t ) t o - h f f 0 ；j = 1 2 ，n ( 2 2 3 ) 記( 2 2 1 ) 的多滯后線性比較系統(tǒng)為 只( ，) = 喜a ( 蛐，( r ) + 蘭r = l 否na 護(hù)( t ) y j ( ，1j 。lj i l i = 1 ，2 ，n 在f 0 一h f 島上，給定連續(xù)的初始函數(shù)) ，o ，( f ) 桫) ( 2 2 4 ) y j o ) = y o e ) t o - f 墨島； j = 1 ，2 ， ( 2 2 5 ) 若( 2 2 1 ) 及( 2 2 4 ) 的系數(shù)滿足條件 口護(hù)( ，) - 0 ，f 4 擴(kuò)( f ) o t o h t i ，j = l ，2 ，m ，= l ，2 ，n ( 2 2 6 ) 設(shè)石，( f ) 和y ) ( _ ，= 1 , 2 ，n ) 分別是多滯后微分不等式( 2 2 1 ) 和比較系統(tǒng) ( 2 2 4 ) 的解。文中引入多滯后線性時變連續(xù)系統(tǒng)的比較原理： 引理2 2 1 t 4 設(shè)多滯后微分不等式( 2 2 1 ) 及其比較系統(tǒng)( 2 2 4 ) 的系數(shù)滿 足條件( 2 2 6 ) 。則由( 2 2 1 ) 與( 2 2 4 ) 的初始函數(shù)滿足 ：c o j ( t ) y o ( f ) 一 t t o ；= 1 , 2 ，- ，z ( 2 2 7 ) 時，蘊(yùn)涵了 ( f ) y j ( f ) ，= 1 , 2 ，n ( 2 2 8 ) 在區(qū)間毛一h f o o 上成立。 多滯后非線性時變連續(xù)系統(tǒng)的比較原理 i 毫( ，) 正( 墨( f ) ，毛( f ) ，五。一罐) ，x o ( t 一碟) ， 五( 卜掣) ，矗( 卜) ) ( 2 2 9 ) i i = l 2 ，n 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜合 相應(yīng)的多滯后非線性比較系統(tǒng)為： f 蟲( f ) = z ( f ，m ( f ) ，靠( f ) ，y i ( f 一甜) ，y 。( f 一碟) ， y l ( t - ) ，) ，。( f 一彤) )( 2 2 1 0 ) i f = 1 川2 一，n 其中z 對所有變元咒( f ) ，咒。一學(xué)) ，( f ，j = 1 , 2 ，n ；r = l ，2 ，n ) 是擬單調(diào)增 加雕i 。 引入多滯后非線性時變連續(xù)系統(tǒng)的比較原理 引理2 2 2 娜設(shè)多滯后非線性比較系統(tǒng)( 2 2 1 0 ) 中，滿足上述條件。如 果( 2 2 9 ) 及( 2 2 1 0 ) 的初始函數(shù)而，( t ) 和( f ) 滿足 ? 7 7 y o j o x 鏟挺壓島 ( 2 2 1 1 ) 【，= 1 ，2 ，n 、。 則有 l x j ( t ) y j ( f ) ，t o h f 0 0 【_ ，= 1 ，2 ，撐 其中一( f ) 和乃( f ) ( ，= 1 , 2 ，n ) 分別是( 2 2 9 ) 和( 2 2 1 0 ) 的解。 2 2 2 主要結(jié)果及證明 多滯后線性時變連續(xù)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性 現(xiàn)考慮多滯后線性時變系統(tǒng) ( 2 2 1 2 ) 毫( r ) = 窆膂( r ) - ( r ) + 藝薈n 西1 ( 咖，一桫)(2213)j=tr = l j 毫( f ) = 膂( r ) - ( f ) + 西1 ( f ) z ，一桫)，。， 1；i 。7 i i = 1 ，2 ，一，n 其中系統(tǒng)( 2 2 1 3 ) 的所有系數(shù)對f t o 都是一致有界的，且滿足關(guān)系 1 4 些鲞堂亙墨竺竺堡壅絲坌塹皇笪魚 ? 4 7 口， ( f ) 0 ( f ) 0 ，_ ，i ( f ) 0 t o h f o o i 。j = 1 ，2 ，mr = l ，2 ，n 其中 = m a x ：r 1 ；f ，= 1 ，2 ，鵬r = 1 ，2 ， 顯然有 記 口? k 緩矽( f ) ) = 垛 哿( r ) ) ，f 桫。磷( ，) ) i ，= l ，2 ，啊r = 1 ，2 ，n f 毋 o j 孤j ；e i l 磚o 【i ，j = 1 7 2 ，- , - 班r = 1 ，2 ，n 由( 2 2 1 5 ) 建立( 2 2 1 3 ) 的多滯后線性定常輔助系統(tǒng) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ，。( r ) = 喜。y ，( r ) + 羔薈n 擴(kuò)y ，( f 一摻1 ) ( 2 2 r ) = 。y 兒) + n 【f - 摻)， 1，；lr = l ，n - l 。1 7 ) 【i = l ，2 ，n 于是，可以得到如下定理 定理2 2 1 對于多滯后線性時變系統(tǒng)( 2 2 1 3 ) ，假如其所有的系數(shù)對f t o 都 是一致有界的，且滿足條件( 2 2 1 4 ) ，則多滯后線性定常輔助系統(tǒng)( 2 2 1 7 ) 之 不穩(wěn)定性蘊(yùn)涵( 2 2 1 3 ) 的不穩(wěn)定性。 證明取y ( y ( r ) ) = v i ( y 。( r ) ) ，屹( y ：( ，) ) ，( 咒( r ) ) 丁 為多滯后線性定常輔助系統(tǒng)( 2 2 1 7 ) 的向量l y a p u n o v 函數(shù)，其中 咋( ) ，。( f ) ) = 協(xié)( f ) l i = 1 ，2 , - - - , n ( 2 2 1 8 ) 結(jié)合定義2 2 1 中引進(jìn)的泛函概念，由v i ( y 。( ) ) ( i = l ，2 ，咒) 沿著( 2 2 1 7 ) 的 1 5 幾婁滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜臺 軌線對t 求右上導(dǎo)數(shù)，得到 d + 咋( y ，( f ) ) f ( ：1 7 ) = p ( y f ，兜) 只( f ) l ( 。j 7 ) = 仍n ? 咒c ，+ 識 羞n 鏟，。c r ，+ 善喜。f ，。( f f 5 ，) 籪) | y i ( r ) 卜謬) | 只( r ) 卜西i y ，( r 一謬) l ，= i r = lj = l 喜4 p ( j ) v ，( t ) + 喜喜西( ，) _ ( f f 5 r ) ( z 2 t ， i = 1 ，2 ，咒 考慮多滯后線性時變系統(tǒng)( 2 2 1 3 ) 。令( 2 2 1 3 ) 與( 2 2 1 9 ) 的初始函數(shù)而( f ) 與；o ) 具有下列關(guān)系 ( f ) ：c o j ( f )毛一矗f f 0 ( 2 2 2 0 ) 則由引理2 2 1 知，( 2 2 1 3 ) 的解五( f ) 和( 2 2 1 9 ) 的解u ( f ) 滿足 m ( f ) 丐( f ) ，f o 一 s - t o 都是 一致有界的，且滿足關(guān)系 令 硝( f ) o ，a 。( o ( f ) - 0 ( 2 2 2 4 ) t o h t o ( f ，= l ，2 ，n ；r = l ，2 ，) 為有理數(shù)且不全為整數(shù)，即至少有一個 為分?jǐn)?shù)。我們稱這樣的系統(tǒng)為多有理數(shù)滯后離散系統(tǒng)。 記 蝗= x 渺，= 1 2 峨r = l 2 n ) 在區(qū)間- h 七o 上，給定初始函數(shù)而( k ) 。( 七) = x o j - ( 后) 一h t 0 ； ，= 1 , 2 ，一，n ( 2 3 2 ) 記( 2 3 1 ) 的多非整數(shù)滯后線性時變離散比較系統(tǒng)為 j 咒 + 1 ) 2 薈n ? ( k ) y j ( 。) + 薔4 5 ，) ( 。) y ，k - r = l 彬) ( 2 3 3 ) 、= i，= i 、 h = 1 ，2 ，嗽k = o ，1 2 在區(qū)間h - k o 上，給定初始函數(shù) ) y j ( 七) = y o ，( 七) 一h 七s o ： y = l ，2 ，療( 2 3 。4 ) 并令 ，( 七) y 。，( 足) 一h 七o ； - = 1 ，2 ，肛 假設(shè)( 2 3 1 ) 及( 2 3 3 ) 的系數(shù)滿足 口，( 七) o ，f ，y = l ，2 ，n ；r = 0 , 1 ，2 ，n ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜臺 文中引入多組非整數(shù)滯后線性時變離散系統(tǒng)的比較原理： 引理2 3 i 棚設(shè)多有理數(shù)滯后線性時變離散不等式系統(tǒng)( 2 3 1 ) 及其相應(yīng)的比 較系統(tǒng)( 2 3 1 3 ) 的系數(shù)滿足條件( 2 3 6 ) ，則由( 2 3 1 ) - - 與( 2 3 3 ) 的初始函數(shù)工。( t ) 與 y 。，( 七) 滿足( 2 3 5 ) 時，有 ( 七) y ，( k ) t = o ，i “2 ； ，= l “2 ，n( 2 3 7 ) 這里石，( 七) 和y ，( k ) ( ，= 1 , 2 ，n ) 分別是( 2 3 1 ) 與( 2 3 3 ) 的解 多非整數(shù)滯后非線性時變離散系統(tǒng)的比較原理 考慮多有理數(shù)滯后非線性時變離散不等式系統(tǒng) 一( + 1 ) 窆口妒( t ) _ ( 七) + 蘭窆n ( ) _ 卜一彬) = lr ；l i = t + z ( x d k ) ，( 七) ，屯( 七一硝) ，( 七一蟛) ) ( 2 3 8 ) i = 1 ，2 ，挖：k = 0 ，1 ，2 ， 其中非線性函數(shù)z 對所有變元是擬單調(diào)增加的的非負(fù)函數(shù)。對不等式系統(tǒng) ( 2 3 8 ) ，在區(qū)間一h l k o 上給定初始函數(shù)而，( k ) ( k ) = x o ( k ) 一h - 1 七o ； ，= l ，2 ，。n 不等式系統(tǒng)( 2 3 8 ) 的非線性離散比較系統(tǒng)為 y l ( k + 1 ) = a ，( t ) y 小) + n 5 r 1 ( 尼) y ，k ，；i，= i，= i + 工( y 。( t ) ，y 。( 七) ，) 、( 七一硝) ，y 。( t 一矗) ) ( 2 3 9 ) f = 1 ，2 ，l ：女= 0 ，1 ，2 ， 對比較系統(tǒng)( 2 3 9 ) ，在區(qū)間一h - 1 k o 上給定初始函數(shù)( 七) y j ( t ) = y o ( 七) 一h - 1 - k - o ，( f ，j = l ，2 ，朋r = l ，2 ，) 是有理數(shù)。設(shè)系統(tǒng)( 2 3 1 0 ) 的所有系數(shù)對 k = o ，l ，2 ，都是一致有界的，且滿足條件( 2 3 6 ) 。 記 = m a x 彬“，= 1 力；r = 1 2 并且， j = 時( p ；七= o 協(xié)j b ，= 1 ，2 ，r ；r = o ，1 2 ， 由( 2 3 1 1 ) 建立( 2 3 1 0 ) 的線性定常離散輔助系統(tǒng)( 2 3 1 2 ) 1 只忙+ 1 ) ：主a 3 ，y i ( k ) 0+ 藝窆n f ，k 一磚，)1 只( 后+ 1 ) = a 3 + n f y ，一磅) 1，= l r = l j - i i i = 1 ，2 ，m k = o ，1 ，2 ， 由此。可得如下定理： ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 幾類滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜合 定理2 , 3 1 對于多有理數(shù)滯后線性時變離散系統(tǒng)( 2 3 1 0 ) ，假如其所有的系數(shù) 對k = o ，1 ，2 ，都是一致有界的，且滿足條件( 2 3 6 ) ，則線性定常離散輔助系統(tǒng) ( 2 3 1 2 ) 之不穩(wěn)定性蘊(yùn)涵( 2 3 1 0 ) 的不穩(wěn)定性。 證明取y ( y ) ) = v i ( m 似) ) ，v ：y ：( e ) ) ，( 靠 ) ) 7 為輔助系統(tǒng)( 2 3 1 2 ) 的