（運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)論文）隨機(jī)利率下有違約風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)投資組合.pdf

復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 本文討論如下的最優(yōu)投資組合問題金融市場中有4 種證券：銀行存款、無違約風(fēng)險(xiǎn) 零息票債券、有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券和股票投資者可以以任意數(shù)量買賣這4 種證券以使 他的終端財(cái)富期望效用最大化我們用約化形式方法對違約風(fēng)險(xiǎn)建模，并假定利率和信用 利差都服從c a x - i n g e r s o l l - r o s s 模型我們把最優(yōu)投資組合問題看作個(gè)三維的隨機(jī)最優(yōu)控 制問題，給出了相應(yīng)的h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n 方程的顯式解和最優(yōu)投資策略 關(guān)鍵詞- 隨機(jī)利率，違約風(fēng)險(xiǎn)，隨機(jī)控制。最優(yōu)投資組合 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n go p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e m t h ef l n a n d a lm a r k e tc o n s i s t s o fas a v i n g sa c c o u n t ，d e f a u l t - f r e ez e r oc o u p o nb o n d s ，d e f a u l t a b l ez e t oc o u p o nb o n d sa n d s t o c k s a ni n v e s t o rc a ni n v e s ti nt h e mw i t h o u ta n yr e s t r i c ta n dt r i e st om a x i m i z et h e e x p e c t e du t i l i t yf r o mh i st e r m i n a lw e a l t h t h ed e f a l l l tr i s ki sm o d e l e di nar e d u c e df o r m a p p r o a c h t h ei n t e r e s tr a t ea n dt h ec r e d i ts p r e a da r ea s s u m e dt of o l l o wt h ec o x - i n g e r s o l l - r o s sm o d e l t h eo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e mi st r t e da sa no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mf o ra t h r e e - d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ls y s t e m t h ea s s o c i a t e dh a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n e q u a t i o ni ss o l v e de x p l i c i t l y , a n dt h eo p t i m a lp o r t f o l i oi sa l s og i v e ni na c l o s e df o r m k e y w o r d s ：s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，d e f a u l tr i s k ，s t o c h a s t i cc o n t r o l ，o p t i m a li n v e s t m e n t 2 第一章引言 m e r t o n 2 0 1 于1 9 7 1 年討論了連續(xù)時(shí)間最優(yōu)投資組合問題他假設(shè)市場是完備的，且市 場利率是常數(shù)投資者可以投資于銀行存款和多種不同風(fēng)險(xiǎn)股票，以投資策略過程描述投 資者的投資行為，通過極大化終端財(cái)富期望效用，將投資組合問題歸結(jié)為一個(gè)控制問題， 利用隨機(jī)控制方法，m e r t o n 給出了最優(yōu)投資策略 假設(shè)利率為常數(shù)是m e lt o n 模型的一個(gè)限翻，而市場上的利率往往是不斷變化的隨著 債券市場的壯大，利率期限結(jié)構(gòu)的研究獲得了長足的發(fā)展，隨機(jī)利率下的最優(yōu)投資組合問 題已備受關(guān)注k o r n 和k r a f t 1 6 研究了v a s i c e k 2 5 】隨機(jī)利率模型和h o - l e e 8 】隨機(jī)利率 模型下的最優(yōu)投資組合問題在隨機(jī)利率下，財(cái)富方程不滿足l i p s c h i t z 條件，故不能用通 常的驗(yàn)證定理( 參考【7 1 ) 來證明所構(gòu)造投資組合的最優(yōu)性f 1 6 】給出了個(gè)修正的驗(yàn)證定 理，能夠用隨機(jī)控常9 方法給出投資于銀行存款、無違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券和股票的最優(yōu)投資 策略 v a s i c e k 隨機(jī)利率模型和h o - l e e 隨機(jī)利率模型具有簡單好用的優(yōu)點(diǎn)，但卻有一個(gè)非常 明顯的缺陷t 短期利率會(huì)以一個(gè)正的概率取負(fù)值由一般均衡方法發(fā)展出來的c i r 利率模 型【3 】克服了該缺陷，而且還具有均值回復(fù)的特性該模型自1 9 8 5 年出現(xiàn)以來，在理論和 應(yīng)用上獲得了人們的認(rèn)可d e e l s t r a 等【4 】利用鞅方法( 參見【1 5 ) 討論了c i r 隨機(jī)利率模 型下的最優(yōu)投資組合問題 違約風(fēng)險(xiǎn)( d e f a u l tr i s k ) 是指債券發(fā)行方不能如約完成契約上所事先約定的義務(wù)的風(fēng) 險(xiǎn)，公司債券就是具有違約風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)的例子對具有違約風(fēng)險(xiǎn)的市場進(jìn)行研究，涉及的一個(gè) 關(guān)鍵問題就是對違約時(shí)問進(jìn)行建模，主要有兩種方法一種方法稱為結(jié)構(gòu)化形式( s t r u c t u r a l f o r m ) 方法，由m e r t o n 2 1 】于1 9 7 4 年提出在這種方法中，違約時(shí)間由一個(gè)描述公司價(jià)值 的基礎(chǔ)過程來確定當(dāng)該過程超過某個(gè)界限時(shí)就發(fā)生違約，此時(shí)違約時(shí)間r 關(guān)于資產(chǎn)價(jià)值 所形成的信息流是一個(gè)停時(shí)另一種方法稱為約化形式( r e d u c e d - f o r m ) 方法，相關(guān)文獻(xiàn)可 以參考【5 1 ， 1 3 l 和 2 2 在這種方法中。將債券發(fā)行方的違約行為看作一個(gè)不可料的事件 約化形式方法一個(gè)關(guān)鍵的優(yōu)點(diǎn)是可以很方便地利用期限結(jié)構(gòu)模型來建模，因而成為近年來 對違約風(fēng)險(xiǎn)市場研究的個(gè)熱點(diǎn) 4 復(fù)且大學(xué)碩士學(xué)位論文 考慮金融市場中同時(shí)存在利率風(fēng)險(xiǎn)和違約風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)投資組合問題具有非?，F(xiàn)實(shí)的意 義，相關(guān)研究比較少h o u 1 0 】研究了隨機(jī)利率下，投資于銀行存款、股票、國債和公司債券 的最優(yōu)投資組合問題，文中假定利率和信用利差服從v a s i c e k 模型前文巳經(jīng)提到v a s i c e k 模型有著本質(zhì)的缺陷 設(shè)( n ，p ) 是個(gè)完備的概率空間，( - ) = ( 胍( ) ，( ) ，w 3 ( ) ) t 是定義在其上 的三維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，其中胍，- ，w 3 相互獨(dú)立 f = 五) t e p 司是由布朗運(yùn)動(dòng)( ) 生 成的自然n 域流，滿足通常條件，其中亍( 0 ，+ 。) 本文假定市場上有4 種證券銀行存款、無違約風(fēng)險(xiǎn)零患票債券、有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票 債券和股票 假設(shè)短期利率過程r ( ) 滿足c i r 模型t d r ( t ) = k l ( a l r ( t ) ) d t + a l y 而d w l ( t ) ， ir ( o ) = ， 其中，h ，鞏，o 1 為正的常數(shù)，滿足條件2 k 1 8 1 口 則銀行存款的價(jià)格過程b ( t ) 滿足如 下微分方程t ld b ( t ) = r ( t ) b ( t ) d t ， ib ( o ) = 1 對票面金額為1 ，到期時(shí)刻為乃( 丑st - - - ) 的無違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券， b ( t ，噩) 滿足隨機(jī)微分方程 髻掰= ( r ( t m “t ) ) 班州咖- v 麗d w l ( 吐 這里a ，沙( ) 為無違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券的風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)q ( ) 由 一麗齋豢高 所定義，其中 1 1 = 、( 1 + a l ；h ) 2 + 2 盯 5 假設(shè)其價(jià)格過程 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 我們對違約風(fēng)險(xiǎn)用約化形式方瑩進(jìn)行建模1 良設(shè)有違約風(fēng)險(xiǎn)零懇票債券的信用利差過 程j ( ) 滿足c i r 模型t d 占( t ) = 如( 如一6 ( t ) ) 班+ 觀苫葡w i ( t ) ， i6 ( o ) = 如， 其中南，k 2 ，如，0 2 為正的常數(shù)，滿足條件2 k 2 8 2 醴我們還進(jìn)一步假設(shè)到期時(shí)刻為丑的 有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券價(jià)格p ( t ，噩) 滿足隨機(jī)微分方程： 警掰= ( 心咖蚓她) 出 + q ( 加。舡_ d 帆( t ) + 龜( f ) 觀瓶_ d ( t ) 這里如、j ( - ) 為違約風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)q ( ) 由 鈕( 力= 一百可再2 習(xí)( j * 再c t l - 0 硒- 砸1 ) 麗圃 ( 1 2 ) 所定義，其中 1 2 = ( 乜+ a 2 a 2 ) 2 + 2 磋 假定股票價(jià)格過程s ( ) 滿足隨機(jī)微分方程； j 辯= ( r ( t ) + 如( 亡) a 3 ( t ) ) 如+ 如( ) 西蠔( t ) ， is ( o ) ；島， 這里如( ) 為有界可測函數(shù)，確定性函數(shù)a 3 ( - ) 為股票風(fēng)險(xiǎn)市價(jià) 考慮一個(gè)投資者，以x ( ) 表示他的財(cái)富過程，初始財(cái)富為x ( o ) = z o 0 以 ( ) = ( 7 r 1 ( 茚，丌2 ( 味丌3 國) ，t 【o 司， 表示他的投資策略，其中t ( 丑丌1 ( ) ，拋( ) ，丌3 ( - ) 分別表示投資者在區(qū)間【0 ，卅投資于無 違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券、有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券和股票的金額所占總財(cái)富的比例，1 一”( ) 7 r 為投資于銀行存款的金額所占總財(cái)富的比例，其中r = ( 1 ，1 ，1 ) t 在自融資的投資策略下， 財(cái)富過程x ( ) 滿足隨機(jī)微分方程： d x x ( ( t t _ a ) ) = m + ”( t ) 7 ( p ( t ) 一r ( t ) 跏出+ r ( t ) 7 一( t ) d w ( t ) ， ( 1 3 ) 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 p ( t ) = o - ( t ) = 白( t h 、而0 0 q ( t h 廁q ( t k 麗0 00 田( t ) 我們考慮的允許的投資策略定義如下； 定義1 1 假設(shè)條件p 2 1 ) 滿足對任意的t o 【0 ，列，投資策略 丌( t ) ) 。“。司稱為允 許的。如果 n ( t ) ) t e ，釘是循序可測的； 一砂對任意初始財(cái)富x “( t o ) = z # 。 0 ，財(cái)富方程( 1 3 ) 都存在唯一的強(qiáng)解 x ”( t ) 吲如，卅 且 x “( t ) 0 ，v t t o ，邪； 一叫對k n ，有 e ( 小( s ) 陽s ) 0 ，尋找投資策略礦( ) 一4 ( 0 ，x o ) 使得 e u ( x 。( t ) ) 2 非m a x ，e u ( x ”( 聃 利用隨機(jī)控制方法我們得到本文的主要結(jié)果 7 蚴 搽卅m 啪 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 定理1 1 假設(shè) 滿足，其中 ，y y 2 注記2 1 當(dāng)條件2 k 0 盯2 滿足時(shí)。有 p r ( ) 0 ，v t 【0 ，習(xí)) = l ， 我們在這里省略證明，相關(guān)證明可見毫“中引理1 3 4 3 稱隨機(jī)利率模型( 2 2 ) 為c o - i n g e r s o l l - r o s s ( 簡稱c i r ) 模型與v a s i c e k 模型不同， 我們很難得到方程( 2 2 ) 的顯式解，即利率r ( t ) 的顯式表達(dá)式由下面的引理2 1 可知，隨 機(jī)微分方程( 2 2 ) 存在唯一的強(qiáng)解 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 引理2 1 設(shè)一維隨機(jī)微分方程 d x t = b ( t ，x t ) d r + 口( t ，x t ) d 眥 的系數(shù)對0 t o 那么方, i l 償印存在唯一強(qiáng)解 注記2 2 條件俾秒由y a m a d a 和w a t a n a b e ( 1 9 7 1 ) 提出特別地，我們?nèi)?= 篡 且 ( t ) = 仃t ，其中口 0 此時(shí)引理霉j 保證方程償甜存在唯一強(qiáng)解我們在這里省略 引理2 j 的證明，詳細(xì)證明可見口”中定理4 只霉或口卅中命題5 2 j 了 對給定的到期時(shí)刻t ，假設(shè)t 0 ，q p t ) 0 定義右連續(xù)過程 h ( t ) ：= 1 ，f ) ，：= 盯( 日( 釷) ：“t ) ，t 【0 ，司， h ：= “t ) t 1 0 t 動(dòng)表示關(guān)于違約信息的小域流令g ：= f v h ，吼：= 五v ，t o ，司， 則r 是一個(gè)g 一停時(shí) 令f ( t ) ：= q ( r t i 五) ，假設(shè)對任意的t 【o ，t - i ，都有f ( t ) t ) = b n r t ( 2 7 ) 證明易見劣c 多，又 甌= 五v 一口( “t ，五) = u ( t 莖u ，“t ；五) 1 1 復(fù)且大學(xué)碩士學(xué)位論文 故只需證對a = 0 t 1 ) ，u s t 或a 五，h b 五使得 a n r t ) = b n f t ) 即可而當(dāng)a = 0 t ) ，u t 時(shí)，取b = 口；當(dāng)a 五時(shí)。取b = a 即證證畢 引理2 3 俐令0 t s 亍，對任意g 可測的隨機(jī)變量y ，有以下等式成立 e q ( i ，y i 鼠) = 1 p t 8 “扣) “e q ( 1 ， 。) y i 特別地。如果y 是j - 可測的，則有 e q ( 1 p 。) y i 吼) = 1 ， t e q ( e r “脅y l 五) 一砂對有界，f - 可料過程z ，0 t 。 y l 兀) = q 盯 t f 五) x x ：盟1 刎- - y ( t ) ；e 肌) 扎e q ( 坼刈y i 五) 如果y 是五一可測的，則有 e 矗“扣沖e q ( y q ( r s 1 只) i 瑚 e j ：“( u ) 如e q ( y ( 1 一f ( s ) ) i 五) e q ( e r m 扎y i 五) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( n 由( i ) 可知 e q ( i 。 t e 片6 和如e q ( 1 t r a z ，j 假設(shè)z ( ”) 是一個(gè)逐步有界f 一可料的過程，即 毋= 砑1 “。5 札，t t s t ! o 五) 其中t = 芘 t i 沁l = 8 ，霹a = o ，曲是五。一可測的隨機(jī)變量當(dāng)n 一+ 時(shí)，z p ) 一尻，t t s s e q ( i 一鰣玲i 五) = e q ( l 懷，壘+ l 砑i 五) = e q ( 毋( f ( 南+ z ) - f ( t t ) ) i 五) = 鏟( j f i 鹼d f ( 讓) = e q ( z 。e 片m 沖z p 危( 釷) 如i 五) ， 上式當(dāng)n 一+ o 。時(shí)，由z 是有界過程知 e q ( 1 似，糾互i 五) = e q ( 。e f “況 ( u ) 如f 五) ， 所以 e q ( 1 似，鰣磊吼) = 1 一) e q ( e rm 沖磊 ( 札) 乩| 五) 證畢 l 理2 4 對t 【0 ，t - l ，過程 m ( t ) ：= 日( t ) 一j c h ( u ) d u( 2 1 1 ) 是一個(gè)g 一鞍 證明對0 t 8 0 e q ( e - 儼“卅m l 五) p ( 囑) = 妒( j ( n e 一腫洶d d ( n ) lg ) = e q 、 t 1 e r r c s ) a a z ( u ) d 日( ”) + e _ 妒州如1 椰i 島) = e q ( 1 t o e q ( e 一鏟( r ( 卅坤油i 五) 證畢 令6 ( i ) ：= ( ) o ( ) ，稱d ( - ) 為有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券的信用利差( c r e d i ts p r e a d ) 過程 可以假設(shè)d ( ) 是一個(gè)外生的過程，即不依賴于債券本身的價(jià)值過程，這樣我們就可以很方 便地利用標(biāo)準(zhǔn)的期限結(jié)構(gòu)模型來對違約風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行建模 1 6 第三章最優(yōu)投資組合問題 3 1 金融市場建模 設(shè)( n ，9 ，p ) 是一個(gè)完備的概率空間， ( ) = ( w a ( ) ，( ) ，w ，3 ( ) ) 1 是定義在其上的三維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，其中m ，w ；，w a 相互獨(dú)立 f = 五) t 舊是由布朗 運(yùn)動(dòng)( ) 生成的自然n 域流，滿足通常條件，其中亍( o ，+ o 。) 對任意t 【o ，習(xí)，五cg 我們考慮一個(gè)金融市場，假設(shè)市場上有4 種證券：銀行存款、無違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券、 有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券和股票假設(shè)市場是無套利的。q 是p 的等價(jià)鞅概率測度，使得市 場上任意可交易資產(chǎn)的價(jià)格關(guān)于無風(fēng)險(xiǎn)利率r ( 一) 的貼現(xiàn)價(jià)格在測度q 下都是鞅 假設(shè)短期利率過程r ( ) 滿足c i r 模型： 郵) ；”，一) 吼廁奶，( 3 1 ) 【r ( o ) = r o ， 其中r o ，膏l(xiāng) ，p 1 ，口1 為正的常數(shù)。滿足條件2 k l 口l 口 銀行存款的價(jià)值過程b ( t ) 滿足如下 微分方程： id b ( t ) = r ( t ) b ( t ) d t ， 【b ( o ) = 1 考慮個(gè)票面金額為1 、到期時(shí)刻為墨亍) 的無違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券。假設(shè)它 的價(jià)格過程s ( t ，正) 滿足隨機(jī)微分方程t 篙船= ( 忡m l r ( t ) ) 出州加，廁刪啦 這里a ( ) 為無違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券的風(fēng)險(xiǎn)市價(jià) q ( ) 由 砟) _ - 矸齋籌高裝哪 ( 3 z ) 1 7 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 所定義，其中 z ， 瓜了孑麗 設(shè)r 是定義在( n ，g ，q ) 上的實(shí)值非負(fù)隨機(jī)變量，表示有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券的違約 時(shí)間假設(shè)q ( t = 0 ) = 0 ，且對任意的t 0 ，q p ) 0 定義右連續(xù)過程 日( t ) ：= 1 ，f ) ，咒t ：= 口( 日( u ) ：u t ) ，t 【o ，司， h ：= ) ?！? ，而表示關(guān)于違約信息的m 域流令g ：= f v h ，驍：= 五v ，t o ，司， 則r 是一個(gè)g _ 停時(shí) 由第二章第二節(jié)內(nèi)容可知，f - 循序可測非負(fù)隨機(jī)過程九( ) 使得過程 m ( ) ：h ( 0 一“”) d u h ( o ，t 0 ，習(xí)，( 3 3 )m ( ) ：= 一o h ( u ) d u ，。 0 ，習(xí)， ( 3 3 ) 是一個(gè)g 一鞅票面金額為1 ，到期時(shí)刻為乃( 乃 0 e q ( e p 州卅m 肭i 五) ， ( 3 4 ) 其中j ( ) 為有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券的信用利差過程假設(shè)債券的特定違約損失率。( t ) = 1 ，vt 【0 ，噩】，即當(dāng)有違約發(fā)生時(shí)，債券持有人不能獲得任何清償，此時(shí)債券的信用利差 等于危險(xiǎn)率，即6 ( ) = ( ) 假設(shè)有違約風(fēng)險(xiǎn)零息票債券的信用利差過程d ( ) 滿足方程t p ) = k 2 ( 0 2 “o ) ) 啦刪t ) ， ( 3 5 ) i6 ( o ) = 如， 其中南，如，如，以為正的常數(shù)，滿足條件2 k 2 8 2 磅 引理3 1 短期利率滿足c i r 模型阻 ，信用利差滿足方程p 彰時(shí)，票面金額為 j ，到期時(shí)刻為正( 矗 0 ，財(cái)富方程( 3 8 ) 都存在唯一的強(qiáng)解 x ”( t ) t e ，司 且 x ”( t ) 0 ，v t t o ，卅； 一l 砂對七n ，有 e ( r i 。喲 0 ，尋找投資策略礦( ) a ( o ，。o ) 使得 e u ( x 一( t ) ) 2 非m & ( 。x m ) ，e u ( x ( 即) ( 3 9 ) 問題( p ) 稱為最優(yōu)投資組合問題，對礦( ) a ( o ，x o ) 滿足( 3 9 ) ，稱7 f ( ) 為問題( p ) 的最優(yōu)投資策略 2 1 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 3 形式求解 由于財(cái)富方程( 3 8 ) 中漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)都是隨機(jī)的，最優(yōu)投資組合問題( p ) 可以 看作是一個(gè)i p 中的隨機(jī)最優(yōu)控制問題三維狀態(tài)過程可視為 y ( ) ：= ( x ( ) ，r ( ) ，j ( ) ) 7 根據(jù)( 3 8 ) 、( 3 1 ) 和( 3 。5 ) ，y ( ) 的演化規(guī)律以矩陣形式表示如下； id y ( t ) = a ( t ，y ( t ) ，”( t ) ) d t + e ( t ，y 0 ) ，7 r o ) ) d 矸，( t ) ， iy ( o ) = x o ，r o ，而) 7 ， 這里 e = a = x ( r + ”1 。似一r r ) ) 碗( 以一r ) ( 如一6 ) x ( v q + 7 r 2 ) l a l g 1 o x 丌2 白啦 6x 7 r s a s o0 如獅0 由隨機(jī)最優(yōu)控制的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理可知，上述最優(yōu)控制問題( p ) 的h a m i l t o n - j a c o b i - 。m a r 3 x c g ，z ，6 = o ，。| 0 2 1 。，r 6 ( o ，+ o o ) ( 3 1 0 ) lg ( t ，z ，r ，6 ) = ，z ( 0 ，+ o 。) g ( t ，) = g t ( t ，) + 吼( t ，) t a ( t , y ) + i t r ( ( t ，口) e ( 蛐) t g w ( t ，g ) ) g t + 互1 。2 ( ( 丌1 + 丌2 ) 2 砰r + 呱2 2 2 口2 2 a 十丌3 2 2 ) g + i 1 。1 2 r g r r + ；霹6 ( + 。( ，f 1 + 1 r 2 ) q 盯；r g 。+ 。丌2 鈕霹6 g 西 + z ( r + ( ，r 1 + 丌2 ) q 盯1 a l r + 7 r 2 q 口2 a 2 5 + r s a s a 3 ) ( 毛 + ( k l p l 一r ) g ，+ ( k 2 鞏一6 ) g 6 星旦盔堂堡圭堂焦鯊塞一 一 其中鱸= ( z ，r 1 6 ) 下面我們來形式地求解上面的h j b 方程( 3 1 0 ) 暫時(shí)假設(shè)甌。 0 ，則由動(dòng)態(tài)規(guī)劃原 理，最優(yōu)投資策略礦應(yīng)具有如下形式； 種1 = 一裊擊一裊石1 叫， c 島b ( 1 “；一x g z x q 2 a 2 一j 瓦磊 g 。b 2 一麗；= = 一o - 3 ( 3 1 1 ) 。：g 。+ 卻一蕊e x 擊一瓦g r 拶1 盯一裊去一爰* 書 + ( 一j g 舀x = 磊a 3 ) 2 司】倪z + j 1 盯 r g ”+ ；磚6 g 時(shí) 州一裊擊一裊扣州一磊g x 磊a 2 一是三噦g z a + 茁 r 仆裊擊一裊石1 ) e i a i i r + c 一裊盅一裊扣砒a + ( 一裊塞) 內(nèi)a a 】甌+ h ( 0 1 一r ) g r + k 2 ( e 。一6 ) 函， 滿足邊值條件 g f t 霉r ，= 兩邊同乘以g ；。得 o = g 。g 。+ ； ( a ，( 毛+ 口t g 一) 2 r + ( z g + 啦g z d ) 2 6 + 碣g ：】 + 扣r 靠g 。+ 歪1 吧2 鼢5 g 船+ l ( 口l r ) 諺+ 如慨一d ) g 艘； 一( 礦l a l g x + 口；g ，) r g 0 一( o r 2 a 2 g + 磅咒d ) d 甌d + p 一( a 吼+ m a - 靠) r 一( 定q + 毋a 2 甌d ) 6 一定q 】g 。， 整理，得 o ：g ；+ 枷，g 矗；+ b 如g 艘；一；越戧 ( 3 1 2 ) + p g ；g 。一百1 ( a 倪+ 。，g 。) 2 一硫研g(shù) 。+ 互1 a ；g ” 爿r + 一j 1 ( a 。g 。+ 觀g a ) 2 一如g a + ；g a s g p 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 假設(shè)c ( t ，z ，r ，6 ) 具有如下形式 滿足 代入( 3 ，1 2 ) 。得 g ( ，z ，r ，6 ) = e f c o + g ( 。) 7 + “( 0 5 z f ( t ) = g ( t ) = h ( t ) = 0 o = 1 等 ( 7 1 ) ( ，“r + 舶) + ( 7 - 1 ) 郴。9 + ( 7 - - 1 ) k 2 0 2 h 一互1 1 磚 + t c v - 1 ) 一j 1 1 ( a - + a ，9 ) 2 一( 7 1 ) 。9 + ；( 7 1 ) 盯；9 2 r “一；7 ( 柑啦妒一( y - 1 ) k 2 h + ；( 1 1 ) 酲 m ， 因?yàn)? ，g 0 ，所以 o = ( 7 1 ) ( ，+ h 口x g - i - k 2 0 2 h ) 一i 1 1 a ； + 【( 1 1 ) g - 互1 a 9 2 + ( ( 1 7 ) k 1 - 9 a a a ，) g - - 9 ( 1 7 + ；a ；) r “( ，y 一1 ) 一；磚 2 + ( ( 1 一，y ) 乜一7 啦a z ) 一互1 7 咖， 注意到上式對任意的r ，6 都成立，因此有 當(dāng) 即 o = ( 7 1 ) ( ，+ l 口1 9 + k 2 口2 h ) 一i 1 7 a ；， 0 = ( 7 - 1 ) g 一j l a 一22 + ( ( 1 1 ) k l - y o l a l ) 9 - 7 ( 1 - 7 + 互1 2 1 ) o = ( 7 1 ) 一；磚，產(chǎn)+ ( ( 1 7 ) 島一7 啦a 2 ) 一百1 7 a 1 ( k l - 南酬2 一驀( z + 旦1 - 7 南c + 籌+ ) u 。k 。1 ) 。， 即 南r 蕉2 + 等) 笪2 a 2 滿足時(shí)，常微分方程( 3 。1 5 ) 有實(shí)解，由知p ) = 0 解得 酢，：麗蠢篙， 其中 地=f 蒿碚 另外由，( 幾) = 0 解常微分方程仕1 3 j 礙 坤) = 篙( t 叫+ m f t g ( 帕+ k 2 0 2 j ( t 坤) d s 定理3 1 假設(shè)不等式 南1 ( + 蕉2 + 絲o 1 ) 嘉一7 、 。 7 2 仃 知 南(壁212 + 警) 蕓 一1 、啦72 一 都成立。即 ，y 0 ，v t 0 ，卅下面的定理將證明由( 3 2 3 ) 給出的投資策略丌 滿足定義3 1 中條件( i v ) 定理3 2 當(dāng)條件p 2 砂滿足時(shí)，由p 2 力給出的函數(shù)g ，對任意增的停時(shí)序列 ) p n ，0 如t ，存在q 1 使得 8 u p e i g ( 如，x 一( 如) ，r ( ) ，占( ) ) 。 i ， l g ( ，x ”( 夠，r 6 1 4 = e x p ( q ( f ( t ) + 9 ( 亡) r 0 ) + 0 v 0 ) ) x ” ) ” = 印唧 口( ，( t ) + g p ( t ) + ( t ) 6 0 ) ) el十(丌：(8)+丌；(s)q(s)盯lal一百1+q7l 1 ( 訂( s ) + ( 3 ) ) 2 q o ) 2 斫】r ( s ) 如十( 丌：( 8 ) + 丌；( s ) ) q ( s ) 盯l a l 一百( 訂( s ) + ( 3 ) ) 2 q 0 ) 。 r ( s ) 如 ，u + 鮒r ( 3 ) 白( s ) 觀k 一；( s ) 2 q ( s ) 2 醒1 6 ( 8 ) d 3 + q 7 - ( ，r + ”) q ( s ) 盯l 雨孤( s ) + q 7f 囈( s ) q ( s 脅咖( 而堿( s )( ，r i 0 ) + 7 r ；( 3 ) ) q ( s ) 盯l 、r ( s ) c f w ，l ( s )， 丌；( s ) q ( s ) 觀、6 ( s ) d 計(jì)，2 ( 3 ) j o j u + 口，y f 【( s ) 鉑( s ) h ( s ) 一；嵋( s ) 2 毋( s ) 2 】d s + 口1 f 嵋( s ) c r 3 扣) a w 3 ( s ) ) ， 稚理得 f g ( t ，x 礦r ( o ，6 ( t 坩 = d 1 ( t ) e x p q 9 ( t ) r ( t ) + q h ( t ) 6 ( t ) + 口7 r 1 + ( 荊+ ( s ) ) q ( s ) a l k l 一；( ，r + 畦( 8 ) ) 2 q ( s ) 2 仃m s ) d s + r 竹；( s k ( s ) 啦沁一；畦( s ) 2 白( s ) 2 砣1 6 ( s ) d s + j c 吲s ) + 囈( s ) ) q ( s o l 、r ( s ) d ( 3 ) + 9 7 脅( s ) 鈕( s ) 吼倆d ( s ) ) l l ( s ) ， 一一 星旦盔堂堡主堂焦堡塞 p _ _ - 一 其中 d l ( t ) 上1 1 ( t ) ：z 礦唧 q ，( ) + 口7r 【( s ) 印( s ) a a ( s ) 一；嵋( s ) 2 如( s ) 2 】d s + ；礦中石畦( s ) 2 如( s ) 2 如) ， ：唧 _ ；q 2 1 2r 囈( s ) 2 如( s ) 2 d s + q 1r ”；( s ) 如( s ) d w 3 ( s ) ) 代入礦( 8 ) ，由i t 6 公式，有 r 臼i ( 3 ) + ( s ) k ( s ) 以小孓動(dòng)晰( s ) = ：吉c 志+ 黎川口，廁啪， = 志r 以廁咻) + 擊脅h 廁呲) = 【r ( 曠巾) 一f o k ( 刪酬 + 擊b ( 帥) 刊。) r ( 。) 一r 咖) 吼叫勸d 5 一z 。( 咖( s ) d s 】 r ( 3 ) 龜( s ) 匏q 歷麗h 么( s ) = r 擊c 去+ 器川以廁呲， = 志上。啦瓜觚+ 擊脅脅廁瞰) = 陬曠即) 一j ( 。如( 如叫勸d s l + 擊) 一 ( 。) 6 ( 。) 一f o t h ( 姚慨一6 ( s ) 沖一f j h ( s ) 6 ( 淵 i g ( t ，x ”+ ( t ) ，r ( ) ，6 ( 圳9 = d 2 ( t ) “p i 毛b ( t ) 十等) r ( 力+ 鮒r 日，( s ) r d s + i _ 蘭( h ( ) + 塑o 2 ) 6 ( t ) + r 日，( s ) 6 ( s ) d s ) l 1 ( t ) ， 其中 d 2 ( t ) = 日l ( 8 ) = d 1 ( t ) e x p 一暑( a t r o + a l 。k t 。0 1 t + g ( o ) r o + k 1 0 1r 9 ( s ) d 8 + 警+ i m k 2 0 2 ( 0 ) 南+ k 2 0 2f o j o 琊) d 0 ) ， 啦 毋 1 + 擊( 磚怕加( 砌一萬殺( a ，棚如) ) 2 + 擊警+ 再k l 如) 一再1 排t ) ；一而1 ，( s ) - 南。( s ) 2 + 坐艫小) 塒 ，a i r i - - t + 1 + r 蘭百一面了哥+ i j i = _ 麗石 = 百與 ( 7 _ 1 ) 俐一互1 a 2 + ( ( 1 刊卜伊，砌如) 刊1 - 7 + 互1 a ) + 南( i - 7 + 穢1 + 普一禹+ 棟 一南c h q l2 ) + t + 蘭一鼎+ 若 = 五1 ( ，+ 萼+ 警) ， 鮑( s ) = 擊( 啪- 叻坳( s ) ) 一面r 與( a z + 啦忡) ) 2 + 擊等+ 島忡) 一上1 - 7 礬s ) ：一擊) - 南腳n 坐摯鄖) + 蘭1 - 7 一上2 ( 1 - 7 ) 2 + 攔嗇 = 志卜1 ) 荊一( s ) 2 + ( ( 1 刊k 2 - 7 a 2 a 2 ) 忡) 一翔) + 志+ 旦1