（理論物理專業(yè)論文）提高復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上動力學(xué)系統(tǒng)同步能力方法的研究.pdf

i nt h ep a p e r w es t u d ym es u n c h r o n i z a t i o no f 伊o w i n gs c a l e 一骶e n e t w o r k s a n a s v m m e t r i c a l 楚p - b a s ec o u p l i n gm e 也o di sp r o p o s e dw i mo n l y o n e 矗e ep a r a m e t e l a 1 t h o u g hm ec o u p l i n gm a t r i xi sa s y m m e t r i c ，o u rc o u p l i n gm e t h o d c o u l dg u 刪t e e t h a ta l lt h ee i g e n v a l u e sa r en o n n e g a t i v er e a l s t h ee i g e n r a t i o nr w i l la p p r o a c h1m t h el a r 砭el i m i to ft h ef r e ep a r 鋤e t e r s oi n “sm e t h o do f t h ec o u p l ep a c t e m t n e s v n c l l r o n i z a t i b i t ) ro f n e t w o r kc a nb ca c h i e v et h eo p t i m u m c a s e k e y w 。r d s ： c 。m p l e x n e t 、) ，。r k s ；s y n c l l r 。n i z a t i 。n ；c 。u p l i n g m a ：t r i x ；e i g e n v a l u e ； a v e r a g ed i s t a n c e ；d e 筍e ed i s t r i b u t i o n i i i 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性和授權(quán)使用聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作 所取得的成果。除已特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含任 何他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。與我一同工作的同志對本研究 所做的貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明。 本人授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)擁有學(xué)位論文的部分使用權(quán)，即：學(xué) 校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子 版，允許論文被查閱和借閱，可以將學(xué)位論文編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢 索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 保密的學(xué)位論文在解密后也遵守此規(guī)定。 作者簽名：姚 2 d 護(hù)占年6 月f 日 第1 章緒論 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，而是具有與前兩者皆不同的統(tǒng)計(jì)特征的網(wǎng)絡(luò)，這樣的一些網(wǎng)絡(luò)被科 學(xué)家們叫做復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)( c o m p l e xn e t w o r k s ) 。1 9 9 8 年和1 9 9 9 年小世界網(wǎng)絡(luò) ( s m a l l w o r l dn e t w o r k s ) ”“州和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)( s c a l e f r e en e t w o r k s ) “這兩個重要的復(fù) 雜網(wǎng)絡(luò)模型建立后，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論更是得到了迅猛的發(fā)展。 對于物理學(xué)家而言，研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的終極目標(biāo)是理解網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對復(fù) 雜系統(tǒng)物理過程的影響。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上動力系統(tǒng)的同步是其中一項(xiàng)重要的研究課 題。同步是指性質(zhì)全同或相近的兩個或多個動力系統(tǒng)，通過系統(tǒng)間的相互作用， 使得在不同的初始條件下各自演化的動力系統(tǒng)其狀態(tài)逐步接近，最后達(dá)到全同 的狀態(tài)。同步現(xiàn)象在自然界中非常常見。早在三百多年前，科學(xué)家惠更斯就在 給父親的信中提到他臥病在床的幾天中觀察到掛在墻上的兩只擺鐘會出現(xiàn)鐘擺 擺動趨于同步的現(xiàn)象，并正確地理解了這種現(xiàn)象發(fā)生的原因是它們通過懸掛其 上的橫梁相互作用”除了這種兩個個體相互作用產(chǎn)生的同步現(xiàn)象之外，很多重 要的同步現(xiàn)象出現(xiàn)在多體系統(tǒng)中”。，例如夏日夜晚青蛙的齊鳴，螢火蟲的同步 發(fā)光，心肌細(xì)胞和大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步”，劇場中觀眾鼓掌頻率的逐漸同步等 等”。多體系統(tǒng)自發(fā)同步的現(xiàn)象，典型如螢火蟲的同步發(fā)光，早在2 8 0 年前就有 比較正式的報(bào)道”，而且更早就作為浪漫場景的代表見諸小說，但是一直缺乏合 理的科學(xué)解釋。早期的解釋千奇百怪，甚至眼瞼的顫搐和岸邊的濕氣都一度被 認(rèn)為是這種現(xiàn)象發(fā)生的緣由。直到四十年前b u c k 通過實(shí)驗(yàn)證明螢火蟲閃爍的頻 率會受到周圍發(fā)光體閃爍頻率的影響“，對于自組織形成的同步現(xiàn)象的研究才開 始步入正途，這也同時開創(chuàng)了網(wǎng)絡(luò)同步研究的先河。b u c k 相隔半個世紀(jì)的兩篇 題目相同的綜述”“是這個領(lǐng)域坎坷發(fā)展的最佳見證。 在網(wǎng)絡(luò)的概念被引入同步研究之前，大量的關(guān)于耦合系統(tǒng)同步的討論，不 論是針對兩個振子還是無窮多個振子，也不論是針對極限環(huán)系統(tǒng)還是混沌系統(tǒng)， 一個基本的假設(shè)是振子間的相互作用是全局的，并且動力學(xué)系統(tǒng)是全同的p 引。 如果將每一個動力學(xué)系統(tǒng)用一個點(diǎn)來表示，存在相互作用的兩個系統(tǒng)間連一條 邊，就形成了一個動力網(wǎng)絡(luò)。從這個角度看，因?yàn)槿魏蝺蓚€振子之間都存在相 互的耦合作用，以前的大部分研究就等價于完全圖( c o m p l e t eg r a p h ) 上的同步問 題。另外，針對規(guī)則網(wǎng)絡(luò)( r e g u l a rn e t w o r k ) 和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)( r a n d o mn e t w o r k ) 的研究也 是比較深入的。但是，最近大量實(shí)證研究卻表明，從i n t e m e t ”1 到w w w ”，從性 伴侶關(guān)系”到合作網(wǎng)絡(luò)”“，從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)【3 6 】到蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)”“，從語義關(guān)系 網(wǎng)”“到數(shù)學(xué)關(guān)系網(wǎng)”“豐富的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)具有完全不同于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò) 2 第1 章緒論 統(tǒng)計(jì)特性，人們一時難以理解這些復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，因此稱這些網(wǎng)絡(luò)為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。 經(jīng)過數(shù)百年的研究，科學(xué)家們提出了眾多模型來描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，例如規(guī)則網(wǎng)絡(luò) 模型，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型，小世界網(wǎng)絡(luò)模型，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型，偏好依附與隨機(jī)依 附競爭網(wǎng)絡(luò)模型，信息不完全時的網(wǎng)絡(luò)生長模型，沒有偏好依附的自組織無標(biāo) 度模型或者專門針對合作網(wǎng)絡(luò)或者含權(quán)網(wǎng)絡(luò)的模型，這里我們重點(diǎn)介紹其中應(yīng) 用最廣泛，最具代表性的主要有以下四個基本模型：規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò) 模型，w s 小世界網(wǎng)絡(luò)模型和b a 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。 規(guī)則網(wǎng)絡(luò)。規(guī)則網(wǎng)絡(luò)在圖論中由很嚴(yán)格的定義，即指每個節(jié)點(diǎn)度都相同的 圖。這里我們介紹一種很具代表性的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，見圖1 1 ( a ) 在這 樣的網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)被排成一圈，首先最近鄰的節(jié)點(diǎn)被連接起來，然后再將次近 鄰的節(jié)點(diǎn)連接起來直到距離為m 的節(jié)點(diǎn)連接起來，在該圖中m = 2 。對于n 節(jié)點(diǎn)的近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)平均距離l n 4 m ，即網(wǎng)絡(luò)的平均距離隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 的增大線性增長：m 為2 的近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)c = 0 5 ， 比較大；所有節(jié)點(diǎn) 的度都相同，即度分布滿足6 函數(shù)的形式。 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)就是隨機(jī)圖，見圖1 1 ( b ) 該網(wǎng)絡(luò)可以通過這樣的方 式建立：首先確定網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)目n ，然后以概率p 連接網(wǎng)絡(luò)中的任意兩節(jié) 點(diǎn)，最后所形成的網(wǎng)絡(luò)中大約有彬j ，) 2 條邊。在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)的平均距 離l = l o g n l o g 【p ( n 一1 ) 】，簇系數(shù)c p ，度分布滿足泊松分布( p o i s s o n d i s t r i b u t i o n l 。 4 。m l - 7 積 - i ( a ) ( b ) 圖1 1 幾種網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型：( a ) 近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，( b ) 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。 【參考文獻(xiàn)4 0 第1 章緒論 孵小世界網(wǎng)絡(luò)模型”1 由于絕大多數(shù)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)具有大的簇系數(shù)和短的平均 距離，因此既不同于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，又異于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。為了更好地刻畫真實(shí)網(wǎng)絡(luò)， 1 9 9 8 年w 硫s 和s t r o g a t z 提出該l 罐絡(luò)模型：從具有個節(jié)點(diǎn)，配分?jǐn)?shù)為z 的最近 鄰環(huán)網(wǎng)開始，對于每一條環(huán)網(wǎng)上的邊，以概率p 斷開再隨機(jī)重連到其它節(jié)點(diǎn)上去， 在這個操作過程中不允許邊的重連( 連接兩個節(jié)點(diǎn)的邊不止一條) 和自連( 邊的兩 端連接到同一個節(jié)點(diǎn)上) 。圖1 2 展示了重連概率p 從0 到l 增加，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的 變化：當(dāng)p = 0 時，網(wǎng)絡(luò)是規(guī)則的近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)；p 的增加佼褥網(wǎng)絡(luò)中存在一些“捷 徑( s h o r t c u t ) ，這些捷徑的存在使得網(wǎng)絡(luò)的平均距離顯著降低，但由于大部分的 邊還是連接到近鄰節(jié)點(diǎn)，所以網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)依然保持很大；當(dāng)妒= l 時，網(wǎng)絡(luò)變 為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。圖i 3 畫出了網(wǎng)絡(luò)的平均距離和簇系數(shù)隨重連概率p 的變化規(guī)律， 可以看到p 在大約0 0 0 l 到0 1 的變化范圍內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)的平均距離很小，但簇系數(shù) 依然保持很大，我們稱在這個范圍內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)為小世界網(wǎng)絡(luò)。 脅 概胍 l o 秈粥a s 洶g 國烈蠡鸛 p 囂 圖1 2w s 小世界網(wǎng)絡(luò)模型，從左到右重逢概率p 由o 增加到l 。隨著重連概率的增加，網(wǎng)絡(luò) 由近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)變?yōu)樾∈澜缇W(wǎng)絡(luò)再變?yōu)殡S機(jī)網(wǎng)絡(luò)。 參考文獻(xiàn)7 】 5 第l 章緒論 圖1 3w s 小世界網(wǎng)絡(luò)的平均距離和簇系數(shù)隨重連概率p 的變化【參考文獻(xiàn)7 】 & 4 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型“b 瑟a b 瓠i 和a l b e r t 認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的不斷增加和新 增加的節(jié)點(diǎn)伸出的邊有偏好地連接到已有節(jié)點(diǎn)上是網(wǎng)絡(luò)具有無標(biāo)度特性的根本 原因，根據(jù)這兩個原則他們在1 9 9 9 年提出了一個無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。在該模型中， 網(wǎng)絡(luò)初始時具有棚。個節(jié)點(diǎn)，以后每一時步增加一個新節(jié)點(diǎn)，新節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中已 經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)中選擇m 個( 腳鋤口) 并與之相連，其中節(jié)點(diǎn)f 被選中的概率與它的 度肋成正比?？梢宰C明，以這樣的機(jī)制生成的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)葉o 。時， 其度分布的冪指數(shù)y 一3 ，平均距離z 加r m ，簇系數(shù)c ”“ 下面我們比較一下根據(jù)這四種網(wǎng)絡(luò)模型生成的網(wǎng)絡(luò)與真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的主要性質(zhì) 的異同，如表1 4 所示。由表格得知，真實(shí)網(wǎng)絡(luò)具有短平均距離，大簇系數(shù)和 冪律分布。后來，科學(xué)家們?yōu)榱烁玫脑佻F(xiàn)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的三大特征建立了許多模 型，但由于w s 小世界網(wǎng)絡(luò)和b a 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)各捕捉到了真實(shí)網(wǎng)絡(luò)三個主要性質(zhì) 中的兩個，而且這兩種網(wǎng)絡(luò)模型規(guī)則簡潔并抓住了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本性質(zhì)，到目 前依然是使用最普遍的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型。 6 第1 章緒論 表1 4 各種網(wǎng)絡(luò)主要拓?fù)涮卣饕挥[規(guī)則網(wǎng)絡(luò)平均大離大系數(shù) 6函數(shù)分布b a 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò) 小 大指數(shù)分布 部分真實(shí)網(wǎng)絡(luò)小大 近似冪率分布 1 3 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的矍矍囊羹 萋蓁蘺學(xué)氫簿沛簍剛妻恁囊矧一魏簍鲼創(chuàng)難；薹盟髂匙磊甜駐摒髏豳酏墼 荔縐解霎籮搿孵黔巍i 墓日船鏟到黽乎鷲型甄菠霧強(qiáng)塞甏剿影駐豁蓬鶯翥冀簇 簇系數(shù)( c l u s t e r i n g c o e m c i e n t ) 、度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 、介數(shù)(b e t w e e r l e s s ) 等，下面我們就 來介紹它們的定義。 平均距離：網(wǎng)絡(luò)中任何兩節(jié)點(diǎn)間的距離是指從其中一個節(jié)點(diǎn)出發(fā)到達(dá)另外 一個節(jié)點(diǎn)所要經(jīng)過的邊的最少數(shù)目。將網(wǎng)絡(luò)中任何兩節(jié)點(diǎn)對的距離做平均就得 到了網(wǎng)絡(luò)的平均距離。 簇系數(shù)：單個節(jié)點(diǎn)簇系數(shù)定義為它所有的鄰居節(jié)點(diǎn)中仍然是鄰居占總的可 能性的百分比。舉個例子來說，如果某個節(jié)點(diǎn)有5 個鄰居，如果它們之間都是 鄰居，那么它們之間就有1 0 條邊，但實(shí)際上這些節(jié)點(diǎn)間只有6 條邊，那么該 點(diǎn)的簇系數(shù)就是6 1 0 = 0 6。將網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的簇系數(shù)做平均，就得到了網(wǎng)絡(luò) 的簇系數(shù)。 度分布：某個節(jié)點(diǎn)的度表示連接到該節(jié)點(diǎn)上的邊的數(shù)目，也就是該節(jié)點(diǎn)的 鄰居數(shù)。通常情況下，網(wǎng)絡(luò)中不周節(jié)點(diǎn)的度并不相同，因此網(wǎng)絡(luò)中度的分布規(guī) 律也是刻劃網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)的一個重要參量。 最大介數(shù)：某個節(jié)點(diǎn)的最大介數(shù)，指的是網(wǎng)絡(luò)中的最短路徑經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)的 次數(shù)。 當(dāng)然，描述網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特征量還有很多，這里就暫不一一介紹，在使用到 第l 章緒論 弓= t l o z 。- ， 歹 ， ( 1 3 ) d 捕自- l ，括g 其中忌是節(jié)點(diǎn)f 的度，人是與節(jié)點(diǎn)f 相鄰的節(jié)點(diǎn)的集合。例如，最近鄰耦 合網(wǎng)絡(luò)、星型網(wǎng)絡(luò)( 圖1 5 給出了其結(jié)構(gòu)的示意圖) 以及完全網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩 陣分為： g l = g 3 = 2一l l2 0一l lo o一l l o 2 一 o 一l2 g ，= 一l l ll lo l0 一1 一 一l 0 ，r 0 l 0 oi 一 一 8 圖l ，5 星型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖 l，l。，l 一 。1； 一 一 ；o t l ，l 一 o o 卜； 一 一 。肚 。；。 肛。；。 第1 章緒論 1 4 網(wǎng)絡(luò)上動力系統(tǒng)同步的穩(wěn)定性分析 p e c o r a 和c 黜l l 研究了由全同振子構(gòu)成的線f ，耦合網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性問 題，給出了主穩(wěn)定函數(shù)判據(jù)。他們首先假設(shè)：( 1 ) 所有的耦合振子都是完全相 同的，( 2 ) 從每個振子提取的用于耦合其它振子的函數(shù)也是完全相同的，( 3 ) 同 步流形是不變流形，( 4 ) 節(jié)點(diǎn)的耦合方式可以在同步流形附近線性化。假設(shè)( 1 ) 和( 3 ) 是為了保證相空間中同步超平面的存在，假設(shè)( 2 ) 是為了使動力學(xué)系統(tǒng)和 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性圖象更加清晰具體，假設(shè)( 4 ) 是為了更好地應(yīng)用線性近似這一 研究耦合系統(tǒng)最常用的方法。 在此基礎(chǔ)上，p e c o r a 和c a 玎o l l 逐步完成了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)上的耦合振子系統(tǒng)的同步 混沌態(tài)存在短波分岔時的同步穩(wěn)定性分析，提出用主穩(wěn)定性函數(shù)方法確定動力 網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性“。對動力網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性分析，很多人已經(jīng)做了這方面 的工作”1 ，我們得出這樣的結(jié)論：一個動力網(wǎng)絡(luò)是否能夠?qū)崿F(xiàn)同步，取決于節(jié) 點(diǎn)上動力系統(tǒng)的特性、節(jié)點(diǎn)的耦合方式以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在這里我們更關(guān)心網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)對動力網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定性的影響。具體說來，對于同步穩(wěn)定區(qū)域封閉的動力 學(xué)系統(tǒng)而言，耦合矩陣的特征值比越小，它能使更多種類的動力系統(tǒng)同步，我 們說這樣的網(wǎng)絡(luò)同步能力強(qiáng)；同樣，對于同步穩(wěn)定區(qū)域半開半閉的情況，耦合 矩陣次最大特征值的絕對值越大，網(wǎng)絡(luò)的同步能力越強(qiáng)。下面我們?nèi)●詈暇仃?為拉普拉斯矩陣，即g = l ，來考察幾個規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的同步能力，并利用汪小帆和 p e c o r a 的判定方法即4 8 4 1 來進(jìn)行分析。 首先考慮最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，其耦合矩陣g 的特征值是九= 4 s i n 2 ( 萬七) 其 中拓o ，1 ，臚l 。由上式可知：y l = 4 s i n 2 ( 萬) ，弧= 4y m 戡以= 1 特征值比 y 。所= 1 s i n 2 ) 。當(dāng)一o 。時，y 0 ，y 。以一2 ，可以看到無論同步 區(qū)域是什么情況，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加網(wǎng)絡(luò)的同步能力逐漸減弱，動力網(wǎng)絡(luò)的 同步穩(wěn)定性逐漸降低，直至失穩(wěn)，脫離同步狀態(tài)。 再看星型網(wǎng)絡(luò)，它的耦合矩陣的特征值除了零以外只能取兩個值 所= 圪= = h 一2 = 1 和= h 一。= ，特征值比以= 。當(dāng)同步區(qū)域半開半 閉，只要耦合強(qiáng)度仃川，網(wǎng)絡(luò)就會同步；當(dāng)同步區(qū)域封閉，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增 加網(wǎng)絡(luò)的同步能力減弱，直至引起動力網(wǎng)絡(luò)同步狀態(tài)的失穩(wěn)。 最后我們再來看一下完全網(wǎng)絡(luò)，其耦合矩陣的特征值只有o 和，特征值比 。托= 1 。因此，對于同步區(qū)域半開半閉的動力網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)耦合強(qiáng)度選定時，只 9 第l 章緒論 要節(jié)點(diǎn)數(shù)目足夠大，網(wǎng)絡(luò)都會同步：對于同步區(qū)域封閉的動力網(wǎng)絡(luò)，無論節(jié)點(diǎn) 的數(shù)目是多少，恰當(dāng)選擇。的大小，總可以使網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)穩(wěn)定。 小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，耦合矩陣的特征值分布沒有簡單 規(guī)律，要做具體分析。通過研究可以發(fā)現(xiàn)小世界網(wǎng)絡(luò)具有極強(qiáng)的同步能力，其 同步能力不但遠(yuǎn)強(qiáng)于同規(guī)模的近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，并在有些情況下強(qiáng)于非常易于同 步的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)雖然同隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)相比同步能力差一些，但也強(qiáng)于規(guī) 則的近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)。 在很多真實(shí)情況下，網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)上的動力系統(tǒng)不可能完全相同，其參 數(shù)可能會出現(xiàn)失配的現(xiàn)象，那么用全同的振子來描述網(wǎng)絡(luò)的動力行為可能就是 不恰當(dāng)?shù)牧?，于是有人用耦合相振子：k u r 鋤o t o 振子來分析網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué) 行為。由于本文介紹的提高同步能力的方法中，采用的是全封閉網(wǎng)絡(luò)，而且網(wǎng) 絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)的動力學(xué)系統(tǒng)都是完全相同的，因此這里關(guān)于非全封閉網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng) 絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)動力學(xué)系統(tǒng)不全同的情況就不多做解釋了。 1 5 網(wǎng)絡(luò)的幾何特征量對同步穩(wěn)定性的影響 前面已經(jīng)提到了，描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的特征量很多，如度，度分布， 平均距離，簇系數(shù)，介數(shù)等等，那么哪一個或者哪幾個量會對網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定 性產(chǎn)生影響呢，這個影響又是怎么實(shí)現(xiàn)的呢? 下面我們來回答這些問題。大量 的研究結(jié)果h 3 4 9 h 艫刪表明，小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性好于最鄰耦合 征值比允五及節(jié)點(diǎn)的最大介數(shù)乙。與度分布的冪指數(shù)y間的關(guān)系，如圖16(a) 和(b)所示：隨著y的減小，雖然平均距離d減小了，平均度尼增大了，但同 步穩(wěn)定性卻變差了。他們認(rèn)為這是由度和負(fù)載的不均勻性造成的。圖1，6(c) (d)和圖17(a)(b)分別給出了dm老化網(wǎng)絡(luò)”1和一種變形的小世界網(wǎng)絡(luò)的一 些相應(yīng)結(jié)果，它們對網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定性的影響與半隨機(jī)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是一致的。 nishikawa等人強(qiáng)調(diào)度分布的不均勻性對網(wǎng)絡(luò)同步性質(zhì)有重要影響：度和負(fù)載分 布越不均勻，網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性越差。最后他們總結(jié)各個幾何特征量對同步穩(wěn) 定性的影響，給出下面的不等式( 未經(jīng)理論上的嚴(yán)格證明) ： 第1 章緒論 1 一喜l 爭s 孕( 棚k 缸d m “五 l jk 如、 71 瞰“瞰m “( 1 4 ) 其中n 是節(jié)點(diǎn)數(shù)， k 弘，氣i 。分別指網(wǎng)絡(luò)的最大最小度，乞是最大介數(shù)。 d m 。是最大路徑長度。式子( 1 4 ) 給出了網(wǎng)絡(luò)的嚳個特征量與耦合矩陣的特征 值比的關(guān)系，已知網(wǎng)絡(luò)的各幾何參量可以定性的確定特征值比的范圍，即網(wǎng)絡(luò) 的同步能力。 圖1 6 同步區(qū)域有界時半隨機(jī)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的( a ) 平均距離d 、平均度i 、度分布的標(biāo) 準(zhǔn)差s ：( b ) 耦合矩陣特征值比如五及節(jié)點(diǎn)的最大介數(shù)乞。與度分布的冪指數(shù)y 闖的 關(guān)系；( c ) ( d ) d m 網(wǎng)絡(luò)的相應(yīng)幾何參量隨參數(shù)口的變化關(guān)系【參考文獻(xiàn)7 0 】 第1 章緒論 0 0 o j 2 l o 5l oo l a g ：一 5l o 1 0 9 ：一。， 圖1 7 一種變形的小世界網(wǎng)絡(luò)的幾何參量隨參數(shù)的變化關(guān)系【參考文獻(xiàn)7 0 】 h o n g 等人”研究了w s 小世界網(wǎng)絡(luò)中各個特征量對動力學(xué)系統(tǒng)同步區(qū)域有 界時網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定性的影響，如圖1 8 所示。隨著重連概率p 的增大，雖然度分 布的方差蠢蘭( 。，砰) 一( 一，t ) 和最大度k 馭越來越大，即度分布的不均 勻性增大，但耦合矩陣特征值比丸。九；。單調(diào)遞減，即網(wǎng)絡(luò)的同步能力增強(qiáng)了， 這與n i s h i k a 、a 等人的觀點(diǎn)相矛盾。圖1 8 ( b ) 的插圖中給出了平均距離l 隨p 的關(guān)系，由圖可知，在w s 型小世界網(wǎng)絡(luò)中平均距離越小網(wǎng)絡(luò)同步能力越強(qiáng)， 這符合人們的感受。圖1 8 ( c ) 表明：在w s 型小世界網(wǎng)絡(luò)中最大介數(shù)b m 積越 小，網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定性越好，這與n i s h i k a w a 等人的結(jié)果是一致的。因此，h o n g 等人得出這樣的結(jié)論：最大介數(shù)是描述網(wǎng)絡(luò)同步能力的最恰當(dāng)?shù)奶卣髁浚⑶?網(wǎng)絡(luò)的最大介數(shù)越小，同步穩(wěn)定性越好。但最大介數(shù)為什么會對網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn) 定性有這樣大的影響呢? 直觀解釋如下：假設(shè)在網(wǎng)絡(luò)中兩個連接度很高的集團(tuán) 間通過少量的幾個點(diǎn)相連，同步信息通過其中介數(shù)最大的節(jié)點(diǎn)傳播，這就會造 成信息的擁塞。因此，網(wǎng)絡(luò)的最大介數(shù)越大，信息的傳播越不通暢，網(wǎng)絡(luò)的同 步能力下降。為了證明這一點(diǎn)，h o n g 等人還做了如下計(jì)算：定義萬為除去網(wǎng)絡(luò) 中某個節(jié)點(diǎn)后耦合矩陣特征值比的變化。若6 幾乎不變說明除去該點(diǎn)對網(wǎng)絡(luò)同步 1 2 第1 章緒論 網(wǎng)絡(luò)同步能力之間的關(guān)系，且利用它們之間的關(guān)系提出了各種各樣的方法來提 高網(wǎng)絡(luò)的同步能力，進(jìn)而找到了同步能力最優(yōu)化的耦合網(wǎng)絡(luò)。各部分的的基本 內(nèi)容如下。 在第二章，我們主要介紹利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征，通過改變網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)來提高 同步能力的方法。我們首先介紹了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步領(lǐng)域在網(wǎng)絡(luò)同步能力與網(wǎng)絡(luò)結(jié) 構(gòu)特征量之間關(guān)系的研究現(xiàn)狀，重點(diǎn)在于闡述通過改變網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)提高同步能 力的幾種有代表性的方法。包括降低網(wǎng)絡(luò)的平均距離提高同步能力的方法，降低 網(wǎng)絡(luò)的最大介數(shù)提高同步能力的方法，以及通過去耦合方式提高同步能力的方法 和調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)提高同步能力的方法。 在第三章，我們首先回顧了2 0 0 5 年以來提出的各種不改變網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，通 過調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)間的耦合方式來提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法，其中這類方法又可以分 為靜態(tài)耦合法和動態(tài)耦合法。靜態(tài)耦合法包括m z k 方法，利用網(wǎng)絡(luò)的全局信息 ( 邊的介數(shù)) 來提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法，利用網(wǎng)絡(luò)的局部信息提高網(wǎng)絡(luò)同步能力 的方法，利用節(jié)點(diǎn)的年齡特點(diǎn)來提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法，等等。其中m z k 方 法是將網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)接收到的耦合信號進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化( n o m “i z e ) ，使得度大的節(jié) 點(diǎn)對度小的節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度大于度小的節(jié)點(diǎn)對度大的節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度，網(wǎng)絡(luò)的 同步能力得以顯著的提高。這是目前人們常用的一種耦合方法。利用邊的介數(shù) 提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法需要知道網(wǎng)絡(luò)的全局信息，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模比較大時邊的 介數(shù)是很難計(jì)算的。利用網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點(diǎn)提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法，其耦合矩 陣形式由兩個可調(diào)參數(shù)來調(diào)整，實(shí)際操作中總要先假設(shè)一個參數(shù)不變，考察另 外一個參數(shù)變化的情況下網(wǎng)絡(luò)的同步情況，操作起來顯麻煩。 一些無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型在網(wǎng)絡(luò)的生成過程中節(jié)點(diǎn)是逐步加入到網(wǎng)絡(luò)中的，這 就使得網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)具有年齡特點(diǎn)。h w a n g 等人提出了利用網(wǎng)絡(luò)的年齡特點(diǎn)來 提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力。但是他們只是定性的分析了節(jié)點(diǎn)受到年齡大的鄰居的耦 合強(qiáng)度大于年齡小的節(jié)點(diǎn)，并沒有考慮節(jié)點(diǎn)和鄰居間的具體年齡差會對網(wǎng)絡(luò)的 同步有一定影響。而且在其提出的耦合方式下耦合矩陣特征值之比是復(fù)數(shù)，需 同時考慮實(shí)部和虛部的變化，這對考察網(wǎng)絡(luò)的同步能力是否提高帶來了不便。 在h w a i l g 等人提出的方法上，提出了由節(jié)點(diǎn)編號代表節(jié)點(diǎn)的具體年齡，編號小 表示節(jié)點(diǎn)首先加入了網(wǎng)絡(luò)在網(wǎng)絡(luò)中實(shí)際年齡大，編號大的表示節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的 實(shí)際年齡小，我們提出了一種新的耦合方式考慮了節(jié)點(diǎn)具體的年齡差，該方法 只有一個可調(diào)參數(shù)，雖然是非對稱耦合，但是可以證明其耦合矩陣特征值全為 1 4 第1 章緒論 實(shí)數(shù)，其網(wǎng)絡(luò)的同步能力可以在m z k 耦合方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步得到提高。而且 我們注意到，在上述方法的使用中，可調(diào)參數(shù)取得極限值時，相當(dāng)于只有該年 齡最大的節(jié)點(diǎn)起到了耦合的作用，即網(wǎng)絡(luò)中每一個節(jié)點(diǎn)只受到其鄰居中年齡最 大的節(jié)點(diǎn)的耦合，這時的耦合網(wǎng)絡(luò)在經(jīng)過簡單的處理后等價于一個樹狀圖，網(wǎng) 絡(luò)的同步能力達(dá)到了最優(yōu)化的狀態(tài)。這樣，我們可以通過一個簡單的方法獲得 了同步最優(yōu)化的耦合網(wǎng)絡(luò)。該部分的內(nèi)容發(fā)表于p h y s i c a lr e v i e we 7 6 ，0 5 7 1 0 3 ( 2 0 0 7 ) 。 動態(tài)耦合方式也可以分成兩類：一類是耦合結(jié)構(gòu)不變，耦合強(qiáng)度隨時間變 化的情況；另一類是不單耦合強(qiáng)度隨時間變化，且耦合矩陣結(jié)構(gòu)也隨時間變化 的情況。 在第四章我們充分調(diào)研了由d o n e t t i 等人提出的通過全局優(yōu)化算法提高網(wǎng)絡(luò) 的周步能力的方法和由n j s h i k a 懾孑7 ：m o t t e r 提出的通過廣度搜索法使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到 同步最優(yōu)化的耦合方式，進(jìn)而分析丁由我們提出的基于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的年齡特點(diǎn)的 耦合方式也可以使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步最優(yōu)化，而且不需要知道網(wǎng)絡(luò)的全局結(jié)構(gòu)信息 和不需要做過多的硬性規(guī)定，不需要經(jīng)過復(fù)雜的算法設(shè)計(jì)和大量的計(jì)算僅僅通 過簡單的引入節(jié)點(diǎn)具有年齡的特點(diǎn)，精妙的設(shè)計(jì)了一種新的耦合方法，在該方 法下就可以讓網(wǎng)絡(luò)的同步最優(yōu)化。 文章的最后對本文進(jìn)行了總結(jié)，并提出了以后的研究工作中值得關(guān)注的問 題。 1 5 第2 章通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法 第2 章通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法 在本章，我們主要介紹了通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法。首先澄 清了網(wǎng)絡(luò)的平均距離和度分布，簇系數(shù)等結(jié)構(gòu)特征與網(wǎng)絡(luò)同步能力之間的關(guān)系， 介紹了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步領(lǐng)域在網(wǎng)絡(luò)同步能力與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征量之間關(guān)系研究的發(fā) 展現(xiàn)狀。然后介紹在明確網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征量對同步能力的影響后，各種通過改 變網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征平均距離，最大介數(shù)，簇系數(shù)來提高同步能力的方法。 2 1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的各個結(jié)構(gòu)特征量與網(wǎng)絡(luò)同步能力之間的關(guān)系 大量的研究結(jié)果m 2 蛔刪表明，小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步能力遠(yuǎn)強(qiáng)于最 近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，對這一現(xiàn)象人們不假思索的認(rèn)為是由于小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng) 絡(luò)的平均距離小，使得振子間的信息交流更為高效，從而使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有比規(guī) 則網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)得多的同步能力。但復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，描述其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的特 征量有很多，如度、度分布、平均距離、簇系數(shù)、介數(shù)等等，單單平均距離這 一個量就能表達(dá)出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步特點(diǎn)嗎? n i s h i k a w a 等人。1 和h o n g ”等人先 后就網(wǎng)絡(luò)的平均距離，最大度，度分布方差和最大介數(shù)等幾個結(jié)構(gòu)特征量與網(wǎng) 絡(luò)同步能力之間的關(guān)系展開了討論，m c g r a w 和m e n z i n g e r 詳細(xì)的討論了簇系 數(shù)與網(wǎng)絡(luò)同步能力間的關(guān)系”“。趙明等人”在前人研究的基礎(chǔ)下，提出了利用隨 機(jī)交叉邊的方法，在不改變網(wǎng)絡(luò)中各個節(jié)點(diǎn)的度的條件下調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的其他結(jié)構(gòu) 特征量，這樣就可以把網(wǎng)絡(luò)的平均距離和度分布這兩個飽受爭議的結(jié)構(gòu)特征量分 開討論了。清楚的闡明了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征量與網(wǎng)絡(luò)同步能力的精確關(guān)系。 從n i s h 撤a w a 等人研究結(jié)果得知，網(wǎng)絡(luò)的同步能力與網(wǎng)絡(luò)的平均距離無明顯 關(guān)系，而度和介數(shù)的分布特點(diǎn)卻可以很好地表征網(wǎng)絡(luò)的同步能力：網(wǎng)絡(luò)的度和 介數(shù)分布越均勻，網(wǎng)絡(luò)的同步能力越強(qiáng)。h o n g 等人通過進(jìn)一步研究認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)的 最大介數(shù)表征了網(wǎng)絡(luò)的同步能力：網(wǎng)絡(luò)的最大介數(shù)越大，同步能力越差；網(wǎng)絡(luò) 的最大介數(shù)越小，同步能力越強(qiáng)。趙明等人經(jīng)過深入研究發(fā)現(xiàn)，最大介數(shù)也不 能完全刻畫不同網(wǎng)絡(luò)間的同步能力。使用最大介數(shù)作為評價網(wǎng)絡(luò)同步能力的結(jié) 構(gòu)特征量對于同一個網(wǎng)絡(luò)是適用的，即對網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行一些小的擾動后可以 1 6 第2 章通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法 圖2 1 針對吒節(jié)點(diǎn)的3 分解示意圖。左側(cè)的圓實(shí)點(diǎn)是度為6 的節(jié)點(diǎn)x o ，經(jīng)過一次3 分解后， x o 被分解為全連接的三個點(diǎn)x o ，x 1 和x 2 ，原來連接到x o 的6 條邊被重新連接到這三個點(diǎn)上?！緟?考文獻(xiàn)7 3 】 考慮到在大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中計(jì)算節(jié)點(diǎn)的介數(shù)非常困難，而大部分無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的 節(jié)點(diǎn)度和介數(shù)都具有很強(qiáng)的正相關(guān)性h 制，即是度大的節(jié)點(diǎn)往往具有更大的介數(shù)， 因此可以近似的利用節(jié)點(diǎn)的度排序來代替介數(shù)排序。整個結(jié)構(gòu)微擾的過程如下： 1 對一個給定的網(wǎng)絡(luò)，將它各個節(jié)點(diǎn)的度按照從大到小排序； 2 選擇度最大的節(jié)點(diǎn)為中心節(jié)點(diǎn)，執(zhí)行一次m 分割操作： 3 對操作后的網(wǎng)絡(luò)度大小進(jìn)行重新排序，然后回到第2 步； 4 循環(huán)執(zhí)行直到占原網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)比例為p 的節(jié)點(diǎn)被分割。 為了考察網(wǎng)絡(luò)同步能力的變化，文章比較了分割前后網(wǎng)絡(luò)耦合矩陣特征值 之比。記廠為原來網(wǎng)絡(luò)所對應(yīng)耦合矩陣的特征值比，為執(zhí)行分割操作后網(wǎng)絡(luò)所 對應(yīng)的耦合矩陣特征值比。圖2 2 給出了尺= 所7 隨分割節(jié)點(diǎn)比例p 的變化規(guī)律。 從圖可以看出，執(zhí)行3 分割操作下，網(wǎng)絡(luò)的同步能力得到了迅速提高。 1 8 圖2 23 分割下r 隨p 的變化規(guī)律 參考文獻(xiàn)7 3 第2 章通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法 2 2 2 降低網(wǎng)絡(luò)的平均距離提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力 有關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均距離對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響的研究很多，但是到目前為止還 沒有個統(tǒng)一的令人信服的結(jié)論。很多研究表明，平均距離越小，網(wǎng)絡(luò)的同步 能力越好”。為了進(jìn)一步澄清這個問題，同時也探索一種可能的提高同步能力 的方法，周濤等人。1 研究了一種名為交叉雙環(huán)網(wǎng)( c r o s s e dd o u b i e c y c l e ) 的網(wǎng)絡(luò) 模型，并討論了其上的同步問題。用圖論的語言來說，環(huán)c 表示一個具有n 個 節(jié)點(diǎn)，五，h ，和條無向邊，玉疊，墨矗，毛一。矗和五的網(wǎng)絡(luò)。將氣，毛，靠 順次放成個圓圈，c 正好首尾相連成一個封閉的環(huán)。在環(huán)c 的每一個節(jié)點(diǎn)上 添加兩條邊，連接到原來距離為m 的兩個節(jié)點(diǎn)上，就構(gòu)成了交叉雙環(huán)網(wǎng)，記做 g 講，m 夕。圖2 3 給出了g ( 2 0 ，4 ) 的示意圖。交叉雙環(huán)網(wǎng)這種結(jié)構(gòu)在組合網(wǎng) 絡(luò)分析中很早就為數(shù)學(xué)家所熟悉，并且廣泛應(yīng)用于分布式處理系統(tǒng)和局域網(wǎng)絡(luò) 設(shè)計(jì)中1 76 。事實(shí)上，最早的并行計(jì)算機(jī)的多個處理器之間數(shù)據(jù)傳輸線形成的網(wǎng) 絡(luò)就是g ( 1 6 4 ) “。 圖2 3g ( 2 0 ，4 ) 示意圖。 1 9 第2 章通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法 由于這種操作只是將邊斷開再重新連接，并沒有改變?nèi)魏喂?jié)點(diǎn)的度，因此 網(wǎng)絡(luò)的度分布保持變。為了更好的理解隨機(jī)交叉邊方法，圖2 6 給出了該方法的 示意圖。 圖2 6 隨機(jī)交叉邊方法 參考文獻(xiàn)1 0 2 】 m c g r a w 和m e l l z i n g e r 將k u r a m o t o 振子的固有頻率在o 9s q s l 1 范圍內(nèi) 隨機(jī)選擇，并且給每個振子的初始位相隨機(jī)賦值。在數(shù)值模擬的過程中，用e u l e r 方法以步長0 0 2 解在不同的耦合強(qiáng)度下振子所滿足的微分方程，去掉前1 0 0 步 的暫態(tài)過程，計(jì)算了經(jīng)過5 0 0 個時間步平均的序參量，其結(jié)果如圖2 7 所示。 其中m 表示序參量，y 表示網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)，天是耦合強(qiáng)度。為了研究簇系數(shù)對 從非同步態(tài)到同步態(tài)的相變的影響，他們首先研究了序參量聊隨耦合強(qiáng)度入的 變化。圖2 7 ( a ) ( b ) 分別是在不同的簇系數(shù)下隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和b a 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的序參量 朋隨耦合強(qiáng)度入的變化關(guān)系。隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)( 圖2 7 ( a ) 】的序參量變化簡單：當(dāng)簇系數(shù) 比較小，耦合強(qiáng)度旦大于0 1 2 時序參量就迅速抬升。增大簇系數(shù)抑制了網(wǎng)絡(luò) 的全局同步并且序參量的這種迅速抬升變得越來越不明顯。 在b a 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)【圖2 7 ( b ) ( c ) 】中，簇系數(shù)對網(wǎng)絡(luò)同步有更復(fù)雜的影響。當(dāng) 簇系數(shù)y = o o 時在耦合強(qiáng)度入o ，7 附近就開始進(jìn)入同步態(tài)，但序參量的變 化過程并不像隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)那樣陡峭。奇怪的是，增大簇系數(shù)在弱的耦合強(qiáng)度下會 提高網(wǎng)絡(luò)的同步程度但在強(qiáng)的耦合強(qiáng)度下會降低網(wǎng)絡(luò)的同步程度。 第2 章通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法 e 吾一 仉，l 茹慧鬃鬟箋一一 圖2 7 序參量m 在不同的簇系數(shù)y 下隨耦合強(qiáng)度入的變化關(guān)系。( a ) 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)：( b ) ，( c ) b a 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：( c ) 在相變區(qū)域的放大圖，表明簇系數(shù)大的網(wǎng)絡(luò)首先發(fā)生相變?！緟⒖嘉墨I(xiàn) 1 0 2 】 為了更細(xì)致的研究同步過程，他們還考察了演化穩(wěn)定后的相振子的固有頻率 啦與實(shí)際的振子振動頻率q 。注意到當(dāng)耦合強(qiáng)度為零時，每個振予以各自的固 有頻率獨(dú)立演化，q = ；增大耦合強(qiáng)度，振子經(jīng)過一段時間演化達(dá)到穩(wěn)定狀 態(tài)后，當(dāng)耦合強(qiáng)度較大，使振子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)整體的同步，那么所有節(jié)點(diǎn)的實(shí)際的 振動頻率相同，q 取單一的值；當(dāng)耦合強(qiáng)度處在兩者之間，使穩(wěn)定后的系統(tǒng)處 在部分同步狀態(tài)，這時q 。的取值也與振子的固有頻率不同，其值大小與耦合強(qiáng) 度有關(guān)。圖2 8 給出了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定后振子的振動頻率q ，與節(jié)點(diǎn)的固有 頻率以的變化關(guān)系?？梢钥吹皆诠逃蓄l率為l 附近的節(jié)點(diǎn)首先開始進(jìn)入同步態(tài)， 隨著耦合強(qiáng)度的增加，越來越多的遠(yuǎn)離平均頻率的振子也進(jìn)入了同步態(tài)。在相 同的耦合強(qiáng)度下，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)比較大時，振子振動的頻率分布范圍更大些， 這是因?yàn)槊總€振子的振動狀態(tài)不僅取決于振子的固有頻率和所有振子的平均頻 率，還取決于它的局域連接狀況。對于簇系數(shù)比較大的網(wǎng)絡(luò)，振動頻率的分布 有兩個主要特點(diǎn)，一是振動頻率的分布比較分散，二是振子會形成不同振動頻 率的同步簇( 圖中的多條橫帶) 。隨著耦合強(qiáng)度的增加，不同的同步簇會融合進(jìn) 2 4 第2 章通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法 而形成一個同步簇，但需要比同步簇系數(shù)小的網(wǎng)絡(luò)大得多的耦合強(qiáng)度。 對于b a 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的情況，從圖2 8 可以看出在弱的耦合強(qiáng)度的情況下簇 系數(shù)大的網(wǎng)絡(luò)先開始同步。但這種同步只涉及網(wǎng)絡(luò)中的一部分節(jié)點(diǎn)，其它的節(jié) 點(diǎn)還是在自己的固有頻率上演化，好像完全沒有受到其它的節(jié)點(diǎn)的影響。這與 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的情況完全不同。由于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布異質(zhì)性非常強(qiáng)，一個節(jié)點(diǎn) 是否受到其它節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)烈的影響主要取決于其鄰居的數(shù)量。在圖2 9 中給出了 節(jié)點(diǎn)的振動頻率與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度的關(guān)系。很明顯，網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)首先進(jìn)入 同步態(tài)，隨著耦合強(qiáng)度的增加，度小的節(jié)點(diǎn)也慢慢的進(jìn)入同步態(tài)。與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò) 相同的一個特點(diǎn)是簇系數(shù)大的網(wǎng)絡(luò)更容易形成在度大的節(jié)點(diǎn)周圍的頻率同步的 簇，這抑止了網(wǎng)絡(luò)的整體同步。在弱的耦合強(qiáng)度下，早期形成的同步的簇會有 助于提高網(wǎng)絡(luò)的序參量。 總之，網(wǎng)絡(luò)簇系數(shù)的增加會增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的局域同步但卻抑止了網(wǎng)絡(luò)的整體同 步。 第3 章通過改變耦合方式提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法 第3 章通過改變耦合方式提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法 一個動力網(wǎng)絡(luò)的同步能力是由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，耦合方式和動力學(xué)本身性質(zhì)( 不 在本文討論范圍之內(nèi)) 三者共同決定的。常用的提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法粗略 的分可以分為兩類，類是利用網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性和同步能力之間的關(guān)系，通過 改變網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)從而達(dá)到提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的目的。這種方法我們在上一章己 作了相關(guān)介紹。真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模巨大，用全局優(yōu)化算法找到網(wǎng)絡(luò)的同步最優(yōu)化 構(gòu)型幾乎不可能，而規(guī)模巨大的網(wǎng)絡(luò)通常很難獲得節(jié)點(diǎn)的介數(shù)，而且改變網(wǎng)絡(luò) 的其中一個特征量，勢必會引起其他特征量的改變，而使網(wǎng)絡(luò)不易于同步的實(shí) 現(xiàn)。因此，一個自然的問題就是如果網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)無法改變，能否通過改變網(wǎng)絡(luò) 節(jié)點(diǎn)間的耦合方式來提高系統(tǒng)的同步能力? m z k 方法”可以說是這類方法的開 山鼻祖，此方法提出后，各種利用網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間耦合方式 來提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法不斷涌現(xiàn)。這類方法又可以細(xì)分成兩類：靜態(tài)耦合 方法和動態(tài)耦合方法。靜態(tài)耦合的方法，即節(jié)點(diǎn)間的耦合方式一旦確定，在振 子的演化過程中就不再改變；動態(tài)耦合的方法，即節(jié)點(diǎn)問的耦合強(qiáng)度隨著演化 的進(jìn)行不停的根據(jù)當(dāng)時的狀態(tài)進(jìn)行變化。在本章，我們會詳細(xì)介紹上面提到的 幾種有代表性的方法。隨后提出我們設(shè)計(jì)的利用網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的年齡特點(diǎn)提高網(wǎng)絡(luò) 同步能力的方法，而且這種方法還簡單的實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步的最優(yōu)化。 3 1 提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的m z k 方法 2 0 0 5 年初，m o t t e r 、z h o u 和k u n h s 首先提出了通過調(diào)節(jié)耦合方式來提高 網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法( 我們簡稱為m z k 方法) ”“，該方法一經(jīng)提出就受到了廣泛 的關(guān)注。其后，各種以該方法為基礎(chǔ)，采用調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的耦合方式來提 高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法不斷涌現(xiàn)，掀起了提高網(wǎng)絡(luò)同步能力方法研究的高潮。 下面我們就來詳細(xì)介紹一下m z k 方法。 m o t t e r 等人注意到這樣一個現(xiàn)象：在網(wǎng)絡(luò)的同步過程中，如果耦合矩陣是 拉普拉斯矩陣，網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)接收到的耦合信號量與其度呈正比，那么網(wǎng)絡(luò) 中度大的節(jié)點(diǎn)接收到的耦合信號量要遠(yuǎn)大于度小的節(jié)點(diǎn)。為了便于理解，我們 2 8 第2 章通過改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高同步能力的方法 x g o 0 3 5 九= q a s 九j n 2 5 咎昌o 舊1 售d 。31 神6 圖2 9b a 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：j 寅化穩(wěn)定后振子振動的頻率q 與振子的固有頻率q 之間的 關(guān)系。當(dāng)簇系數(shù)很大對，在弱的耦合強(qiáng)度下就會形成一些頻率同步的簇( 水平帶) ，這樣的網(wǎng) 絡(luò)頻率同步簇很明顯。f 參考文獻(xiàn)1 0 2 】 x 第3 章通過改變耦合方式提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法 10 2 芷 10 1 10 0 l li 一 r ! - i ： 一 -： - - - _ 一- 一 ；一l- - ： ：a ) - p ： 1。 10 2 10 1 1o d 圖3 1 耦合矩陣的特征值比r 隨可調(diào)參數(shù)b 的變化規(guī)律：( o ) 隨機(jī)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，其中實(shí)心圓 表示冪指數(shù)丫= 3 ，實(shí)心正方形f 5 ；( b ) 確定性無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：( c ) 生長無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和( d ) n w 型 小世界網(wǎng)絡(luò)，其中實(shí)心圓表示m = 2 5 6 ，實(shí)心正方形m = 5 1 2 。 參考文獻(xiàn)8 2 】 圖3 1 給出了跟據(jù)這四種網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算出的網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣的特征值比欠 隨參數(shù)0 的變化規(guī)律，這幾個數(shù)值模擬的結(jié)果有個共同的特點(diǎn)：當(dāng)b = 1 時，r 都 取最小值，表明此時網(wǎng)絡(luò)的同步能力最強(qiáng)。 在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，隨著度分布冪指數(shù)y 的減小，網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性增強(qiáng)。 從圖3 ，1 ( a ) 的隨機(jī)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，隨著度分布異質(zhì)性 的增強(qiáng)，耦合矩陣特征值比的降低更明顯，表明網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性越強(qiáng)，該方法提 高網(wǎng)絡(luò)同步能力的效果越顯著。在n w 型小世界網(wǎng)絡(luò)中，隨著網(wǎng)絡(luò)中增加的隨 機(jī)邊的數(shù)目m 的增加，網(wǎng)絡(luò)的度分布的異質(zhì)性增強(qiáng)。在d = 0 處，隨著m 的增 加，耦合矩陣的特征值比r 降低，但在0 = 1 處兩個網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣的特征值差 異比在b = 0 處更明顯，表明耦合矩陣特征值比的變化比度分布的異質(zhì)性的變化 更顯著【圖3 1 ( d ) 】。這兩個圖的模擬結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性越強(qiáng)，該方法提高 網(wǎng)絡(luò)同步能力的效果就越顯著。 3 1 第3 章通過改變耦合方式提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法 3 2 靜態(tài)耦合的方法 m z k 方法的提出，為人們在提高網(wǎng)絡(luò)同步能力方法這個領(lǐng)域開辟了一條新 的道路，之后以m z k 方法為基礎(chǔ)、各種利用網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間 的耦合方式來提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法不斷提出。這些方法總的來說可以分成 兩類：一類是靜態(tài)耦合的方法，另一類是動態(tài)耦合方法在這節(jié)我們重點(diǎn)介紹靜 態(tài)耦合方法的典型代表。靜態(tài)耦合方法即節(jié)點(diǎn)問的耦合方式一旦確定，在振子 的演化過程中就不再改變了。下面我們將介紹除了m z k 方法外，其他幾種比較典 型的利用網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征，通過調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)中動力學(xué)系統(tǒng)的耦合方式來提高網(wǎng)絡(luò)同 步能力的靜態(tài)耦合法。 3 2 1 利用網(wǎng)絡(luò)的全局信息提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法 c h a v e z 等人提出了一種利用邊權(quán)這個全局信息來提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法 嗍。邊權(quán)是指網(wǎng)絡(luò)中所有最短路徑經(jīng)過這條邊的次數(shù)，也叫邊的介數(shù)。他們注意 到，由于兩個節(jié)點(diǎn)間的邊權(quán)( 邊的介數(shù)) 會受到距離非常遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)的顯著影響， 邊權(quán)實(shí)際上反映了網(wǎng)絡(luò)的全局結(jié)構(gòu)信息。權(quán)大的邊在網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)具有更大的重 要性。于是他們設(shè)計(jì)出了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間如下的耦合方式： 一l ：隉一： j 入j g ，= 1 = f ( 3 7 ) l od 砌p m 西p 其中，。是連接節(jié)點(diǎn)i ，i 之間邊的權(quán)值，是可調(diào)參數(shù)，人，是與第i 個節(jié)點(diǎn)相 連節(jié)點(diǎn)的集合。 對于任意的口，耦合矩陣g 都是非對稱的，可以將其改寫成如下形式： g = q l ，其中l(wèi) 是一個行元素和為零的對稱矩陣，其非對角元為厶，= 一學(xué)，且 11三 一! q = 訪口g 虧號，虧號) 。利用矩陣相似變化可知耦合矩陣g 有與形= q 2 三q 2 厶一j 、j 厶。j n j 相同的特征值譜。因此無論網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模有多大，耦合矩陣g 的所有特征值都是 處于o 到2 的非負(fù)實(shí)數(shù)，并且在網(wǎng)絡(luò)連通的情況下只有一個特征值為零。 從( 3 7 ) 式注意到，當(dāng)口= o 時，該耦合方式退化到m z k 耦合方式在= l 3 2 第3 章通過改變耦合方式提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法 的情形；當(dāng)口= + ( 口：一) 時，連接到節(jié)點(diǎn)i 上的所有邊中只有介數(shù)最大( 小) 的邊的耦合信號被接收。因此，網(wǎng)絡(luò)就等價于一個至少有n 條邊的簡單圖，這 個圖既可能是連通也可能斷開了。當(dāng)這個等價圖保持連通( 斷開) 時，耦合矩 陣的特征值比氐t 等于2 ( + ) ，網(wǎng)絡(luò)的同步能力會非常強(qiáng)( 弱) 。 c h a v e z 等人以具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)為研究對象 孕= 巧鞏一：。哆( ，) 壘磐碭，調(diào)節(jié)參數(shù)口，考察這兩種網(wǎng)絡(luò)耦合矩陣的特征 值比九厶的變化規(guī)律( 如圖3 2 左側(cè)圖( a ) 所示) 。并通過計(jì)算 r = l o g ( 氐友) 一 1 0 9 ( 如如) k ，。比較了該方法與m z k 方法的差異( 如圖3 2 左側(cè) 圖( b ) 所示) ，其中兩條黑實(shí)線之間小于零的部分是該方法同步能力強(qiáng)于m z k 方 法的參數(shù)區(qū)域。 圖3 2 右側(cè)( a ) 給出了該方法應(yīng)用于隨即圖的情況下網(wǎng)絡(luò)耦合矩陣的特征值 比隨參數(shù)倪的變化關(guān)系，并計(jì)算了該方法應(yīng)用于具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò) 和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的同步能力間的差異r = 【l o g ( 丸五) 】即一【l o g 乙) 】。砌。，如圖3 2 右側(cè)( b ) 所示。可以看到對于參數(shù)空間口 0 當(dāng)使用該種耦合方式進(jìn)行同步時無標(biāo) 度網(wǎng)絡(luò)比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的同步能力。從這四個圖可以看出，中存在一個參 數(shù)區(qū)域，使得通過該方法進(jìn)行耦合的網(wǎng)絡(luò)其同步能力強(qiáng)于m z k 方法進(jìn)行耦合的 網(wǎng)絡(luò)，并且當(dāng)口l 時網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出最強(qiáng)的同步能力。 3 3 第3 章通過改變耦合方式提高網(wǎng)絡(luò)同步能力的方法 攀洶幽，：6 日 1 ( 【2 3 4 。j 、o 圖3 2 左側(cè)圖：( a ) 具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)其耦合矩陣特征值比在參數(shù)空間( 口， b ) 中的變化規(guī)律，( b ) 兩粗實(shí)線之間實(shí)該方法同步能力強(qiáng)于m z k 方法的參數(shù)區(qū)域；右側(cè) 圖：( a ) 隨即圖的耦合矩陣特征值比隨參數(shù)口的變化規(guī)律，( b ) 粗實(shí)線之上的區(qū)域是該方 法應(yīng)用于具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)同步能力強(qiáng)于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)同步能力的參數(shù)區(qū)域 參考文 獻(xiàn)6 0 3 2 2 利用網(wǎng)絡(luò)的局