（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）球面上二次hamilton系統(tǒng)的分支及相圖.pdf

球面上二次h a m i l t o n 系統(tǒng)的分支及相圖 摘要 隨著人類認(rèn)識(shí)、改造和利用自然的能力的不斷提高，以及實(shí)際應(yīng)用的需 要，人們【1 ) i 臨大量非線性問題的處理。h a m i l t o n 系統(tǒng)是非線性科學(xué)研究中的一 個(gè)重要領(lǐng)域，它的產(chǎn)生與發(fā)展具有深刻的實(shí)際背景。h a m i l t o n 系統(tǒng)廣泛存在于 物理科學(xué)、生命科學(xué)及工程科學(xué)等眾多領(lǐng)域，特別足經(jīng)典力學(xué)、天體力學(xué)、航 空航天科學(xué)以及生物工程的很多模型都以h a m i l t o n 系統(tǒng)的形式出現(xiàn)。經(jīng)典意 義下的h a m i l t o n 系統(tǒng)都是在偶數(shù)維相空間上定義的，其相空間具有很好的辛流 形結(jié)構(gòu)性質(zhì)，在這種框架下發(fā)展的h a m i l t o n 系統(tǒng)理論已成為動(dòng)力系統(tǒng)理論的重 要組成部分。為了使h a m i l t o n 系統(tǒng)的觀點(diǎn)和方法能應(yīng)用于實(shí)際問題研究中廣泛 存在的奇數(shù)維系統(tǒng)，人們對(duì)經(jīng)典的h a m i l t o n 系統(tǒng)進(jìn)行了擴(kuò)展，從而提出了廣 義h a m i l t o n 系統(tǒng)的概念。 廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)作為經(jīng)典h a m i l t o n 系統(tǒng)的推廣，可以作為描述包括奇 數(shù)維系統(tǒng)在內(nèi)的更加廣泛的非線性動(dòng)力學(xué)問題的模型，在機(jī)械工程，光學(xué)， 分子動(dòng)力學(xué)等等中都有很多的應(yīng)用；其中有很大的一類是具有球面口l 。層結(jié)構(gòu) 的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)。在許多實(shí)際問題研究的模型中，這種具有球面葉層結(jié)構(gòu) m , j h a m i l t o n 系統(tǒng)模型，其h a m i l t o n 函數(shù)常常以，_ 次函數(shù)的形式 苦多。對(duì)它的 研究可以歸結(jié)為研究下面五類h a m i l t o n 函數(shù)對(duì)應(yīng)的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)： 摘要 2 h ：丟u 2 + a 玨+ c w ， 3 日= 丟u 2 + + c 叫， ( 1 1 ) 4 日= 互1 2 + 蘭2 入t ，2 七a + b 口， 5 日= 芝1 玨2 + 互1 a 口2 + a u + b u + c 伽 迄今為止，對(duì)前四種情況，栩應(yīng)的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)在球面葉層上的平衡點(diǎn)分 叉及其全局毒h 圖已被完全研究清楚但對(duì)h a m i l t o n 函數(shù)中含四個(gè)參數(shù)的第五種 情況，其對(duì)應(yīng)的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)在球面葉層上的分又及相圖還未見到相關(guān)研 究 基于上述，本文利用微分方程定性理論與動(dòng)力系統(tǒng)分叉理論( 特別是 h a m i l t o n 系統(tǒng)相圖分析技巧) 研究了第五類h a m i l t o n 函數(shù)對(duì)應(yīng)的具有球面葉層 的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)，仔細(xì)分析了平衡點(diǎn)分又及穩(wěn)定性性質(zhì)，獲得了完整的全 局相圖分類。 關(guān)鍵詞：廣義日口m i z 幻幾系統(tǒng)，球面，相圖，分支 一i i b i f u r c a t i o n sa n dp h a s ep o r t r a i t so ft h eq u a d r a t i c h a m i l t o n i a ns y s t e mo ns p h e r e a b s t r a c t w i t ht h ep e r s i s t e n ti m p r o v e m e n to ft h ea b i l i t yo fh u m a nb e i n go ft h er e c o g n i z i n g ，r e c o n s t r u c t i n ga n du t i l i z i n gt h en a t u r e ，a sw e l la st h en e e d so fp r a c t i c a la p p l y , p e o p l e h a v et of a c et od e a lw i t hh u g en o n l i n e a rp r o b l e m s h a m i l t o n i a ns y s t e mi sa ni m p o r - t a n tf i e l do fn o nli n e a rs c i e n c es t u d y , w h o s ec r e a t i o na n dd e v e l o p m e n th a v eap r o f o u n d p r a c t i c a lb a c k g r o u n d a sak i n do f g e n e r a l i z a t i o no f c l a s s i c a lh a m i l t o n i a ns y s t e m ，g e n e r a l i z e dh a m i l t o n s y s t e mc a nb eu s e dt os t u d ym a n yn o n l i n e a rd y n a m i c a lm o d e l sw i t ha n yd i m e n s i o n i n c l u d i n go d dd i m e n s i o n ，w h i c hc o m ef r o md i v e r ss c i e n c ef i e l d s ，s u c ha sm e c h a n i c a l e n g i n e e r i n g ，o p t i c s ，a n dm o l e c u l a rd y n a m i c s ，e ta 1 f r o mt h ee x i s t i n gr e s u l t so f p r a c t i c a lm o d e l s ，w en o t et h a tg e n e r a l i z e dh a m i l t o n s y s t e mw i t hs p h e r ef o l i a t i o ns t r u c t u r ea n dq u a d r a t i ch a m i l t o n i a nf u n c t i o no f t e na p p e a r s a sd y n a m i c a lm o d e l s o fm a n yr e a lp r o b l e m s i th a sb e e us h o w nt h a ts u c hs y s t e m sc a r b er e d u c e dt h ef o l l o w i n gf i v ec 3 s c s 2 日= 互1 u 2 + a 釷+ c 叫， 3 日= 三u 2 + l a y + c 叫， ( 1 1 ) 4 h = 1 2 u 2 + l a y + a “+ b t ， 5 日= 互1 u 2 + 主艫+ a u + b u + 阢 a b s t r a c t p r e v i o u sr e s e a r c h e sh a dd e v o t e dt ot h ef i r s tf o u rc a s e sa n do b t a i n e dt h ec o m p l e t er e - s u i t so nt h ec o r r e s p o n d i n gh a m i l t o n i a ns y s t e m s u pt ot h ep r e s e n t ，h o w e v e r , t oh a m i l t o nf u n c t i o nw i t hf o u r - p a r a m e t e r s ，t h eb i f u r c a t i o np r o p e r t i e sa n dp h a s ep o r t r a i t so ft h e c o r r e s p o n d i n gs y s t e m sa r ey e tt ob es t u d i e d b a s e do nt h ef a c t sm e n t i o n e da b o v e ，b ym a k i n gu s eo ft h eq u a l i t a t i v et h e o r i e so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h eb i f u r c a t i o nt h e o r yo fd y n a m i c ss y s t e m ( e s p e c i a l l yh a m i l t o n i a ns y s t e mp h a s ed i a g r a ma n a l y z et e c h n i q u e ) ，t h i sp a p e rs t u d yt h ef o u r - p a r a m e t e r h a m i l t o n i a ns y s t e m ( t h e 矗r hc a s e ) a n da n a l y z et h eb i f u r c a t i o na n ds t a b i l i t yo f e q u i l i b r i ai nd e t a i l o b t a i nt h ec l a s s i f i c a t i o no fp h a s ep o r t r a i t so ns p h e r e k e yw o r d s ： g e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a ns y s t e m ，s p h e r e ，p h a s ep o r t r a i t ，b i f u r c a t i o n 一一 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得 的研究成果。論文中除了特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或其他 機(jī)構(gòu)已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。其他例志對(duì)本研究的啟發(fā)和所做的貢獻(xiàn)均 已在論文中作了明確的聲明并表示了謝意。 研究生簽名： j d l p 膨7 多 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 嗍：彤f 矽， 本人完全了解浙江師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有 權(quán)保留送交論文的復(fù)印件和電子文檔，允許論文被查閱和借閱，可以采用影 印、縮印或掃描等手段保存、匯編學(xué)位論文。同意浙江師范大學(xué)可以爿j 不同方 式在不同媒體上發(fā)表、傳播論文的全部或部分內(nèi)容。保密的學(xué)位論文在解密后 遵守此協(xié)議。 研究生簽名西夕殤剝?nèi)┺]氣 脅砰豆弓 浙江師范大學(xué)學(xué)位論文誠信承諾書 我承諾自覺遵守浙江師范大學(xué)研究生學(xué)術(shù)道德規(guī)范管理?xiàng)l 例。我的學(xué)位論文中凡引川他人已經(jīng)發(fā)表或末發(fā)表的成果、數(shù) 據(jù)、觀點(diǎn)等，均已明確注明并詳細(xì)列出有關(guān)文獻(xiàn)的名稱、作者、年 份、刊物名稱和出版文獻(xiàn)的出版機(jī)構(gòu)、出版地和版次等內(nèi)容。論文 中末注明的內(nèi)容為本人的研究成果。 如有違反，本人接受處罰并承擔(dān)一切責(zé)任。 承諾人( 研究生) ：溽殤 一引聽 4 5 一、緒論 隨著人類認(rèn)識(shí)、改造和利用自然的能力的不斷提高，以及實(shí)際應(yīng)用的 需要，人們面臨大量非線性問題的處理。h a m i l t o n 系統(tǒng)是非線性科學(xué)研 究中的一個(gè)重要領(lǐng)域，它的產(chǎn)生與發(fā)展具有深刻的實(shí)際背景f 4 】【5 】。經(jīng)典 的h a m i l t o n 系統(tǒng)都是在偶數(shù)維相空間上定義的，這種結(jié)構(gòu)雖然具有很好的性 質(zhì)，已有豐富的研究成果和大量的實(shí)際應(yīng)片j ，但也限制了其應(yīng)用范圍。為 了使h a m i l t o n 系統(tǒng)的觀點(diǎn)和方法能應(yīng)用于實(shí)際研究中廣泛存在的奇數(shù)維系 統(tǒng)( 一個(gè)最經(jīng)典的例子是自由剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的e u l e r 方程，其相空間是三維 的，由三個(gè)角動(dòng)量軸構(gòu)成) ，人們對(duì)經(jīng)典的h a m i l t o n 系統(tǒng)進(jìn)行了擴(kuò)展，從而 提出了廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的概念【6 】。廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)是通過廣義p o i s s o n 括 號(hào)來定義的，而廣義p o i s s o n 括號(hào)是去掉非退化條件限制的p o i s s o n 括號(hào)。因 此，用廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)可以研究奇數(shù)階的非線性系統(tǒng)。廣義h a m i l t o n 系統(tǒng) 的p o i s s o n 流形( 具有廣義p o i s s o n 括號(hào)結(jié)構(gòu)的流形) 表示法是一種十分方便、有 用的表示法。所以，h a m i l t o n 系統(tǒng)已由經(jīng)典的( 偶數(shù)維) 形式推廣為廣義形式 ( 任意維) 。 廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)作為經(jīng)典h a m i l t o n 系統(tǒng)的推廣，可以作為描述包括奇 數(shù)維系統(tǒng)在內(nèi)的更加廣泛的非線性動(dòng)力學(xué)問題的模型，在機(jī)械工程，光學(xué)，分 子動(dòng)力學(xué)等等中都有很多的應(yīng)用；其中有很大( i 勺一類是具有球面葉層結(jié)構(gòu)的廣 義h a m i l t o n 系統(tǒng)f l 】 ( 2 】i s 在許多實(shí)際問題研究的模型中，這種具有球面葉層結(jié)構(gòu) f l , ) h a m i l t o n 系統(tǒng)模型，其h a m i l t o n 函數(shù)常常以二次函數(shù)的形式居多。1 9 9 5 年 文獻(xiàn)【7 】的作者己證明，對(duì)它的研究可以歸結(jié)為研究下面五類h a m i l t o n 函數(shù)對(duì) 應(yīng)的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的研究： 2 日= 主u 2 + 4 亂+ c w ， 3 日一互1 讓2 + 扣2 + c 叫， ( 1 1 ) 4 日= 互1 ，u 2 + l a v 2 + a u + b u ， 5 日= 三u 2 + 扣2 + a u + b 口+ 一、緒論 迄今為止，對(duì)前四種情況，相應(yīng)的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)在球面葉層上的平衡點(diǎn)分 又及其全局相圖已被完全研究清楚【8 】，【9 】 1 0 1 但對(duì)h a m i l t o n 函數(shù)中含四個(gè)參數(shù)的 第五種情況，正如2 0 0 8 年的文獻(xiàn)【3 】指出的，其對(duì)應(yīng)的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)在球面 葉層上的分又及相圖還未見到相關(guān)研究 基于上述，本文利用微分方程定性理論與動(dòng)力系統(tǒng)分叉理論( 特別是 h a m i l t o n 系統(tǒng)相圖分析技巧) 研究了第五類h a m i l t o n , _ 數(shù)對(duì)應(yīng)的具有球面葉層 的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)，仔細(xì)分析了平衡點(diǎn)分叉及穩(wěn)定性性質(zhì)，獲得了完整的全 局相圖分類。 本論文的主要內(nèi)容及結(jié)構(gòu)如下：第一章為緒論。第一章介紹兩個(gè)與本文 相關(guān)的實(shí)際物理模型和分子動(dòng)力學(xué)模型。第三章作為預(yù)備知識(shí)簡(jiǎn)要介紹廣 義h a m i l t o n 系統(tǒng)的相關(guān)定義和基本性質(zhì)。第四章作為本文的主要內(nèi)容，詳細(xì) 研究具有球面葉層結(jié)構(gòu)的一般= 次廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分叉及相圖分 類，具體分為以下幾個(gè)內(nèi)容： ( 一) 、具有球面葉層結(jié)構(gòu)的二次h a m i l t o n 系統(tǒng) ( 二) 、平衡點(diǎn)分又及穩(wěn)定性分析 其中考慮到分叉方程的復(fù)雜性，先對(duì)a = 1 進(jìn)行了討論，并得出一些比較完 整的結(jié)論。緊接著對(duì)一般的情況進(jìn)行討論，并得出平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)、對(duì)參數(shù)的劃 分，從而得出分又方程根的個(gè)數(shù)和參數(shù)的關(guān)系。 ( 三) 、球面葉層上的全局相圖。 最后為第五章：小結(jié)。 一2 一 幾個(gè)實(shí)際模型與研究背景 ( 一) 、一類分子動(dòng)力學(xué)模型 a p p y s h c h e v , 1 】和b i z h i l i n s k i 2 在各自文章中都研究了一類非常典型的 分子動(dòng)力學(xué)模型，其中所研究的問題是構(gòu)成分子的原子間振動(dòng)及其的旋轉(zhuǎn)問 題，此類分子內(nèi)原子問的動(dòng)力學(xué)問題可以有如下微分方程來描述： 8 h 紈2 瓦， o h 挑2 一瓦 ( 2 1 ) ( 2 2 ) j ：，籌， ( 2 3 ) 【，j 其中q l ，q a n 一6 = g 是內(nèi)部坐標(biāo)，p l ，p a n 一6 = g 是共軛沖量j 是分子固定框 架下的角動(dòng)量，h ( j , p ，q ) 是h a m i l t o n 函數(shù)。為了便于研究這類既有原子自j 振動(dòng) 又有旋轉(zhuǎn)的分子旋轉(zhuǎn)問題，文中引入有效旋轉(zhuǎn)能的方法。通過這種方法能夠使 得構(gòu)成分子的原子間的相對(duì)位簧“固化”，從而得到控制分子旋轉(zhuǎn)的方程： j = ，萬o h ， ( 2 4 ) 其中忽= h ( j ) = ( 0 ) + ( 2 ) ( ，) + ( 4 ( j ) + 是只跟固定框架下的角動(dòng) 量j = ( 五，占，以) 有關(guān)的日。竹說z t 帆函數(shù)，而分子構(gòu)型的相關(guān)信息已包含 在h a m i l t o n 函數(shù)的系數(shù)中。在文獻(xiàn)【9 】中進(jìn)一步把此日口m m m 函數(shù)化簡(jiǎn)為： h = h ( j ) = 鼠，= a 七+ b 名+ c z + c 口所囂蟛刀+ 其中a ，b ，c 是參數(shù)，c n 所= c 0 q 所+ 1 所尸+ c 孫7 了4 + 是與角動(dòng)量的模有 3 二、幾個(gè)實(shí)際模型與研究背景 關(guān)的參數(shù)，而總角動(dòng)量是一個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，即幅值是由初值確定的常數(shù)： j 2 = 霹+ 露+ 籠= c o n s t ( 2 5 ) 因此根據(jù)廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的理論易知，此類分子動(dòng)力學(xué)方程( 2 4 ) 是一 個(gè)三維廣義h a n z i l t o n 系統(tǒng)，可以約化為球面上h a m i l t o n 系統(tǒng)；例如： 對(duì)于一個(gè)具有不共面4 原子構(gòu)型的分子模型，若四個(gè)原子的質(zhì)量m i ，i = 1 ，4 滿足如下關(guān)系： m 12m 2 = m 一6 ， m 3 = m + 6 ( 1 + d ) ， m 4 = m + 6 ( 1 一d ) 文獻(xiàn)【9 】導(dǎo)出了如下同時(shí)涉及原子不對(duì)稱和離心偏移效應(yīng)的日0 7 7 沈2 t d n 函數(shù)： ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) ( 2 6 c ) i - i 。f i = l + l c o s q 【。：一z ) + 扼彩。如一2 - s i n c e 。：+ 五3 如4 + 互3 j ：4 + ，。2 如- 2 + 互5 j 。2 j ：2 + j - 2 ：j 茁2 一互1 ) ， 其中 3 。= 3 。t3 ，j q = 3 q j , j ；= 3 ：j q = n r c t 帆( 了2 m 瓦e j 2 ) ， 是離心偏移參數(shù)。 當(dāng)離心偏移參數(shù)= 0 時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)足一個(gè)球面上的_ 次h a m i l t o n 系統(tǒng)。 ( 二) 、含有單個(gè)轉(zhuǎn)子的無外力矩作用陀螺姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型 2 0 0 8 午a e l i p e & vl a n c h a r e s 3 研究了一類含有單個(gè)轉(zhuǎn)子的無外力矩作用 陀螺姿態(tài)動(dòng)力學(xué)問題其中無外力矩作用自由轉(zhuǎn)矩陀螺運(yùn)動(dòng)模型是一個(gè)三維廣 義h a m i l t o n 系統(tǒng)，其相軌線分布在球面n i 層上；其h a m i l t o n 函數(shù)如下： 冗= 主( n 。9 ；+ 眈9 。2 + 口。夕；) 一( n t 9 - q - a 2 9 2 ，2 + n s 9 。，3 ) 一4 二、幾個(gè)實(shí)際模型與研究背景 根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的相關(guān)知識(shí)可知：這無外力矩作用陀螺，在如下的p o i s s o n 括號(hào)定 義如下： 夕1 ；夕2 ) = - 9 s ， 9 2 ；g a = - g l ， g s ；g l = 一9 2 ， 其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型方程可表示為： 卜 、9 22 l l9 3 = a 3 。o 2 a l 。a 3 a 2 a l g ：g s 十a(chǎn) 2 2 仍一口3 ，3 眈， j g i g s + n 3 ，3 9 l a j l g s ， ( 2 7 ) g i 9 2 + a l 1 卯一眈厶9 1 通過研究此系統(tǒng)我們可以容易證明系統(tǒng)的角動(dòng)量場(chǎng)g 的模是個(gè)不變量，即 g l l 2 = 9 ；+ g ；+ 露= c o n s t a n t ； 至此根據(jù)廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的理論我們可以看到這類有單個(gè)轉(zhuǎn)子的無外力矩作 用陀螺模型同樣也是一個(gè)三維廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)，并且同樣也是球面上二次 的h a m i l t o n 系統(tǒng)。 一5 一 h h 何 仇 啦 卯 三、廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的預(yù)備知識(shí) ( 一) 、典貝j j h a m i l t o n 方程與p o i s s o n 括號(hào) 根據(jù)經(jīng)典力學(xué)【9 】 5 】的基本知識(shí)，對(duì)于幾個(gè)自由度的保守力學(xué)系統(tǒng)，在n 個(gè)廣 義坐標(biāo)q l ，口n 和n 個(gè)廣義共軛動(dòng)量p l ，構(gòu)成f i , j 2 n 維相空間r 2 叫a ，若給 定該系統(tǒng)的日o m m d 7 t 函數(shù)h ( q ，p ) ，那么系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可通過以下典則日n m 訛覦方 程( c a n o n i c a lh a m i l t o ne q u a t i o n i ： 要：蕓，要：一關(guān)，t _ 1 2 ，n ( 3 1 ) 一= 一一= 一一z = - z 憶 i ll 出 卻i 出弛。 “v “7 ( 口，p ) 也稱為典則坐標(biāo)，如果記z = ( q l ，吼；p l ，) ，則方程還可以改 寫為如下形式： 其中，為反對(duì)稱矩陣： 塞= j v h ( 2 ) j ：i q i 、 o0 ( 3 2 ) 其中j 是單位矩陣，v h 是梯度向量。此外，方程還可以利片j 典則的p 研s s o 扎括 號(hào)來表示。 設(shè)f ( g ，p ) ，c ( q ，p ) 為相空間r 2 ”上的任意兩個(gè)連續(xù)可微函數(shù)，若定義f ( q ，p ) 和 c ( q ，p ) 的p d 話s 帆括號(hào)為： ( 3 3 ) 絲饑 f 一阢偽一見 一 g 一仇夙一以f 啦 6鯊弛6 。：i l i 、l ， g 只 三、廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的預(yù)備知識(shí) $ u h a m i l t o n 典則方程可以改寫為： f 囊叫哪， ( 3 4 ) i 警砘 日) ，2 ，禮 v 1 我們不難得出p o i s s o n 括號(hào)的五條重要性質(zhì)： ( i ) 雙線形： a f + b g ，k ，= 口【只耳) + b v ，k ) ，其中口，6 為常數(shù)； ( i i ) 反對(duì)稱性： e g = - v ，f ) ： ( i i i ) 求導(dǎo)法則( l e i b n i t z 法則) ： f g ，k ) = f g ，k ) + g f ) ； ( v ) j a c o b i 恒等式 【f ， g ，k ) + g ， k ，f ) + k ，【f g ) ) = o ； ( v ) 非退化性：若名不是f 的臨界點(diǎn)，耳o v f ( z ) 0 ，則存在光滑函數(shù)g 使 得 f g ) ( z ) 0 ，換言之，若f 使得 e g ) = o 對(duì)一切光滑函數(shù)g 都成 立，則f 是常數(shù)函數(shù)。 上述經(jīng)典的h a m i l t o n 系統(tǒng)都是在偶數(shù)維相空間上定義的，這種結(jié)構(gòu)雖然具有很 好的性質(zhì)，便于對(duì)其進(jìn)行研究，但也限制了其應(yīng)用范圍。為了使h a m i l t o n 系 統(tǒng)的觀點(diǎn)和療法能應(yīng)片j 于實(shí)際研究中廣泛存在的奇數(shù)維系統(tǒng)( 一個(gè)最經(jīng)典的例 子是自由剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的e u l e r 方程，其相空間是三維的，由三個(gè)角動(dòng)量軸構(gòu) 成) ，人們對(duì)經(jīng)典f f , j h a m i l t o n 系統(tǒng)進(jìn)行了擴(kuò)展，去掉p o i s s o n 括號(hào)非退化條件 限制，引入了廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的定義及其相關(guān)理論，它可以用于研究包括 奇數(shù)維系統(tǒng)在內(nèi)的更廣泛的非線性模型。為了本文的引用方便下面我們介紹廣 義h a m i l t o n 系統(tǒng)的基本概念和相關(guān)結(jié)果。 一7 一 三、廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的預(yù)備知識(shí) ( 二) 、廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)及其相關(guān)結(jié)果 廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)【6 】足通過廣義p o i s s o n 括號(hào)來定義的。而廣義p o i s s o n 括 號(hào)就是去掉非退化條件限制的p o i s s o n 括號(hào)，其精確的定義如下： 定義3 2 1 光滑流形m 上的廣義p d 婦s 帆括號(hào)是定義在光滑函數(shù)空間c 。o ( ) 上 的一個(gè)運(yùn)算 ， ，該運(yùn)算使每?jī)蓚€(gè)只g c ( m ) 確定c ”( m ) 中的第三個(gè)函 數(shù)eg ，并滿足如下四條性質(zhì)： ( i ) 雙線形：_ ( f f + b g ，k ) = o ( f ) + 6 g ，k ) ，其中口，6 為常數(shù)； ( i i ) 反對(duì)稱性：【f ，g ) = - a ，f ) ； ( i i i ) 求導(dǎo)法則( l e i l m i t z ：法則) ： f g ，k t = f _ 【g ，k ) + g f ，k ) ； ( i v ) j a c o b 恒等式 f g ，k ，) + g ， k ，f ) ) + k ， f ，v i i = o ； 具有廣義p d t s s 饑?yán)ㄌ?hào)結(jié)構(gòu)的流形m ，稱為p o i s s o n 流形，記為( m 【，) ) 。 在不致于引起混淆的情況下，簡(jiǎn)記為m 。在此定義中我們發(fā)現(xiàn)，這里并沒有限 定l ，的維數(shù)，且，可以赴任意有限維或者無窮維流形。特別可以是奇數(shù)維流形。 此外我們還可以看到廣義p o i s s o n , 括號(hào)以通常由辛流形結(jié)構(gòu)導(dǎo)出的p o i s s o n 括 號(hào)為其特例，兇為只要對(duì)廣義p o i s s o n 括號(hào)增加非退化條件就得到辛流形上 的p o i s s o n 括號(hào)。兇此也可以說，辛流形是p o i s s o n 流形的特殊情況。換言之， 若p o i s s o n 流形的廣義p o i s s o n 括號(hào)是非退化的，這樣的p 斫s s 覦流形就是辛流 形。 定義3 2 2 若在流形 j r 的局部坐標(biāo)x 下，p o i s s o n 括號(hào) ，) 的結(jié)構(gòu)陣矩j ( x ) 是一個(gè)m z 階反對(duì)稱矩陣，其元素由如( z ) = 耽，巧) 定義，稱為結(jié)構(gòu)元素。 一8 一 三、j “義h a m i l t o n 系統(tǒng)的預(yù)備知識(shí) 是： 根據(jù)廣義p 擾s s 帆括號(hào)的定義，易得矩陣j ( z ) 是結(jié)構(gòu)矩陣的充分與必要條件 i 1 ) 如( z ) = 一乃t ( z ) t2 ，枷z ，掣均掣蝴，掣1 一o 。5 定義3 2 3 設(shè)( m ， ，) ) 是一個(gè)p 刮s s 流形，在局部坐標(biāo)x 下，對(duì)給定的光 滑函數(shù)h ( 日也可以是時(shí)間t 的函數(shù)) ，其對(duì)應(yīng)的廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)定義為： 警嘞恥薹蜘，摯小k 一，m 或?qū)憺橄蛄啃问剑?宕= j ( x ) v h ( z ) 其中函數(shù)日稱為該系統(tǒng)的日口m i 此覦函數(shù)。 與經(jīng)典的h a m i l t o n 系統(tǒng)理論相對(duì)應(yīng)，為了研究廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的動(dòng)力 學(xué)性質(zhì)，首先必須對(duì)其相空間一p 擾s s 饑流形的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行仔細(xì)研究。在局 部坐標(biāo)下，這種幾何結(jié)構(gòu)性質(zhì)與p o i s s o n 括號(hào)在局部坐標(biāo)下的結(jié)構(gòu)矩陣j ( z ) 密 切相關(guān)。這個(gè)矩陣最重要的不變量就是它的秧，如果秩處處取最大值，這種 情況是大部分h a m i l t o n 力學(xué)專著中所涉及的標(biāo)準(zhǔn)情況，即在( 偶數(shù)維) 光滑 流形上的辛結(jié)構(gòu)。在一般情況下，j ( x ) 的秩不一定處處取得最大值。此時(shí)廣 義p o i s s o n 括號(hào)的一個(gè)重要性質(zhì)就是存在c a s i m i r 函數(shù)。 定義3 2 4 設(shè)函數(shù)c ( x ) c ( m ) 不恒等于常數(shù)，且滿足關(guān)系式 af ) ( z ) 三 0v f ( x ) c ( m ) 。則函數(shù)c 0 ) 稱為( 廣義) p o i s s o n 括號(hào)的一個(gè)c a s i m i r i 函 數(shù)。一 顯然，對(duì)于辛流形上的括號(hào)不存在c a s i m i r 函數(shù)，兇為此時(shí)p o i s s o n 括號(hào)滿足非 退化條件。 命題3 2 1 設(shè)西：r 知_ r 是一個(gè)多元光滑函數(shù)， q ( z ) ) 是p 擾s s 肌流形 的鳧個(gè)c a s i m i r數(shù)，則復(fù)合函數(shù)圣( 研如) ，甌( z ) ) 也是c a s 鋤衙函數(shù)。 9 三、廣義h a m i l t o n 系統(tǒng)的預(yù)備知識(shí) 推論3 2 1 若西是如上定義的多元函數(shù)，則函數(shù)h c ( m ) 與函數(shù)宙= 日+ 垂( q ( z ) ，g ( 。) ) 所確定的m 上的廣義h a m i l t o n 向量場(chǎng)完全相同。 利用p o i s s o n 流形m 一般具有c a s i m i r 函數(shù)的特性可知，p o i s s o n 流形具有 辛葉層結(jié)構(gòu)。即m 自然地由一些( 可能是不同維數(shù)的) 辛子流形所構(gòu)成，使 得m 上的任何一個(gè)( 廣義) h a m i l t o n 系統(tǒng)都以這些辛子流形為其不變流形，而 且限制在每個(gè)辛葉上的子系統(tǒng)( 也叫約化系統(tǒng)) 都是維數(shù)較低的( 通常意義下 的) 偶數(shù)維h a m i l t o n 系統(tǒng)。p o i s s o n 流形的這種結(jié)構(gòu)性質(zhì)可以總結(jié)為以下的定 理： 定理3 2 1 設(shè)m 是p o i s s o n 流形，則m 上全體h a m i l t o n 向量場(chǎng)組成的向 量場(chǎng)簇日是可積的，即通過每點(diǎn)z m ，都存在日的一個(gè)積分子流形，對(duì) 每個(gè)y n ，滿足條件t l = 日i 。，每個(gè)這樣的積分子流形都是m 的辛子 流形，而且它們確定了 ，的一個(gè)辛葉層構(gòu)造。此外，若f i ：m r 是任 一個(gè)h a m i l t o n 函數(shù)，并且z ( t ) = e x p ( t 知) x o 是對(duì)應(yīng)于日n u + 時(shí)召1 0 ，此時(shí)平衡點(diǎn)g = ( 讓。，口。，w 。) 為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并且是個(gè) 中心。 ( 2 ) 尖點(diǎn)。 ( 3 ) 個(gè)鞍點(diǎn)。 = u + 時(shí)召1 = 0 ，此時(shí)平衡點(diǎn)g = ( u 。，v 。，w 。) 為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并且是個(gè) 釤+ 時(shí)召1 判別在不同參數(shù)條件下的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和類 型。 當(dāng)入= l 時(shí)，此時(shí)關(guān)于口的多項(xiàng)式函數(shù)變?yōu)椋?f ( v ) = a 2 v 2 0 + b ) 2 + v ：b 2 + ( v 2 一l 2 ) b 2 ( 口+ b ) 2 一1 6 一 四、具