小學(xué)奧數(shù)著名問題之——一筆畫問題習(xí)題集.doc

一筆畫問題（教師必備）一、歐拉的一筆畫原理是： (1)一筆畫必須是連通的(圖形的各部分之間連接在一起)；(2)沒有奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時可以以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到這點(diǎn)；(3)只有兩個奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時必須以一個奇點(diǎn)為起點(diǎn)，以另一個奇點(diǎn)為終點(diǎn)；(4)奇點(diǎn)個數(shù)超過兩個的圖形不是一筆畫。利用一筆畫原理，七橋問題很容易解決。因?yàn)閳D中A，B，C，D都是奇點(diǎn)，有四個奇點(diǎn)的圖形不是一筆畫，所以一個散步者不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋。二、順便補(bǔ)充兩點(diǎn)：(1)一個圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。因?yàn)閳D形中的每條線都有兩個端點(diǎn)，所以圖形中所有端點(diǎn)的總數(shù)必然是偶數(shù)。如果一個圖形中奇點(diǎn)的數(shù)目是奇數(shù)，那么這個圖形中與奇點(diǎn)相連接的端點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)(奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù))，與偶點(diǎn)相連的線的端點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)(任意個偶數(shù)之和是偶數(shù))，于是得到所有端點(diǎn)的總數(shù)是奇數(shù)，這與前面的結(jié)論矛盾。所以一個圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。(2)有K個奇點(diǎn)的圖形要K2筆才能畫成。例如：下頁左上圖中的房子共有B，E，F(xiàn)，G，I，J六個奇點(diǎn)，所以不是一筆畫。如果我們將其中的兩個奇點(diǎn)間的連線去掉一條，那么這兩個奇點(diǎn)都變成了偶點(diǎn)，如果能去掉兩條這樣的連線，使圖中的六個奇點(diǎn)變成兩個，那么新圖形就是一筆畫了。將線段GF和BJ去掉，剩下I和E兩個奇點(diǎn)(見右下圖)，這個圖形是一筆畫，再添上線段GF和BJ，共需三筆，即(62)筆畫成。一個K(K1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個奇點(diǎn)，如果在任意兩個奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個奇點(diǎn)同時變成了偶點(diǎn)。如左下圖中的B，C兩個奇點(diǎn)在右下圖中都變成了偶點(diǎn)。所以只要在K筆畫的2K個奇點(diǎn)間添加(K-1)筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個，從而變成一筆畫。三、到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)會了如何判斷一筆畫和多筆畫，以及怎樣添加連線將多筆畫變成一筆畫，看下面的例題：1.下列圖形分別是幾筆畫？怎樣畫？2.能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個正方形和兩個三角形？3.從A點(diǎn)出發(fā)，走遍右上圖中所有的線段，再回到A點(diǎn)，怎樣走才能使重復(fù)走的路程最短？4.下圖是國際奧林匹克運(yùn)動會的會標(biāo)，能一筆畫嗎？如果能，請你把它畫出來。 數(shù)學(xué)趣聞集錦之歐拉與哥尼斯堡七橋問題拓?fù)鋵W(xué)起源于公元1736年一個著名問題哥尼斯堡七橋問題的解決哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含兩個島嶼及連接它們的七座橋該河流經(jīng)城區(qū)的這兩個島島與河岸之間架有六座橋，另一座橋則連接著兩個島星期天散步已成為當(dāng)?shù)鼐用竦囊环N習(xí)慣，但試圖走過這樣的七座橋，而且每橋只走過一次卻從來沒有成功過但直至引起瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler，17071783)注意之前，沒有人能夠解決這個問題那時，歐拉正在圣彼得堡為俄國女皇凱瑟琳服務(wù)在解決該問題的過程中，歐拉創(chuàng)立了一個數(shù)學(xué)分支，即后來人們所熟知的拓?fù)鋵W(xué)他在解哥尼斯堡七橋問題時，采用了今天人們稱之為網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋵W(xué)知識運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)，歐拉證明了要走過哥尼斯堡的七座橋且每橋只通過一次是不可能的這一問題及歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個初等的例子。它開創(chuàng)了拓?fù)鋵W(xué)研究的先河拓?fù)鋵W(xué)是一個相對較新的領(lǐng)域19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才開始對它以及其他的非歐幾何開展研究論述拓?fù)鋵W(xué)的第一篇論文，寫于1847年一個網(wǎng)絡(luò)基本上可以看成是一個問題的圖樣哥尼斯堡七橋問題的網(wǎng)絡(luò)可以圖解如下一個網(wǎng)絡(luò)由頂點(diǎn)和弧線組成一個可以遍歷的網(wǎng)絡(luò)是指它可以準(zhǔn)確一次地穿經(jīng)所有的弧線，但頂點(diǎn)卻可以通過任意次數(shù)哥尼斯堡七橋問題的網(wǎng)絡(luò)頂點(diǎn)，有如上圖所示的A，B，C，D注意每個頂點(diǎn)發(fā)出的弧線數(shù)A為3，B為5，C為3，D為3由于這些數(shù)全是奇數(shù)，這類頂點(diǎn)我們稱之為奇頂點(diǎn)或奇點(diǎn)如果一個頂點(diǎn)發(fā)出的弧線數(shù)為偶數(shù)，我們則稱之為偶頂點(diǎn)或偶點(diǎn)歐拉發(fā)現(xiàn)，對于一個可以遍歷的網(wǎng)絡(luò)，其奇、偶點(diǎn)具有許多性質(zhì)特別地，歐拉注意到：一個奇頂點(diǎn)在這種遍歷式的旅行中，要么是起點(diǎn)，要么是終點(diǎn)由于一個遍歷的網(wǎng)絡(luò)只能有一個起點(diǎn)和一個終點(diǎn)，因而這種網(wǎng)絡(luò)的奇點(diǎn)數(shù)不能多于兩個然而在哥尼斯堡七橋問題的網(wǎng)絡(luò)中卻有四個奇點(diǎn)，因