數學建模考試試題及答案.pdf

數學建模及應用數學建模及應用試題試題匯總匯總 1 假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計算器 你也會出于好奇心想用扔下一 塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度 假定你能準確地測定時間 你又怎樣來推算山 崖的高度呢 請你分析一下這一問題 2 建立理想單擺運動滿足的微分方程 并得出理想單擺運動的周期公式 3 一根長度為 l 的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上 一端的溫度恒為 T1 另一端溫 度恒為 T2 T1 T2 為常數 T1 T2 金屬桿橫截面積為 A 截面的邊界長度為 B 它 完全暴露在空氣中 空氣溫度為 T3 T3 T2 T3 為常數 導熱系數為 試求金屬桿 上的溫度分布 T x 設金屬桿的導熱率為 4 甲乙兩隊進行一場搶答競賽 競賽規(guī)則規(guī)定 開始時每隊各記 2 分 搶答題開始后 如 甲取勝則甲 加 1 分而乙減 1 分 反之則乙加 1 分甲減 1 分 每題必需決出勝負 規(guī) 則還規(guī)定 當其中一方的得分達 到 4 分時 競賽結束 現(xiàn)希望知道 1 甲隊獲勝的概率有多大 2 競賽從開始到結束 平均轉移的次數為多少 3 甲獲得 1 2 3 分的平均次數是多少 5 由于指派問題的特殊性 又存在著由匈牙利數學家提出的更為簡便的解法 匈牙利算 法 當系數矩陣為下式 求解指派問題 16151922 17211918 24221817 17192216 C 6 在遙遠的地方有一位酋長 他想把三個女兒嫁出去 假定三個女兒為 A B C 三位求 婚者為 X Y Z 每位求婚者對 A B C 愿出的財禮數視其對她們的喜歡程度而定 741 281027 2653 z y x CBA 問酋長應如何嫁女 才能獲得最多的財禮 從總體上講 他的女婿最喜歡他的女兒 7 某工程按正常速度施工時 若無壞天氣影響可確保在 30 天內按期完工 但根據天氣預 報 15 天后天氣肯定變壞 有 40 的可能會出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期 在 50 的可能 會遇到小風暴而使工期推遲 15 天 另有 10 的可能會遇到大風暴而使工期推遲 20 天 對于可能出現(xiàn)的情況 考慮兩種方案 提前緊急加班 在 15 天內完成工程 實施此方案需增加開支 18000 元 先按正常速度施工 15 天后根據實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策 如遇到陰雨天氣 則維持正常速度 不必支付額外費用 如遇到小風暴 有兩個備選方案 i 維持正常速度施工 支付工程延期損失費 20000 元 ii 采取應急措施 實施此應急措施有三種可能結果 有 50 可能減少誤工期 1 天 支付應急費用和延期損失費共 24000 元 有 30 可能減少誤工期 2 天 支付應急費用和 延期損失費共 18000 元 有 20 可能減少誤工期 3 天 支付應急費用和延期損失費共 12000 元 如遇大風暴 也有兩個方案可供選擇 i 維持正常速度施工 支付工程延期損失費 50000 元 ii 采取應急措施 實施此應急措施也有三種可能結果 有 70 可能減少誤工期 2 天 支付應急費及誤工費共 54000 元 有 20 可能減少誤工期 3 天 支付應急費及誤工 費共 46000 元 有 10 可能減少誤工期 4 天 支付應急費和誤工費共 38000 元 根據上述情況 試作出最佳決策使支付的額外費用最少 8 設劇院有 1280 個座位 分為 32 排 每排 40 座 現(xiàn)欲從中找出某人 求以下信息的信 息量 i 某人在第十排 ii 某人在第 15 座 iii 某人在第十排第 15 座 數學建模及應用試題匯總答案數學建模及應用試題匯總答案 1 解 假定空氣阻力不計 可以直接利用自由落體運動的公式 設 t 4 秒 求得 h 78 5 米 除了地球引力之外 對石塊下落影響最大的就是空氣阻力 為了使結果進一步的精 確 考慮空氣阻力的作用 建立第二個模型 根據流體力學知識 設空氣阻力正比于石 塊下落的速度 阻力系數 K 為常數 因而 由牛頓第二定律可得 dv FmmgKv dt 并令 k K m 得 kt g vce k 若石塊的初始速度為 v 0 0 得 c g k 故石塊的下落速度為 kt gg ve kk 再積分一次 得到山崖的高度 2 kt gg htec kk 代入初始條 件 h 0 0 得到計算山崖高度的公式 222 1 ktkt ggggg htete kkkkkk 若設 k 0 05 并仍設 t 4 秒 則可求得 h 73 6 米 進一步深入考慮 聽到回聲再按跑表 計算得到的時間中包含了反應時間 設平均反應 時間為 0 1 秒 假如仍設 t 4 秒 扣除反應時間后應為 3 9 秒 代入式 求得 h 69 9 米 2 解 0 0 0 0 0 g l 解得 t 0cos t 其中 g l 當 4 T t 時 t 0 有 42 g T l 得2 g T l 3 解 dt時間內通過距離 O 點 x 處截面的熱量為 AT x dt dt時間內通過距離 O 點 x dx 處截面的熱量為 AT xdx dt 由泰勒公式 AT xdx dtAT xTx dx dt 金屬桿的微元 x x dx 在 dt 內由獲得熱量為 ATx dxdt 同時 微元向空氣散發(fā)出的熱量為 3 Bdx T xT dt 系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài) 故有 3 ATx dxdtBdx T xT dt 所以金屬桿各處溫度 T x 滿足的微分方程 3 B TxTT A 4 解 設甲勝一題的概率 為 p 0 p 1 p 與兩隊的實力有關 甲隊得分有 5 種可能 即 0 1 2 3 4 我們分別記為狀態(tài) S0 S1 S2 S3 S4 其 中 S0 和 S4 是吸收狀態(tài) a1 a2 和 a3 是非吸收狀態(tài) 過程以 S2 作為初始狀態(tài) 根據 甲隊贏得 1 分的概率為 p 建立轉移矩陣 5 解 將第一行元素減去此行中的最小元素 15 同樣 第二行元素減去 17 第三行元素 減去 17 最后一行的元素減去 16 得 1 1047 0421 7510 1360 B 再將第 3 列元素各減去 1 得 2 1037 0411 7500 1350 B 以 B2 為系數矩陣的指派問題有最優(yōu)指派 1234 2134 6 解 指派問題可以看成是兩分圖賦權匹配問題的實例 用三個點表示酋長的三個女兒 將它們放在一邊 再用三個點表示求婚者 將它們放在 另一邊 在有可能結婚的兩人之間畫一條邊 并在邊上寫上求婚者對這種結婚愿付出的 財禮數 得到圖 上圖是一個特殊的圖 它的頂點可以分成兩個子集 只有分屬不同子 集的點才可能有邊相連 但也可以無邊 這樣的圖稱為兩分圖 容易看出 酋長要解的問題是在兩分圖中找出一個具有最大權 和的匹配 由于兩分圖最大權匹配問題等價于指派問題 所以它是一個 P 問題 使用貪婪法求解 則有 C 嫁 y 28 頭 去除 C y 及相 應邊 一夫一妻 再將 B 嫁 x 5 頭 去除 B x 及相應邊 最后 A 只能嫁 Z 1 頭 共得財禮 34 頭牛 事實上 酋長的 女兒只有六種嫁法 3 比較所有方案 發(fā)現(xiàn) C 嫁 x A 嫁 y B 嫁 z 最好 y 幾乎差不多同樣喜歡 C 和 A 而 z 則明顯喜歡 C 而不太喜歡 A 可得財禮 57 頭牛 7 解 由于未來的天氣狀態(tài)未知 但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知 本例是一個風險型決 策問題 所謂的額外費用應理解為期望值 根據題意 作決策樹如圖 在決策樹上由右向左計算各機會節(jié)點處的期望值 并將結果標在節(jié)點旁 遇到決策點則 比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣 并且用雙線劃去淘汰掉的方案分枝 在決策點旁標上最佳方案的效益期望值 計算步驟如下 1 在機會節(jié)點 E F 處計算它們的效益期望值 E E 0 5 24000 0 3 18000 0 2 12000 19800 E F 0 7 54000 0 2 46000 0 1 38000 50800 2 在第一級決策點 C D 處進行比較 在 C 點處劃去正常速度分枝 在 D 處劃去應 急分枝 3 計算第二級機會節(jié)點 B 處的效益期望值 E B 0 4 0 0 5 19800 0 1 50000 14900 并將 14900 標在 B 點旁 在第二級決策點 A 處進行方案比較 劃去提前緊急加班 將 14900 標在 A 點旁 結論 最佳決策為前 15 天按正常速度施工 15 天后按實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決定 如出現(xiàn)陰雨天氣 仍維持正常速度施工 如出現(xiàn)小風暴 則采取應急措施 如出現(xiàn)大風 暴 也按正常速度施工 整個方案總損失的