（浙江通用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù).doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1角的概念(1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是s|k360，kz(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限2弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad.(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l|r，扇形的面積公式：slr|r2.3任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p(x，y)時(shí)，sin y，cos x，tan (x0)三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sin rcos rtan |k，kz4.三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p，過(guò)p作pmx軸，垂足為m，過(guò)a(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)t.三角函數(shù)線有向線段mp為正弦線；有向線段om為余弦線；有向線段at為正切線【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角()(2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)p的位置無(wú)關(guān)()(3)角終邊上點(diǎn)p的坐標(biāo)為(，)，那么sin ，cos ；同理角終邊上點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x0，y0)，那么sin y0，cos x0.()(4)(0，)，則tan sin .()(5)為第一象限角，則sin cos 1.()1角870的終邊所在的象限是()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案c解析由8701 080210，知870角和210角終邊相同，在第三象限2下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 ()a2k45(kz) bk360(kz)ck360315(kz) dk(kz)答案c解析與的終邊相同的角可以寫成2k(kz) ，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案c正確3(教材改編)已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()a2 bsin 2 c. d2sin 1答案c解析設(shè)圓的半徑為r，則sin 1，r，2弧度的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為2r.4. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy中，射線op交單位圓o于點(diǎn)p，若aop，則點(diǎn)p的坐標(biāo)是()a(cos ，sin ) b(cos ，sin )c(sin ，cos ) d(sin ，cos )答案a解析由三角函數(shù)的定義知pxcos ，pysin ，故選a.5函數(shù)y的定義域?yàn)開答案(kz)解析2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kz)題型一角及其表示例1(1)已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角用集合可表示為_(2)若角在第三象限，則在第_象限答案(1) (kz)(2)二或四解析(1)在0,2)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所求角的集合為 (kz)(2)2k2k(kz)，kk(kz)當(dāng)k2n(nz)時(shí)，2n2n，是第二象限角，當(dāng)k2n1(nz)時(shí)，2n2n，是第四象限角，綜上知，當(dāng)是第三象限角時(shí)，是第二或第四象限角思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角(2)利用終邊相同的角的集合s|2k，kz判斷一個(gè)角所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫成0,2)范圍內(nèi)的一個(gè)角與2的整數(shù)倍的和，然后判斷角的象限(1)設(shè)集合mx|x18045，kz，nx|x18045，kz，那么()amn bmncnm dmn(2)集合|kk，kz中的角所表示的范圍(陰影部分)是()答案(1)b(2)c解析(1)方法一由于mx|x18045，kz，45，45，135，225，nx|x18045，kz，45，0，45，90，135，180，225，顯然有mn，故選b.方法二由于m中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇數(shù)；而n中，x18045k4545(k1)45，k1是整數(shù)，因此必有mn，故選b.(2)當(dāng)k2n (nz)時(shí)，2n2n，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)k2n1 (nz)時(shí)，2n2n，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選c.題型二弧度制的應(yīng)用例2已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長(zhǎng)為l.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角：(3)若扇形周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解(1)60 rad，lr10 (cm)(2)由題意得(舍去)，故扇形圓心角為.(3)由已知得，l2r20.所以slr(202r)r10rr2(r5)225，所以當(dāng)r5時(shí)，s取得最大值25，此時(shí)l10，2.思維升華應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形(1)將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是 ()a. b.c d(2)已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)它的半徑為_cm和圓心角為_弧度時(shí)，扇形面積最大答案(1)c(2)12解析(1)將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，為負(fù)角，故a、b不正確；又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)的角為圓周的.即為2.(2)設(shè)扇形圓心角為，半徑為r，則2r|r4，|2.s扇形|r22rr2(r1)21，當(dāng)r1時(shí)，(s扇形)max1，此時(shí)|2.題型三三角函數(shù)的概念命題點(diǎn)1三角函數(shù)定義的應(yīng)用例3(1)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)p(8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為()a b.c d.(2)點(diǎn)p從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)q點(diǎn)，則q點(diǎn)的坐標(biāo)為 ()a. b.c. d.答案(1)b(2)a解析(1)r，cos ，m0，即m.(2)由三角函數(shù)定義可知q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足xcos ，ysin.命題點(diǎn)2三角函數(shù)值的符號(hào)例4(1)若sin 0且tan 0，則是()a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角(2)設(shè)是第三象限角，且cos ，則是()a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角答案(1)c(2)b解析(1)sin 0，的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限(2)由是第三象限角，知為第二或第四象限角，cos ，cos 0，綜上知為第二象限角命題點(diǎn)3三角函數(shù)線例5滿足cos 的角的集合為_答案解析作直線x交單位圓于c、d兩點(diǎn)，連接oc、od，則oc與od圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.(2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號(hào)來(lái)確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3)利用三角函數(shù)線解三角不等式時(shí)要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性正確寫出角的范圍(1)已知角的余弦線是單位長(zhǎng)度的有向線段，那么角的終邊在()ax軸上 by軸上c直線yx上 d直線yx上(2)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a(2,3 b(2,3)c2,3) d2,3答案(1)a(2)a解析(1)1，角的終邊在x軸上(2)cos 0，sin 0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上2a3.故選a.6數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)p的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于c(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(2)函數(shù)ylg(34sin2x)的定義域?yàn)開思維點(diǎn)撥(1)點(diǎn)p轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵，可在圖中作三角形，尋找p點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系(2)求函數(shù)的定義域可轉(zhuǎn)化為解不等式sin x，利用三角函數(shù)線可直觀清晰得出x的范圍解析(1)如圖所示，過(guò)圓心c作x軸的垂線，垂足為a，過(guò)p作x軸的垂線與過(guò)c作y軸的垂線交于點(diǎn)b.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧2，即圓心角pca2，則pcb2，所以|pb|sin(2)cos 2，|cb|cos(2)sin 2，所以xp2|cb|2sin 2，yp1|pb|1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)(2) 34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kz)答案(1)(2sin 2,1cos 2)(2)(kz)溫馨提醒(1)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題要抓住旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角的變化，結(jié)合弧長(zhǎng)公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系(2)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況，然后觀察適合條件的角的位置方法與技巧1在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)p可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)|op|r一定是正值2三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧失誤與防范1注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘)1給出下列四個(gè)命題：()是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正確的命題有()a1個(gè) b2個(gè)c3個(gè) d4個(gè)答案c解析是第三象限角，故錯(cuò)誤.，從而是第三象限角，正確40036040，從而正確31536045，從而正確2若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角(0，)的弧度數(shù)為()a. b.c. d2答案c解析設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為r，所以rr，.3已知是第二象限角，p(x，)為其終邊上一點(diǎn)，且cos x，則x等于()a. bc d答案d解析依題意得cos x0，由此解得x.4若是第三象限角，則下列各式中不成立的是()asin cos 0 btan sin 0ccos tan 0 dtan sin 0答案b解析是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，則可排除a、c、d，故選b.5給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無(wú)關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0，則是第二或第三象限的角其中正確命題的個(gè)數(shù)是()a1 b2c3 d4答案a解析舉反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯(cuò)；正確；由于sin sin ，但與的終邊不相同，故錯(cuò)；當(dāng)cos 1，時(shí)既不是第二象限角，也不是第三象限角，故錯(cuò)綜上可知只有正確6已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長(zhǎng)等于_答案解析設(shè)扇形半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則，解得.7已知角2k(kz)，若角與角的終邊相同，則y的值為_答案1解析由2k(kz)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0.所以y1111.8設(shè)角是第三象限角，且sin ，則角是第_象限角答案四解析由是第三象限角，知2k2k (kz)，k0；與2 200終邊相同的角是40，所以2 200是第四象限角，則cos(2 200)0；103，所以10是第二象限角，則tan(10)0.13已知點(diǎn)p(sin cos ，2)在第二象限，則的一個(gè)變化區(qū)間是()a. b.c. d.答案c解析p(sin cos ，2)在第二象限，sin cos ，的一個(gè)變化區(qū)間是.14在直角坐標(biāo)系中，o是原點(diǎn)，a點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，將oa繞o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450到b點(diǎn)，則b點(diǎn)的坐標(biāo)為_答案(1，)解析設(shè)b(x，y)，由題意知|