畢業(yè)設(shè)計（論文）-離散混沌系統(tǒng)的Q-S同步控制方法.doc

目錄目錄第一章 緒論11.1 離散混沌系統(tǒng)概述11.2 混沌的發(fā)展21.3 混沌同步控制方法31.4 本文的主要研究成果和內(nèi)容安排4第二章 二維logistic的混沌同步控制與Q-S同步控制72.1 二維logistic映射的混沌同步控制72.2 二維logistic映射的Q-S同步9第三章 二維Hnon的混沌同步控制與Q-S同步控制133.1 二維Hnon映射的混沌同步控制133.2 二維Hnon映射的Q-S同步15第四章 總結(jié)19致謝21參考文獻235緒論第一章 緒論1.1 離散混沌系統(tǒng)概述混沌是非線性動力學中一個非常重要的概念，與日常人們提及的混沌有別。在非線性動力學中，混沌是服從確定性規(guī)律但具有隨機性的運動。所謂服從確定性規(guī)律，是指系統(tǒng)的運動（或演化，evolution）可以用確定的動力學方程(即使有時這類方程還沒有被找到)表述，而不是像噪聲那樣不附送任何動力學方程。所謂運動具有隨機性，是指不能像經(jīng)典動力學的機械運動那樣由某時刻狀態(tài)可以預言（或預測）以后任何時刻的運動狀態(tài)，混沌運動倒是像其他隨機運動或噪聲那樣，其運動狀態(tài)時不可預言的，換言之，混沌運動在像空間中沒有確定的軌道。混沌運動這種在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機性被稱為“貌似隨機”?；煦邕\動的一些特點：(1)混沌運動是決定性和隨機性的對立統(tǒng)一，即它具有隨機性但又不是真正的或完全的隨機運動。(2)對初始狀態(tài)的敏感依賴，即蝴蝶效應。蝴蝶效應是區(qū)別混沌同其他確定性運動的最重要標志。(3)連續(xù)動力系統(tǒng)中，只有非線性系統(tǒng)才可能做混沌運動。離散混沌系統(tǒng)是指混沌系統(tǒng)中，研究對象不連續(xù)，而是以離散映射形式出現(xiàn)的混沌系統(tǒng)。以為離散映射可寫成如下形式：但是，同樣的問題也可能用連續(xù)過程的微分方程表示：就是實際上，這不過表示微分方程是離散映射取極限的結(jié)果。由此可見，離散映射與微分方程并不一定是分別表示兩種截然不同的動力系統(tǒng)。也可以說，它們可能是從不同條件或角度分析同一動力系統(tǒng)而得出的不同形式的動力學方程。還可以看出，既然低維離散映射可能反映高維微分動力系統(tǒng)的部分規(guī)律，因此離散映射所代表的動力系統(tǒng)要比相同維數(shù)（狀態(tài)變量數(shù)目相同）的微分動力系統(tǒng)復雜。實際上，微分動力系統(tǒng)受到其狀態(tài)變量應是連續(xù)變化的要求，這種連續(xù)性使其運動要受到較嚴格的限制。而在離散映射中，狀態(tài)變量的變化時不連續(xù)的，從而它不存在連續(xù)性對運動的限制，這就使離散系統(tǒng)的運動可以更豐富多彩。因此總的說，離散系統(tǒng)的運動比之相同維數(shù)的微分動力系統(tǒng)要復雜得多，或者說所蘊含的信息量要多。比如，一維或二維的微分動力系統(tǒng)不可能做混沌，但是一維離散映射卻可能出現(xiàn)混沌。1.2 混沌的發(fā)展混沌運動史1963年由美國氣象學家洛倫茲（E.Lorenz）在研究區(qū)域小氣候，求解他所提出的模型方程時首先發(fā)現(xiàn)的1。在研究區(qū)域小氣候時可以認為，受日光加熱的地標和同溫層構(gòu)成溫度分別為和的平行板，空氣在這兩塊平行板之間進行對流和熱傳導，這就是所謂瑞利-柏納德對流（Rayleigh-Bnard convection）.這樣的一個小氣候系統(tǒng)要用一組偏微分方程描述。此系統(tǒng)有以平衡態(tài)：流體（空氣，在小型實驗室中是某些液體）靜止，熱量考熱傳導由下層到上層。瑞利研究了此平衡態(tài)的線性穩(wěn)定性。他發(fā)現(xiàn)，當超過某一臨界值時，此平衡態(tài)不穩(wěn)定，并開始出現(xiàn)環(huán)形對流。當與差別不大時，這種環(huán)形流還是穩(wěn)定的。但當較大時，此環(huán)形流就不穩(wěn)定了，流體的流動變得不規(guī)則。為了進一步求解描述上述系統(tǒng)方程的解，通常的方法是講解寫成傅里葉級數(shù)形式1。這樣，原偏微分方程可化為一些列關(guān)于傅里葉系數(shù)的一系列常微分方程組。求其近似解（所謂Galerkin approximation）是只截取級數(shù)的有限項。這樣，原偏微分方程組便化為有限個常微分方程組。1963年洛倫茲截取傅里葉級數(shù)的前三項，得到下列方程組 (1.2.1)式中表示對流運動的振幅（流速，對于環(huán)流，表示順時針方向，表示逆時針方向），表示對流時上升與下降流體的水平方向溫差，表示對流引起的垂直方向溫差對線性情形（無對流的平衡態(tài)）的偏離。和都是量綱為1（無量綱）的正的參量，他們分別是普朗特（Prandtl）數(shù)、瑞利數(shù)（或雷諾數(shù)）和與容器（小氣候區(qū)域范圍）大小形狀有關(guān)的量，方程中的求導也是對無量綱時間進行的。方程(1.2.1)就是有名的洛倫茲方程。1963年洛倫茲利用計算機（McBeeLGP-30機子，內(nèi)存60KB，每秒60次乘法運算）求解此方程1。發(fā)現(xiàn)，當時，只要超過24.74，解便變得混論不規(guī)則（隨機的或非周期的），且解很不穩(wěn)定而敏感地與初始條件有關(guān)。實際上，這樣的解就是現(xiàn)在所說的混沌。20世紀90年代之前，人們雖然認識到了混沌存在的客觀性，但由于它的不穩(wěn)定性和長時間發(fā)展趨勢的不可預報性，又認為為它是一種“有害”的現(xiàn)象，在許多實際應用相關(guān)的工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，人們想盡辦法回避這類“有害”現(xiàn)象1。如何利用混沌研究成果服務于人類已成為非線性科學發(fā)展提出的新的重要課題。利用混沌的惡前提是駕馭它，也就是控制混沌。1989年胡伯勒（A.Hubler）在他發(fā)表的一篇文章中首次提出混沌可以被控制的現(xiàn)象。次年，奧特（E.Ott）、格里波基（G.Grebogi）和約克（J.Yorke）提出控制混沌的思想，并基于混沌軌道是由無窮多不穩(wěn)定周期軌道構(gòu)成的基本性質(zhì)，提出一種參數(shù)微擾法控制混沌運動的具體實施辦法，即現(xiàn)在稱之為的OGY方法（Ott, Grebogi and Yorke）。很快他們提出的控制混沌的思想和方法被迪托（W.L.Ditto ）等人在一個力學實驗中證實2，稍后也被羅意（R.Roy）等人在一個激光系統(tǒng)中加以利用和拓展3。隨后的10多年中，有關(guān)混沌控制的研究得到了蓬勃的發(fā)展。這期間人們提出各式各樣控制混沌的方法及其理論，并在自然科學的眾多實際領(lǐng)域內(nèi)的實驗和應用中得到證實。近年來，這一研究方向的理論實驗以及應用上的工作進展異常迅猛。1.3 混沌同步控制方法同步是自然界中的一種基本現(xiàn)象，它通常指：至少在兩個振動系統(tǒng)相位間的協(xié)調(diào)一致現(xiàn)象。關(guān)于同步現(xiàn)象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯(C.Huygens)關(guān)于耦合單擺的同步現(xiàn)象的觀察?；煦缤浆F(xiàn)象則是指兩個混沌系統(tǒng)相位間達到協(xié)調(diào)一致的現(xiàn)象。在20世紀90年，Pecora和Carroll提出相同混沌子系統(tǒng)間，在不同的初始條件下，通過某種驅(qū)動（或耦合），仍然可以實現(xiàn)混沌軌道的同步化 4。他們提出了一種混沌同步的方法（簡稱P-C方法），并在電子線路上首次觀察到混沌同步現(xiàn)象。這項發(fā)現(xiàn)極大地推動了混沌同步的理論研究，拉開了利用混沌的序幕。常用的混沌同步方法有：1、驅(qū)動-響應同步方法，Pecora和Carroll提出的正是此方法。2、主動-被動同步方法，是驅(qū)動-響應同步方法的改進，由L.Kocarev和U.Parlitz提出。3、變量反饋同步控制方法，此方法是由Pyragas5借鑒非線性連續(xù)混沌系統(tǒng)反饋控制法的思想所設(shè)計出來的方法。Q-S同步方法6，有別于一般的混沌同步方法，只需要簡單的幾個步驟或重復，就可以有效地控制混沌，并且階數(shù)比以往的方法更低。因此Q-S同步控制方法是離散動力系統(tǒng)中非常重要的方法。下面給出離散動力系統(tǒng)中的Q-S同步的定義6。定義：對兩個離散動力系統(tǒng)：(i) (ii) 其中令，是有界向量方程。如果存在合適的控制變量使得，則系統(tǒng)(i)和系統(tǒng)(ii)是Q-S同步?？梢?，Q-S同步控制方法的關(guān)鍵是找到合適的標量控制器。1.4 反步法反步法，即Backstepping （逐步后推，反推）設(shè)計方法，是針對不確定性系統(tǒng)的一種系統(tǒng)化的控制器綜合方法，是將Lyapunov 函數(shù)的選取與控制器的設(shè)計相結(jié)合的一種回歸設(shè)計方法7。它通過從系統(tǒng)的最低階次微分方程開始，引入虛擬控制的概念，一步一步設(shè)計滿足要求的虛擬控制，最終設(shè)計出真正的控制律. Backstepping自適應控制是當前自適應控制理論和應用的前沿課題之一,近年來, 在處理線性和某些非線性系統(tǒng)時, 該方法在改善過渡過程品質(zhì)方面展現(xiàn)出較大的潛力,除航空航天領(lǐng)域外, 在液壓控制、電機控制、機器人控制、船舶控制等許多工業(yè)控制領(lǐng)域, 反推自適應控制的應用在國內(nèi)外均有大量報道.1.5 本文的主要研究成果和內(nèi)容安排Logistic映射和Hnon映射都是混沌系統(tǒng)中經(jīng)典的動力學方程，通過對這兩個映射的研究，更容易描述混沌系統(tǒng)的特性。二維映射起著從一維到高維的銜接作用，對二維映射中混沌現(xiàn)象和混沌控制的研究有助于認識和控制更復雜的高維動力系統(tǒng)的性態(tài)。本文將用混沌同步和Q-S同步分別研究二維Logistic映射和二維Hnon映射，并通過符號計算，繪出混沌運動的奇怪吸引子。本文中，第二章將會介紹二維Logistic映射的混沌同步和Q-S同步；第三章將會介紹二維Hnon映射的混沌同步和Q-S同步，作為二維Logistic映射的對比；第四章將會總結(jié)二維Logistic映射和二維Hnon映射的對比結(jié)果，以及混沌同步和Q-S同步兩種同步方法分別在二維Logistic映射、二維Hnon映射中的作用。- 7 -二維logistic的混沌同步控制與Q-S同步控制11二維logistic的混沌同步控制與Q-S同步控制第二章 二維logistic的混沌同步控制與Q-S同步控制2.1 二維logistic映射的混沌同步控制首先，給出二維logistic映射8： (2.1.1)顯然，這是一個具有耦合項的二維logistic映射。以映射(2.1.1)為驅(qū)動系統(tǒng)，那么受控的二維logistic映射 (2.1.2)就是響應系統(tǒng)。其中就是待定標量控制器。當參數(shù)取，初始值取時，其混沌吸引子如圖2-1所示：令誤差記為：，那么由(2.1.1)和(2.1.2)可以得到離散誤差動力系統(tǒng)： (2.1.3)接下來，引用文獻6的方法：第一步：引入第一個誤差變量，令第一個Lyapunov為，令第二個誤差變量為 (2.1.4)其中。然后可得的導數(shù) (2.1.5)第二步：令 (2.1.6)通過符號計算，由(2.1.4)和(2.1.6)可得標量控制器 (2.1.7)因此 (2.1.8)令第二部分Lyapunov函數(shù)為，其中。所以的導數(shù)為 (2.1.9)由此可見，式(2.1.9)右邊將是負定的如果以下條件成立： (2.1.10)顯然，存在多種情況滿足(2.1.10)，例如。由(2.1.4)和(2.1.6)，可得含有的閉環(huán)離散動力系統(tǒng)： (2.1.11)因此，對于給定的正實數(shù)，如果參數(shù)滿足(2.1.10)，那么系統(tǒng)(2.1.11)全局漸近穩(wěn)定且。由和(2.1.8)可得圖2-1。接下來用數(shù)值模擬驗證上述同步方法的有效性。參數(shù)取 滿足(2.1.10)。當未施加變量控制器時分別以，作為系統(tǒng)(2.1.1)和(2.1.2)的初始值。因此可得系統(tǒng)(2.1.3)的初始值。圖2-2為混沌同步誤差示意圖。圖2-2 2.2 二維logistic映射的Q-S同步接下來,考慮Q-S同步方法研究上述二維logistic映射8。驅(qū)動系統(tǒng) (2.2.1)受控系統(tǒng) (2.2.2)這里將會用到廣義反步法5來探討(2.2.1)和(2.2.2)的Q-S同步。第一步：令第一個誤差變量，由(2.2.1)和(2.2.2)可得 (2.2.3)令第一部分Lyapunov函數(shù)為，第二個誤差變量為 (2.2.4)其中且由此可得的導數(shù) (2.2.5)第二步：利用符號計算，從等式 (2.2.6)和(2.2.4)可得標量控制器 (2.2.7)因此 (2.2.8)令Lyapunov函數(shù)為，其中，那么的導數(shù)為 (2.2.9)由此可見，式(2.2.9)右邊將是負定的如果以下條件成立： (2.2.10)顯然，存在多種情況滿足(2.2.10)，例如。由(2.2.4)和(2.2.6)，可得含有的閉環(huán)離散動力系統(tǒng)： (2.2.11)接下來用數(shù)值模擬驗證上述同步方法的有效性。參數(shù)取 滿足(2.2.10)。當未施加變量控制器時分別以，作為系統(tǒng)(2.2.1)和(2.2.2)的初始值。因此可得系統(tǒng)(2.1.3)的初始值。圖2-3為其Q-S同步誤差示意圖。圖2-3 13二維Hnon的混沌同步控制與Q-S同步控制17二維Hnon的混沌同步控制與Q-S同步控制第三章 二維Hnon的混沌同步控制與Q-S同步控制3.1 二維Hnon映射的混沌同步控制研究Hnon映射是為了通過和logistic映射的比較，更容易理解混沌系統(tǒng)的特性。下面是二維Hnon映射9： (3.1.1)這是一個簡單的二維Hnon映射。接下來，我們用第二章的方法研究其混沌同步控制特性。以映射(3.1.1)為驅(qū)動系統(tǒng)，那么受控的二維Hnon映射 (3.1.2)就是響應系統(tǒng)。其中就是待定標量控制器。當參數(shù)取，初始值取時，其混沌吸引子如圖3-1所示：圖3-1 令誤差記為：，那么由(3.1.1)和(3.1.2)可以得到離散誤差動力系統(tǒng)： (3.1.3)第一步：引入第一個誤差變量，令第一個Lyapunov為，令第二個誤差變量為 (3.1.4)其中。然后可得的導數(shù) (3.1.5)第二步：令 (3.1.6)通過符號計算，由(3.1.6)和(3.1.4)可得標量控制器 (3.1.7)因此 (3.1.8)令第二部分Lyapunov函數(shù)為，其中。所以的導數(shù)為 (3.1.9)由此可見，式(3.1.9)右邊將是負定的如果以下條件成立： (3.1.10)顯然，存在多種情況滿足(3.1.10)，例如。由(3.1.4)和(3.1.6)，可得含有的閉環(huán)離散動力系統(tǒng)： (3.1.11)因此，對于給定的正實數(shù)，如果參數(shù)滿足(3.1.10)，那么系統(tǒng)(3.1.11)全局漸近穩(wěn)定且。由和(3.1.8)可得圖3-1。接下來用數(shù)值模擬驗證上述同步方法的有效性。參數(shù)取 滿足(3.1.10)。當未施加變量控制器時分別以，作為系統(tǒng)(3.1.1)和(3.1.2)的初始值。因此可得系統(tǒng)(3.1.3)的初始值。圖3-2為混沌同步誤差示意圖。圖3-2 3.2 二維Hnon映射的Q-S同步這里直接使用上述二維Hnon映射9驅(qū)動系統(tǒng) (3.2.1)受控系統(tǒng) (3.2.2)使用廣義反步法6來探討(3.2.1)和(3.2.2)的Q-S同步。第一步：令第一個誤差變量，再由(3.2.1)和(3.2.2)可得 (3.2.3)令第一部分Lyapunov函數(shù)為，第二個誤差變量為 (3.2.4)其中且由此可得的導數(shù) (3.2.5)第二步：利用符號計算，從等式 (3.2.6)和(3.2.6)可得標量控制器 (3.2.7)因此 (3.2.8)令Lyapunov函數(shù)為，其中，那么的導數(shù)為 (3.2.9)由此可見，式(3.2.9)右邊將是負定的如果以下條件成立： (3.2.10)顯然，存在多種情況滿足(3.2.10)，例如。由(3.2.4)和(3.2.6)，可得含有的閉環(huán)離散動力系統(tǒng)： (3.2.11)接下來用數(shù)值模擬驗證上述同步方法的有效性。參數(shù)取 滿足(3.2.10)。當未施加變量控制器時分別以，作為系統(tǒng)(3.2.1)和(3.2.2)的初始值。因此可得系統(tǒng)(3.1.3)的初始值。圖3-3為其Q-S同步誤差示意圖。圖3-3 19總結(jié)19總結(jié)第四章 總結(jié)通過第二章和第三章，可以看到，混沌同步方法和Q-S同步方法都能使離散混沌系統(tǒng)達到同步。而Q-S同步方法較混沌同步方法更具有一般性，在不要求系統(tǒng)狀態(tài)達到完全一致（）的情況下，也能使混沌系統(tǒng)達到同步狀態(tài)。在不可避免干擾的保密通信應用中，更具有使用價值。并且發(fā)現(xiàn)，無論是混沌同步方法還是Q-S同步控制方法，最終得到的判定條件都是那么，可以得到一個推論：在參數(shù)取值恰當情況下，二維混沌系統(tǒng)都可以達到同步狀態(tài)。推論可以推廣到高維的混沌系統(tǒng)：在參數(shù)取值恰當情況下，混沌系統(tǒng)都可以達到同步狀態(tài)。21致謝致謝一起走過的四年，我學業(yè)上的成績和生活中的快樂是很多人在經(jīng)意與不經(jīng)意間所賜予的。這種賜予尤其集中的突顯于撰寫畢業(yè)論文的這段時間，我衷心地感謝陪伴我度過這段時間的老師，朋友們。此時此刻，我最想感謝的就是我的導師李瑞紅老師，從選題到論文結(jié)構(gòu)再到表述規(guī)范，她都一一給予了非常悉心的指導。李老師是一個非常嚴謹?shù)植皇вH切的人，我很感激她對我要求上的嚴格與認真以及能力上的肯定與信任。從李老師身上，我所領(lǐng)受到的不僅僅是她治學上的嚴謹，更重要的是她對學生赤誠的愛與關(guān)心。她所做的一切總是能在讓我感到感動的同時，拾得非常有益的人生智慧。另外，我還要感謝李小南老師，這四年若沒有李老師在各方面的關(guān)心，我不會這么無憂無慮的學習、工作和生活。他在工作中的嚴肅、全面、細致以及生活中的親切，讓我受到了太多太多的影響。最后，還要感謝我身邊一直支持我并且從生活上給予無微不至照顧的朋友們。在他們的疼愛與呵護中，我度過了非?？鞓?、幸福、充實的大學四年，讓我收獲了活潑、自信、善良、寬容的品格。他們無處不在的問候和信任是我永遠堅持下去的不竭動力。再次感謝所有關(guān)心，幫助我的老師、朋友和親人。23參考文獻23參考文獻參考文獻1 劉秉正, 彭建華, 非線性動力學, 北京: 高等教育出版社, 2004.2 Ditto W L, Rauseo S N, Spano M L. 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