2.3 數(shù)學歸納法(1).doc

漢城國際學校 高二數(shù)學（理）活動單第二章推理與證明2.3數(shù)學歸納法(1)編寫人：吳晴晴 日期：2015-3-18學習目標1、理解數(shù)學歸納法的概念，掌握數(shù)學歸納法的證明步驟。2、通過數(shù)學歸納法的學習，體會用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用數(shù)學歸納法證明規(guī)律的途徑。學習過程：活動一、預習填空：1、問題：很多同學小時候都玩過這樣的游戲，就是一種放磚頭的游戲，放時保證任意相鄰的兩塊磚頭，若前一塊倒下，則一定導致后一塊磚頭也倒下，這樣只要推倒第一塊磚頭就會導致全部磚頭都倒下。（這種游戲稱為多米諾骨牌游戲）思考:這個游戲中，能使所有磚頭全部倒下的條件是什么？只要滿足以下兩個條件：（1）；（2）。思考：你認為條件（2）的作用是什么？思考：如果條件（1）不要，能不能保證全部的骨牌都倒下？2、我們知道對于數(shù)列，已知，且（n = 1，2，3）通過對n = 1, 2 , 3 ,4 ,前4項的歸納，我們可以猜想出其通項公式為，但歸納推理得出的猜想不一定成立，必須通過嚴格的證明。要證明這個猜想，同學們自然就會到從n=5開始一個個往下驗證，當n較小時可以逐個驗證，但當n較大時，逐個驗證起來會很麻煩，特別是證明n取所有正整數(shù)時，逐個驗證是不可能的。能不能尋求一種方法，通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立。思考:你認為證明數(shù)學的通項公式是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？多米諾骨牌游戲原理通項公式 的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（1）當n=時猜想成立（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。（2）若當n=時猜想成立，即 ，則當n=時猜想也成立，即。根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。證明：（1）。（2）假設，那么當n = k + 1 時，即n = k + 1 時猜想也成立。根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。這樣，對于猜想，由已知n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3也成立；n=3成立，就有n=4也成立所以，對任意的正整數(shù)n ，猜想都成立，即數(shù)列的通項公式是?；顒佣?、探究新知1、數(shù)學歸納法的定義：一般地，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列兩個步驟：（1）證明當n取_時命題成立。（2）假設_ 時命題成立，證明當_時命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立。上述證明方法叫做數(shù)學歸納法用框圖表示為：若n=k (kn0)時命題成立，證明n=k+1時命題也成立。驗證n=n0時命題成立。歸納奠基 歸納遞推命題對從n0從開始所有的正整數(shù)n都成立。思考：這兩個步驟能否缺少其中一個？活動三、例題精講：例1、證明等差數(shù)列通項公式例2、用數(shù)學歸納法證明：135（2n1）例3、用數(shù)學歸納法證明活動四、課堂鞏固1、用數(shù)學歸納法證明： 2、用數(shù)學歸納法證明：活動五、反饋練習1、 用數(shù)學歸納法證明：“”在驗證n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是（ ）A1 B. C D.2. 已知:,則等于( )A: B: C: D: 3. 用數(shù)學歸納法證明:122334n(n1)4、用數(shù)學歸納法證明：活動六、課堂小結(jié)1數(shù)學歸納法公理：（1）（遞推奠基）：當n取第一個值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設當n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確；（歸納假設）證明當n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。2.兩步缺一不可：只完成步驟（1）而缺少步驟（2），就做出判斷可能得出不正確的結(jié)論，因為單靠步驟（1），不法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們不法判定。同樣，只有步驟（2）而缺少步驟（1），也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟（1）這個基礎