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長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)高2013屆第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題第卷(選擇題 共50分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1已知集合m=x|一3x3,xz),n=x|x1,則mn=a1 bc-3,-2,-1,0,1)d-2,一1,0【答案】d【解析】因?yàn)榧蟤=x|一3x3,xz=-2,-1,0,1,2,n=x|x1,所以mn=-2,一1,0。2已知直線a和平面,那么a/的一個(gè)充分條件是a存在一條直線b,a/b且b b存在一條直線b,ab且bc存在一個(gè)平面,a且/d存在一個(gè)平面,/且/【答案】c【解析】a存在一條直線b,a/b且b,錯(cuò)誤,a可能在平面內(nèi);b存在一條直線b,ab且b,錯(cuò)誤,a可能在平面內(nèi);c存在一個(gè)平面,a,且/,正確,此為面面垂直的性質(zhì)定理;d存在一個(gè)平面,/且/,錯(cuò)誤。3如果數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,則a5等于a32b64c32d64【答案】a【解析】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以,以上幾式相乘得:。4過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若,則拋物線方程是a b cd【答案】a【解析】由拋物線的定義知:,所以拋物線的方程是。因此選a。5展開式中,常數(shù)項(xiàng)為15,則n的值可以為a3b4c5d6【答案】d【解析】,經(jīng)計(jì)算可知:n的值可以為6.6若某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是a b cd 【答案】b【解析】由三視圖知:該幾何體為三棱柱,三棱柱的底面為直角三角形,兩直角邊分別為1和,斜邊長(zhǎng)為,三棱柱的,所以該幾何體的表面積是,因此選b。7給出15個(gè)數(shù):1,2,4,7,1 1,要計(jì)算這15個(gè)數(shù)的和,現(xiàn)給出解決該問(wèn)題的程序框圖(如右圖所示),那么框圖中判斷框處和執(zhí)行框處應(yīng)分別填入a bcd【答案】d【解析】由程序框圖知:s為累加變量,i為計(jì)數(shù)變量,因此處應(yīng)填。這15個(gè)數(shù)的規(guī)律為:從第二個(gè)數(shù)開始,后一個(gè)數(shù)和前一個(gè)數(shù)分別相差1,2,3,4,5,因此處應(yīng)。8已知實(shí)數(shù)x,y滿足的圖象與坐標(biāo)軸所圍成的封閉圖形的內(nèi)部的概率為a bcd 【答案】c【解析】約束條件的可行域?yàn)殚L(zhǎng)方形,其的面積為,函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸所圍成的封閉圖形的面積為,所以其概率為:,因此選c。9臺(tái)風(fēng)中心從a地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)。城市b在a的正東40千米處,b城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為a05小時(shí) bi小時(shí) c15小時(shí)d2小時(shí)【答案】b【解析】如圖,以a為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,則b(40,0),臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的軌跡為射線y=x(x0),而點(diǎn)b到射線y=x的距離,故,故b城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為1小時(shí),故選b10對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m,n,定義某種運(yùn)算“”如下:當(dāng)m,n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí),mn=m+n;當(dāng)m,n中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),mn=mn。則在此定義下,集合中的元素個(gè)數(shù)是a10個(gè)b15個(gè)c16個(gè)d18個(gè)【答案】b【解析】當(dāng)a,b都為正偶數(shù)時(shí):,共有5種情況;當(dāng)a,b都為正奇數(shù)時(shí):,共6種情況;當(dāng)a,b中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí):,共4中種情況,所以在此定義下,集合中的元素個(gè)數(shù)是5+6+4=15種。因此選b。第卷 (共100分)二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置11設(shè)f1、f2是雙曲線的兩焦點(diǎn),點(diǎn)p在雙曲線上若點(diǎn)p到焦點(diǎn)f1的距離等于9,則點(diǎn)p到焦點(diǎn)f2的距離等于 。【答案】1或17【解析】由雙曲線的定義知:,即點(diǎn)p到焦點(diǎn)f2的距離等于1或17。12已知向量的最小值為 ?!敬鸢浮?【解析】因?yàn)椋?。所以的最小值?。13若函數(shù)在(0,1)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 ?!敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)楹瘮?shù)在(0,1)內(nèi)有極小值,所以在(0,1)內(nèi)有根,且是的兩根中較大的那個(gè),所以,解得實(shí)數(shù)b的取值范圍是。14以下有四種說(shuō)法:若p或q為真,p且q為假,則p與q必為一真一假;若數(shù)列;若實(shí)數(shù)t滿足的一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn),設(shè)函數(shù)與函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的所有次不動(dòng)點(diǎn)之和為m,則m=0若定義在r上的函數(shù)則6是函數(shù)的周期。 以上四種說(shuō)法,其中正確說(shuō)法的序號(hào)為 。【答案】【解析】若p或q為真,p且q為假,則p與q必為一真一假,正確;若數(shù)列,錯(cuò)誤。;若實(shí)數(shù)t滿足的一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn),設(shè)函數(shù)與函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的所有次不動(dòng)點(diǎn)之和為m,則m=0,正確。由函數(shù)的性質(zhì)知:方程和方程的兩個(gè)互為相反數(shù),所以此命題正確;若定義在r上的函數(shù)則6是函數(shù)的周期,正確。因?yàn)?,所以,所以周期?.15(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做則按所做的第一題評(píng)分)a(不等式選講)已知函數(shù)若關(guān)于x的不等式的解集是r,則m的取值范圍是 【答案】【解析】由,得,因?yàn)榈慕饧莚,所以只需,又因?yàn)?,所以只需,解得。b(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)己知圓c的極坐標(biāo)方程為則圓心c的一個(gè)極坐標(biāo)為 ?!敬鸢浮俊窘馕觥堪褬O坐標(biāo)方程為轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為:,所以圓心為,所以圓心c的一個(gè)極坐標(biāo)為。c(幾何證明選講)如圖,半徑為2的o中,aob=90,d為ob的中點(diǎn),ad的延長(zhǎng)線交o于點(diǎn)e,則線段de的長(zhǎng)為 。【答案】【解析】連接oe,ab,因?yàn)榘霃綖?,aob=90,所以,所以,所以,在eod中,由余弦定理得:,所以de=.三、解答題:本大題共6小題,共75分解答寫在答題卡相位置,應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟16(本小題滿分12分)已知平面上三點(diǎn)a(2,0),b(0,2),c(cos,sin)(i)若()2=7(o為坐標(biāo)原點(diǎn)),求向量與夾角的大小;()若,求sin2的值17(本大題滿分12分)如圖,在正方體abcda1b1c1d1中,e、為棱dd1上任意一點(diǎn),下為對(duì)角線db的中點(diǎn)。(i)求證:平面cfb1平面efb1; (ii)若三棱錐befc的體積為1,且求此正方體的棱長(zhǎng);求異面直線ef與b1c所成角的余弦值。18(本小題滿分12分) 數(shù)列(nn*)是遞增的等比數(shù)列,且數(shù)列滿足(i)求數(shù)列的通項(xiàng)公式: (ii)設(shè)數(shù)列是否存在正整數(shù)n,使得數(shù)列前n項(xiàng)和為?若存在,求出n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。19(本小題滿分12分)西安市某省級(jí)示范高中為了了解學(xué)校食堂的服務(wù)質(zhì)量情況,對(duì)在校就餐的1400名學(xué)生按5%比例進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,把學(xué)生對(duì)食堂的“服務(wù)滿意度”與“價(jià)格滿意度”都分為五個(gè)等級(jí):1級(jí)(很不滿意);2級(jí)(不滿意);3級(jí)(一般);4級(jí)(滿意);5級(jí)(很滿意),其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示(服務(wù)滿意度為x,價(jià)格滿意度為y)。(i)作出“價(jià)格滿意度”的頻率分布直方圖;(ii)為改進(jìn)食堂服務(wù)質(zhì)量,現(xiàn)從滿足“”的人中隨機(jī)選取2人參加座談會(huì),記其中滿足“”的人數(shù)為x,求x的分布列與數(shù)學(xué)期望。20(本小題滿分13分)設(shè)橢圓d:的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2,上頂點(diǎn)為a,在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)b,滿足且abaf2 (i)若過(guò)a、b、f2三點(diǎn)的圓c恰好與直線l:相切,求圓c方程及橢圓d的方程; (ii)

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