線性響應(yīng)理論.doc

第十四章 線性響應(yīng)理論14.1 線性響應(yīng)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)加上外場(chǎng)，或更一般地說，對(duì)系統(tǒng)施以某種擾動(dòng)的話，則系統(tǒng)的一些性質(zhì)，如熱力學(xué)量，會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，這就叫響應(yīng)(response).如果外場(chǎng)(擾動(dòng))比較小，則熱力學(xué)量的變化與外場(chǎng)(擾動(dòng))成正比，為線性關(guān)系.這就是線性響應(yīng).其比例系數(shù)(一般是個(gè)函數(shù))稱為線性響應(yīng)函數(shù)(linear response function).它可以用格林函數(shù)來表達(dá). 推導(dǎo)線性響應(yīng)公式有兩個(gè)前提：一是擾動(dòng)較小，這兒較小的涵義是:由擾動(dòng)引起的哈密頓可以作為微擾來處理.二是響應(yīng)能夠及時(shí)追隨擾動(dòng).為了做到這一點(diǎn)，需要假定絕熱條件，令擾動(dòng)是緩慢加上去的.在t= -時(shí)，系統(tǒng)處于平衡態(tài)，或叫作純態(tài).哈密頓量為H.擾動(dòng)一般是由外場(chǎng)引起的.現(xiàn)在考慮對(duì)系統(tǒng)加一外場(chǎng)F，作為一般情況，設(shè)外場(chǎng)為矢量.設(shè)初始條件為 (14.1.1a)如果外場(chǎng)本身并不含時(shí)間，為了做到這一點(diǎn)，可令 (14.1.1b)即加上一個(gè)因子使之符合條件(14.1.1a).設(shè)擾動(dòng)引起的哈密頓量為 (14.1.2)其中C應(yīng)是系統(tǒng)本身的某一個(gè)物理量.由于擾動(dòng)，系統(tǒng)內(nèi)就有一個(gè)力學(xué)量D受到變化，變化的量為DD.現(xiàn)在來推導(dǎo)這個(gè)變化量的表達(dá)式.注意，由于這兒的C和D是系統(tǒng)本身的物理量，因此都是算符.外場(chǎng)F(t)不是算符.但表現(xiàn)了H1隨時(shí)間的變化.舉例來說，外加電磁場(chǎng)后引起的哈密頓量為 (14.1.3)其中A與j為外場(chǎng)的矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)，j與n分別為系統(tǒng)內(nèi)的電流密度與粒子數(shù)密度算符.F、C和D這三個(gè)量也可以都不是矢量，以下的推導(dǎo)過程不變.假設(shè)擾動(dòng)之后，總的哈密頓量為 (14.1.4)未有擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)處于平衡態(tài)，統(tǒng)計(jì)算符是r0. (14.1.5)它與H是對(duì)易的.此時(shí)物理量D在系綜內(nèi)的統(tǒng)計(jì)平均是 (14.1.6)加上擾動(dòng)后，系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)算符應(yīng)是 (14.1.7)由于(14.1.1)式，有 (14.1.8)物理量D的統(tǒng)計(jì)平均是 (14.1.9)我們要計(jì)算的是擾動(dòng)引起的D的變化量 (14.1.10)要注意的是，此式右邊兩項(xiàng)的求平均所用的狀態(tài)是不一樣的，見(14.1.6)和(14.1.9)兩式.因?yàn)閿_動(dòng)肯定是要引起狀態(tài)的變化的.現(xiàn)在我們假定，擾動(dòng)雖然引起了狀態(tài)的變化，但是不改變狀態(tài)的數(shù)目與順序.因而與是一一對(duì)應(yīng)的.即，擾動(dòng)時(shí)狀態(tài)變化成.這就是狀態(tài)隨時(shí)間的演化.8.2節(jié)中已經(jīng)介紹過，可以用時(shí)間演化算符來表示這種變化.由于現(xiàn)在的哈密頓量是時(shí)間的函數(shù)，應(yīng)該定義 (14.1.11)態(tài)隨時(shí)間的演化如下. (14.1.12)此式是滿足薛定諤方程的.在8.2節(jié)中，我們已經(jīng)求出了相互作用表象中的時(shí)間演化算符 (14.1.13)的近似到一級(jí)的表達(dá)式為 (14.1.14)見(8.2.18)式. (14.1.15)本節(jié)的HT和H分別對(duì)應(yīng)于8.2節(jié)的H和H0.D與C隨時(shí)間變化的關(guān)系定義如下.， (14.1.16)狀態(tài)隨時(shí)間的演化如下. (14.1.17)代入(14.1.6)式， (14.1.18)其中已經(jīng)忽略了相互作用的二次方項(xiàng).下面再做近似，把統(tǒng)計(jì)權(quán)重中的能級(jí)En(t)近似為無擾動(dòng)時(shí)的En.相當(dāng)于(14.1.9)式中取r(t)= r0.這要求擾動(dòng)導(dǎo)致的能級(jí)的移動(dòng)是很小的. (14.1.19)上面的所有近似都要求：擾動(dòng)確實(shí)是微擾.如此，線性響應(yīng)的公式才有效.現(xiàn)在可以求得(14.1.10)的結(jié)果. (14.1.20)此式說明，當(dāng)加上外場(chǎng)F后，相應(yīng)的物理量D的變化與外場(chǎng)成正比，比例系數(shù)正是(9.1.2)式定義的由D與另一物理量組成的推遲格林函數(shù).此式稱為久保(Kubo)公式，是線性響應(yīng)理論中最基本的公式.它表示t1時(shí)刻的擾動(dòng)，在tt1時(shí)刻對(duì)D產(chǎn)生的影響.經(jīng)常遇到的情況是D = C.下面要講的磁化率就是一例.我們要記住，如果是恒定的不隨時(shí)間變化的外場(chǎng)，那么，絕熱假設(shè)要求應(yīng)該有一個(gè)因子，見(14.1.1b)式.把(14.1.20)的分量明確寫出來，并且如果D還是坐標(biāo)的函數(shù)，有 (14.1.21)那么系數(shù)就是 (14.1.22)假定推遲格林函數(shù)只是時(shí)間差t-t1的函數(shù)，那么可做傅立葉變換.為簡便起見，我們忽略表示直角坐標(biāo)分量的下標(biāo). (14.1.23)結(jié)果是如下的線性關(guān)系. (14.1.24)(14.1.23)式右邊計(jì)算的具體步驟是：將F(t1)作傅立葉展開，寫成,再將e指數(shù)上的量寫成wt-w1t1=w(t-t1) -(w1-w)t1,令t-t1=t，則對(duì)t 的積分與t1無關(guān)，對(duì)dt1積分可得到d (w -w1),最后得到響應(yīng)系數(shù)為 (14.1.25)此式表明響應(yīng)系數(shù)a(w)是的傅立葉分量.從9.2節(jié)已知由格林函數(shù)可求出系統(tǒng)的熱力學(xué)量.本節(jié)則表明格林函數(shù)可求出線性響應(yīng)函數(shù).例如由電流對(duì)電場(chǎng)的響應(yīng)可寫出電導(dǎo)率.由磁化強(qiáng)度對(duì)磁場(chǎng)的響應(yīng)可求磁導(dǎo)率，以及熱導(dǎo)率，擴(kuò)散系數(shù)等等.因此，利用格林函數(shù)這一手段，幾乎可了解系統(tǒng)的所有物理性質(zhì).現(xiàn)在我們把響應(yīng)系數(shù)寫成另一表達(dá)式，以便后面與松原線性響應(yīng)系數(shù)作比較. (14.1.26)下面再用(14.1.16)代入，H|m=em|m，q(t)用(9.1.22)式，再令m|D|n = Dmn, m|C|n = Cmn, wmn=(em-en) /, (14.1.27)再由，得： (14.1.28)注意：前面的推導(dǎo)過程使用的哈密頓量H和相應(yīng)的本征態(tài)|m是屬于未微擾系統(tǒng)的.久保公式還有另外一個(gè)形式. (14.1.32)其中在求跡號(hào)內(nèi)做了算符輪換，然后把(14.1.29)式代入.此式可稱為零頻率公式，因?yàn)樗膶?shí)部不含頻率. 要特別注意一個(gè)區(qū)別：(14.1.20)式右邊是用推遲格林函數(shù)來表達(dá)的.而(14.1.32)是右邊是用關(guān)聯(lián)函數(shù)來表達(dá)的.14.2 虛時(shí)線性響應(yīng)函數(shù)上一節(jié)中利用熱力學(xué)格林函數(shù)可求出線性響應(yīng)函數(shù),以了解外場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)內(nèi)力學(xué)量的變化.松原函數(shù)也應(yīng)該能夠達(dá)到這個(gè)目的.松原函數(shù)是虛時(shí)間的函數(shù),因此只能得到虛時(shí)間的線性響應(yīng)函數(shù)1 (也稱松原響應(yīng)函數(shù)),再由此來求實(shí)際的響應(yīng)函數(shù).為了做到這一點(diǎn)，要分兩步走:第一步,類似于(14.1.25)式的實(shí)時(shí)響應(yīng)系數(shù)a(w),要求出一個(gè)虛時(shí)的響應(yīng)系數(shù)at(z)的公式;第二步是找出at(z)與a(w)之間的關(guān)系.作t -it的替代將實(shí)時(shí)改為虛時(shí).這兒t的取值范圍是-b, b.設(shè)系統(tǒng)受到一個(gè)微擾 (14.2.1)其中各符號(hào)的意義與上一節(jié)相同,只是以虛時(shí)間作為變量.我們用11.1節(jié)中的公式.那兒的H -mN和H0 -mN分別對(duì)應(yīng)于本節(jié)的HT和H.回顧前面介紹過的三種繪景.在薛定諤繪景中，力學(xué)量算符不隨時(shí)間變化，而狀態(tài)隨時(shí)間變化.力學(xué)量在系綜中的平均值隨時(shí)間的倚賴由狀態(tài)來體現(xiàn).在海森伯繪景中，力學(xué)量算符隨時(shí)間變化，而狀態(tài)不隨時(shí)間變化.力學(xué)量在系綜中的平均值隨時(shí)間的倚賴由算符來體現(xiàn).這兩種平均值是完全相等的.所以我們用海森伯繪景來計(jì)算平均值.按照(11.1.12)或者(11.1.14)，一個(gè)力學(xué)量在有擾動(dòng)系綜中的平均值可以借助于虛時(shí)演化算符寫成在無擾動(dòng)系綜中的平均值. (14.2.2)此式的左邊是在有擾動(dòng)系綜中的求平均，而右邊是在無擾動(dòng)系綜中的平均值.虛時(shí)演化算符的表達(dá)式是(11.1.8) (14.2.3)我們?cè)?14.2.2)式的分母中的U只取到(14.2.3)式右邊的第一項(xiàng).那么 (14.2.4)再將其中的U取到(14.2.3)式中的一級(jí)近似. (14.2.5)其中第一項(xiàng)Trr0DI(t)Trr0DD0移到左邊成為.略去二階項(xiàng)后成為 (14.2.6)由此式看到，線性響應(yīng)可以用松原函數(shù)來表達(dá).E和C都是可測(cè)量的力學(xué)量,有經(jīng)典極限,所以應(yīng)按玻色子算符來處理.現(xiàn)在對(duì)(14.2.6)式作傅立葉變換,因t 的取值范圍有限,頻率只能取分立值.又由于等式右邊為一由玻色算符組成的松原函數(shù),按11.2節(jié)所介紹的性質(zhì),富氏展開的頻率只能取偶數(shù)z n =2n/b.作變換:, (14.2.7) (14.2.8)現(xiàn)在令t -t 1t,則松原函數(shù)只是“時(shí)間差”t的函數(shù)而與t 1無關(guān),對(duì)t 1積分得dnm,再對(duì)m求和得到F(iz n). t 和t 1的積分范圍是0b.由于Tt 的限制, t=t -t 1的積分范圍仍是0b. (14.2.9)響應(yīng)系數(shù)為: (14.2.10)由于必然有t0,所以編時(shí)算符Tt可去掉.現(xiàn)在得到了與(14.1.25)式的a(w)相似的表達(dá)式,實(shí)現(xiàn)了第一步.為了實(shí)現(xiàn)第二步,作下述操作 (14.2.11)其中令n|C|m=Cnm, n|D|m=Dnm/,Em-En= w nm，對(duì)dt 積分后,得用了zl =2l/b,最后一個(gè)等號(hào)將m和n交換.將(14.2.11)式與(14.1.28)式比較,有 (14.2.12)由(14.1.