組合最值與操作問題.doc

組合最值與操作問題一.知識與方法在數(shù)學(xué)競賽中，經(jīng)常有一些與組合問題相關(guān)的整最值問題，簡稱組合最值。所謂組合最值，就是指以整數(shù)、集合、點(diǎn)、線、圓等離散對象為背景，求它們滿足某些約束條件的極大值或極小值。這類問題的解法與一般函數(shù)（連續(xù)變量）極值的解法有很大的差異。對于這類非常規(guī)的極值問題，要針對具體問題，認(rèn)真分析，細(xì)心觀察，選用靈活的策略與方法。通常可以從論證與構(gòu)造兩方面予以考慮。先論證或求得該變量的上界或下界，然后構(gòu)造一個(gè)實(shí)例說明此上界或下界可以達(dá)到，這樣便求得了該組合量的極大值或極小值。在論證或求解組合量的上界或下界時(shí)，通常要對組合量做出估計(jì)，在估計(jì)的過程中，構(gòu)造法、分類討論法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、極端原理、抽屜原理等起著重要的作用。在數(shù)學(xué)競賽中，還有一類操作問題。這類問題是指在一定的規(guī)則下，對給定的對象進(jìn)行調(diào)整，探求被調(diào)整對象的初始狀態(tài)或終止?fàn)顟B(tài)及其變化規(guī)律。二.范例選講例1. m個(gè)互不相同的正偶數(shù)和n個(gè)互不相同的正奇數(shù)的總和為1987，對于所有這樣的m與n，問3m+4n的最大值是多少？請證明你的結(jié)論。（1987年第二屆全國數(shù)學(xué)冬令營試題）思路分析：先根據(jù)題設(shè)條件求得3m+4n的一個(gè)上界，然后舉例說明此上界可以達(dá)到，從而得到3m+4n的最大值。解：設(shè)a1,a2,am是互不相同的正偶數(shù)，b1,b2,bn是互不相同的正奇數(shù)，使得a1+a2+am+b1+b2+bn=1987 （1）這時(shí)分別有：a1+a2+am2+4+2m=m(m+1) （2） b1+b2+bn1+3+(2n-1)=n2 (3)由,得m+m+n21987,因而有（m+）2+n2 由及柯西不等式，得3（m+）+4n,由于3m+4n為整數(shù)，所以3m+4n,另一方面，當(dāng)m=27,n=35時(shí)，m2+m+n2=19811987,且3m+4n=221。故3m+4n的最大值為221。評注：在論證過程中用到了柯西不等式與一般二元一次不定方程的求解方法。例2設(shè)空間中有2n(n2)個(gè)點(diǎn)，其中任何四點(diǎn)都不共面。將它們之間任意連接N條線段，這些線段都至少構(gòu)成一個(gè)三角形，求N的最小值。思路分析：通過構(gòu)造實(shí)例，說明Nn2+1，進(jìn)而證明當(dāng)N=n2+1時(shí)，若在2n點(diǎn)間連有N條線段，則這些線段至少構(gòu)成一個(gè)三角形。其證明過程可用數(shù)學(xué)歸納法或反證法或極端原理，在證明過程中要精打細(xì)算。解法一：將2n個(gè)已知點(diǎn)均分為S和T兩組：S=A1，A2，An，T=B1，B2，Bn。現(xiàn)將每對點(diǎn)Ai和Bj之間都連結(jié)一條線段AiBj，而同組的任何兩點(diǎn)之間均不連線，則共有n2條線段。這時(shí)，2n個(gè)已知點(diǎn)中的任何三點(diǎn)中至少有兩點(diǎn)屬于同一組，二者之間沒有連線。因而這n2條線段不能構(gòu)成任何三角形。這意味著N的最小值必大于n2。下面我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明：若在2n個(gè)已知點(diǎn)間連有n2+1條線段，則這些線段至少構(gòu)成一個(gè)三角形。當(dāng)n=2時(shí)，n2+1=5，即四點(diǎn)間有五條線段。顯然，這五條線段恰構(gòu)成兩個(gè)三角形。設(shè)當(dāng)n=k（k2）時(shí)命題成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，任取一條線段AB。若從A，B兩點(diǎn)向其余2K點(diǎn)引出的線段條數(shù)之和不小于2k+1，則必定存在一點(diǎn)C，它與A，B兩點(diǎn)間都有連線，從而ABC即為所求。若從A，B兩點(diǎn)引出的線段條數(shù)之和不超過2K，則當(dāng)把A，B兩點(diǎn)除去后，其余的2K點(diǎn)之間至少還有K2+1條線段。于是由歸納假設(shè)知它們至少構(gòu)成一個(gè)三角形，這就完成了歸納證明。綜上可知，所求N的最小值為n2+1。解法二。構(gòu)造例子同解法一，可知所求的N的最小值不小于n2+1。由于2n個(gè)點(diǎn)間連有n2+1條線段，平均每點(diǎn)引出n條線段還多，故可猜想必定有一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)引出的線段數(shù)之和不小于2n+1，讓我們用反證法來證明這一點(diǎn)。設(shè)從A1，A2，A2n引出的線段條數(shù)分別為a1，a2，a2n且對于任一線段AiAj都有ai+aj2n。于是，所有線段的兩個(gè)端點(diǎn)所引出的線段條數(shù)之和的總數(shù)不超過2n（n2+1）。但在此計(jì)數(shù)中，Ai點(diǎn)恰被計(jì)算了ai次，故有2n（n2+1）。（1）另一方面，顯然有=2（n2+1）。由柯西不等式有（）22n（），4（n2+1）22n（n2+1） （2）（2）與（1）矛盾。從而證明了必有一條線段，從它的兩個(gè)端點(diǎn)引出的線段數(shù)之和不小于2n+1。不妨設(shè)A1A2是一條這樣的線段，從而又有Ak（k3），使線段 A1Ak，A2Ak 都存在，于是A1A2Ak即為所求。解法三 構(gòu)造例子同解法一，可知所求的N的最小值不小于n2+1。下面我們用極端原理來證明，當(dāng)N= n2+1時(shí)，這些線段至少構(gòu)成一個(gè)三角形。從而所求的N的最小值即為n2+1。設(shè)2n個(gè)已知點(diǎn)間連有n2+1條線段，且這些線段不構(gòu)成任何三角形，設(shè)A是2n點(diǎn)中引出線段條數(shù)最多的一個(gè)點(diǎn)，共引出k條線段：ABj，j=1，2，k。于是B1，Bk之中任何兩點(diǎn)間都沒有連線，否則必構(gòu)成三角形。因而，從任一Bj引出的線段條數(shù)不超過2n-k。除了A，B1，Bk之外還有2n-k-1點(diǎn)，其中任何一點(diǎn)引出的線段條數(shù)當(dāng)然不超過k。于是得到n2+1k+k(2n-k)+(2n-k-1)k=k(2n-k)n2,矛盾，這就完成了全部證明。評注：本題用了三種方法求解，都是先通過例子確定出N的一個(gè)下界，然后用不同的方法證明這個(gè)下界是可以達(dá)到的，進(jìn)而求出N的最小值。解法一用到數(shù)學(xué)歸納法，解法二運(yùn)用了反證法與柯西不等式，解法三則是運(yùn)用了極端原理。例3集合A的元素都是整數(shù)，其中最小的是1，最大的是100。除1以外，每一個(gè)元素都等于集合A的兩個(gè)數(shù)（可以相同）的和。求集合A的元素個(gè)數(shù)的最小值。思路分析：先構(gòu)造一個(gè)合乎條件的集合A，說明A的元素個(gè)數(shù)的最小值不可能比9大，再進(jìn)一步說明A的元素個(gè)數(shù)的最小值就是9。解：構(gòu)造一個(gè)元素個(gè)數(shù)盡可能少的集合使它滿足條件，如：1，2，3，5，10，20，25，50，100，則集合A的元素個(gè)數(shù)的最小值不大于9。若1，2，x1，x2，x3，x4，x5，100也滿足條件，則x14，x28，x316，x432，x564。但x4+x5=96100，x5=50， x3+x4=4850，x4=25 x2+x3=2425，x3=，與x3是整數(shù)矛盾。故A的元素個(gè)數(shù)的最小值是9。評注：先構(gòu)造的例子說明集合A的元素個(gè)數(shù)的最小值小于或等于9，后論證A的元素個(gè)數(shù)不可能小于9，這里運(yùn)用了反證法。例4平面上給定n個(gè)點(diǎn)A1，A2，An（n3），任意三點(diǎn)不共線。由其中K個(gè)點(diǎn)對確定K條直線（即過K個(gè)點(diǎn)對中的每一點(diǎn)對作一條直線），使這K條直線不相交成三個(gè)頂點(diǎn)都是給定點(diǎn)的三角形，求K的最大值。思路分析：先對n個(gè)點(diǎn)中的點(diǎn)對A1，A2進(jìn)行分析，然后再對其余n-2個(gè)點(diǎn)中的點(diǎn)對A3，A4分析，逐步類推，對K的上界進(jìn)行估計(jì)，然后通過實(shí)例說明K的上界可以達(dá)到，進(jìn)而求得K的最大值。解：設(shè)過點(diǎn)對A1，A2的直線為L，則 A1，A2不能同時(shí)與其余n-2個(gè)點(diǎn)中的任意一點(diǎn)連結(jié)，即過A1或A2的直線至多有n-1條（包括L）。同理，對A3，A4，An這n-2個(gè)點(diǎn)而言，過A3或A4的直線至多有n-3條，。所以K（n-1）+（n-3）+ =另一方面，我們可以把n個(gè)點(diǎn)分成兩組：n為偶數(shù)時(shí)，每組各個(gè)點(diǎn)；n為奇數(shù)時(shí)，一組個(gè)點(diǎn)，一組個(gè)點(diǎn)。把第一組的每點(diǎn)與第二組的每點(diǎn)連結(jié)成或條直線，這些直線不相交成三個(gè)頂點(diǎn)都是給定點(diǎn)的三角形。所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，k的最大值是,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，k的最大值是。評注：本題在對K進(jìn)行估計(jì)時(shí)，要對n分奇數(shù)，偶數(shù)進(jìn)行討論。例5 空間中有1989個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不共線。把它們分成點(diǎn)數(shù)各不相同的30組，在任何三個(gè)不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形。試問要使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點(diǎn)數(shù)應(yīng)為多少？（1989年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營試題）思路分析：先把1989個(gè)以知點(diǎn)分成個(gè)數(shù)分別為n1，n2，n30的30組，其頂點(diǎn)在三個(gè)不同組的三角形總數(shù)可表示為S=，然后通過逐步調(diào)整法求S的最大值。解：設(shè)1989個(gè)已知點(diǎn)分成30組，各組的點(diǎn)數(shù)分別為n1，n2，n30.因此，頂點(diǎn)在不同組的三角形的總數(shù)為 S=于是，本題即是問在且n1，n2，n30互不相同的條件下，S在何時(shí)取得最大值。由于把1989個(gè)點(diǎn)分成30組只有有限種不同的分法，故必有一種分法使S達(dá)到最大值。設(shè)n1n2n30為使S達(dá)到最大值的各組的點(diǎn)數(shù)。（1）對于i=1,2,29，均有ni+1-ni2。若不然，設(shè)有i0使ni0+1-ni03，不妨設(shè)i0=1這時(shí)我們改寫S=n1n2+ （n1+n2）+。令n=n1+1，n=n2-1，則n n n1 n2。所以當(dāng)用n ，n代替 n1，n2時(shí)，將使S變大，矛盾。（2）使ni+1-ni=2的i值至多一個(gè)。若有1iojo29，使nIo+1-nIo=2，njo+1- njo=2，則當(dāng)用n=nio+1，n=njo+1-1 代替nio，njo+1時(shí)，將使S變大，這不可能。（3）若30組的點(diǎn)數(shù)從小到大每相鄰兩組都差1，設(shè)30組的點(diǎn)數(shù)依次為K-14，K-13，K，K+1，K+15，則有 （K-14）+（K-13）+K+（K+1）+（K+15）=30K+15這時(shí)點(diǎn)的總數(shù)為5的倍數(shù)，不可能是1989。故知n1n2n30中，相鄰兩數(shù)之差恰有一個(gè)為2而其余的全為1。（4）設(shè) nj=其中1io29。于是有 +=1989， 30m-io=1524，由此解得m=51，io=6。所以當(dāng)S取得最大值時(shí)，30組點(diǎn)數(shù)依次為51，52，56，58，59，81。評注：本題運(yùn)用逐步調(diào)整的方法，得到了使S取最大值的必要條件和充分條件，其間運(yùn)用了反證法。例6某市有n所中學(xué)，第i所中學(xué)派出Ci名學(xué)生到體育館觀看球賽（1Ci39，i=1，2，n），全部學(xué)生總數(shù)為=1990?？磁_上每一橫排有199個(gè)座位。要求同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排。問體育館最少要安排多少橫排才能保證全部學(xué)生都能坐下？（1990年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試）思路分析：利用1Ci39，對每排至少可坐的學(xué)生人數(shù)或每排至多可留出的空位數(shù)進(jìn)行分析，確定出至少需要的橫排數(shù)。解：由于1Ci39，故每一橫排至少可坐161人，于是只要有13排，至少可坐16113=2093人，當(dāng)然能坐下全部學(xué)生1990人。下面我們來看12排座位能否安排下全部學(xué)生。注意，這時(shí)共有19912=2388個(gè)座位，坐了1990人后，還有398個(gè)座位。因此，如果每排的空位數(shù)都不超過33個(gè)，便可安排下全部學(xué)生。將所有學(xué)校學(xué)生從多到少重新編號，于是有C1C2C3Cn。這樣存在非負(fù)整數(shù)m，使Cm34而Cm+133。（若m=0，則意味著所有Ci都不超過33）。設(shè)m=5p+r（0r5）。將前5p個(gè)學(xué)校的學(xué)生安排在前p排就坐，每排5個(gè)學(xué)校，每排至少坐170人，空位至多29個(gè)。接下去按次序使其余學(xué)校的學(xué)生就坐，每排都是坐到不能全部坐下下一學(xué)校的學(xué)生為止，則每排的空位都不會超過32個(gè)，直到第11排為止。這11排空位不超過3211=352個(gè)，所以至少已坐了1837人，全部中學(xué)生中至多還有1990-1837=153人沒坐下，當(dāng)然可將他們安排在第12排就坐?？梢姡灰?2排座位，即可使全部學(xué)生按要求就坐。最后，讓我們來看，只有11排座位情形如何？這時(shí)，只有199個(gè)空位，要想安排下全部學(xué)生，每排空位平均不能達(dá)到19個(gè)。現(xiàn)設(shè)n=80，前79所學(xué)校各有25人，最后一個(gè)學(xué)校有15人，則2579+15=1990。除了一排可以安排25715=190人就坐之外，其余10排至多安排175人，故11排至多安排19017510=1940人就坐。這個(gè)例子說明只有11排座位是不夠的。因此，為了安排下1990名學(xué)生，最少需要12排座位。評注：為了求得橫排數(shù)的最小值，先進(jìn)行估計(jì)，說明12個(gè)橫排可以達(dá)到要求，在論證過程中，以數(shù)字33作為分界線，精確計(jì)算，達(dá)到了目的。然后通過構(gòu)造實(shí)例說明11個(gè)安排不夠。例7設(shè)S=1，2，10，A1，A2，Ak是S的子集，滿足條件： （1）Ai=5（i=1，2，k）； （2）AiAj2（1ijk）。求K的最大值。（1994年國家集訓(xùn)隊(duì)試題） 思路分析：應(yīng)當(dāng)根據(jù)子集滿足的條件推導(dǎo)出一個(gè)K的上界。作如下試探：令A(yù)1=1，2，3，4，5,各子集間至多有2個(gè)公共元，令A(yù)2=1，2，6，7，8，此時(shí)，若1，2 A3，則必有A1A33或 A2A33 矛盾。由此得到第一個(gè)猜想：A1 ，A2， Ak中至多有兩個(gè)集合包含同一個(gè)2元子集。令A(yù)3=1，3，6，9，10，此時(shí)，若1A4，則此時(shí)A1 ，A2，A3中除1外均至多還有一個(gè)元素同時(shí)屬于A4，A44，矛盾。由此得到第二個(gè)猜想：S中每一個(gè)元素至多屬于A1，A2，Ak中的3個(gè)集合。此時(shí)可求得K的一個(gè)上界。解：（1）對S的任意一個(gè)2元子集a，bS，A1 ，A2，Ak中至多有兩個(gè)集合包含a，b。否則，設(shè)有A1a，b，A2a，b，A3a，b，則由于AiAj2（1ijk），所以Ai-a，b兩兩不交（i=1，2，3），上述Ai-a，b表示差集：A-B=xxA且xB。但Ai-a，b=3 （i=1，2，3），于是 S332=11，矛盾。（2）對S的任意一個(gè)元素a，A1，A2，Ak至多有三個(gè)集合包含a。設(shè)已有A1a，A2a，A3a，若AiAj=1（1i1,則將第一組的一個(gè)點(diǎn)移到第二組。因?yàn)?,m(G)將減小。所以在m(G)最小時(shí)，每兩個(gè)xi的差1因1994=8324+2=2481+225故符合條件的使m(G)最小的每組法只有一種：81組各含24點(diǎn)，二組各含25點(diǎn)，這時(shí)，m0=81C324+2C325=168544(2)對25點(diǎn)的組染色如下：將點(diǎn)分為5組：y1,y2,y3,y4,y5,每組5點(diǎn)；每組線段按圖（A）染a,b二色；不同組間的連線，按圖（B）染另二色c,d。這樣染色，沒有同邊三角形。至于24點(diǎn)的組，只須從25點(diǎn)的組中去掉一點(diǎn)以及連結(jié)它的所有線段即可，當(dāng)然也不會有同色邊的三角形出現(xiàn)。 圖（A） 圖（B）5考慮mxm的正方形，設(shè)xi是第i行中適合條件的小方格的中心的數(shù)目，則。如果在某行標(biāo)出某兩個(gè)方格的中心，那么在另外任何一行不能標(biāo)相同列的一對方格。在第I行有對標(biāo)出的方格。又因?yàn)槊啃袠?biāo)出的方格對不同，故有 ，從而故m(m-1)+k，解得 K,當(dāng)m=7時(shí)，k21,K的最大值為21，如圖：* 6令x1,1=x2,1=x3,1=x4,1=x5,2=x6,2=x7,2=x8,2=0,x97,25=x98,25=x99,25=x100,25=0,其余元素為，則每行25個(gè)數(shù)之和為0+24=1，此時(shí)在表1中每列元素恰有4個(gè)為0，因而調(diào)整為表二后最后四行全為0，但前96行的數(shù)全為，每行之和為1。這說明最小的K97.以下證明K的最小值時(shí)97。因?yàn)楹笕校ǖ?8，99，100行）只能容納75個(gè)元素，所以表一中必定有某一行（設(shè)為第r行），它的全部25個(gè)元素，在調(diào)整后的表二中處于前面97行中。否則每行至少有一個(gè)元素落入后三行，則至少有100個(gè)元素落入后三行，這不可能。這說明在表二中，x97,jxr,j(xr,j仍在表二中的第j列，行數(shù)不一定是r。但行號97。）從而對任意i97，有xi,j x97,j xr,j。所以當(dāng)i97時(shí)，。故K的最小值是97。7證明：現(xiàn)將n號卡片按操作移向第一個(gè)位置，不難知道，至多移動n-1次后，n號卡片將到達(dá)第1個(gè)位置，而剩下的n-1張卡片中，同理有：n-1號卡片之多經(jīng)過n-2次操作后可到達(dá)第2位，2號卡片至多經(jīng)過1次操作，可到達(dá)第n-1位。故至多操作次后，卡片將按從大到小順序排列。2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題華南師大附中 李興懷第一試一、填空題（每小題7分，共8個(gè)小題，滿分56分）1、已知集合，且是一個(gè)單元素集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。2、對任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)的值都是非負(fù)實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。3、不等式的解集是_。4、已知函數(shù)，若常數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_。5、P為橢圓在第一象限上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓的兩條切線PA,PB，切點(diǎn)分別為A,B。直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N，則的面積的最小值是_。6、空間有四個(gè)球，它們的半徑分別為2，2，3，3，每個(gè)球都與其余三個(gè)球相切，另有一個(gè)小球與這四個(gè)球都外切，則這個(gè)小球的半徑為_。7、設(shè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是A,B,C,D，各棱長度為1米，有一個(gè)小蟲從A點(diǎn)開始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處用同樣的概率選擇通過這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并一直爬到這個(gè)棱的盡頭，則它爬了7米以后恰好位于頂點(diǎn)A的概率是_。8、從1，2，1000個(gè)任選k個(gè)數(shù)，若在所選的數(shù)中總有三個(gè)構(gòu)成三角形的邊長，則k最小值是_。二、解答題9、（本題滿分14分）設(shè)，求證。10、（本題滿分15分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，記，且 對恒成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。11、（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)，如果對任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。第二試 一（本題滿分50分）已知數(shù)列滿足，。求證：對任何正整數(shù)n，有。二（本題滿分50分）在直角三角形ABC中，ABC 的內(nèi)切圓O分別與邊BC，CA， AB 相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接AD與內(nèi)切圓O相交于點(diǎn)P，連接BP，CP，若，求證：三（本題滿分50分）求所有的素?cái)?shù)對（p，q），使得四（本題滿分50分）n個(gè)點(diǎn)順次在一條直線上，每個(gè)點(diǎn)染上白、紅、綠、藍(lán)、紫色中的一種顏色，若對任意相鄰的兩點(diǎn)，要么這兩點(diǎn)同色，要么至少有一點(diǎn)為白色，則稱之為好的染法。求好的染法的總數(shù)。2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題第一試解答一填空題1、解：作出函數(shù)的圖像，然后討論直線的位置，由圖像可知：當(dāng)時(shí)，是單元集；時(shí)，是二元集；時(shí)，也是單元集。故所求a的取值范圍是。第1題圖2、解：由條件知，解得。下面證明：當(dāng)時(shí)，對任意，都有，事實(shí)上，記，則，記，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合知；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，總有，故滿足條件的a構(gòu)成的集合為。3、解：由條件知，分三種情形討論：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式變形為，由于在上遞增，結(jié)合，可知。（2）當(dāng)，原不等式變形為，記，則，當(dāng)時(shí)，又，所以在時(shí)單調(diào)遞增，又故此時(shí)不等式的解集為；（3）當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)?，而時(shí)，故滿足原不等式。故所求不等式的解集為。4、解：，而在上是增函數(shù)，故，其中，故，即，從而，故。5、解：設(shè)P，則直線AB的方程為，故，當(dāng)，即P為時(shí)等式成立，故的最小值為。第5題圖6、解：如圖，以四個(gè)球的球心為頂點(diǎn)作四面體ABCD，AB=6,CD=4，AC=BC=AD=BD=5，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為F，E，小球的球心為O，由圖形的對稱性可知O點(diǎn)在EF上。設(shè)小球的半徑為r，則，,因?yàn)镋F=OF+0F，所以，解得，故這個(gè)小球的半徑為。第6題圖7、解：設(shè)表示小蟲走過n米后又達(dá)到A點(diǎn)的概率（n=0，1，2），若小蟲爬過n-1米而不在A點(diǎn)，則概率是，而從A外的一點(diǎn)向A爬來的概率是，因此有，又知，可計(jì)算得，故所求概率為。8、解：選取15個(gè)數(shù)：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，233，377，610，987，其中的任三個(gè)數(shù)均不能組成三角形的三邊，所以。設(shè)選出的