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標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)離差或均方根差）是反映一組測(cè)量數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。是指統(tǒng)計(jì)結(jié)果在某一個(gè)時(shí)段內(nèi)誤差上下波動(dòng)的幅度。是正態(tài)分布的重要參數(shù)之一。是測(cè)量變動(dòng)的統(tǒng)計(jì)測(cè)算法。它通常不用作獨(dú)立的指標(biāo)而與其它指標(biāo)配合使用。 標(biāo)準(zhǔn)偏差在誤差理論、質(zhì)量管理、計(jì)量型抽樣檢驗(yàn)等領(lǐng)域中均得到了廣泛的應(yīng)用。因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算十分重要, 它的準(zhǔn)確與否對(duì)器具的不確定度、測(cè)量的不確定度以及所接收產(chǎn)品的質(zhì)量有重要影響。然而在對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算中, 不少人不論測(cè)量次數(shù)多少, 均按貝塞爾公式計(jì)算。 編輯樣本標(biāo)準(zhǔn)差的表示公式數(shù)學(xué)表達(dá)式： S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%） n-試樣總數(shù)或測(cè)量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個(gè) i-物料中某成分的各次測(cè)量值，1n； 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 在價(jià)格變化劇烈時(shí)，該指標(biāo)值通常很高。 如果價(jià)格保持平穩(wěn)，這個(gè)指標(biāo)值不高。 在價(jià)格發(fā)生劇烈的上漲/下降之前，該指標(biāo)值總是很低。 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟是： 步驟一、(每個(gè)樣本數(shù)據(jù) 樣本全部數(shù)據(jù)之平均值)2。 步驟二、把步驟一所得的各個(gè)數(shù)值相加。 步驟三、把步驟二的結(jié)果除以 (n - 1)（“n”指樣本數(shù)目）。 步驟四、從步驟三所得的數(shù)值之平方根就是抽樣的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 編輯六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式1編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式設(shè)對(duì)真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測(cè)量, 其測(cè)得值為l1、l2、ln。令測(cè)得值l與該量真值X之差為真差占, 則有1 = li X 2 = l2 X n = ln X 我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱標(biāo)準(zhǔn)差)為 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差占也就無(wú)法求得, 故式只有理論意義而無(wú)實(shí)用價(jià)值。 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)貝塞爾公式由于真值是不可知的, 在實(shí)際應(yīng)用中, 我們常用n次測(cè)量的算術(shù)平均值來(lái)代表真值。理論上也證明, 隨著測(cè)量次數(shù)的增多, 算術(shù)平均值最接近真值, 當(dāng)時(shí), 算術(shù)平均值就是真值。 于是我們用測(cè)得值li與算術(shù)平均值之差剩余誤差（也叫殘差）Vi來(lái)代替真差 , 即 設(shè)一組等精度測(cè)量值為l1、l2、ln 則 通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差與剩余誤差V的關(guān)系為 將上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。 它用于有限次測(cè)量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng)時(shí)，,可見(jiàn)貝塞爾公式與的定義式(1)是完全一致的。 應(yīng)該指出, 在n有限時(shí), 用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個(gè)估計(jì)值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此, 我們稱式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn), 我們將的估計(jì)值用“S ” 表示。于是, 將式(2)改寫為 (2) 在求S時(shí), 為免去求算術(shù)平均值的麻煩, 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過(guò)程從略)有 于是, 式(2)可寫為 (2) 按式(2)求S時(shí), 只需求出各測(cè)得值的平方和和各測(cè)得值之和的平方藝 , 即可。 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義S2為樣本方差 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S2是總體方差2的無(wú)偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中, S2圍繞2散布, 它們之間沒(méi)有系統(tǒng)誤差。而式(2)在n有限時(shí),S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì), 也就是說(shuō)S和之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們, 對(duì)于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)值為 (3) 令 則 即S1和S僅相差一個(gè)系數(shù)K,K是與樣本個(gè)數(shù)測(cè)量次數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù), K值見(jiàn)表。 計(jì)算K時(shí)用到 (n + 1) = n(n) (1) = 1 由表1知, 當(dāng)n30時(shí), 。因此, 當(dāng)n30時(shí), 式(3)和式(2)之間的差異可略而不計(jì)。在n=3050時(shí), 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n50時(shí)的情況, 當(dāng)n50時(shí),n和(n-1)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響就很小了。 2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的極差估計(jì)由于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大, 不宜現(xiàn)場(chǎng)采用, 而極差估計(jì)的方法則有運(yùn)算簡(jiǎn)便, 計(jì)算量小宜于現(xiàn)場(chǎng)采用的特點(diǎn)。 極差用R表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個(gè)樣本測(cè)得值中的最大值與最小值之差。 若對(duì)某量作次等精度測(cè)量測(cè)得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 R = lmax lmin 概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為 (5) S3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏極差估計(jì), d2為與樣本個(gè)數(shù)n(測(cè)得值個(gè)數(shù))有關(guān)的無(wú)偏極差系數(shù), 其值見(jiàn)表2 由表2知, 當(dāng)n15時(shí), 因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差更粗略的估計(jì)值為 (5) 還可以看出, 當(dāng)200n1000時(shí)，因而又有 (5) 顯然, 不需查表利用式(5)和(5)了即可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計(jì), 用以對(duì)用貝塞爾公式及其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 應(yīng)指出,式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低, 但當(dāng)5n15時(shí),式(5)不僅大大提高了計(jì)算速度, 而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n10時(shí), 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多, 因此誤差較大, 為了提高準(zhǔn)確度, 這時(shí)應(yīng)將測(cè)得值分成四個(gè)或五個(gè)一組, 先求出各組的極差R1、, 再由各組極差求出極差平均值。 極差平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 需指出, 此時(shí)d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則, 分組時(shí)一定要按測(cè)得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的平均誤差估計(jì)平均誤差的定義為 誤差理論給出 (A) 可以證明與的關(guān)系為 (證明從略) 于是(B) 由式(A)和式(B)得 從而有 式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用該公式估計(jì)值, 由于right|Vright|不需平方,故計(jì)算較為簡(jiǎn)便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實(shí)例1對(duì)標(biāo)稱值Ra = 0.160 m 的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定, 順次測(cè)得以下15個(gè)數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63m, 試求該樣塊Rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。 解：1)先求平均值 2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 若用無(wú)偏極差估計(jì)公式式(5)計(jì)算, 首先將測(cè)得的, 15個(gè)數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個(gè), 見(jiàn)表3。 表3 組號(hào)l_1l_5R 11.481.651.601.671.520.19 21.461.721.691.771.640.31 31.561.501.641.741.630.24 因每組為5個(gè)數(shù)據(jù), 按n=5由表2查得 故 若按常用估計(jì)即貝塞爾公式式(2) , 則 若按無(wú)偏估計(jì)公式即式(3)計(jì)算, 因n=15，由表1查得K = 1.018, 則 若按最大似然估計(jì)公式即式(4)計(jì)算, 則 = 0.09296( m ) 若按平均誤差估計(jì)公式即式(6), 則 現(xiàn)在用式(5)對(duì)以上計(jì)算進(jìn)行校核 可見(jiàn)以上算得的S、S1、S2、S3和S4沒(méi)有粗大誤差。 由以上計(jì)算結(jié)果可知0.092960.09620.09790.10170.1062 即S2 S S1 S4 S3 可見(jiàn), 最大似然估計(jì)值最小, 常用估計(jì)值S稍大, 無(wú)偏估計(jì)值S1又大, 平均誤差估計(jì)值S4再大, 極差估計(jì)值S3最大?？v觀這幾個(gè)值, 它們相當(dāng)接近, 最大差值僅為0.01324m。從理論上講, 用無(wú)偏估計(jì)值和常用估計(jì)比較合適, 在本例中, 它們僅相差0.0017m。可以相信, 隨著的增大, S、S1、S2、S3和S4之間的差別會(huì)越來(lái)越小。 就本例而言, 無(wú)偏極差估計(jì)值S3和無(wú)偏估計(jì)值S1僅相差0.0083m, 這說(shuō)明無(wú)偏極差估計(jì)是既可以保證一定準(zhǔn)確度計(jì)算又簡(jiǎn)便的一種好方法。 JJG102-89表面粗糙度比較樣塊規(guī)定Ra的平均值對(duì)其標(biāo)稱值的偏離不應(yīng)超過(guò)+12%17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的4%12%之間。已得本樣塊二產(chǎn),產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi), 故該樣塊合格。 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，說(shuō)明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。 標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來(lái)衡量。各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，說(shuō)明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。關(guān)于這個(gè)函數(shù)在EXCEL中的STDEVP函數(shù)有詳細(xì)描述，EXCEL中文版里面就是用的“標(biāo)準(zhǔn)偏差”字樣。但我國(guó)的中文教材等通常還是使用的是“標(biāo)準(zhǔn)差”。公式如圖。標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation) 各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，說(shuō)明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。關(guān)于這個(gè)函數(shù)在EXCEL中的STDEVP函數(shù)有詳細(xì)描述，EXCEL中文版里面就是用的“標(biāo)準(zhǔn)偏差”字樣。但我國(guó)的中文教材等通常還是使用的是“標(biāo)準(zhǔn)差”。公式如圖。P.S.在EXCEL中STDEVP函數(shù)就是下面評(píng)論所說(shuō)的另外一種標(biāo)準(zhǔn)差，也就是總體標(biāo)準(zhǔn)差。在繁體中文的一些地方可能叫做“母體標(biāo)準(zhǔn)差”因?yàn)橛袃蓚€(gè)定義,用在不同的場(chǎng)合: 如是總體,標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以n, 如是樣本,標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以（n-1), 因?yàn)槲覀兇罅拷佑|的是樣本,所以普遍使用根號(hào)內(nèi)除以（n-1),外匯術(shù)語(yǔ)：標(biāo)準(zhǔn)差指統(tǒng)計(jì)上用于衡量一組數(shù)值中某一數(shù)值與其平均值差異程度的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差被用來(lái)評(píng)估價(jià)格可能的變化或波動(dòng)程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，價(jià)格波動(dòng)的范圍就越廣，股票等金融工具表現(xiàn)的波動(dòng)就越da標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation) -統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來(lái)衡量。目錄公式 語(yǔ)法 說(shuō)明 計(jì)算步驟 舉例 標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)偏差(標(biāo)準(zhǔn)差)的定義編輯本段公式標(biāo)準(zhǔn)偏差公式：S = Sqrt(xi-x撥)2) /N公式中代表總和，x撥代表x的均值，2代表二次方，Sqrt代表平方根。 例：有一組數(shù)字分別是200、50、100、200，求它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 x撥 = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5 S2 = (200-137.5)2+(50-137.5)2+(100-137.5)2+(200-137.5)2/4 標(biāo)準(zhǔn)偏差 S = Sqrt(S2) STDEV基于樣本估算標(biāo)準(zhǔn)偏差。標(biāo)準(zhǔn)偏差反映數(shù)值相對(duì)于平均值 (mean) 的離散程度。 編輯本段語(yǔ)法STDEV(number1,number2,.) 公式表達(dá)Number1,number2,. 是對(duì)應(yīng)于總體中的樣本的 1 到 30 個(gè)數(shù)字參數(shù)。 編輯本段說(shuō)明忽略邏輯值（TRUE 和 FALSE）和文本。如果不能忽略邏輯值和文本，請(qǐng)使用 STDEVA 函數(shù)。 STDEV 假設(shè)其參數(shù)是總體中的樣本。如果數(shù)據(jù)代表整個(gè)樣本總體，則應(yīng)使用函數(shù) STDEVP 來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差。 此處標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算使用“無(wú)偏差”或“n-1”方法。 STDEV 的計(jì)算公式如下： 編輯本段計(jì)算步驟標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟是： 步驟一、(每個(gè)樣本數(shù)據(jù) 減去 樣本全部數(shù)據(jù)的平均值)。 步驟二、把步驟一所得的各個(gè)數(shù)值的平方相加。 步驟三、把步驟二的結(jié)果除以 (n - 1)（“n”指樣本數(shù)目）。 步驟四、從步驟三所得的數(shù)值之平方根就是抽樣的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 編輯本段舉例假設(shè)有 10 件工具在制造過(guò)程中是由同一臺(tái)機(jī)器制造出來(lái)的，并取樣為隨機(jī)樣本進(jìn)行斷裂強(qiáng)度測(cè)量。 St1St2St3St4St5St6St7St8St9St10公式說(shuō)明（結(jié)果）1345130113681322131013701318135013031299=STDEV(St1, St2, St3, St4, St5, St6, St7, St8, St9, St10)斷裂強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)偏差 (27.46391572)編輯本段標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離