湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 3.3 整式導(dǎo)學(xué)案 華東師大版 .doc

湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 3.3 整式導(dǎo)學(xué)案 華東師大版 目標(biāo)概覽 本節(jié)內(nèi)容是代數(shù)式運(yùn)算、整式運(yùn)算的基礎(chǔ)，是代數(shù)知識(shí)的入門(mén)，其中有關(guān)概念在今后的學(xué)習(xí)中是必備的工具。整式的有關(guān)定義及運(yùn)算在全國(guó)各地的基礎(chǔ)性試題中也常有出現(xiàn)，學(xué)好本節(jié)內(nèi)容應(yīng)明確學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、了解單項(xiàng)式，多項(xiàng)式與整式概念 2、理解單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào) 3、掌握整式，多項(xiàng)式的次數(shù)，項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念明確它們的關(guān)系。 4、正確地區(qū)別單項(xiàng)式和多項(xiàng)式 5、會(huì)把一個(gè)多項(xiàng)式按某個(gè)字母升冪排列式降冪排列 6、理解把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母升冪排列式降冪排列的原理 7、將本節(jié)知識(shí)的內(nèi)涵數(shù)外延第統(tǒng)化，綜合運(yùn)用代數(shù)式、整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等概念進(jìn)行有關(guān)得數(shù)的判斷。思考、交流 1、下面有兩組式數(shù)式： （1）3a x-y -2a3b 3x+2y 2x2-+1(2) +2 +1請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，指出它們之間有什么區(qū)別？2、中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了楊輝三角形，比歐美的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)早了1000余年。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . 其實(shí)它是（a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3等代數(shù)式 （a+b）n的運(yùn)算結(jié)果中系數(shù)排列的規(guī)律 你可以發(fā)現(xiàn)（a+b）6=a 6+5a5b+10a4b2+10a2b4+5ab6+b6其中右邊的代數(shù)式你覺(jué)得美不美？學(xué)法、指律 學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)你會(huì)覺(jué)得很輕松，但不可掉以輕心阿，整式的有關(guān)定義是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要組成部分，要掌握整式的有關(guān)概念必須抓住反映這些概念的本質(zhì)，我建議同學(xué)們學(xué)習(xí)過(guò)程中可采用以下方法提高學(xué)習(xí)效果： 1、自學(xué)：將課本中要求回憶的四個(gè)小題獨(dú)立完成，與同學(xué)進(jìn)行討論、研究、分析； 2、分析：將單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、代數(shù)式的概念進(jìn)行分析比較； 3、實(shí)踐：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的升冪或降冪進(jìn)行排列體會(huì)它的美感；4、探索：與同學(xué)們一起探索單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、代數(shù)式之間關(guān)系？5、研究：課本中提出的注意事項(xiàng)告訴我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中或解決過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn) 題；知識(shí)、導(dǎo)學(xué) 整式的有關(guān)概念及分類(lèi)是中學(xué)代數(shù)中的重要部分，我們應(yīng)把這些概念進(jìn)行比較、分析。在已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的代數(shù)式的基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)分類(lèi)，了解代數(shù)式的研究導(dǎo)向，區(qū)別哪些是整式，哪些不是整式，哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式，這些問(wèn)題必須闡述清楚，否則我們有些同學(xué)學(xué)到后面的相關(guān)知識(shí)時(shí)也還不明不白。 知識(shí)點(diǎn)一（重點(diǎn)）單項(xiàng)式及其系數(shù)與次數(shù) 正方形的面積a2，三角形的面積ah 有理數(shù)m的相反數(shù)-m，小明每月把零花錢(qián)x元捐出給希望工程，一年下來(lái)小明共捐款12x元。 這些問(wèn)題中的代數(shù)式a2、ah、-m, 12x都是由數(shù)與字母的積組成的，這樣的式數(shù)式叫單項(xiàng)式。 組成單項(xiàng)式的數(shù)和字母，都是單項(xiàng)式的因數(shù)。如單項(xiàng)式-3x中，-3與x都是它的因數(shù)，其中-3是數(shù)因數(shù)，x是字母因數(shù)，我們把單項(xiàng)式中的數(shù)因數(shù)叫單項(xiàng)式（或字母因數(shù)）的數(shù)字系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)系數(shù)，例如單項(xiàng)式5ab2的系數(shù)是5；-1/3x的系數(shù)是-1/3； 的系數(shù)是1/3，-abc的系數(shù)是-1，vt的系數(shù)是1 注意：（1）單項(xiàng)式的系數(shù)必須連同數(shù)因數(shù)前面的性質(zhì)符號(hào)在內(nèi)； （2）系數(shù)是1或-1時(shí)“1”還常省略不寫(xiě)，而-1前面的負(fù)號(hào)不能省略 （3）園周率是常數(shù) （4）單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)，如1x2y寫(xiě)成5/4x2y 對(duì)于下面些單項(xiàng)式-4a2 -3/5x a2x3/3 -x2yz里的字母的指數(shù) -4a2 里字母a的指數(shù)是2； -3/5x 里字母x的指數(shù)是1； a2x3/3里字母a，x的指數(shù)分別是2和3 -x2yz里字母x y z指數(shù)分別是2、1、1 我們把一個(gè)單項(xiàng)式里所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)，如-4a2 的次數(shù)是二次，可稱(chēng)為二次單項(xiàng)式，a2x3/3的次數(shù)是五次可稱(chēng)為五次單項(xiàng)式等等，我們必須注意單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的區(qū)分，在運(yùn)算中，單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)很容易混淆如3a中的3是a的系數(shù)，3a表示a+a+a，3a的次數(shù)是1，而a3的系數(shù)為1，a3表示a a a，它的次數(shù)是3，這二個(gè)概念，務(wù)必分得清楚，判斷得準(zhǔn)確、熟練。 思維升華：（1）已知球的半經(jīng)r則球的體積為4/3r3,此時(shí)4/3r3是一個(gè)單項(xiàng)式此單項(xiàng)式的系數(shù)是 ，次數(shù)是 。 （2）1/x是一個(gè)單項(xiàng)式嗎？ 知識(shí)點(diǎn)二（重點(diǎn)、難點(diǎn)）多項(xiàng)式及其次數(shù)。 本節(jié)內(nèi)容概念繁多，涉及到多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式的組成，一個(gè)特定多項(xiàng)式的名稱(chēng)，一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，學(xué)習(xí)過(guò)程中要理清頭緒，尤其要注意多項(xiàng)式的次數(shù)與其組成部分的單項(xiàng)式的次數(shù)之間的關(guān)系。 形如2a+2b a2- r2 x+21等代數(shù)式都是由幾個(gè)單項(xiàng)式相加而成的，象這樣幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)，叫做常數(shù)項(xiàng)，例如多項(xiàng)式3x2- 2x+5有三項(xiàng)，它們分別是3x2 - 2x +5其中+5是常數(shù)項(xiàng)。 一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式，如2a+2b是一次二項(xiàng)式， a2- r2 是二次項(xiàng)式，x+21是一次二項(xiàng)式，3x2- 2x+5是二次三項(xiàng)式m2-2mn+n2也是二次三項(xiàng)式。在多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就表示這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，如：2a+2b是一次二項(xiàng)式， a2-r2是二次二項(xiàng)式，x+21是一次二項(xiàng)式，3x2-2x+5是二次三項(xiàng)式m2-2mn+n2也是二次三項(xiàng)式。 注意：（1）單項(xiàng)式的次數(shù)與其中的字母的指數(shù)之間的關(guān)系。 （2）多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有組成項(xiàng)式的次數(shù)之和。 （3）多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào) （4）多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)單項(xiàng)式的和可以聯(lián)想成有理數(shù)加法中“省略加號(hào)的有理 數(shù)的代數(shù)和”的形成。 能力拓展：我們已經(jīng)懂得單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)概念，也已經(jīng)懂得多項(xiàng)式的項(xiàng)，多項(xiàng)式的次數(shù)如何確定，請(qǐng)大家想一想，為什么我們不談多項(xiàng)式的系數(shù)等問(wèn)題？ 知識(shí)點(diǎn)三、整式 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、研究有一個(gè)方向問(wèn)題，二十一世紀(jì)信息量大量增加，知識(shí)的寬度與深度越來(lái)越明顯加寬與加深，專(zhuān)業(yè)化越來(lái)越突出，在代數(shù)式的研究方向上也出現(xiàn)了兩個(gè)方面。形如r2、a+b、r3、r2h、等代數(shù)式與+、等代數(shù)式之間有著明顯的區(qū)別，在前一組代數(shù)式中有的只含加、減、乘運(yùn)算。（乘方可以看作特殊的乘法運(yùn)算）有的雖然含有除法運(yùn)算，但除式中不含有字母。象這樣的代數(shù)式就叫整式，后一組的代數(shù)式都含有除法運(yùn)算，并且除式中都含有字母，這樣的代數(shù)式就不是整式，我們本期只研究整式的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于后一組的代數(shù)式的定義及運(yùn)算今后我們?cè)傺芯俊?經(jīng)過(guò)比較分析：?jiǎn)雾?xiàng)式是整式，幾個(gè)單項(xiàng)式的和仍然是整式，所以多項(xiàng)式也是整式，這就是說(shuō) ：整式這括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，反過(guò)來(lái)也可以說(shuō)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式，這三者之間的關(guān)系可表示為： 單項(xiàng)式 整式 多項(xiàng)式探究思考：整式的值一定是整數(shù)嗎？形如+1等非整式的值一定不是整數(shù)嗎？我們可以作進(jìn)一步分析：如整式x2+1當(dāng)x=時(shí)整式x2+1=+1=不是整數(shù)，如非整式+1當(dāng)x=時(shí)+1=4+4+1=9這個(gè)非整式的值是整數(shù)。知識(shí)點(diǎn)四：（難點(diǎn)）升冪排列與降冪排列為了便于計(jì)算加強(qiáng)書(shū)寫(xiě)的規(guī)律性，根據(jù)加法交換律，要把多項(xiàng)式按照一定的規(guī)律整理成整齊的形式，把一個(gè)多項(xiàng)式按照某一個(gè)字母的指數(shù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┑捻樞騺?lái)排列，這樣排列的多項(xiàng)式，叫做按照這個(gè)字母的降冪（或升冪）排列這種整理的方法叫排冪。如x-5-2x2+7x3可以排成二種形式：按字母x的降冪排列：7x3-2x2+x-5按字母x的升冪排列：-5+x-2x2+7x3代數(shù)式里的字母都表示數(shù)，每個(gè)單項(xiàng)式表示的也是數(shù)，所以我們可以象有理數(shù)加法一樣交換多項(xiàng)式里各項(xiàng)的順序在移動(dòng)多項(xiàng)式中的單項(xiàng)式的項(xiàng)時(shí)，要常 它的每項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào)一起移動(dòng)，如果第一項(xiàng)省略掉性質(zhì)符號(hào)“+”移到后面時(shí)，就要補(bǔ)上這個(gè)“+”號(hào)；如果原來(lái)的中間項(xiàng)移到第一項(xiàng)性質(zhì)符號(hào)是正的，也可以省略掉“+”號(hào)，但性質(zhì)符號(hào)是“”號(hào)就不能省略，如x-5-2x2+7x3中7x3項(xiàng)移到第一項(xiàng)可以省略到“+”號(hào)-5這個(gè)常數(shù)項(xiàng)移到第一項(xiàng)就不能省略“”號(hào)x這個(gè)一次項(xiàng)移到最后一項(xiàng)或中間哪個(gè)位置時(shí)前面要加上“+”號(hào) 如果一個(gè)多項(xiàng)式中有幾個(gè)字母，就按指定的字母升冪或降冪排列。 如把3x2y+4xy2-x3-5y3 -x3+3x2y+4xy2-5y3 按y的降冪排列為：-5y3+4xy2+3x2y -x3 按x的升冪排列為：-5y3+4xy2+3x2y -x3 按x的降冪排列為：-x3+3x2y +4xy2 -5y3 注意事項(xiàng)：（1）重新排列多項(xiàng)式時(shí)，每一項(xiàng)一定要連同它前面的符號(hào)一起移動(dòng)；（2）含有兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式，常常按照某中某一個(gè)字母升冪排列或降冪排列。 知識(shí)點(diǎn)五（難點(diǎn)）升降冪排列的原理 為了方便計(jì)算及多項(xiàng)式排列的規(guī)律性的觀察，我們經(jīng)常對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行整理排列一般按升冪或降冪排列，如果一個(gè)多項(xiàng)式含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母時(shí)，就把這個(gè)多項(xiàng)工按其中的某一個(gè)字母的升冪或降冪排列那么它們的整理與排列的原理是什么呢？我們可以回顧有理數(shù)的加法交換律的學(xué)習(xí)過(guò)程中的方法規(guī)律來(lái)進(jìn)行類(lèi)比 計(jì)算：-13+26-37+54 我們可以對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行分析：-13+26-337+54可以看成-13，+26，-37，+54四個(gè)有理數(shù)的代數(shù)和，因此此式可以變形為（-13）+（226）+（-37）+（54）然后依據(jù)加法的交換律變形為：（+26）+（+54）+（-13）+（-37）或（-13）+（-37）+（+26）+（+54）還可以簡(jiǎn)化為26+54-13-37或-13-37+26+54因此對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式3x2y+4xy2-x3-5y3也可以看成+3x2y，+4xy2，-x3，-5y3四個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和因此這個(gè)多項(xiàng)式可以寫(xiě)成：（+3x2y）+（+4xy2）+（-x3）+（-5y3）因此可以使用加法的交換率，按照題目的規(guī)定進(jìn)行升冪或降冪排列，那么每個(gè)單項(xiàng)式的性質(zhì)符號(hào)在排列過(guò)程中必須隨同移動(dòng)。 思維升華：常數(shù)項(xiàng)是不含字母的項(xiàng)，也可把它看成是字母指數(shù)為0的項(xiàng)。技巧、解悟 一、考查單項(xiàng)式及其系數(shù)與次數(shù) 例1：選擇題下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有 （ ）單獨(dú)一個(gè)數(shù)-1/3不是單項(xiàng)式；單項(xiàng)式x的次數(shù)是0系數(shù)是0；3nxy的系數(shù)是3n次數(shù)是2；2x2-3有兩項(xiàng)即2x2和3；-1是一個(gè)二次三項(xiàng)式 a、0個(gè) b、1個(gè) c、2個(gè) d、3個(gè)解析：由于單獨(dú)一個(gè)數(shù)式個(gè)字母也是單項(xiàng)式所以中-1/3是單項(xiàng)；中單項(xiàng)式x的次數(shù)與系數(shù)均為1，多項(xiàng)式的項(xiàng)包括字母及數(shù)前面的符號(hào)，故中的兩項(xiàng)應(yīng)分別為2x2與-3。 數(shù)因是單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式的次數(shù)是單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)之和，故正確 答案：選c 例2：指出下列各式中的單項(xiàng)式并寫(xiě)出各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù) -， -mx, , ax2+ax, , 1-x, x2-y2, 710xyz2 解析：判定一個(gè)代數(shù)式是否單項(xiàng)式，關(guān)鍵是看式子中的數(shù)與字母或字母與字母之間是否為純粹乘積關(guān)系？如果含有加、減、除的關(guān)系就不是單項(xiàng)式。 單項(xiàng)式的次數(shù)是由單項(xiàng)式中各字母的指數(shù)來(lái)確定的。答案：?jiǎn)雾?xiàng)式有： -， -mx, , 710xyz2 -的系數(shù)是-，次數(shù)是2； -mx的系數(shù)是-1，次數(shù)是2；的系數(shù)是，次數(shù)是3；710xyz2的系數(shù)是710；次數(shù)是4。注意：?jiǎn)雾?xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)等概念，在今后的學(xué)習(xí)中是常常用到的知識(shí)。 -可以變形為-xy，所以單項(xiàng)式的系數(shù)是-，在解題過(guò)程中不要丟掉“一”號(hào)。 對(duì)于710xyz2，初學(xué)者容易以為它的次數(shù)是10+1+1+2=14，實(shí)際上這個(gè)單項(xiàng)式中的“10”是系數(shù)的組成部分。而且單項(xiàng)式的次數(shù)的定義中說(shuō)單項(xiàng)式的次數(shù)是由單項(xiàng)式各字母的指數(shù)和來(lái)確定的。 例3：含有三個(gè)字母a,b,c的系數(shù)是1的五次單項(xiàng)共有幾個(gè)？試把它們寫(xiě)出來(lái)。解析：?jiǎn)雾?xiàng)式是只含有乘法或乘方的代數(shù)式，而比單項(xiàng)式是五次單項(xiàng)因此寫(xiě)出的單項(xiàng)式中每個(gè)字母的指數(shù)之和是5。 答案：這樣的五次單項(xiàng)式共有6個(gè)，它們分別如下： a3bc, a2b2c, a2bc2, ab3c, ab2c2, abc3 例4：將下列整式中的單項(xiàng)式填入表中，并分別寫(xiě)出它們的系數(shù)和次數(shù)。x+2y ab2c 4x2=y -3x2y s2t 1-xy x2+2x+1 單項(xiàng)式 系數(shù) 次數(shù)解析：首先進(jìn)行判斷，這些整式中單項(xiàng)式只有ab2c -3x2y s2t 等4個(gè)根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的概念來(lái)進(jìn)行判斷。 答案： 單項(xiàng)式 系數(shù) 次數(shù) ab2c 1 4 -3x2y -3 3 - 5 s2t 3 二、考查多項(xiàng)式及其次數(shù)例5：下列多項(xiàng)式各為幾次幾項(xiàng)式x2-2xy+y2 a5-2a3+1 a3b+a2b2+ab3+1 m4+3n-2m2+7解析：多項(xiàng)式的項(xiàng)是由單項(xiàng)式組成的，即多項(xiàng)式可看成幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和，有幾個(gè)單項(xiàng)式組成的就可以說(shuō)它是幾項(xiàng)式，而多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就表示這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。答案：（1）x2-2xy+y2 是二次三項(xiàng)式 （2）a5-2a3+1 是五次三項(xiàng)式 （3）a3b+a2b2+ab3+1是四次四項(xiàng)式 （4）m4+3n-2m2+7是四次四項(xiàng)式例6：把下列多項(xiàng)式先按x或a的升冪排列，再按x或a的降冪排列。 (1)-3x3-1+2x2-6x4-3x (2)x2y2-x3y+2xy3-7 (3)-x2+x3y-y+1 (4)4a3b+4ab3+6a2b2+a4+b3解析：為了計(jì)算方便與研究對(duì)象規(guī)律的呈現(xiàn)我們常把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行有序排列，即某個(gè)字母升冪排列或降冪排列。答案：（1）把以上4個(gè)代數(shù)式按字母x或a的升冪排列如下： -1-3x3+2x2-3x-6x4 -7+2xy3+x2y2-x3y -y+1-x2+x3y b3+4ab3+6a2b2 +4a3b+a4 （2）把以上4個(gè)代數(shù)式按字母x或a的降冪排列如下： -6x4-3x+2x2-3x3-1 -x3y+x2y2+2xy3-7 x3y-x2-y+1 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b3例7：只含有字母a 的一個(gè)三次三項(xiàng)式，它的三次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為-1常數(shù)項(xiàng)是3求這個(gè)三次三項(xiàng)式解析：這個(gè)只含字母a的三次三項(xiàng)式只有三項(xiàng)組成，其中三次項(xiàng)系數(shù)為2，則此三次項(xiàng)為2a3，一次項(xiàng)系數(shù)為-1，則此一次項(xiàng)為-a，常數(shù)項(xiàng)為3，則此三次三項(xiàng)式為2a3-a+3答案：2a3-a+3例8：只含有字母x的五次多項(xiàng)式，最多有 項(xiàng)最少能有 項(xiàng)解析：只含有字母x的五次多項(xiàng)式中最高次數(shù)的項(xiàng)為五次，余下的項(xiàng)為四次、三次、二次、一次及常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)然，只含有五次項(xiàng)與其余任意一個(gè)單項(xiàng)式而組成的一個(gè)多項(xiàng)也可以，如項(xiàng)數(shù)最多的多項(xiàng)式x5+5x4+10x2+5x+1；項(xiàng)數(shù)最少的多項(xiàng)式為x5+1答案：只含有字母x的五次多項(xiàng)式、最多有6項(xiàng)，最少有2項(xiàng)。例9：已知m、n為自然數(shù)，am-2b2c-a2bn-2c4+am+1bn-1c是八次三項(xiàng)式，求m和 n的值。解析：此代數(shù)式為八次三項(xiàng)式，則其中的一個(gè)單項(xiàng)式次數(shù)必為8，下面我們只需考查三個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)即可，am-2b2c次數(shù)為m+1；-a2bn-2c4次數(shù)為n+4；am+1bn-1c次數(shù)為m+n+1.答案：組成這個(gè)多項(xiàng)式的每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別為 m+1； n+4；m+n+1.而此多項(xiàng)式為八次三項(xiàng)式。而m+n+1 m+1 故分兩種情況討論：（1）n+4且m+n+18 n=4 m3 又第一個(gè)單項(xiàng)式am-2b2c m2 m=3此時(shí)m=3、n=4（2）m+n+1=8 由條件可知n2且n 為自然數(shù) 當(dāng)n=3時(shí) m=4綜上所述m、n的值為m=3，n=4或m=4，n=3三、考查整式的定義及應(yīng)用例10：代數(shù)式2a， ，2a+x, , , x, x2-x中整式的個(gè)數(shù)是 （ ） a、2 b、3 c、4 d、5解析：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式，意即只有單項(xiàng)式或多項(xiàng)式才能稱(chēng)之為整式，亦可說(shuō)在這個(gè)代數(shù)式中不含除法（或若含除法但除數(shù)不含字母）的式子才能稱(chēng)之為整式。答案：以上代數(shù)式中整式有2a,2a+x, , , x, x2-x等5個(gè)。例11：當(dāng)m為何值時(shí)（mx2y-2xy+3y2）-(5x2y+3xy-1)是二次多項(xiàng)式？ 解析：把原多項(xiàng)式變形為：mx2y-2xy+3y2-5x2y+3xy-1；因?yàn)樗嵌味囗?xiàng)式通過(guò)加法交換律變化則：mx2y-5x2y=0；即m=5 答案：m=5時(shí)，原多項(xiàng)式為二次多項(xiàng)式。四、考查多項(xiàng)式升降冪排列及其原理 例12：指出多項(xiàng)式x2y-xy2-x3+2y3的項(xiàng)并把它按x的降冪排列 解析：多項(xiàng)式x2y-xy2-x3+2y3的項(xiàng)有4個(gè) x2y，-xy2，-x3，-x3，2y3 按照加法交換律可把原多項(xiàng)式作如下變形，按x的降冪排列： x2y-xy2-x3+2y3 =（+x2y）+（-xy2）+（-x3）+（+2y3） =（-x3）+（+x2y）+（-xy2）+（+2y3） =-x3+x2y-xy2+2y3 答案：原多項(xiàng)式的項(xiàng)為+x2y， -xy2， -x3， +2y3原多項(xiàng)式按字母x的降冪排列為：-x3+x2y-xy2+2y3 例13：多項(xiàng)式2（x2-3xy-y2）-(x2+2mxy+2y2)中不含xy項(xiàng)，求m的值。解析：把原多項(xiàng)式作變形，對(duì)其作整理，使整理后的多項(xiàng)式中兩個(gè)含xy項(xiàng)的指數(shù)互為相反數(shù)。 答案：2（x2-3xy-y2）-(x2+2mxy+2y2) =2x2-6xy-2y2-x2-2mxy-2y2 因?yàn)榇硕囗?xiàng)式中不含xy項(xiàng) 故：-6與-2m互為相反數(shù) 即：m=-3能力拓展 綜合題：例1：已知m、n為正整數(shù)5xymzn是5次單項(xiàng)式，則m ；n 解析：由題已知1+m+n=5 即：m+n=4 又m、n為正整數(shù)。 m=1 m=2 m=3 n=3 n=2 n=1方法規(guī)律：根據(jù)定義來(lái)理解題意，從而正確得出相等關(guān)系式 正確地利用整數(shù)性質(zhì)解題可以給我們解題帶來(lái)極大的方便 例2：若二次三項(xiàng)式y(tǒng)2-2y+n中以4代替y其值為0，則n值是：（ ） a、0 b、8 c、-8 d、2 解析：這是一個(gè)代數(shù)式求值，當(dāng)y=4時(shí)代數(shù)式的值為0 故：42-24+n=0n=-8 答案：選c能力拓展： 巧妙地把一個(gè)代數(shù)值求值的題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)易方程來(lái)求解。 例3：下列語(yǔ)句正確的是（ ） a、單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)都是3 b、單項(xiàng)式r3的系數(shù)是，次數(shù)是3 c、單項(xiàng)式22x3y4的次數(shù)是9 d、單項(xiàng)式-0.5x2y2z的系數(shù)是-0.5，次數(shù)是4 解析：a單項(xiàng)式可寫(xiě)成abc其系數(shù)是，次數(shù)是3；c單項(xiàng)式22x3y4的次數(shù)是7其中22是系數(shù)；d單項(xiàng)式-0.5x2y2z的系數(shù)是-0.5次數(shù)是2+2+1=5。 答案：選b誤區(qū)警示：（1）單項(xiàng)式的系數(shù)是字母前面的數(shù)因數(shù) （2）單項(xiàng)式的次數(shù)是每個(gè)字母的指數(shù)之和創(chuàng)新題 例4：兩個(gè)關(guān)于x的整式x2+(a+b)x+5b與x2-x-30恒等，求a,b的值。 解析：這兩個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式恒等，即x取任意值時(shí)，這兩個(gè)多項(xiàng)式的值都相等，那么它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)也應(yīng)該分別相等。 答案：關(guān)于x的整式x2+(a+b)x+5b與x2-x-30恒等，即它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)分別相等，故：a+b=-1 且5b=-30 a=5 b=-6經(jīng)驗(yàn)技巧 兩個(gè)整式恒等意即不論x為何值時(shí)，這兩個(gè)恒等式一定相等亦即這兩個(gè)整式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等。 例5：有一個(gè)兩位數(shù)，若將其十位、個(gè)位數(shù)字交換，組成一個(gè)新的兩位數(shù)，求新兩們數(shù)與原兩位數(shù)的和，并說(shuō)明它們之和一定是11的倍數(shù)。 解析：把這兩個(gè)兩位數(shù)用代數(shù)式表示出來(lái)，求這兩個(gè)代數(shù)式的和，即可作出判斷。 答案：設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則原數(shù)為10y+x，而交換十位，個(gè)位數(shù)字后的新數(shù)為10x+y 故新兩位數(shù)與原兩位數(shù)之和為： （10x+y）+（10y+x）=11（x+y） 11（x+y）是11的倍數(shù) 故這兩個(gè)兩位數(shù)之和一定是11的倍數(shù)。經(jīng)驗(yàn)技巧 應(yīng)用題： 經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析它最終可以用純數(shù)字觀點(diǎn)來(lái)理解，這就是數(shù)學(xué)思想。 例6：p表示一個(gè)三位數(shù)，q表示一個(gè)兩位數(shù)把p放在q的左邊，組成一個(gè)五位數(shù)息樣用代數(shù)式表示這個(gè)五位數(shù)？ 解析：一般表示數(shù)的得數(shù)，是已知各數(shù)位上的數(shù)字，只要按其所在數(shù)位的規(guī)律，從個(gè)位起，分別乘以1，10，100，再把它們相加，即可得出所要表示的數(shù)，而本題中的p、q并不是某個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，而分別表示的是一個(gè)三位數(shù)，和一個(gè)兩位數(shù)，如機(jī)械地按題中所說(shuō)，把p放在q的左邊，而寫(xiě)成pq這是完全錯(cuò)誤的，pq既不能體現(xiàn)這個(gè)五位數(shù)的數(shù)位關(guān)系，而且還會(huì)使人誤認(rèn)為表示的是p與q的積 答案：這個(gè)五位數(shù)是p100+q 即：100p+q方法規(guī)律：p是一個(gè)三位數(shù)，q是一個(gè)兩位數(shù)，把p放在q的左邊，相等于q的數(shù)位未發(fā)生變化，而p的每個(gè)數(shù)字所在的數(shù)位都上升了兩位，p中原來(lái)的個(gè)位上升到百位，原來(lái)的十位上升到千位，原來(lái)的百位上升到萬(wàn)位。 例7：已知多項(xiàng)式x10-x9y+x8y2-+x2y8-xy9+y10 (1)按規(guī)定寫(xiě)出該多項(xiàng)式的第六項(xiàng)，并指出它的系數(shù)和次數(shù)。 （2）這個(gè)多項(xiàng)式是幾次多項(xiàng)式。 解析：該多項(xiàng)式的特點(diǎn)是（1）按字母x的降冪排列且按字母y的升冪排列，（2）每項(xiàng)次數(shù)均為10，13第幾項(xiàng)系數(shù)為（-1）n+1 答案：（1）此多項(xiàng)式的第六項(xiàng)為-x5y5,它的系數(shù)為-1，次數(shù)是10。 （2）這個(gè)多項(xiàng)式10次11項(xiàng)式。方法規(guī)律：對(duì)于找規(guī)律的題型，要從各個(gè)不同的角度分析歸納，并將所得的結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，此題應(yīng)注意多項(xiàng)式的項(xiàng)包括它前面的符號(hào)。習(xí)題、解題 p100練習(xí) 1、判斷一個(gè)代數(shù)式是否是單項(xiàng)式應(yīng)嚴(yán)格按單項(xiàng)式的定義，數(shù)與字母乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)字母或單獨(dú)一個(gè)數(shù)也是單項(xiàng)式，尤其注意不是單項(xiàng)數(shù)，它是數(shù)與字母之商，但x/是單項(xiàng)式，它是數(shù)1/與字母x之積。 因此這一列代數(shù)式中項(xiàng)式有： ， 2、單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中每個(gè)字母的指數(shù)和叫這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。 (1)-的系數(shù)是-，次數(shù)是3 (2)m、n的系數(shù)是1，次數(shù)是2 (3)5a2的系數(shù)是5，次數(shù)是2 (4)-ab2c的系數(shù)是-，次數(shù)是4p101練習(xí)1、同學(xué)們請(qǐng)注意，多項(xiàng)式的組成部分是單項(xiàng)式單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)即為多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，單項(xiàng)式中最高次數(shù)的那一項(xiàng)的次數(shù)表示這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。 多項(xiàng)式 幾次幾項(xiàng)式 2x+1+3x2 二次三項(xiàng)式 4x3+2x-3x2 三次三項(xiàng)式 2x2-3xy+y2 二次三項(xiàng)式 4x4+1 四次二項(xiàng)式2、判斷列代數(shù)式是否是整式，我們知道單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式。 故：、均為整式，其中中是1與x+1 之商形式它不是整式。3、整式 單項(xiàng)式 多項(xiàng)式p103練習(xí) 1、把多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的升（降）冪排列，運(yùn)用的方法是加法的交換律，注意事項(xiàng)是移動(dòng)某一項(xiàng)時(shí)要注意連同它前面的性質(zhì)符號(hào)一起移動(dòng)。 （1）按x的升冪排列： -+x+2x2+x3-5x4 （2）按x的降冪排列 -5x4+x3+2x2+x- 2、本題的代數(shù)式中含有兩個(gè)字母，在進(jìn)行排列時(shí)要注意題目規(guī)定按哪個(gè)字母排列（1） 按x的升冪排列： -y4-2xy2-5x2y3+3x3y+x4 （2）按y的升冪排列： x4+3x3y-2xy2-5x2y3-y4 習(xí)題3.3 p103 1、對(duì)單項(xiàng)式進(jìn)行分析時(shí)，要嚴(yán)格按照定義判斷：說(shuō)法（1）單項(xiàng)式m系數(shù)為1，次數(shù)為1說(shuō)法（2）單項(xiàng)式5105t的系數(shù)為5105 （3）正確 （4）正確2、填表 單項(xiàng)式 a -x abc -a2b3/3 系 數(shù) 1 -1 次 數(shù) 1 1 3 53、(1)4a2+3a-1是二次三項(xiàng)式 (2)3a-2ab+4b是二次三項(xiàng)式4、組成多項(xiàng)式的部分是單項(xiàng)式，它的次數(shù)是這些單項(xiàng)式中次數(shù)最高的那一項(xiàng)的次數(shù)。 （1）xy-的次數(shù)為2，項(xiàng)為xy，- （2）a2+2a2b+ab2-b2的次數(shù)為3，項(xiàng)為a2，2a2b，ab2，-b2 （3）2m3n3-3m2n2+mn的次數(shù)為6，項(xiàng)為2m3n3，-3m2n2，mn5、多項(xiàng)式x2+-3x+x3按x的升冪排列為： -3x+x2+x36、多項(xiàng)式2x3y-4y2+5x2 按x降冪排列：2x3y +5x2-4y2 按y升冪排列：5x2+2x3y-4y2 自主、評(píng)價(jià)一、 基礎(chǔ)題： 填空題：1、只含有 運(yùn)算或雖含除法運(yùn)算，但除式中不含字母的代數(shù)式叫做整式。2、單項(xiàng)式4x2y3/7中，x的指數(shù)是 ,y的指數(shù)是 ，這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)是 。3、若單項(xiàng)式7abmc2與單項(xiàng)式5xy6的次數(shù)相同，則m .4、多項(xiàng)式x2-2x-3中，一次項(xiàng)系數(shù)是 。5、多項(xiàng)式3a-4a2b+1/2中最高次項(xiàng)的次數(shù)是 ，最高次項(xiàng)的系數(shù)是 ，常數(shù)項(xiàng)是 。6、把多項(xiàng)式ax3-by3+cx2y2-dxuy按字母x的升冪排列 ，按字母y的降冪排列 。7、如果-ax2ym是關(guān)于x,y的單項(xiàng)式系數(shù)為-，次數(shù)是4，則a= ，m 。二、拓展題 選擇題8、代數(shù)式-5, 5x-y2, ， a.xn+1ym+4(m,n為自然數(shù))中，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是： （ ）a、6 b、5 c、4 d、39、在代數(shù)式-x2y2, 1-x, s=a+b , , a2-2ab+b2, , 0 多項(xiàng)式共有（ ） a、3個(gè) b、4個(gè) c、5個(gè) d、6個(gè) 10、多項(xiàng)式32x5-4x是（ ） a、五次二項(xiàng)式 b、六次二項(xiàng)式 c、七