對兩道模考試題的分析與感悟.pdf

第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月數(shù)學(xué)教學(xué)研究 2 9 對兩道模考試題的分析與感悟 周德明1 王華民2 1 江蘇省無錫市太湖高級中學(xué)2 1 4 1 2 5 2 江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心2 1 4 1 0 0 經(jīng)過一階段的學(xué)習(xí) 需要進(jìn)行考試檢測 以了解 學(xué) 與 教 的情況 醫(yī)生治病需先診 斷 再用藥 教師講評前也需先分析錯(cuò)因 然 后有針對性 按步驟地進(jìn)行 現(xiàn)已進(jìn)人大數(shù)據(jù) 時(shí)代 數(shù)學(xué)學(xué)科由于學(xué)科特點(diǎn) 其說理 推理 結(jié)論都習(xí)慣于 用數(shù)據(jù)說話 求真求實(shí) 因此 分析的前提是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 與學(xué)生交流 以查找 問題 診斷分析 為講評的有效性提供依據(jù) 這是提高教學(xué)質(zhì)量的重要環(huán)節(jié) 經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn) 無錫市2 0 1 3 年秋學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試卷有 兩道試題得分率極低 令人大跌眼鏡 以下通 過對其數(shù)據(jù)分析 歸納優(yōu)化復(fù)習(xí)之策略 1 統(tǒng)計(jì)反饋與分析 問題1 試題1 1 雙曲線與一告 1 口 6 0 右支上一點(diǎn)P 到左焦點(diǎn)的距離是到 右準(zhǔn)線距離的6 倍 則該雙曲線離心率的范 圍為 數(shù)據(jù)顯示一個(gè)四星級學(xué)校1 8 個(gè)班級 近7 5 0 人 得分率統(tǒng)計(jì) 竟然有8 個(gè)班得0 分 6 個(gè)班級各有1 人答對 3 個(gè)班級各有2 人答對 1 個(gè)班級有3 人答對 總共1 5 人答 對 人均0 1 分 得分率2 得分率在2 0 以下為難題 可見這屬于超難題 學(xué)生反饋通過與學(xué)生在課上和課外的 訪談 了解到不少錯(cuò)誤形式 這些錯(cuò)誤資源值 得我們研討 錯(cuò)誤答案1 一 2 U 3 解答過程1用離心率P 表示z 由題 意P F 6 d 及焦半徑公式 得 口 e x o 一6 X O 一譬 按z 整理得 6 e z 一口 6 等 口 6 生 C z o 一 百乏一 因?yàn)閦 口 所以 1 6 土 i 上 1 即焉 1 e 6 e 6 一P e 2 5 e 6 O 解得P 2 或P 3 解答過程2用離心率已表示d 由 P F l 6 d 2 及P F l P F 2 2 a 得2 口 P F 2 6 d 2 因?yàn)镻 F 2 e d 2 所以 2 口 e d 2 6 d 2 6 e d 2 2 n d 2 一 生 觀察圖像 圖略 得d 2 口一譬 即 旦 口一a A 由口 0 得 二 卜土 即二 塑 1 2 P 6 一P e 1 2 所以礦一5 P 6 0 同上得P 2 或P 3 錯(cuò)誤答案2 1 2 U 3 6 解答過程觀察 審視 因?yàn)镻 6 0 且右邊 0 所以P 6 一P 0 由P 1 萬方數(shù)據(jù) 3 0 數(shù)學(xué)教學(xué)研究第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月 故6 一e O 所以e 6 結(jié)合P 2 或已 3 得 1 8 2 或3 P 6 錯(cuò)誤答案3o O 故 o 6 o 聯(lián)系到圖像 故猜想離心率小于厄 而雙曲線離心率e l 故e E 1 摳 正確解答1 由a 6 0 得a 2 6 2 a 2 c z a 2 c 2 2 a 2 e 2 2 e 2 1 8 2 b 觀 察圖像得c 4 5 a 所以P l 故e 1 蠆 診斷分析對于錯(cuò)解1 解答過程1 是 用離心率e 表示右支上點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)x 解 答過程2 是用e 表示點(diǎn)P 到右準(zhǔn)線的距離 d 用z 或d 2 表示離心率e 有困難 再分 別根據(jù)z 和d 的取值范圍 得出e 的范圍 構(gòu)造了關(guān)于e 的不等式 兩種解答都利用了 j 雙曲線的定義 但兩種解答過程都忽略了雙 曲線離心率的隱含條件已 1 解答過程1 還 忽視了不等式兩邊成立的隱含條件 對 式 由P 6 0 且右邊 0 故已 6 一已 0 e o 得6 一B 0 即P 1 和式子成立的 條件 比較錯(cuò)誤1 已經(jīng)進(jìn)了一大步 但卻忽視 了題設(shè)的條件a b O 屬于審題不細(xì) 錯(cuò)解 3 的學(xué)生習(xí)慣了橢圓中準(zhǔn)線的位置關(guān)系 誤 2 以為生 z 產(chǎn)生了思維定勢 未能畫圖 從 形 上觀察確定 錯(cuò)解4 的學(xué)生沒有利用 距離的6 倍 這一條件 顯然有誤 如果 把題設(shè)條件口 6 0 改為0 口 厄 結(jié)合1 P 2 或3 e 0 其軌跡是上述圓在第一象限的部分 恰好為 半圓 所以點(diǎn)M 的軌跡長度為瓜 診斷分析以上兩種解題思路的差異很 明顯 前一思路轉(zhuǎn)換為普通方程求解 不僅繁 瑣 費(fèi)時(shí)還不能成功 后一種思路從極坐標(biāo)的 定義出發(fā) 尋求p 與口的關(guān)系 則很容易列出 其關(guān)系式 獲得極坐標(biāo)方程 另外 本題也有 部分考生得出整個(gè)圓2 厄7 c 是源于未能注 意其范圍而失分 反思本題學(xué)生存在的問題 要么缺乏解 題思路 要么機(jī)械的化成普通方程 尋求原 因 大致有以下兩點(diǎn) 1 學(xué)生習(xí)慣于求解一些機(jī)械的 有套路 的問題 不少學(xué)生對于用回歸定義求解圓錐 曲線的問題重視不夠 意識不強(qiáng) 本題是求軌 跡的長度問題 緣于平常較少涉及 2 高三理科復(fù)習(xí)時(shí)間偏緊 部分學(xué)校對 理科附加題的 矩陣 極坐標(biāo)參數(shù)方程 兩個(gè) 模塊 只選擇一些?？荚囶} 講解某些所謂熱 點(diǎn)問題 主要考點(diǎn) 因沒有按序上課 是一種 速成培訓(xùn) 教師傳授一些秘訣 缺乏系統(tǒng)性 過程性 一旦遇到非熱點(diǎn)試題 自然困難重 重 2 啟示與優(yōu)化 通過這兩道得分率極低試題的統(tǒng)計(jì)和與 學(xué)生的訪談 用數(shù)據(jù)道出了在教學(xué)中存在的 問題 而且具有一定的普遍性 它啟示我們要 側(cè)重于以下3 個(gè)方面做一些優(yōu)化 2 1 要注意讓學(xué)生學(xué)會挖掘隱性條件 尋 求解題突破 一個(gè)數(shù)學(xué)問題給出的條件 有的是顯性 有的則為隱性 解題時(shí) 常因未能發(fā)掘其隱性 條件而陷入困境或造成失誤 從試題1 的錯(cuò) 誤解答過程 我們不難感覺到大多數(shù)學(xué)生都 是有思路的 問題出在挖掘隱性條件的能力 較低 本題隱性條件較多 雙曲線就隱含著離 心率e 1 條件口 6 0 又隱含著離心率e o 就 Uef 更難識別 學(xué)生這些缺乏思考 分辨能力低 下 是否與我們某些數(shù)學(xué)課堂讓給學(xué)生觀察 分析 自我反思的機(jī)會偏少有關(guān) 如何應(yīng)對 1 需要教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀 把思考 操作的 機(jī)會讓給學(xué)生 把質(zhì)疑 發(fā)現(xiàn)的機(jī)會讓給學(xué) 生 萬方數(shù)據(jù) 3 2 數(shù)學(xué)教學(xué)研究 第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月 2 需要教師加強(qiáng)審題教學(xué) 教學(xué)生如何 細(xì)心審題 揣摩題意 發(fā)掘其隱性條件 及時(shí) 作出判斷 這樣 既容易發(fā)現(xiàn)解題的突破口 還可避免某些不必要的分類 提高解題的正 確性 3 需要教師有意選編一些需要挖掘隱性 條件的習(xí)題 選編一些需要進(jìn)行觀察判斷才 能確定方向的習(xí)題 用于課堂教學(xué)和作業(yè)布 置 通過練習(xí)與講評 提升學(xué)生挖掘隱性條件 的意識和能力 2 2 要注意循序漸進(jìn) 注意 回歸 幫助學(xué) 生提升解題實(shí)效 從問題2 暴露出在選修系列中缺乏系統(tǒng) 性 過程性 難以尋求解題突破 且容易失誤 我們應(yīng)好好吸取這一教訓(xùn) 教學(xué)應(yīng)按教學(xué)規(guī) 律辦事 循序漸進(jìn) 一步一個(gè)腳印 不能只想 走捷徑 而要 接地氣 做到 1 要回歸課本 這是近年江蘇高考試卷 的一個(gè)主要特點(diǎn) 回歸課本 不僅要研究課本 內(nèi)容 也要研究課本例題 習(xí)題 進(jìn)行適當(dāng)整 合 變式 使得學(xué)生在動(dòng)態(tài)中建構(gòu)知識與方 法 2 要回歸定義 要在全面夯實(shí)基礎(chǔ) 注重 通性通法的同時(shí) 注意回歸定義 理解定義的 作用不僅在于理論上 有時(shí)也能直接解決數(shù) 學(xué)問題 如平面向量基本定理不僅是坐標(biāo)運(yùn) 算的基礎(chǔ) 還能直接解決含參數(shù)的二元方程 問題 圓錐曲線的定義對于過焦點(diǎn) 準(zhǔn)線等問 題有特殊的解題功效 2 3 要注意避免思維定勢的負(fù)遷移 完善學(xué) 生認(rèn)知 在與學(xué)生訪談中了解到 問題1 中有些 學(xué)生看到了口 6 0 但沒有在意 因?yàn)闄E圓 標(biāo)準(zhǔn)方程后都有一個(gè)口 6 0 以為是一個(gè) 用不著的 虛 的條件 錯(cuò)誤解答3 中誤以為 2 雙曲線的準(zhǔn)線冬在右焦點(diǎn)的右側(cè) 這兩處都 L 是因?yàn)閷W(xué)生習(xí)慣了橢圓的套路 顯然訓(xùn)練橢 圓的試題較多 產(chǎn)生了思維定勢 思維定勢是 一種思維的定向預(yù)備狀態(tài) 既能產(chǎn)生積極影 響的有益方面 同時(shí)也會產(chǎn)生一些刻板的習(xí) 慣和固定的模式 不容易改變思維方向 遇到 類似的問題時(shí) 容易墨守成規(guī) 以固定的模式 去解題 使得思維單調(diào) 窄化 產(chǎn)生負(fù)遷移 在教學(xué)過程中 要充分發(fā)揮正遷移的作 用 盡量避免思維定勢負(fù)遷移作用的發(fā)生 需 要采取一些有效措施 除了要加強(qiáng)審題教學(xué) 外 還要著重關(guān)注以下幾點(diǎn) 1 增強(qiáng)新刺激 更換舊思路 由于思維定 勢使舊思路暢通 保留在大腦皮層中的舊痕 跡十分深刻 如若沒有強(qiáng)烈的持續(xù)的新刺激 來加以沖擊 新思路就難以形成和發(fā)展 德國 著名學(xué)者費(fèi)希納在研究中指出 刺激量與感 覺是成正比 刺激量增減1 0 倍 感覺量才增 減1 倍 有些就只是無法用習(xí)慣性的思路去 思考 這時(shí)就必須有強(qiáng)烈的新刺激才能有效 地迫使學(xué)生從舊思路舊方法中省悟過來 轉(zhuǎn) 移到新方法的思維中 2 題組教學(xué) 變換問題 教材知識的單線 型發(fā)展 也是造成學(xué)生思維定勢產(chǎn)生的主要 原因 因此 數(shù)學(xué)教學(xué)在進(jìn)行整合設(shè)計(jì)時(shí) 例 題 習(xí)題常采用題組教學(xué) 選取的題型一般為 基本題加變式題 變換題目的條件或結(jié)論 變 換問題的呈現(xiàn)方式 以避免解題方法的固定 及習(xí)慣性 使學(xué)生不因結(jié)構(gòu)的定型化而產(chǎn)生 思維定勢 這也有利于知識的縱向 橫向聯(lián) 系 3 反思交流 對比強(qiáng)化 思維定勢的消極 影響具有持久性 并不容易在新授后就能完 全克服 因?qū)W生是學(xué)習(xí)的主體 學(xué)生思維定勢 的問題 終究要通過學(xué)生自己的努力才能解 決 要讓學(xué)生通過自身實(shí)踐 反恩 認(rèn)識到問 題的嚴(yán)重性 自己講出來 并與同伴交流 因 為學(xué)生更能聽進(jìn)同伴的講解 具有共振 效 應(yīng) 這就要求教師注意收集 下轉(zhuǎn)第4 5 頁 萬方數(shù)據(jù) 第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月數(shù)學(xué)教學(xué)研究 4 5 J 一上 咒一1以 1 一二 1 故警 字 字 去c 芻 砉 嘉 麥 考后問及學(xué)生失分原因時(shí) 答案驚人一 致 最后一問完全沒有解題方向 我們常說 方向大于方式 即在學(xué)習(xí)的 過程中 確立努力的方向比探討如何努力更 關(guān)鍵 解題何嘗不是如此 解題教學(xué)中我們教 給學(xué)生的一些解題技巧莫過于一招一式 充 其量只是方式 朝著什么樣的方向達(dá)成目標(biāo) 才是關(guān)鍵 而這正是我們教學(xué)中普遍缺失的 以上兩例中的最后一問是題目的重心所 在 對于求和不等式的證明 當(dāng)常規(guī)的 數(shù)學(xué) 歸納法 數(shù)列單調(diào)性法 比較對應(yīng)項(xiàng)法 都無法直接證明時(shí) 我們常用放縮法 如何放 縮才恰當(dāng)呢 盲目的放縮無異于 瞎貓碰死 耗子 這時(shí)我們應(yīng)該反思前面問題解決了 我們得到了什么 要證的問題還需要什么 能否在已知與未知之間尋找聯(lián)系想辦法將問 題解決 其實(shí) 例1 只要抓住第 問的結(jié)論 口一1 時(shí)廠 z O 恒成立 就可得到基本不等 關(guān)系1 z e r 然后換元 將待證式左邊放縮 為等比數(shù)列后再求和 便可將問題解決 而例 2 則由第 I 問的結(jié)論廠 z g z 在 O o 1 l 一一 1 上恒成立時(shí)愚 去 得到不等關(guān)系半 去 即 厶CZ6 C 1 一一 11 等價(jià)于半 去 專 放縮后用裂項(xiàng)相消的 I CZ 方法求和 問題同樣可解決 我們試想 如果割裂了前后問題之間的 聯(lián)系 不就漠視了命題人設(shè)置前面這些基礎(chǔ) 問題的良苦用心 解題不就迷失了方向 數(shù)學(xué)是思維型學(xué)科 數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)既 要 結(jié)果 更要 過程 的思維教學(xué) 講解題 不講怎樣解題 講解法 不講如何想到解 法 最后淪落為 解法若干加技巧若干 的灌 輸式教學(xué)模式只會給學(xué)生加重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān) 禁 錮學(xué)生的思維形成與發(fā)展 因此 在解題教學(xué)中 我們不但要教給學(xué) 生一些解題的方法技巧 更要展示解題的思 維過程 引導(dǎo)他們在解題過程中不斷進(jìn)行反 思 幫助他們從已得結(jié)論中挖掘出有用隱含 條件 架起從未知通向已知的橋梁 收稿日期 2 0 1 4 0 6 0 4 上接第3 2 頁 一些錯(cuò)例素材 交給學(xué)生反思 交流 并整理 只要我們在教學(xué)中采取積極的態(tài)度和有 分析 得出注意點(diǎn) 譬如要克服問題1 中思維效的措施 就能使學(xué)生消極的思維定勢得到 定勢問題 需要把橢圓 雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行對最大限度的克服 幫助學(xué)生掌握正確的學(xué)法 比 在關(guān)注它們共同點(diǎn)的同時(shí) 要讓學(xué)生重點(diǎn)有利于學(xué)生形成良好的思維品質(zhì) 說出其不同點(diǎn) 大家再補(bǔ)充 交流如