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第3講解答題題型特點(diǎn)與技法指導(dǎo)高考解答題一般有六大方向:三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、數(shù)列與不等式、解析幾何、不等式與函數(shù)及導(dǎo)數(shù)一般來(lái)說(shuō),前三題屬于中、低檔題,第四題屬中檔偏難題,后兩題屬難題三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何在前三題中出現(xiàn)的概率較高,掌握解這幾類(lèi)題的解法是大多數(shù)學(xué)生成功的關(guān)鍵目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識(shí)綜合型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法和能力的綜合型解答題能否做好解答題,是高考成敗的關(guān)鍵1三角函數(shù)有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題,主要是考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法,且難度不大凸顯恒等變換與三角函數(shù)圖象、性質(zhì)在三角形內(nèi)考查主要考查以下4個(gè)方面:三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、圖象變換,主要是yasin(x)b的圖象、性質(zhì)及圖象變換,考查三角函數(shù)的概念、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值及圖象的平移和對(duì)稱等;三角恒等變換,主要考查公式的靈活運(yùn)用、變換能力,一般需要運(yùn)用和差角公式、倍角公式,尤其是對(duì)公式的應(yīng)用與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合考查;三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用通過(guò)解三角形來(lái)考查三角恒等變形及應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)的綜合能力;三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列、不等式等知識(shí)的綜合問(wèn)題【例1】已知向量a(cos xsin x,sin x),b(cos xsin x,2cos x),設(shè)函數(shù)f(x)ab(xr)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱,其中,為常數(shù),且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍點(diǎn)評(píng) 利用向量的工具作用,與向量結(jié)合在一起命制綜合題,體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題的指導(dǎo)思想這類(lèi)問(wèn)題求解時(shí),首先利用向量的運(yùn)算,將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,再進(jìn)行有關(guān)的三角恒等變換,再研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)變式訓(xùn)練1 (2012安徽高考,理16)設(shè)函數(shù)f(x)cossin2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意xr,有g(shù)g(x),且當(dāng)x時(shí),g(x)f(x)求g(x)在區(qū)間,0上的解析式2立體幾何立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一,命題形式比較穩(wěn)定,主要考查:(1)三視圖:解答題中一般是根據(jù)三視圖還原幾何體模型,然后展開(kāi)推理;(2)空間線面關(guān)系的判定和推理證明:主要是證明平行和垂直,求解這類(lèi)問(wèn)題要依據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證;(3)空間幾何量(空間角、空間距離、幾何體體積與面積)的計(jì)算:求解這類(lèi)問(wèn)題,常用方法是依據(jù)公理、定理以及性質(zhì)等經(jīng)過(guò)推理論證,作出所求幾何量并求之一般解題步驟是“作、證、求”【例2】(2012安徽八校一聯(lián)考,18)如圖,在多面體abdec中,ae平面abc,bdae,且acabbcae1,bd2,f為cd的中點(diǎn)(1)求證:ef平面abc;(2)求證:ef平面bcd;(3)求多面體abdec的體積點(diǎn)評(píng) 本題第(1)問(wèn)是證明線面平行問(wèn)題,證明直線與平面平行,往往通過(guò)證直線與直線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)第(2)問(wèn)是證線面垂直問(wèn)題,往往轉(zhuǎn)化為證線線垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)第(1)(2)問(wèn)充分體現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想第(3)問(wèn)是幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題,需要把握錐體的體積計(jì)算公式變式訓(xùn)練2 (2012廣東高考,文18)如圖所示,在四棱錐pabcd中,ab平面pad,abcd,pdad,e是pb的中點(diǎn),f是dc上的點(diǎn)且dfab,ph為pad中ad邊上的高(1)證明:ph平面abcd;(2)若ph1,ad,fc1,求三棱錐ebcf的體積;(3)證明:ef平面pab3數(shù)列與不等式高考中數(shù)列解答題的求解主要有以下幾個(gè)特點(diǎn):(1)與等差、等比數(shù)列基本量有關(guān)的計(jì)算,可根據(jù)題意列方程(方程組)或利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解;(2)與求和有關(guān)的題目,首先要求通項(xiàng)公式,并根據(jù)通項(xiàng)公式選擇恰當(dāng)?shù)那蠛头椒?如錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等);(3)含sn的式子,要根據(jù)題目特征利用an進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(4)與遞推數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題,要能合理轉(zhuǎn)化,使之構(gòu)造出新的等差、等比數(shù)列;(5)與數(shù)列有關(guān)的不等式問(wèn)題,可根據(jù)數(shù)列的特征選擇方法(如比較法、放縮法等);(6)與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解【例3】(2012四川成都二診,20)已知數(shù)列an和bn,b11,且bn13bn2n2,記anbn1bn1,nn*.(1)證明:數(shù)列an為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(3)記,數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為tn,若45tk29,kn*恒成立,求k的最大值點(diǎn)評(píng) 第(1)問(wèn)考查了等比數(shù)列的證明,它是為第(2)、(3)問(wèn)服務(wù)的第(2)問(wèn)考查了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常規(guī)方法第(3)問(wèn)考查了數(shù)列的求和方法,是數(shù)列與不等式知識(shí)的綜合問(wèn)題變式訓(xùn)練3 (2012湖北八校二聯(lián),19)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且滿足:snaan(nn*)(1)求an;(2)設(shè)函數(shù)f(n)cnf(2n4)(nn*),求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和tn.4解析幾何解析幾何解答題主要考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和處理有關(guān)問(wèn)題的基本技能、基本方法,往往以中檔偏難題或以壓軸題形式出現(xiàn),主要考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力,考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力突破解答題,應(yīng)重點(diǎn)研究直線與曲線的位置關(guān)系,要充分運(yùn)用一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理,注意運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想方法,靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”解題,要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題,使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化,根據(jù)具體特征選擇相應(yīng)方法【例4】已知橢圓1,點(diǎn)p是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)p作橢圓的切線l,交y軸于點(diǎn)a,直線l過(guò)點(diǎn)p且垂直于l,交y軸于點(diǎn)b試判斷以ab為直徑的圓能否經(jīng)過(guò)定點(diǎn),若能,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由點(diǎn)評(píng) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是命題的熱點(diǎn),基本方法是聯(lián)立方程,利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系求解,運(yùn)算量一般較大,這類(lèi)綜合題中常涉及的問(wèn)題有弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、定點(diǎn)定值問(wèn)題等,是歷年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,復(fù)習(xí)時(shí)要注重通性通法的訓(xùn)練變式訓(xùn)練4 (2012山東高考,文21)如圖,橢圓m:1(ab0)的離心率為,直線xa和yb所圍成的矩形abcd的面積為8.(1)求橢圓m的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線l:yxm(mr)與橢圓m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)p,q,l與矩形abcd有兩個(gè)不同的交點(diǎn)s,t.求的最大值及取得最大值時(shí)m的值5函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以函數(shù)為載體,以導(dǎo)數(shù)為工具,以考查函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為目標(biāo),以導(dǎo)數(shù)為工具圍繞函數(shù)、不等式、方程等綜合考查在知識(shí)的交匯處命題,涉及到具體內(nèi)容較多,如給定解析式求參數(shù)值,給定條件求參數(shù)范圍,以及對(duì)參數(shù)討論與證明不等式問(wèn)題,極值、最值、值域及分析圖象交點(diǎn)等問(wèn)題,都以導(dǎo)數(shù)為工具既考查函數(shù)部分的相關(guān)知識(shí),又滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想【例5】(2012山東青島一模,21)已知函數(shù)f(x)x3x.(1)若不等式f(x)k2 005對(duì)于x2,3恒成立,求最小的正整數(shù)k;(2)令函數(shù)g(x)f(x)ax2x(a2),求曲線yg(x)在(1,g(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值點(diǎn)評(píng) 第(1)問(wèn)是恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題,常用分離參數(shù)求最值第(2)問(wèn)考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題變式訓(xùn)練5 (2012廣西南寧一模,21)已知函數(shù)f(x)ax3bx2cxd是定義在r上的奇函數(shù),其圖象過(guò)點(diǎn)和(2,2)(1)求出函數(shù)f(x)的解析式,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)f(x)5t,當(dāng)實(shí)數(shù)t取何值時(shí),關(guān)于x的方程g(x)0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根?參考答案方法例析【例1】解:(1)因?yàn)閒(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin.由直線x是yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸,可得sin1,所以2k(kz),即(kz)又,kz,所以k1,故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn),得f0,即2sin2sin,即.故f(x)2sin.由0x,有x,所以sin1,得12sin2,故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為1,2【變式訓(xùn)練1】解:(1)f(x)cossin2xsin 2x,故f(x)的最小正周期為.(2)當(dāng)x時(shí),g(x)f(x)sin 2x.故當(dāng)x時(shí),x.由于對(duì)任意xr,gg(x),從而g(x)gsinsin(2x)sin 2x.當(dāng)x時(shí),x.從而g(x)g(x)sin2(x)sin 2x.綜合得g(x)在,0上的解析式為g(x)【例2】(1)證明:取bc的中點(diǎn)g,連接ag,fg.f,g分別為dc,bc的中點(diǎn),fg綉db綉ea.四邊形efga為平行四邊形efag.又因?yàn)閑f平面abc,ag平面abc,ef平面abc.(2)證明:因?yàn)閍e面abc,bdae,db平面abc.又db平面bcd,平面abc平面bcd.又g為bc的中點(diǎn)且acabbc,agbc.ag平面bcd.又efag,ef平面bcd.(3)解:過(guò)c作chab,則ch平面abde且ch,vcabdes四邊形abdech.【變式訓(xùn)練2】(1)證明:ab平面pad,ph面padphab,又phad,ad,ab平面abcd,adabaph平面abcd.(2)解:e是pb中點(diǎn)點(diǎn)e到面bcf的距離hph,三棱錐ebcf的體積vsbcfhfcadh1.(3)證明:取pa的中點(diǎn)為g,連接dg,eg.pdaddgpa,又ab平面pad,ab平面pab平面pad平面pab,又平面pad平面pabpa,dg平面paddg面pab,點(diǎn)e,g是棱pb,pa的中點(diǎn)eg綉ab,又df綉abeg綉dfdgef,得ef平面pab.【例3】(1)證明:bn13bn2n2,bn3bn12(n1)2,n2,nn*.兩式相減,得bn1bn3bn3bn12(n2,nn*)整理,得bn1bn13(bnbn11)(n2,nn*),即an3an1(n2,nn*)數(shù)列an是公比為3的等比數(shù)列(2)解:b23,a13113.an3n(nn*)anbn1bn13n,bnbn113n1,bn1bn213n2,b2b1131.累加,得bnb1n11.bnn(nn*)(3)解:cn.tn.由45tk29得13590116.k8.又kn*,k的最大值為7,【變式訓(xùn)練3】解:(1)由snaan,得:當(dāng)n2時(shí),sn1aan1.,化簡(jiǎn)得:(anan1)(anan12)0.又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù),當(dāng)n2時(shí),anan12.故數(shù)列an為等差數(shù)列,且公差為2.又a1s1aa1,解得a11,an2n1.(2)由分段函數(shù)f(n)可以得到:c1f(6)f(3)a35,c2f(8)f(4)f(2)f(1)a11;當(dāng)n3,nn*時(shí),cnf(2n4)f(2n12)f(2n21)2(2n21)12n11,故當(dāng)n3時(shí),tn51(221)(231)(2n11)6(n2)2nn.n1時(shí),t15不滿足tn2nn;n2時(shí),t2c1c26滿足tn2nn.故tn【例4】解:設(shè)點(diǎn)p(x0,y0)(x00,y00),直線l的方程為yy0k(xx0),代入1,整理得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.xx0是方程的兩個(gè)相等實(shí)根,2x0,解得k.直線l的方程為yy0(xx0)令x0,得點(diǎn)a的坐標(biāo)為.又1,4y3x12,點(diǎn)a的坐標(biāo)為.又直線l的方程為yy0(xx0),令x0,得點(diǎn)b的坐標(biāo)為,以ab為直徑的圓方程為xx0,整理得x2y2y10.由得以ab為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)和(1,0)【變式訓(xùn)練4】解:(1)設(shè)橢圓m的半焦距為c,由題意知所以a2,b1.因此橢圓m的方程為y21.(2)由整理得5x28mx4m240,由64m280(m21)8016m20,得m.設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),則x1x2,x1x2.所以|pq|(m)線段cd的方程為y1(2x2),線段ad的方程為x2(1y1)不妨設(shè)點(diǎn)s在ad邊上,t在cd邊上,可知1m,s(2,m2),d(2,1),所以|st|sd|1(m2)(3m),因此,令t3m(1m),則m3t,t(3,2,所以,由于t(3,2,所以,因此當(dāng),即t時(shí),取得最大值,此時(shí)m.不妨設(shè)點(diǎn)s在ab邊上,t在cd邊上,此時(shí)1m1,因此|st|ad|2,此時(shí),所以當(dāng)m0時(shí),取得最大值.(3)不妨設(shè)點(diǎn)s在ab邊上,t在bc邊上,m1,由橢圓和矩形的對(duì)稱性知的最大值為,此時(shí)m.綜上所述,m或m0時(shí),取得最大值.【例5】解:(1)f(x)x3x,令f(x)x210,解得x1.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化如下:x2(2,1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)極大值極小值由上表可知:f(x)極大值f(1).又f(3)6,f(2).比較可得:當(dāng)x2,3時(shí),f(x)maxf(3)6.因?yàn)閒(x)k2 005恒成立,所以k2 0056,即k2 011,所以最小的正整數(shù)k2 012.(2)g(x)f(x)ax2xx3ax2,則g(x)x2ax,所以g(1)1a.又因?yàn)間(1)a,所以切線方程為y(1a)(x1)令x0,得ya,令y0,得x,所以s.因?yàn)閍2,則s,則s.所以s0,即s在2,)上單調(diào)遞增
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