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轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想，在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，我們也常常在不同的數(shù)學(xué)問題之間互相轉(zhuǎn)化，可以說在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)轉(zhuǎn)化思想幾乎是無處不在的。例題分析 例1 解方程組 分析：從表面上看此題屬于二元三次方程組的求解問題，超過我們所掌握的知識(shí)范圍，但仔細(xì)分析可將方程組變形為 ，再利用換元法，問題就迎刃而解了。 解：設(shè) 原方程組可化為 解之，得 即 解之，得 例2 若m、n、p同時(shí)滿足下面二式：，求的取值范圍。 分析：直接利用已知條件中的兩個(gè)等式得到的取值范圍不好下手，如果換個(gè)角度考慮可變形為，令，則已知條件可轉(zhuǎn)化為方程組，進(jìn)而找到a、b與c的關(guān)系，可以確定所求式子的取值范圍。 解：設(shè)，則 由(1)、(2)可得 (3) (4) 此時(shí)， (5) 由(3)得 ，由(4)得 由(5)得 例3 如圖，中，BC4，P為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD/AB，交AC于D。連結(jié)AP，問點(diǎn)P在BC上何處時(shí)，面積最大？ 分析：本題從已知條件上看是一個(gè)幾何問題，而求最大值又是一個(gè)代數(shù)問題，因此把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)問題是解題的關(guān)鍵，為了完成這種轉(zhuǎn)化，需要把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，得出函數(shù)解析式。 解：設(shè)BPx，的面積為y 作于H 則 化簡得 配方得 即P為BC中點(diǎn)時(shí)，的面積最大 這時(shí)的面積最大值為 例4 已知二次函數(shù)過點(diǎn)O(0，0)，A()，B()和C()四點(diǎn)。 (1)確定這個(gè)函數(shù)的解析式及m的值； (2)判斷的形狀； (3)若有一動(dòng)圓M，點(diǎn)M在x軸上，與AC相切于T點(diǎn)，M和OA、OC分別交于點(diǎn)R、S，求證弧長為定值。 分析：(1)由于二次函數(shù)過三個(gè)定點(diǎn)，因此可以利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出m的值。 (2)分別計(jì)算出OA、OC、AC的長即可判定的形狀。 (3)這一問綜合性較強(qiáng)，需要根據(jù)條件列出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用方程和距離公式求解。 解：(1)的圖象過點(diǎn)O(0，0)、A()、B() 解得 二次函數(shù)解析式為 的圖象過點(diǎn) (2) 是等邊三角形 (3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(P，0) M與AC相切于T點(diǎn) M的半徑為 若M與OA、OC分別交于則 由(1)、(2)知，是方程的兩個(gè)根 即的兩根為 是等邊三角形， 的弧長為（定值） 說明：本例是一個(gè)綜合問題，尤其是第(3)小題體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的綜合，需將幾何中的點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，再通過代數(shù)方法列出方程通過距離公式確定的形狀，從而確定的度數(shù)，最后計(jì)算出的弧長。 例5 如圖，兩圓同心，大圓的弦AD交小圓于B、C兩點(diǎn)，AE切小圓于點(diǎn)E，連結(jié)CE，直線BE交大圓于P、Q兩點(diǎn)，已知BEAEb，ABa。 求證：(1)CD、CE的長是方程的兩個(gè)根； (2)求PB的長。 分析：此例不僅把線段CD、CE的長作為關(guān)于x的一元二次方程的根，還將含線段長a、b的代數(shù)式作為方程的系數(shù)，所以解此例的關(guān)鍵是用幾何知識(shí)尋找線段CD、CE與實(shí)數(shù)a、b的等量關(guān)系，用含a、b的代數(shù)式表示CD、CE的長。 略解：(1)依題意，可證 得CEAC 由切割線定理，得，即 又CDABa 的長是方程的兩個(gè)根 (2)由相交弦定理，得 即 解得 （不合題意，舍去） 易錯(cuò)題分析 例1. 四邊形ABCD中，AC平分，求BC和AB的長。 分析：本題是四邊形問題，通常要轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決。由已知，AC平分，所以想到由C點(diǎn)作于E，作于F。由已知可求出CF，由，可知CE的長，通過解可求出BC的長。BE也可求，再通過解由勾股定理求出AE的長，這樣，AB的長就求出來了。 解：作于E，于F 在中， 在中， 由勾股定理， 綜上所述：。 點(diǎn)評(píng)：本題有的同學(xué)沒有思路，但如果想到由已知，想到作AD邊上的高線，再由AC平分想到從C點(diǎn)作角的兩邊的垂線段，總之，把四邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形解決問題。 例2. 四邊形ABCD中，求AB。 分析：本題是四邊形問題，可以通過分割或補(bǔ)全直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而解決問題。 解：過D點(diǎn)作的延長線于E，若為鈍角，作延長線于F，（若為銳角，作于F，同理） 在中， ， 四邊形EBFD是矩形 在中， 點(diǎn)評(píng)：本題通過分割或補(bǔ)全直角三角形來求解四邊形，注意對(duì)的討論。有可能是銳角、直角或鈍角，但無論是什么角，都不影響解題的結(jié)果。 例3. 在四邊形ABCD中，求CD的長。 分析：本題也是四邊形問題，需要轉(zhuǎn)化為直角三角形解決。 解：若是銳角，（是鈍角或直角同理）過C點(diǎn)作于F，過C點(diǎn)作的延長線于E。 四邊形AECF是矩形 在中， 在中， 點(diǎn)評(píng)：以上三個(gè)題組成一個(gè)題組，都是解四邊形的問題。在四邊形中，常常通過分割或補(bǔ)全直角三角形來求解四邊形。其實(shí)質(zhì)就是把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想就是轉(zhuǎn)化的思想。以上三題容易錯(cuò)的地方是如何把四邊形通過分割或補(bǔ)全直角三角形，另外要注意計(jì)算不要出錯(cuò)。練習(xí)一. 選擇題：1. 若x、y都是實(shí)數(shù)，且，則的值是（ ） A. 12B. 12C. D. 92. 設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根為，若，則的值是（ ） A. 3B. 1C. 3或1D. 33. 如圖，梯形ABCD中，AB/DC，ABa，BDb，CDc，且a、b、c使方程 有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則和的關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 4. 在關(guān)于x的一元二次方程中，a、b、c是的三條邊，那么這個(gè)方程根的情況是（ ）A. 沒有實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C. 有實(shí)數(shù)根D. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5. 已知a、b、c是三邊的長，bac，且方程兩根的差的絕對(duì)值等于，則中最大角的度數(shù)是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a、b、c是三條邊長，關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且，則的值是（ ） A. 1B. C. D. 7. 若是直角三角形兩銳角，那么關(guān)于x的一元二次方程根的情況是（ ）A. 有兩個(gè)相等的正根B. 有兩個(gè)不等的負(fù)根 C. 有一正根和一個(gè)負(fù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根二. 填空題：1. 在長方形內(nèi)有1989個(gè)點(diǎn)，以這1993個(gè)點(diǎn)（包括長方形四個(gè)頂點(diǎn)）為頂點(diǎn)畫三角形，使每個(gè)三角形內(nèi)部都不包含其它已知點(diǎn)，則這個(gè)長方形被分成_個(gè)三角形。2. 方程在區(qū)間(4，0)中有兩個(gè)不相等實(shí)根，則m的取值范圍是_。3. 在中，D是BC中點(diǎn)，于E，AE7，則DE的長為_。三. 解答題：1. 解分式方程：.2. 已知為實(shí)數(shù)，證明：。3. 如圖，AB是半圓O的直徑，O是圓心，若，求四邊形ABCD的周長和面積。4. 已知：如圖，在中，E是BC的中點(diǎn)，D在AC邊上，若AC長是1，且，求。5. 已知邊長為1的正方形ABCD內(nèi)接于O，延長BC到點(diǎn)E，使CEBC，連接AE交O于F，求證：EF、FA的長是方程的兩根。疑難解答 A. 教師自己設(shè)計(jì)問題：1. 怎樣運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想證明模擬試題中的解答題的第2小題？2. 模擬試題中解答題的第4小題怎樣把一般三角形轉(zhuǎn)化為特殊三角形？B. 對(duì)問題的解答：1. 模擬試題中解答題的第2小題是證明不等式的問題，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式來證明，這就需要構(gòu)造出合適的一元二次方程，可以設(shè)，則，即，為實(shí)數(shù)，將上面方程看成的一元二次方程時(shí)，。2. 答：和都是一般斜三角形，直接根據(jù)已知條件不易求得結(jié)果，但是由于中AC已知，且，若以AC為一邊和以為一內(nèi)角構(gòu)成直角三角形或一個(gè)等邊三角形，則這兩種三角形面積都能求。 (1)如圖：過C作AB的垂線交AB的延長線于G 可證 這是構(gòu)成直角三角形的解法(2)如圖：以AC為一邊，為一內(nèi)角，構(gòu)成正三角形ACG 作的平分線交GA于F 則 可證 試題答案一. 1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A二. 1. 3980個(gè) 2. 3. 三. 1. 提示：原方程轉(zhuǎn)化為 即，