函數(shù)的奇偶性.pptx

函數(shù)的奇偶性 1 增減函數(shù) 1 設(shè)函數(shù)y f x 的定義域為I 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1 x2 當(dāng)x1 x2時 總是都有f x1 f x2 那么就說f x 在區(qū)間D上是增函數(shù) 區(qū)間D稱為y f x 的單調(diào)增區(qū)間 2 如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1 x2 當(dāng)x1 x2時 都有f x1 f x2 那么就說f x 在這個區(qū)間上是減函數(shù) 區(qū)間D稱為y f x 的單調(diào)減區(qū)間 2 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y f x 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù) 那么說函數(shù)y f x 在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性 在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的 減函數(shù)的圖象從左到右是下降的 課時小結(jié) 增函數(shù) x增大時 y也增大 圖象左低右高 減函數(shù) x增大時 y減小 圖象左高右低 在區(qū)間D內(nèi) 當(dāng)x1f x2 函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單減 1 函數(shù)的單調(diào)性 單調(diào)性 課時小結(jié) 2 函數(shù)單調(diào)性的證明 在區(qū)間D內(nèi)任取x1 x2 計算f x1 f x2 判斷f x1 f x2 的值的正負(fù) 由 確定f x1 與f x2 的大小 與x1 x2對照 如果自變量與函數(shù)值的大小一致 則是增函數(shù) 否則是減函數(shù) B 圖象法 從圖象上看升降 C 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)f g x 的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u g x y f u 的單調(diào)性密切相關(guān) 其規(guī)律 同增異減 在區(qū)間內(nèi)g x 的單調(diào)性與f u 的單調(diào)性相同那么這個復(fù)合函數(shù)為增函數(shù) 不相同就為減函數(shù) 注意 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫 成其并集 3 函數(shù)的奇偶性 基礎(chǔ)知識梳理 y軸 原點(diǎn) 函數(shù)的奇偶性 整體性 問題1 觀察下面兩個圖象 1 各圖象有什么樣的對稱性 2 各函數(shù)中 自變量取一對相反數(shù)時 函數(shù)值是什么關(guān)系 即f x 與f x 有什么關(guān)系 1 兩圖象都關(guān)于y軸對稱 2 第一個函數(shù)f x x2 f 1 f 1 1 f 2 f 2 4 f 3 f 3 9 第二個函數(shù)f x x f 1 f 1 1 f 2 f 2 2 f 3 f 3 3 f x f x 自變量取一對相反數(shù)時 函數(shù)值相同 即 定義 如果對于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個x 都有f x f x 那么函數(shù)f x 就叫做偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱 如 問題1中 f x x2 f x x 2 x2 得f x f x f x x2是偶函數(shù) 同樣 f x x f x x x 得f x f x f x x 也是偶函數(shù) 自變量取一對相反數(shù)時 函數(shù)值相等 即偶函數(shù) 自變量取一對相反數(shù)時 函數(shù)值也互為相反數(shù) 即 f x f x 定義 如果對于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個x 都有f x f x 那么函數(shù)f x 就叫做奇函數(shù) 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 如 問題2中 f x x f x x 得f x f x f x x是奇函數(shù) 得f x f x 同樣 也是奇函數(shù) 自變量取一對相反數(shù)時 函數(shù)值也互為相反數(shù) 即奇函數(shù) 問題3 奇函數(shù)的圖象是否過原點(diǎn) 你能舉例說明嗎 不一定 如 f x 其圖象不過原點(diǎn) 如圖 但如果奇函數(shù)的定義域為R時 一定有f 0 0 你知道為什么嗎 這時圖象就一定過原點(diǎn) 課時小結(jié) 若定義域內(nèi)任一x都有f x f x 則f x 是偶函數(shù) 1 函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 若定義域內(nèi)任一x都有f x f x 則f x 是奇函數(shù) 奇函數(shù) 自變量取一對相反數(shù)時 函數(shù)值也互為相反數(shù) 即奇函數(shù) 自變量取一對相反數(shù)時 函數(shù)值相等 即偶函數(shù) 課時小結(jié) 2 奇偶函數(shù)的圖象特點(diǎn) 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 奇函數(shù)的定義域為R時 圖象過原點(diǎn) 常數(shù)函數(shù)的奇偶性 1 f x c c 0 偶函數(shù) 2 f x 0 奇且偶函數(shù) 4 利用奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性1 在公共定義域內(nèi) 偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù) 奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù) 奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除為奇函數(shù) 偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù) 一奇一偶的乘積是奇函數(shù) 2 復(fù)合函數(shù)的奇偶性 一個為偶就為偶 兩個為奇才為奇 已知 均為奇函數(shù) 且定義域相同 求證f x g x 與f x g x 是奇函數(shù) 則 所以 是奇函數(shù)2 所以 是奇函數(shù) 已知 均為奇函數(shù) 且定義域相同求證 與 均為奇函數(shù) 則 所以 是偶函數(shù) 所以 是偶函數(shù) 已知 均為奇函數(shù) 且定義域相同求證 均為奇函數(shù) 所以 是奇函數(shù) 奇函數(shù) 已知fx為偶函數(shù) 為奇函數(shù) 且定義與相同 fx為偶函數(shù) 為奇函數(shù) 所以 是非奇非偶函數(shù) 則 是非奇非偶函數(shù) f 則f 是奇函數(shù) 則 是奇函數(shù) fx 2 2 偶函數(shù) 奇函數(shù) 函數(shù)未必有奇偶性 但是如果在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱 那么函數(shù) 都能寫成一個奇函數(shù) 與一個偶函數(shù)和的形式 注意 函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件 首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱 若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù) 若對稱 1 再根據(jù)定義判定 2 由f x f x 0或f x f x 1來判定 3 利用定理 或借助函數(shù)的圖象判定 2 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性 3 判斷含糊單調(diào)性時也可以用作商法 過程與作差法類似 區(qū)別在于作差法是與0作比較 作商法是與1作比較 4 絕對值函數(shù)求最值 先分段 自變量 0 0 再通過各段的單調(diào)性 或圖像求最值 5 在判斷函數(shù)的奇偶性時候 若已知是奇函數(shù)可以直接用f 0 0 但是f 0 0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù) 高一階段可以利用奇函數(shù)f 0 0 1 畫出已知函數(shù)f x x2 2x 3的圖象 2 證明函數(shù)f x 2 2x 3在區(qū)間 1 上是增函數(shù) 3 當(dāng)函數(shù)f x 在區(qū)間 m 上是增函數(shù)時 求實數(shù)m的取值范圍 1 函數(shù)f x 2 2 3的圖象如圖1 3 1 4所示 2 設(shè) 1 2 1 且 10 1 2 0 1 2 函數(shù)f x 2 2 3在區(qū)間 1 上是增函數(shù) 3 函數(shù)f x 2 2 3的對稱軸是直線x 1 在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù) 那么當(dāng)區(qū)間 m 位于對稱軸的左側(cè)時滿足題意 則有m 1 即實數(shù)m的取值范圍是 1 強(qiáng)調(diào) 1 單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的 離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性 2 有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào) 如一次函數(shù) 有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào) 如二次函數(shù) 有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間 如常函數(shù) 3 函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A B上都是增 或減 函數(shù) 一般不能認(rèn)為函數(shù)在A B上是增 或減 函數(shù) 知識點(diǎn)1復(fù)合函數(shù)如果y是u的函數(shù) 而u又是x的函數(shù) 即y f u u g x 那么y關(guān)于x的函數(shù)y f g x 叫