理論力學(xué)部分答案.doc

2.1質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用下運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的速度的大小為，這里a是常數(shù)。已知時(shí)，速度與矢徑間夾角為。求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。解：質(zhì)點(diǎn)受到有心力的作用，在極坐標(biāo)系中有：，化簡(jiǎn)得：，變形有：分離變量：，積分有： c為積分常數(shù)初始條件：時(shí) 代入初始條件可得：，故又速度與矢徑間夾角為，與比較可知：所以質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為：2.14試求出上題中質(zhì)點(diǎn)受力心散射后的散射角，并求出微分散射截面。解：由上題可知，即式中，當(dāng)時(shí)，即， 所以?xún)芍u近線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)的角為：，兩支漸近線(xiàn)之間的夾角為：那么散射角為：，或微分散射截面為：由散射角公式微分可知：所以把代入可得：即2.15在光滑水平桌面上，兩個(gè)質(zhì)量分別為和的質(zhì)點(diǎn)由一不可伸長(zhǎng)的繩聯(lián)結(jié)，繩穿過(guò)固定在水平桌面上的光滑小環(huán)，如圖所示，若與小環(huán)相距時(shí)獲得垂直于繩的初速，試寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)的軌道微分方程，并解出它的運(yùn)動(dòng)軌道方程。解：設(shè)繩長(zhǎng)為，建立平面極坐標(biāo)系，選擇圓環(huán)為極點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn) 初始時(shí)繩方向?yàn)闃O軸。若的位置矢量為，繩子張力為，則的位置矢量為，繩子張力為對(duì)： (1)對(duì)： (2)令，代入(1)和(2)有： (3) (4)聯(lián)立(3)和(4)有： (5)又初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)：，即，由(5)式知 (6)把初始條件代入(5)、(6)可得：，2.16質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，置于光滑的水平桌面上運(yùn)動(dòng)，如圖所示。此質(zhì)點(diǎn)系有一根輕繩，繩子穿過(guò)桌面處的光滑小孔下垂，并掛有一同樣質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)B。若質(zhì)點(diǎn)A在桌面上離小孔距離為處，沿垂直于繩子方向以初速率射出，證明質(zhì)點(diǎn)在此后運(yùn)動(dòng)中離點(diǎn)的距離必在與之間。證明：采用柱坐標(biāo)系，圓環(huán)為極點(diǎn)，軸垂直于桌面。若的的位置矢量為，繩子張力為則的位置矢量為，繩子張力為對(duì)：角動(dòng)量守恒有： (1)牛頓第二定律： (2)對(duì)：牛頓第二定律： (3)A初始時(shí)刻的狀態(tài)：， (4)由(2)、(3)有：，即分離變量：積分有：代入(4)有：所以由(1)知：，即因此為求的范圍，即求的最大值和最小值，數(shù)學(xué)上體現(xiàn)在求從而令變形有：因式分解：解出或(舍去)所以質(zhì)點(diǎn)在此后運(yùn)動(dòng)中離點(diǎn)的距離必在與之間?；蚶媒莿?dòng)量守恒和機(jī)械能守恒： (對(duì)A) (對(duì)AB)同樣可得3.7一單擺擺長(zhǎng)為，懸掛點(diǎn)在水平線(xiàn)上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：。這里是懸掛點(diǎn)離開(kāi)水平線(xiàn)上的固定點(diǎn)O的距離，如圖所示。開(kāi)始時(shí)擺錘沿鉛直下垂，相對(duì)于的速度為零。證明單擺此后的微小振動(dòng)規(guī)律為 解:以擺錘為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如右圖,則：C相對(duì)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀況：（利用：）再利用微振動(dòng)，并令有： 可解得: 并代入初始條件得：， 故:積分并代入,得: 3.12質(zhì)量為的小環(huán)，套在半徑為的光滑圓圈上，若圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度繞其圓周上的一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。試分別寫(xiě)出小環(huán)沿圓圈切線(xiàn)方向和法線(xiàn)方向的運(yùn)動(dòng)微分方程（以小環(huán)相對(duì)于圓圈繞圓心轉(zhuǎn)過(guò)的角度為參量寫(xiě)出），設(shè)圓圈對(duì)小環(huán)的作用力大小以表示，并可略去小環(huán)重力。解：如右圖所示建立坐標(biāo)系,則： 則： 又因?yàn)椋?，在方向投影?得切線(xiàn)方向：在方向投影：得在法線(xiàn)方向：3.15在北緯處，一質(zhì)點(diǎn)以初速率豎直上拋，到達(dá)高度為時(shí)又落回地面?？紤]地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，不計(jì)空氣的阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地位置與上拋點(diǎn)之間的距離；是偏東還是偏西？為什么？解：依地球上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程： 初始條件為對(duì)式進(jìn)行第一次積分代入得：積分得：代入初始條件得： 落地時(shí)：代入上式得： （） 故偏西。3.16在北緯的地方，以仰角向東方發(fā)射一炮彈，炮彈的出口速率為，考慮地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，證明炮彈地點(diǎn)的橫向偏離為 。解：（此題與上題解題基本相同）初始條件變?yōu)椋簩?duì)進(jìn)行積分代入得：積分并代入初始條件得： 代入得：代入 得：當(dāng)落地時(shí)： 并代入上式得：即橫向偏離：5.14一矩形薄板，邊長(zhǎng)分別為和，以角速度繞對(duì)角線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)。今若突然改為繞邊轉(zhuǎn)動(dòng)，求此時(shí)薄板的角速度。解：如右圖所示，則： 對(duì)OA軸： 設(shè)繞OB軸的角速度為：則有：在轉(zhuǎn)換時(shí)，方向有沖量矩作用，而方向動(dòng)量矩守恒，故有： 得： 5.18質(zhì)量為的平板，受水平力的作用，在一不光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)。平板與水平面間的磨擦系數(shù)為。平板上放有一質(zhì)量為的勻質(zhì)實(shí)心圓球，在平板上作純滾動(dòng)，試求出平板的加速度.解：運(yùn)動(dòng)時(shí)，球與板之間無(wú)滑動(dòng)，則：設(shè)球與板磨擦力為，則：可得：故： 而： 依能量守恒，有：得：5.19一粗糙的半糙的半球形碗，半徑為，另有