高考數(shù)學一輪復習 8.6拋物線精品學案 新人教版.doc

2013版高考數(shù)學一輪復習精品學案：第八章 解析幾何8.6 拋物線【高考新動向】1考綱點擊（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)。（2）理解數(shù)形結(jié)合的思想。（3）了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用。2熱點提示（1）拋物線的定義、標準方程及性質(zhì)是高考考查的重點，拋物線與直線、橢圓、雙曲線的交匯綜合題是考查的熱點。（2）多以選擇、填空題為主，多為中低檔題。有時也與直線、橢圓、雙曲線交匯考查的解答題，此時屬中高檔題?！究季V全景透析】1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點f和一條定直線（不經(jīng)過點f）距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點f叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。注：當定點f在定直線時，動點的軌跡是過點f與直線垂直的直線。2拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程圖形性質(zhì)對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點坐標準線方程焦半徑范圍頂點離心率【熱點難點全析】（一）拋物線的定義及應用相關鏈接1拋物線的離心率=1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化。2焦半徑它們在解題中有重要作用，注意靈活運用。例題解析例已知拋物線c的對稱軸與y軸平行，頂點到原點的距離為5。若將拋物線c向上平移3個單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線c在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線c向左平移1個單位，則所得拋物線過原點，求拋物線c的方程。解答：設所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(ar,a0) 由的頂點到原點的距離為5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設方程的二根為x1,x2，則|x1-x2|=2。將拋物線向上平移3個單位，得拋物線的方程為(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設方程的二根為x3,x4，則|x3-x4|=2。依題意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 將拋物線向左平移1個單位，得(x-h+1)2=a(y-k),由拋物線過原點，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。（二）拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)相關鏈接1求拋物線的標準方程常采用待定系數(shù)法。利用題中已知條件確定拋物線的焦點到準線的距離p的值；2對于直線和拋物線有兩個交點問題，“點差法”是常用法。如若是拋物線上兩點，則直線ab的斜率與可得如下等式。注：拋物線的標準方程有四種類型，所以判斷類型是關鍵，在方程類型已確定的前提下，由于標準方程中只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定一個拋物線的方程。例題解析例已知如圖所示，拋物線的焦點為，在拋物線上，其橫坐標為4，且位于x軸上方，到拋物線準線的距離等于5。過作垂直于y軸，垂足為，的中點為。（1）求拋物線方程；（2）過m作mnfa，垂足為n，求點n的坐標。思路解析：由拋物線定義求p求直線，mn的方程解方程組得n點坐標。解答：（1）拋物線的準線為于是4+=5，=2拋物線方程為y2=4x（）點的坐標是（，），由題意得b(0,4),m(0,2),又f(1,0),.mnfa,.則fa的方程為,mn的方程為y-2=x,解方程組,得.(三)直線與拋物線的位置關系相關鏈接1.直線與拋物線的位置關系設拋線方程為,直線ax+by+c=0,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x得到關于y的方程my2+ny+q=0,(1)若m0,當0時,直線與拋物線有兩個公共點;當=0時,直線與拋物線只有一個公共點;當0時,直線與拋物線沒有公共點.(2)若m=0,直線與拋物線只有一個公共點,此時直線與拋物線的對稱軸平行.2.焦點弦問題已知ab是過拋物線的焦點的弦,f為拋物線的焦點,a(x1,y1),b(x2,y2),則(1) y1y2=-p2,=;（2）（3）；（4）以ab為直徑的圓與拋物線的準線相切。例題解析例已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點f且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。解析：設與拋物線交于由距離公式|ab|=由從而由于p0，解得（四）拋物線的實際應用例如圖，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接m、n兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關于直線l1對稱m到l1、l2的距離分別是2 km、4km，n到l1、l2的距離分別是3 km、9 kin （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線弧mn的方程； （）該市擬在點0的正北方向建設一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于km求 此廠離點0的最近距離（注：工廠視為一個點） 解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則m（2，4），n（3，9）設mn所在拋物線的方程為，則有，解得所求方程為（23）5分 （說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個點坐標求對方程，本問扣2分） （2）設拋物線弧上任意一點p（，）（23）廠址為點a（0，）（5t8，由題意得07分令，23，49對于任意的，不等式0恒成立（*）8分設，8.要使（*）恒成立，需0，即010分解得，的最小值為所以，該廠距離點o的最近距離為6.25km12分注：對實際應用問題，首先應審清題意，找出各量之間的關系，建立數(shù)學模型，然后用數(shù)學的方法解答，并回到實際問題中驗證其正確性?！靖呖剂憔嚯x】1. （2012山東高考文科11）已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (a) (b) (c)(d)【解題指南】 本題關鍵利用離心率求出漸近線方程，而拋物線焦點到兩條漸近線的距離相等，再利用點到直線的距離公式求出p.【解析】選d因為雙曲線：的離心率為2，所以，所以c=2a，所以，雙曲線的漸近線為，即拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為：，所以p=8, 所以拋物線的方程為.2. （2012新課標全國高考文科20）設拋物線c：x2=2py(p0)的焦點為f，準線為l，a為c上一點，已知以f為圓心，fa為半徑的圓f交l于b，d兩點。（i）若bfd=90,abd的面積為4，求p的值及圓f的方程；（ii）若a，b，f三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與c只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值?！窘忸}指南】（1）由bfd=90及拋物線的對稱性可推知為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出的面積，建立等式關系求得p的值，然后由圓心和半徑寫出圓的方程；（2）由“a，b，f三點在同一直線m上，直線n與m平行”這一條件求出直線的斜率，設出直線n的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用兩者只有一個公共點（），可求得直線的方程（方程中含有p），然后求距離公式求出坐標原點到m，n距離的比值。 【解析】（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊 點到準線的距離 所以， 圓的方程為(2)因為a、b、f三點在同一直線上，所以ab為圓f的直徑，.由拋物線定義知 ， 所以，的斜率為或. 當?shù)男甭蕿闀r，由已知可設，代入得 由于n與c只有一個公共點，故.解得.因為m的截距，所以坐標原點到距離的比值為3.當m的斜率為時，由圖形對稱性可知，坐標原點到，距離的比值為3.3.（2012天津高考文科11）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且的右焦點為，則【解題指南】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)列式求解?！窘馕觥坑深}意可得，解得答案：1 24. （2012陜西高考數(shù)學文科14）與（2012陜西高考理科13相同右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米?！窘忸}指南】建立平面直角坐標系，求出拋物線方程，根據(jù)方程求解.【解析】建立適當?shù)淖鴺讼?，如圖所示，設拋物線方程為（），則點（2，）在此拋物線上 代入可求出拋物線的方程是，當時，所以，水面寬是.答案：5（2011廣東高考文科8）設圓c與圓x2+（y-3）2=1外切，與直線y =0相切，則c的圓心軌跡為a.拋物線 b.雙曲線 c.橢圓 d.圓【思路點撥】先求圓x2+（y-3）2=1的圓心坐標為（0，3），利用動圓圓心到點（0，3）與直線y=-1的距離相等得結(jié)論.【精講精析】選a.由題意，c的圓心到點（0，3）與直線y=-1的距離相等，由拋物線的定義知c的圓心軌跡為拋物線，故選a.6（2011福建卷理科17）(本小題滿分13分)已知直線：y=x+m，mr.（i）若以點m（2,0）為圓心的圓與直線相切與點p，且點p在y軸上，求該圓的方程；（ii）若直線關于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線c：x2=4y是否相切？說明理由.【思路點撥】（1）由題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓的半徑，然后寫出圓的標準方程；（2）由的方程求得的方程，將的方程與拋物線c的方程聯(lián)立，得一元二次方程，然后依據(jù)對應判別式的正負，來判定兩者能否相切.【精講精析】解法1：（i）依題意，點的坐標為.因為所以解得，即點坐標為.從而圓的半徑故所求圓的方程為.()因為直線的方程為，所以直線的方程為.由得.當，即時，直線與拋物線c相切；當，即時，直線與拋物線c不相切.綜上，當時，直線與拋物線相切；當時，直線與拋物線c不相切.解法2：（i）設所求圓的半徑為，則圓的方程可設為.依題意，所求圓與直線相切于點，則解得所以所求圓的方程為.（ii）同解法1.7（2011山東高考文科15）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 .【思路點撥】先求橢圓焦點，即雙曲線的焦點，再由雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍求出b，然后寫出雙曲線的方程.【精講精析】由題意知雙曲線的焦點為（-，0）、（，0），即c=，又因為雙曲線的離心率為，所以a=2,故b2=3，所以雙曲線的方程為【考點提升訓練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1.設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點q，若過點q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是( )（a）， （b）2，2（c）1，1 （d）4，42.拋物線y2=4x的焦點是f，準線是l，點m(4,4)是拋物線上一點，則經(jīng)過點f、m且與l相切的圓共有( )(a)0個 (b)1個 (c)2個 (d)4個3.(2012三明模擬)若點p(x,y)為橢圓+y2=1上一點，則x+y的最大值為( )(a)1 (b)2 (c)2 (d)54.（2012泉州模擬）已知拋物線y=-x2+3上存在關于直線x+y=0對稱的相異兩點a、b，則|ab|等于( )（a）3 （b）4 （c） （d）5.(易錯題)若已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左右焦點分別為f1,f2，且兩條曲線在第一象限的交點為p，pf1f2是以pf1為底邊的等腰三角形若|pf1|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2，則e1e2的取值范圍是( )（a）(0,+) (b)(,+) (c)(,+) (d)(,+)6.點p在直線l:y=x-1上，若存在過p的直線交拋物線y=x2于a,b兩點，且|pa|=|ab|，則稱點p為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是( )(a)直線l上的所有點都是“點”(b)直線l上僅有有限個點是“點”(c)直線l上的所有點都不是“點”(d)直線l上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”二、填空題（每小題6分，共18分）7.過拋物線y2=2px(p0)的焦點f作傾斜角為45的直線交拋物線于a、b兩點，若線段ab的長為8，則p=_.8.若直線ab與拋物線y2=4x交于a、b兩點，ab的中點坐標是（4，2），則直線ab的方程是_.9.（2011南京模擬）設直線l:2x+y-2=0與橢圓x2+=1的交點為a、b，點p是橢圓上的動點，則使得pab的面積為的點p的個數(shù)為_.三、解答題（每小題15分，共30分）10.(預測題)已知動圓過定點（2，0），且與直線x=-2相切(1)求動圓的圓心軌跡c的方程；(2)是否存在直線l，使l過點(0,2)，并與軌跡c交于p，q兩點，且滿足 =0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由11.（2012寧德模擬）在直角坐標系xoy中，點p到兩點（0，），（0，）的距離之和等于4，設點p的軌跡為c.（1）求曲線c的方程；（2）過點（0，）作兩條互相垂直的直線l1、l2分別與曲線c交于a、b和e、d，以線段ab為直徑的圓能否過坐標原點？若能，求直線ab的斜率；若不能，說明理由.【探究創(chuàng)新】（16分）如圖，abcd是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點b都落在邊ad上，記為b；折痕與ab交于點e，以eb和eb為鄰邊作平行四邊形ebmb.若以b為原點，bc所在的直線為x軸建立直角坐標系（如圖）：(1)求點m的軌跡方程；(2)若曲線s是由點m的軌跡及其關于邊ab對稱的曲線組成的，等腰梯形a1b1c1d1的三邊a1b1,b1c1,c1d1分別與曲線s切于點p,q,r.求梯形a1b1c1d1面積的最小值.答案解析1.【解析】選c.設直線方程為y=k(x+2)，與拋物線聯(lián)立方程組，整理得ky2-8y+16k=0.當k=0時，直線與拋物線有一個交點當k0時，由=64-64k20，解得-1k1且k0.綜上-1k1.2.【解析】選c.由于圓經(jīng)過焦點f且與準線l相切，由拋物線的定義知圓心在拋物線上，又因為圓經(jīng)過拋物線上的點m，所以圓心在線段fm的垂直平分線上，即圓心是線段fm的垂直平分線與拋物線的交點，結(jié)合圖形易知有兩個交點，因此共有2個滿足條件的圓3.【解析】選d.設x+y=t,即y=t-x.代入+y2=1得+(t-x)2=1.整理得x2-2tx+t2-1=0.=4t2-4(t2-1)0,解得t.t=x+y的最大值為.4.【解題指南】轉(zhuǎn)化為過a，b兩點且與x+y=0垂直的直線與拋物線相交后求弦長問題求解.【解析】選c.設直線ab的方程為y=x+b,a(x1,y1),b(x2,y2),由x2+x+b-3=0x1+x2=-1,得ab的中點m（，）又m（，）在直線x+y=0上，可求出b=1,x2+x-2=0,則|ab|=.【方法技巧】對稱問題求解技巧若a、b兩點關于直線l對稱，則直線ab與直線l垂直，且線段ab的中點在直線l上，即直線l是線段ab的垂直平分線，求解這類圓錐曲線上的兩點關于直線l的對稱問題，常轉(zhuǎn)化為過兩對稱點的直線與圓錐曲線的相交問題求解.5.【解析】選b.由題意知|pf1|=r1=10，|pf2|=r2=2c，且r1r2e2=；e1=三角形兩邊之和大于第三邊，2c+2c10，即c，e1e2= =，因此選b.6.【解題指南】由|pa|=|ab|可得點a為線段pb的中點.【解析】選a.本題用數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，設a(m,n)，p(x,x-1),則b(2m-x,2n-x+1)，a,b在y=x2上， 消去n,整理得x2-(4m-1)x+2m2-1=0.（1）=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+50恒成立，方程（1）恒有實數(shù)解，應選a.7.【解析】由題意可知過焦點的直線方程為y=x-，聯(lián)立有x2-3px+=0，又|ab|=8p=2答案：28.【解析】設a（x1,y1)，b（x2,y2)則-得y22-y12=4（x2-x1)=1,即直線ab的斜率為1，則直線ab的方程為y-2=x-4，即x-y-2=0.答案:x-y-2=09.【解題指南】先求出弦長|ab|,進而求出點p到直線ab的距離,再求出與l平行且與橢圓相切的直線方程，最后數(shù)形結(jié)合求解.【解析】由題知直線l恰好經(jīng)過橢圓的兩個頂點（1，0），（0，2），故|ab|=，要使pab的面積為，即h=，所以h=.聯(lián)立y=-2x+m與橢圓方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令=0得m=，即平移直線l到y(tǒng)=-2x時與橢圓相切，它們與直線l的距離d=都大于，所以一共有4個點符合要求.答案：410.【解析】(1)如圖，設m為動圓圓心，f(2,0)，過點m作直線x=-2的垂線，垂足為n， 由題意知：|mf|=|mn|，即動點m到定點f與到定直線x=-2的距離相等，由拋物線的定義知，點m的軌跡為拋物線，其中f(2，0)為焦點，x=-2為準線，所以動圓圓心軌跡c的方程為y2=8x.（2）由題可設直線l的方程為x=k(y-2)(k0)，由，得y2-8ky+16k=0,=(-8k)2-416k0,解得k0或k1.設p(x1,y1)，q(x2,y2)，則y1+y2=8k，y1y2=16k，由=0，得x1x2+y1y2=0，即k2(y1-2)(y2-2)+y1y2=0，整理得：(k2+1)y1y2-2k2(y1+y2)+4k2=0，代入得16k(k2+1)-2k28k+4k2=0，即16k4k20，解得k=-4或k=0(舍去)，所以直線l存在，其方程為x+4y-8=0.【誤區(qū)警示】本題易忽視判別式大于零，從而得出兩條直線方程.11.【解析】（1）設p（x,y），由橢圓定義可知，點p的軌跡c是以（0，），（0，）為焦點，長半軸為2的橢圓.它的短半軸b=1,故曲線c的方程為x2+=1.(2)設直線l1：y=kx+,分別交曲線c于a（x1,y1),b(x2,y2),其坐標滿足,消去y并整理得(k2+4)x2+-1=0,故x1+x2=,x1x2=.若以線段ab為直徑的圓過坐標原點，則，即x1x2+y1y2=0.而y1y2=k2x1x2+k(x1+