實變函數(shù)試題庫參考答案.doc

實變函數(shù)試題題庫參考答案一、選擇題1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空題1、 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、x:對于任意的,有；8、x:存在,使得；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、；19、；20、；21、； 22、；23、； 24、； 25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可測；34、有；35、；36、；37、可測函數(shù)；38、點態(tài)收斂與一致收斂；39、；40、次可數(shù)可加性；41、可測函數(shù)；42、可測函數(shù)；43、單調性；44、（開）；45、推廣；46、測度；47、；48、，（閉集）；49、常數(shù)；50、可測函數(shù)，連續(xù)函數(shù)；51、；52、零測集； 53、可測函數(shù)；54、依測度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判斷題 1、( ) 理由: 集合具有無序性 2、( ) 理由: 舉一反例, 比如: 取A=1, B=2 3、（ ） 理由: 空集是任意集合的子集. 4、（ ） 理由:符號表示集合間的關系,不能表示元素和集合的關系. 5、( ) 理由:表示沒有任何元素的集合,而表示單元素集合,這個元素是6、( ) 理由: 表示沒有任何元素的集合,而0表示單元素集合,這個元素是0 7、( ) 理由: 根據(jù)內點的定義, 內點一定是聚點 8、( ) 理由: 舉一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外點,但卻屬于E的余集分9、( ) 理由: 有內點的定義可得. 10、( ) 理由: 有內點的定義可得. 11、( ) 理由: 舉例說明,比如: E=(0,1),元素1是E的邊界點,但屬于E. 12、( ) 理由: 舉一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的內點,但不屬于E 13、（）理由: 因有若，E不可測，而可測 14、（）理由: 因 兩可測集的并可測。15、（） 理由: 因 ，但 16、（）理由: 因 分17、（） 理由: 反例：， 把是按n后按j的順序形成的函數(shù)列 18、（） 理由: 因的測度可能無限 19、（） 理由: 因若（可測），則 20、（） 理由: 反例：自然數(shù)集外測度為零。21、（） 理由: 若是E的不可測集就不行。22、（） 理由: 反例：， 23、（） 理由: 因，存在單調下降趨于c的有理數(shù)列， 則有 ，故可測。24、（） 理由: 因 四、簡答題1、答: 令f(2n) = 2n f(2n1)2（n） 其中n=1, 2, 下面驗證f是自然數(shù)全體到偶數(shù)全體的一一映射.（1） 設m自然數(shù)全體, n自然數(shù)全體且f(m) =f(n)若f(m) =f(n)0, 則m、n為偶數(shù)，f(m) =f(n)=m=n若f(m) =f(n) 0, 則m、n為奇數(shù)，f(m) =f(n)=1m=1n即m=n, 故而f 是單射。（2） 對于任意的m偶數(shù)全體若m=0, 則有f(1)=0 ;若m0, 則有f(m)=m;若mn 時則，顯然是可數(shù)集. 3、證明: 令C=AB, 則有, 故C是可數(shù)集或有限集若C是有限集，顯然. 若C是可數(shù)集，顯然，設，。令，則。而顯然是可數(shù)集。故而是可數(shù)集. 4、證明：設 （）, 則是可數(shù)集，于是知全體正有理數(shù)成一可數(shù)集。 因正負有理數(shù)成一一對應，故負有理數(shù)成一可數(shù)集。但全體有理數(shù)，故有理數(shù)全體成一可數(shù)集。5、證明：在每個區(qū)間中取一有理數(shù)與這個區(qū)間對應，則不同的區(qū)間對應不同的有理數(shù)，故A與有理數(shù)的子集對等。 而有理數(shù)集是可列的，所以A是至多可列的。 6、證明：令 其中，Z為整數(shù)集。顯然是可數(shù)集, 并且。因為可數(shù)個可數(shù)集的并是可數(shù)集，故是可數(shù)集。7、證明：必要性，取，則，從而 充分性，令，則，且。因此 8、證明：設是E上a, e有限的可測函數(shù)，由魯金定理得，在E上基本連續(xù)，即對存在，及連續(xù)函數(shù)g滿足 （1） （2） 于是對，所以 9、證明：因對，有 10、證明：因，由Riesz定理，存在的子列，使 ，且 設時有，且 這樣時，有，從而 注意 11、證明：設， 令 則，且 由的定義知 故有 12、證明：有使，且在上一致收斂于 令，則在收斂于f，且。 從而 13、證： 14、證明：因 故， 從而 令 ，得 注意到故 ，即，a, e于E 15、證明：若E有界，則， 從而，即E可測 若E無界，則存在互不相交的有界集列，使。 而每個 ，且 ，所以 ， 因 ，所以E是可測的。 16、證明：首先 因， 故 所以 17、證明：因A可測，取，有 又因（定義3中取T = B即得） 所以 18、證明：顯然 ，（時） （ 故 從而 19、證明：令，因在上可積，故在上也可積，且有 所以 故 。 20、證明：因為是上的有界函數(shù)，故可設，其中為常數(shù)。 則 所以 21、證明：用表示上的特征函數(shù)，由假設對于任何至少屬于個，所以，因而。而另一方面，故，從而這個集中必有一集，它的測度大于或等于。22、證明：令， ，易