【五年經(jīng)典推薦 全程方略】高三數(shù)學(xué) 專項精析精煉 考點49 離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差.doc

考點49離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差一、選擇題1. （2014浙江高考理科9）已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有個紅球和個籃球，從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中.（a）放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為；（b）放入個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為.則 a. b.c. d.【解題指南】根據(jù)概率和數(shù)學(xué)期望的有關(guān)知識，分別計算、和、在比較大小.【解析】選a.隨機變量的分布列如下：12123所以， 所以因為， 所以二、填空題2. （2014上海高考理科13）【解題提示】根據(jù)期望公式結(jié)合分布列的性質(zhì)可得.【解析】3. （2014浙江高考理科12）隨機變量的取值為0,1,2，若，則_.【解題指南】根據(jù)離散型隨機變量的均值與方差的性質(zhì)計算【解析】設(shè)時的概率為，則，解得，故答案：三、解答題4. （2014湖北高考理科20）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.(1) 求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；(2) 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：年入流量x發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬，欲使水電站年利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？【解題指南】（）先求出年入流量x的概率，根據(jù)二項分布，求出未來4年中，至少有1年的年入流量超過120的概率；（）分三種情況進行討論，分別求出一臺，兩臺，三臺的數(shù)學(xué)期望，比較即可得到 【解析】（）依題意，由二項分布，在未來4年中至多有一年的年入流量超過120的概率為（）記水電站年總利潤為（1） 安裝1臺發(fā)電機的情形由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤， （2）安裝2臺發(fā)電機的情形依題意，當時，一臺發(fā)電機運行，此時，因此；當時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此；由此得的分布列如下y420010000p0.20.8所以，。（3）安裝3臺發(fā)電機的情形依題意，當時，一臺發(fā)電機運行，此時，因此；當時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此；當時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此由此得的分布列如下y3400820015000p0.20.70.1所以，。綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺。5. （2014湖南高考理科17）（本小題滿分12分）某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望【解題提示】(1)利用獨立事件的乘法公式求解;(2)利用分布列、期望的定義求解?！窘馕觥坑沞=甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，f=乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功。由題設(shè)知，（1）且事件與，與，與，與都相互獨立。記h=至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，則，于是故所求的概率為（2）設(shè)企業(yè)可獲利潤為x（萬元），則x的可能取值為0，100，120，220，因故所求的分布列為x0100120220p數(shù)學(xué)期望為6.(2014廣東高考理科)(13分)隨機觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位:件),獲得數(shù)據(jù)如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率25,3030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,45n1f1(45,50n2f2(1)確定樣本頻率分布表中n1,n2,f1和f2的值.(1)根據(jù)上述頻率分布表,畫出樣本頻率分布直方圖.(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖,求在該廠任取4人,至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35的概率.【解題提示】(1)在所給的數(shù)據(jù)中圈出(40,45,(45,50的數(shù)字可得n1,n2的值,再換算出f1,f2的值.(2)建立坐標系,用計算各組縱坐標的值.(3)根據(jù)“樣本頻率分布直方圖”判斷為二項分布型,再用對立事件的概率求解.【解析】(1)由所給的數(shù)據(jù),知在(40,45的有42, 41,44,45,43,43,42,即n1=7;在(45,50的有49,46,即n2=2,(列出有關(guān)數(shù)據(jù),直接寫出n1=7,n2=2會被扣分)f1=0.28,f2=0.08.(2)算得各組的的值分別為:=0.024, =0.04, =0.064,=0.065,=0.016,(要具體算出來,否則要被扣分)“樣本分布直方圖”如圖所示;7.（2014福建高考理科18）18.（本小題滿分13分）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望;（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.【解題指南】列分布表，再按公式求期望；欲讓每位顧客所獲得的獎勵相對平衡，則應(yīng)求方差，方差小的為最佳方案【解析】(1i)設(shè)顧客所獲的獎勵額為.依題意，得，即顧客所獲的獎勵額為元的概率；3分依題意，得的所有可能取值為，(或)即的分布列為：顧客所獲的獎勵額的數(shù)學(xué)期望(元).6分(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元，所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況.如果選擇的方案，因為60元是面值之和的最大值.所以期望不可能為60元；如果選擇的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是，記為方案1.8分對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除和的方案，所以可能的方案是，記為方案2.9分以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案，設(shè)顧客所獲的獎勵額為，則的分布列為2060100的期望為，的方差為.11分對于方案2，即方案，設(shè)顧客所獲的獎勵額為，則的分布列為206080的期望為，的方差為.由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1小，所以應(yīng)該選擇方案2.13分注：第(2)問，給出方案1或方案2的任一種方案，并利用期望說明所給方案滿足要求，給3分；進一步比較方差，說明應(yīng)選擇方案2，再給2分.(3)根據(jù)“樣本頻率分布直方圖”,以頻率估計概率,則在該廠任取1人,其加工零件數(shù)據(jù)落在(30,35的頻率為0.20,估計其概率為0.20(這個要寫,否則會被扣分,需點明“頻率估計概率”),在該廠任取4人,至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35的概率為p(a)=1- (0.2)0(1-0.2)4=0.5904(二項分布型概率,間接求較為方便),所求的概率為0.5904.8. （2014山東高考理科18）乒乓球臺面被網(wǎng)分成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點在上記3分，在上記1分，其它情況記0分.對落點在上的來球，小明回球的落點在上的概率為，在上的概率為；對落點在上的來球，小明回球的落點在上的概率為，在上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：（）小明的兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；（）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解題指南】(1)本題考查了相互獨立事件的概率.(2)本題考查的是隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,先列出的所有值,并求出每個值所對應(yīng)的概率,列出分布列,然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望.【解析】（i）設(shè)恰有一次的落點在乙上這一事件為（ii） 0123469.(2014陜西高考理科t19)(本小題滿分12分)在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量具有隨機性,且互不影響,其具體情況如下表:作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)x表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求x的分布列.(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.【解題指南】(1)先由已知確定x所有可能的取值,再利用概率公式求出x對應(yīng)值的概率,從而得到x的分布列.(2)利用問題(1)的結(jié)論得某1季此作物的利潤不少于2000元的概率,再分類求得這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.【解析】(1)設(shè)a表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”,b表示事件“作物市場價格為6元/kg”,由題設(shè)知p(a)=0.5,p(b)=0.4,因為利潤=產(chǎn)量市場價格-成本.所以x所有可能的取值為50010-1000=40005006-1000=200030010-1000=20003006-1000=800p(x=4000)=p()p()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,p(x=2000)=p()p(b)+p(a)p ()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,p(x=800)=p(a)p(b)=0.50.4=0.2.所以x的分布列為x4 0002 000800p0.30.50.2(2)設(shè)ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i=1,2,3),由題意知c1,c2,c3相互獨立,由(1)知,p(ci)=p(x=4000)+p(x=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利潤均不少于2000元的概率為p(c1c2c3)=p(c1)p(c2)p(c3)=0.83=0.512.3季中有2季的利潤不少于2000元的概率為p(c2c3)+p(c1c3)+p(c1c2)=30.820.2=0.384,所以這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為0.512+0.384=0.896.10. （2014天津高考理科16）（本小題滿分13分）某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué). 在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院. 現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）.（1）求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；（2）設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院”為事件，則.所以，選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率為.所以，的最小正周期.（2）隨機變量的所有可能值為0，1，2，3.所以，隨機變量的分布列是0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望.11.（2014安徽高考理科17）甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.(1) 求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記x為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求x的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）【解題提示】 （1）甲在4局以內(nèi)（含4局）連勝有3種可能；（2）列出x的取值可能有4種情況，分別求出其概率?！窘馕觥坑胊表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第k局甲獲勝”，表示“第k局乙獲勝”，則，k=1,2,3,4,5.(1) =.(2) x的可能取值為2,3,45.=.故x的分布列為：x2345pe(x)=.12. （2014四川高考理科17）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立（1）設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為，求的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)