高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.11.5.2 曲邊梯形的面積、定積分課件 蘇教版選修22.ppt

1 5 1曲邊梯形的面積1 5 2定積分 第1章1 5定積分 1 了解定積分的概念 2 理解定積分的幾何意義 3 通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程 了解 以直代曲 以不變代變 的思想 4 能用定積分的定義求簡單的定積分 學(xué)習(xí)目標 欄目索引 知識梳理自主學(xué)習(xí) 題型探究重點突破 當堂檢測自查自糾 知識梳理自主學(xué)習(xí) 知識點一曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程1 曲邊梯形的面積 1 曲邊梯形 由直線x a x b a b y 0和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形 如圖 所示 答案 y f x 2 求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間 a b 分成許多小區(qū)間 進而把曲邊梯形拆分為一些 對每個 以直代曲 即用矩形的面積近似代替的面積 得到每個小曲邊梯形面積的 對這些近似值 就得到曲邊梯形面積的 如圖 所示 3 求曲邊梯形面積的步驟 2 求變速直線運動的 位移 路程如果物體做變速直線運動 速度函數(shù)v v t 那么也可以采用 的方法 求出它在a t b內(nèi)所作的位移s 答案 小曲邊梯形 小曲邊梯形 小曲邊梯形 近似值 求和 近似值 分割 以直代曲 作和 逼近 分割 以直 代曲 作和 逼近 思考 1 如何計算下列兩圖形的面積 答案 答案 直接利用梯形面積公式求解 轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解 2 求曲邊梯形面積時 對曲邊梯形進行 以直代曲 怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差 答案為了減小近似代替的誤差 需要先分割再分別對每個小曲邊梯形 以直代曲 而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多 得到的面積的誤差越小 答案 知識點二定積分的概念設(shè)函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上有定義 將區(qū)間 a b 等分成n個小區(qū)間 每個小區(qū)間長度為 x x 在每個小區(qū)間上取一點 依次為x1 x2 xi xn 作和sn f x1 x f x2 x f xi x f xn x 如果當 x 0 亦即n 時 sn s 常數(shù) 那么稱常數(shù)s為函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作s 其中a與b分別叫做與 區(qū)間 a b 叫做 函數(shù)f x 叫做 x叫做 f x dx叫做 答案 積分下限 積分上限 積分區(qū)間 被積函數(shù) 積分變量 被積式 思考 1 如何理解定積分 答案定積分是一個數(shù)值 極限值 它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上 下限 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) 答案 答案 答案 分割 將區(qū)間 a b n等分 記第i個小區(qū)間為 xi 1 xi 區(qū)間長度 x xi xi 1 逼近 知識點三定積分的幾何意義與性質(zhì)1 定積分的幾何意義由直線x a x b a b x軸及一條曲線y f x 所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為s 則有 1 在區(qū)間 a b 上 若f x 0 則s 如圖 1 所示 即 2 在區(qū)間 a b 上 若f x 0 則s 如圖 2 所示 即 答案 答案 即 sa sb表示所在區(qū)域的面積 答案 返回 思考設(shè)v v t 在時間區(qū)間 t1 t2 上連續(xù)且恒有v t 0 定積分的意義是什么 答案定積分表示做變速直線運動的物體在時間區(qū)間 t1 t2 內(nèi)經(jīng)過的路程 這就是定積分的物理意義 題型探究重點突破 解析答案 題型一對定積分的理解例1用定積分的定義求曲線y x3 1與x 0 x 1及y 0所圍成的曲邊梯形的面積 過各區(qū)間端點作x軸的垂線 從而得到n個小曲邊梯形 它們的面積分別記為 s1 s2 si sn 解析答案 解析答案 反思與感悟 反思與感悟 對圖形進行分割實現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積 但這僅是近似值 分割得越細 近似程度就會越高 這就是 以直代曲 方法的應(yīng)用 解析答案 跟蹤訓(xùn)練1求由直線x 0 x 1 y 0和曲線y x x 1 圍成的圖形的面積 解析答案 解 1 分割 將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形 過各分點作x軸的垂線 把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形 它們的面積分別記作 s1 s2 si sn 2 以直代曲 用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積 為了計算方便取xi為小區(qū)間的左端點 解析答案 解析答案 3 作和 因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值 所以n個小矩形面積的和 就是曲邊梯形面積s的近似值 4 逼近 當分點數(shù)目愈多 即 x愈小時 和式 的值就愈接近曲邊梯形的面積s 因此 當n 即 x 0時 和式 的逼近值就是所求曲邊梯形的面積 解析答案 題型二求汽車行駛的路程例2汽車以速度v做勻速直線運動時 經(jīng)過時間t所行駛的路程為s vt 如果汽車做變速直線運動 在時刻t的速度為v t t2 2 v的單位 km h t的單位 h 那么它在1 t 2這段時間內(nèi)行駛的路程s 單位 km 是多少 反思與感悟 解將區(qū)間 1 2 等分成n個小區(qū)間 反思與感悟 反思與感悟 利用類比轉(zhuǎn)化的思想 把求汽車行駛的路程轉(zhuǎn)化為求時間 速度坐標系中的曲邊梯形的面積 再用求曲邊梯形的面積方法來解決此問題 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2一物體自200m高空自由落下 求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離 g 9 8m s2 解自由落體的下落速度為v t gt 以左端點函數(shù)值作為該區(qū)間的速度 故該物體在下落后第3s至第6s之間的距離是132 3m 解析答案 題型三由定積分的幾何意義求定積分例3利用定積分的幾何意義 求 以3為半徑的上半圓 如圖 1 所示 解析答案 解在坐標平面上 f x 2x 1為一條直線 反思與感悟利用定積分的幾何意義求定積分 關(guān)鍵是準確確定被積函數(shù)的圖象 以及積分區(qū)間 正確利用相關(guān)的幾何知識求面積 求不規(guī)則圖形的面積常用分割法 注意分割點的選取 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓(xùn)練3利用定積分的幾何意義計算 解如圖 所示 定積分為圖中陰影部分面積a減去b 解如圖 所示 定積分為圖中陰影部分面積 例4如圖所示 f x 在區(qū)間 a b 上 則陰影部分的面積s為 易錯易混 因?qū)Χǚe分的幾何意義理解不準確致誤 解析答案 返回 防范措施 錯解錯填 或 或 錯因分析錯誤的原因在于對定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹 防范措施 若在 a c 上 f x 0 在 c b 上 f x 0 返回 定積分的幾何意義是在x軸上半部計算的面積取正值 在x軸下半部計算的面積取負值 防范措施 當堂檢測 1 2 3 4 解析答案 1 把區(qū)間 1 3 n等分 所得n個小區(qū)間的長度均為 與f x 和積分區(qū)間 a b 有關(guān) 與 i的取法無關(guān) 與f x 有關(guān) 與區(qū)間 a b 以及 i的取法無關(guān) 與f x 以及 i的取法有關(guān) 與區(qū)間 a b 無關(guān) 與f x 積分區(qū)間 a b 和 i的取法都有關(guān) 答案 1 2 3 4 3 求由曲線y x2與直線x 1 x 2 y 0所圍成的平面圖形面積時 把區(qū)間5等分 則面積的近似值 取每個小區(qū)間的左端點 是 解析答案 1 02 1 2 3 4 4 根據(jù)定積分的幾何意義 用不等號連接下列式子 答案 1 2 3 4 課堂小結(jié) 1 求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟 1 分割 n等分區(qū)間 a b