高中數學第二講參數方程一第一課時參數方程的概念及圓的參數方程學案新人教.docx

第1課時參數方程的概念及圓的參數方程學習目標1.理解曲線參數方程的有關概念.2.掌握圓的參數方程.3.能夠根據圓的參數方程解決最值問題知識點一參數方程的概念思考在生活中，兩個陌生的人通過第三方建立聯(lián)系，那么對于曲線上點的坐標(x，y)，直接描述它們之間的關系比較困難時，可以怎么辦呢？答案可以引入參數，作為x，y聯(lián)系的橋梁梳理參數方程的概念(1)參數方程的定義在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數t(，)的函數并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數方程，t叫做參數，相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫普通方程(2)參數的意義參數是聯(lián)系變數x，y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數，也可以是沒有明顯實際意義的變數特別提醒：普通方程和參數方程是同一曲線的兩種不同表達形式，參數方程可以與普通方程進行互化知識點二圓的參數方程思考如圖，角的終邊與單位圓交于一點P，P的坐標如何表示？答案P(cos，sin)，由任意角的三角函數的定義即xcos，ysin.梳理圓的參數方程圓心和半徑圓的普通方程圓的參數方程圓心O(0,0)，半徑rx2y2r2(為參數)圓心C(a，b)，半徑r(xa)2(yb)2r2(為參數)類型一參數方程及應用例1已知曲線C的參數方程是(t為參數)(1)判斷點M1(0,1)，M2(5,4)與曲線C的位置關系；(2)已知點M3(6，a)在曲線C上，求a的值解(1)把點M1的坐標(0,1)代入方程組，得解得t0.點M1在曲線C上同理可知，點M2不在曲線C上(2)點M3(6，a)在曲線C上，解得t2，a9.a9.反思與感悟參數方程是曲線方程的另一種表達形式，點與曲線位置關系的判斷，與平面直角坐標普通方程下的判斷方法是一致的跟蹤訓練1在平面直角坐標系中，已知曲線C的參數方程是(為參數)(1)求曲線C上的點Q(，3)對應的參數的值；(2)若點P(m，1)在曲線C上，求m的值解(1)把點Q的坐標(，3)代入參數方程，得即解得2k(kZ)，故曲線上的點Q對應的參數的值是2k(kZ)(2)把點P的坐標(m，1)代入參數方程，得解得sin，故cos，即m，即所求m的值是.類型二求曲線的參數方程例2如圖，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰長為a，頂點B，A分別在x軸、y軸上滑動，求點P在第一象限的軌跡的參數方程解方法一設點P(x，y)，過P點作x軸的垂線交x軸于點Q.如圖所示，則RtOABRtQBP.取OBt，t為參數(0ta)|OA|，|BQ|.又|PQ|OB|t，點P在第一象限的軌跡的參數方程為(0ta)方法二設點P(x，y)，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，如圖所示取QBP，為參數，則ABO，在RtOAB中，|OB|acosasin.在RtQBP中，|BQ|acos，|PQ|asin.點P在第一象限的軌跡的參數方程為(為參數，0)反思與感悟求曲線參數方程的主要步驟(1)畫出軌跡草圖，設M(x，y)是軌跡上任意一點的坐標(2)選擇適當的參數，參數的選擇要考慮以下兩點曲線上每一點的坐標x，y與參數的關系比較明顯，容易列出方程；x，y的值可以由參數惟一確定(3)根據已知條件、圖形的幾何性質、問題的物理意義等，建立點的坐標與參數的函數關系式，證明可以省略跟蹤訓練2長為3的線段兩端點A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動，3，點P的軌跡為曲線C.(1)以直線AB的傾斜角為參數，求曲線C的參數方程；(2)求點P到點D(0，2)距離的最大值解(1)設P(x，y)，由題意，得x|AB|cos()2cos，y|AB|sin()sin.所以曲線C的參數方程為(為參數，)(2)由(1)得|PD|2(2cos)2(sin2)24cos2sin24sin43sin24sin832.當sin時，|PD|取得最大值.類型三圓的參數方程及應用例3如圖，圓O的半徑為2，P是圓O上的動點，Q(4,0)在x軸上M是PQ的中點，當點P繞O作勻速圓周運動時，(1)求點M的軌跡的參數方程，并判斷軌跡所表示的圖形；(2)若(x，y)是M軌跡上的點，求x2y的取值范圍解(1)設點M(x，y)，令xOP，則圓O的參數方程為(為參數)，點P的坐標為(2cos，2sin)又Q(4,0)，xcos2，ysin.點M的軌跡的參數方程為(為參數)由參數方程知，點M的軌跡是以(2,0)為圓心，1為半徑的圓(2)x2ycos22sinsin()2，tan.1sin()1，2x2y2.即x2y的取值范圍是2，2反思與感悟(1)圓的參數方程中的參數是角，所以圓上的點的坐標是三角函數(2)運用圓的參數方程，可以將相關問題轉化為三角函數問題，利用三角函數知識解決問題跟蹤訓練3已知實數x，y滿足(x1)2(y1)29，求x2y2的最大值和最小值解由已知，可把點(x，y)視為圓(x1)2(y1)29上的點，設(為參數)則x2y2(13cos)2(13sin)2116(sincos)116sin.1sin1，116x2y2116.x2y2的最大值為116，最小值為116.1下列方程：(m為參數)；(m，n為參數)；xy0中，參數方程的個數為()A1B2C3D4答案A2曲線(為參數)圍成圖形的面積等于()AB2C3D4答案D3圓C：(為參數)的圓心坐標為_，和圓C關于直線xy0對稱的圓C的普通方程是_答案(3，2)(x2)2(y3)216(或x2y24x6y30)解析將參數方程化為標準方程，得(x3)2(y2)216，故圓心坐標為(3，2)點P(3，2)關于直線yx的對稱點為P(2,3)，則圓C關于直線yx對稱的圓C的普通方程為(x2)2(y3)216(或x2y24x6y30)4已知(t為參數)，若y1，則x_.答案0或2解析yt21，t1.x112或x110.5若P(2，1)為圓O：(02)的弦的中點，則該弦所在直線l的方程為_答案xy30解析圓心O(1,0)，kOP1，即直線l的斜率為1.直線l的方程為xy30.1參數方程(1)參數的作用：參數是間接地建立橫、縱坐標x，y之間的關系的中間變量，起到了橋梁的作用(2)參數方程是通過變數反映坐標變量x與y之間的間接聯(lián)系2求曲線參數方程的步驟第一步，建系，設M(x，y)是軌跡上任意一點；第二步，選參數，比如選參數t；第三步，建立x，y與參數間的關系，即一、選擇題1若點P(4，a)在曲線(t為參數)上，則a等于()A4B4C8D1答案B解析根據題意，將點P的坐標代入曲線方程中，得2下列的點在曲線(為參數)上的是()A.B.C(2，) D(1，)答案B解析由參數方程得y21x，只有B項中的點符合上式3已知O為原點，參數方程(為參數)上的任意一點為A，則|OA|等于()A1B2C3D4答案A解析|OA|1，故選A.4參數方程(t為參數)表示的曲線是()A兩條直線B一條射線C兩條射線D雙曲線答案C解析當t0時，是一條射線；當t0時，也是一條射線，故選C.5圓心為點(1,2)，半徑為5的圓的參數方程為()A.(02)B.(02)C.(0)D.(02)答案D解析圓心為點C(a，b)，半徑為r的圓的參數方程為(0,2)故圓心為點(1,2)，半徑為5的圓的參數方程為(02)6設曲線C的參數方程為(為參數)，直線l的方程為x3y20，則曲線C上到直線l的距離為的點的個數為()A1B2C3D4答案B解析由得(x2)2(y1)29.曲線C表示以點(2，1)為圓心，以3為半徑的圓，則圓心C(2，1)到直線l的距離d3，所以直線與圓相交，所以過圓心(2，1)與l平行的直線與圓的2個交點滿足題意，又3d，故滿足題意的點有2個二、填空題7若點(3，3)在曲線(為參數)上，則_.答案2k，kZ解析將點(3，3)代入參數方程(為參數)，得解得2k，kZ.8已知圓C的參數方程為(為參數)，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為sin1，則直線l與圓C的交點的直角坐標為_答案(1,1)，(1,1)解析由圓C的參數方程為可求得其在直角坐標系下的方程為x2(y1)21，由直線l的極坐標方程sin1，可求得其在直角坐標系下的方程為y1，由可解得所以直線l與圓C的交點的直角坐標為(1,1)，(1,1)9在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(為參數)和直線l：3x4y100，則直線l與圓C相交所得的弦長等于_答案4解析由圓C的參數方程(為參數)，可得圓C的圓心為(1,2)，半徑為5，又直線l的方程為3x4y100，圓心到直線l的距離d1，直線l與圓C相交所得的弦長為24.10若x，y滿足(x1)2(y2)24，則2xy的最小值為_答案2解析令x12cos，y22sin，則有x2cos1，y2sin2，故2xy4cos22sin24cos2sin2sin()，tan2.22xy2.即2xy的最小值為2.三、解答題11已知直線yx與曲線(為參數)相交于兩點A和B，求弦長|AB|.解由得(x1)2(y2)24，其圓心為(1,2)，半徑r2，則圓心(1,2)到直線yx的距離d.|AB|22.12已知曲線C：(為參數)，如果曲線C與直線xya0有公共點，求實數a的取值范圍解x2(y1)21.圓與直線有公共點，則d1，解得1a1.即實數a的取值范圍是1，113.如圖所示，OA是圓C的直徑，且|OA|2a，射線OB與圓交于Q點，和經過A點的切線交于B點，作PQOA，PBOA，試求P點的軌跡方程解設點P(x，y)是軌跡上任意一點，取DOQ，由PQOA，PBOA，得xOD|OQ|cos|OA|cos22acos2，yAB|OA|tan2atan.所以P點的軌跡的參數方程為.四、探究與拓展14設Q(x1，y1)是單位圓x2y21上一個動點，則動點P(xy，x1y1)的軌跡的參數方程是_答案解析設x1cos，y1sin，P(x，y)則即為所求15在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，