【科學備考】（新課標）高考數學二輪復習 第六章 數列 數列的綜合與應用 理（含試題）.doc

【科學備考】（新課標）2015高考數學二輪復習 第六章 數列 數列的綜合與應用 理（含2014試題）理數1.(2013年北京海淀區(qū)高三第二次模擬，8,5分) 若數列滿足：存在正整數，對于任意正整數都有成立，則稱數列為周期數列，周期為. 已知數列滿足，則下列結論中錯誤的是（）a. 若，則可以取3個不同的值b. 若，則數列是周期為的數列c. 且，存在，是周期為的數列 d. 且，數列是周期數列答案 1.d 解析 1.對于a項，若，則由得或；進而推出，或，或. 即或或，故a項正確；對于b項，若，即，則，故數列是周期為的數列. 故b項正確；對于c項，若且，是周期為的數列，則一定有滿足，即，化簡得，所以（舍去）. 此時，滿足. 故c項正確；對于d項，假設且，數列是周期數列，則一定存在使得，那么，. 故其后一定有某一項為，且，則，化簡得，所以. 因為不可能為有理數，故與假設矛盾. 所以d項錯誤.2.(2013課標, 12,5分) 設anbncn的三邊長分別為an, bn, cn, anbncn的面積為sn, n=1,2, 3, . 若b1 c1, b1+c1=2a1, an+1=an, bn+1=, cn+1=, 則()a. sn為遞減數列b. sn為遞增數列c. s2n-1為遞增數列, s2n為遞減數列d. s2n-1為遞減數列, s2n為遞增數列答案 2.b解析 2.由bn+1=, cn+1=得bn+1+cn+1=an+(bn+cn), bn+1-cn+1=-(bn-cn), 由an+1=an得an=a1, 代入得bn+1+cn+1=a1+(bn+cn), bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1),b1+c1-2a1=2a1-2a1=0, bn+cn=2a1 |bncn|=a1, 所以點an在以bn、cn為焦點且長軸長為2a1的橢圓上(如圖). 由b1 c1得b1-c1 0, 所以|bn+1-cn+1|=(bn-cn),即|bn-cn|=(b1-c1) , 所以當n增大時|bn-cn|變小, 即點an向點a處移動, 即邊bncn上的高增大,又|bncn|=an=a1不變, 所以sn為遞增數列.3. (2014山西太原高三模擬考試（一），16) 在數列中，已知 ，則 . 答案 3. 解析 3. ，.，又因為，代入解得，同理可得，又因為函數單調函數，所以可得，同理可得，所以.4.(2013年河南十所名校高三第二次聯考，16,5分) 設數列是等差數列，數列是等比數列，記數列，的前n項和分別為 ，. 若a5b5，a6b6，且s7s54（t6t4），則_.答案 4.解析 4. 設等差數列的公差為，等比數列的公比為. 由a5b5，a6b6，且s7s54（t6t4），得解得故5. (2014重慶,22,12分)設a1=1,an+1=+b(nn*).()若b=1,求a2,a3及數列an的通項公式;()若b=-1,問:是否存在實數c使得a2nca2n+1對所有nn*成立?證明你的結論.答案 5.查看解析解析 5.()解法一:a2=2,a3=+1.再由題設條件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.從而(an-1)2是首項為0,公差為1的等差數列,故(an-1)2=n-1,即an=+1(nn*).解法二:a2=2,a3=+1,可寫為a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜想an=+1.下用數學歸納法證明上式:當n=1時結論顯然成立.假設n=k時結論成立,即ak=+1,則ak+1=+1=+1=+1.這就是說,當n=k+1時結論成立.所以an=+1(nn*).()解法一:設f(x)=-1,則an+1=f(an).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下用數學歸納法證明加強命題a2nca2n+11.當n=1時,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2a31,結論成立.假設n=k時結論成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上為減函數得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.這就是說,當n=k+1時結論成立.綜上,符合條件的c存在,其中一個值為c=.解法二:設f(x)=-1,則an+1=f(an).先證:0an1(nn*).當n=1時,結論明顯成立.假設n=k時結論成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上為減函數,從而0=f(1)f(ak)f(0)=-11.即0ak+11.這就是說,當n=k+1時結論成立.故成立.再證:a2na2n+1(nn*).當n=1時,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2a3,即n=1時成立.假設n=k時,結論成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.這就是說,當n=k+1時成立.所以對一切nn*成立.由得a2n-1,即(a2n+1)2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2,所以a2n+1-1,解得a2n+1.綜上,由、知存在c=使a2nc 0.由a2+a716, 得 由得由得將其代入得. 即（）由（i）得,=.故=1- 1.恒成立m的最小值為100.12.13.(2013山東青島高三三月質量檢測，20,12分）已知, 數列滿足, 數列滿足；又知數列中，且對任意正整數，.（）求數列和數列的通項公式；（）將數列中的第項，第項，第項，第項，刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數列，求數列的前項和.答案 13.（），.又由題知：令 ，則, .若，則，所以恒成立若, 當, 不成立, 所以.（）由題知將數列中的第3項、第6項、第9項刪去后構成的新數列中的奇數列與偶數列仍成等比數列，首項分別是，公比均是.13.14.（2013安徽省皖南八校高三第三次聯合考試21,14分）已知sn為數列an的前n項和，a1=a，sn=kan+1且常數k滿足0 |k| 1.(i) 求數列an的通項公式；(ii) 對于每一個正整數m, 若將數列中的三項am+1，am+2，am+3按從小到大的順序調整 后，均可構成等差數列，且記公差為dm，試求k的值及相應dm的表達式(用含m的 式子表示) ；(iii) 記數列dm (這里dm是(2) 中的dm的前m項和為tm=d1+d2+dm. 問是否存在 a, 使得tm 90對恒成立？若存在，求出a的最大值; 若不存在，請說明理由.答案 14.(1) ，. 此兩式相減，得，化簡得.又，是公比為，首項為的等比數列.() . 又時，通項公式 （2）是正整數，.又按從小到大順序調整后可以構成等差數列，所以公差.若，解得. 于是，. 若，此時方程無解，即不符合題意.若，解得. 于是，. 綜上，若，則；若，則.(3) 因為，若，則.由，即對一切正整數成立，故. 這與是正整數矛盾.所以，此時不存在滿足條件的.若，則.由，即對一切正整數成立，得.所以，.綜上，可知存在滿足條件的正整數，且的最大值為40.14.15.(2013年北京海淀區(qū)高三第二次模擬，20，13分）設是由個實數組成的行列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”.（）數表如表1所示，若經過兩次“操作” ，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作” 后所得的數表（寫出一種方法即可）；（）數表如表2所示，若必須經過兩次“操作” ，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數的所有可能值；（）對由個實數組成的行列的任意一個數表，能否經過有限次“操作” 以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由.答案 15.（）解：法1：法2：法3：（） 每一列所有數之和分別為2，0，0，每一行所有數之和分別為，1;如果首先操作第三列，則則第一行之和為，第二行之和為，這兩個數中，必須有一個為負數，另外一個為非負數，所以 或，當時，則接下來只能操作第一行，此時每列之和分別為，必有，解得.當時，則接下來操作第二行 此時第4列和為負，不符合題意. 如果首先操作第一行則每一列之和分別為，.當時，每列各數之和已經非負，不需要進行第二次操作，舍掉；當時，至少有一個為負數；所以此時必須有，即，所以或，經檢驗，或符合要求綜上，.（）能經過有限次操作以后，使得得到的數表所有的行和與所有的列和均為非負實數. 證明如下：記數表中第行第列的實數為（），各行的數字之和分別為，各列的數字之和分別為，數表中個實數之和為，則. 記.按要求操作一次時，使該行的行和（或該列的列和）由負變正，都會引起（和）增大，從而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，顯然，必然小于等于最初的數表中個實數的絕對值之和，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止. 終止之時，必是所有的行和與所有的列和均為非負實數，否則，只要再改變該行或該列的符號，就又會繼續(xù)上升，導致矛盾，故結論成立.15.16.(2013年遼寧省五校協作體高三第二次模擬考試，19，12分) 鑫隆房地產公司用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房. 經測算，如果將樓房建為層，則每平方米的平均建筑費用為（單位：元）. 為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？（注：平均綜合費用平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用）答案 16.設樓房每平方米的平均綜合費為元，則.方法一： , 令 得 當 時，；當 時，,因此 當時，取最小值.（方法二：，當且僅當時成立，即時，）.答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層.16.17.（2013年四川成都市高新區(qū)高三4月月考，19,12分）設函數，數列前項和，數列，滿足.（）求數列的通項公式；（）設數列的前項和為，數列的前項和為，證明： .答案 17.() 由，得是以為公比的等比數列，故.（）由，得，記+，用錯位相減法可求得：. （注：此題用到了不等式：進行放大. ）17.18.（2013江西，17,12分）正項數列a