勾股定理的探索 (3).doc

：從形與數(shù)兩方面加深對(duì)勾股定理內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，應(yīng)用定理分析解決問(wèn)題；了解空間的直角問(wèn)題。教學(xué)目標(biāo)能力目標(biāo)：能正確使用勾股定理求解直角三角形中的未知邊，會(huì)通過(guò)觀察分析應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題。體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。 情感價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)解決問(wèn)題過(guò)程，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)，積極思考的探索意識(shí)及合作意識(shí)，感受數(shù)學(xué)美。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)。重點(diǎn)：勾股定理的靈活應(yīng)用。難點(diǎn)：將問(wèn)題抽象成解直角三角形問(wèn)題的過(guò)程；在空間發(fā)現(xiàn)直角并應(yīng)用定理。關(guān)鍵點(diǎn)：作輔助線，然后發(fā)現(xiàn)或構(gòu)建直角三角形是應(yīng)用定理的關(guān)鍵。（考慮到學(xué)生空間感尚不高，自制教具長(zhǎng)方體模型，幫助學(xué)生克服思維障礙。）教法設(shè)計(jì)：采用“啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)法”，“發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法”來(lái)組織課堂教學(xué)。學(xué)生在老師引導(dǎo)之下，獨(dú)立或通過(guò)合作完成由易至難的三個(gè)問(wèn)題。充分體驗(yàn)觀察分析應(yīng)用解決問(wèn)題的過(guò)程。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入師生：（問(wèn)答形式，以國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽?qǐng)D引入課題內(nèi)容。）師：勾股定理的內(nèi)容是什么？生：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方師：用符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔的概述為生：a2+b2=c2師：有了勾股定理，我們對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)更加全面。從圖形上生：有一個(gè)角為直角的三角形叫直角三角形。師：從邊的數(shù)量關(guān)系上生：三邊滿足a2+b2=c2的三角形是直角三角形。師：下面我們通過(guò)應(yīng)用來(lái)體會(huì)勾股定理在解決直角三角形問(wèn)題方面的威力。二、定理應(yīng)用師：（讀題，要求學(xué)生獨(dú)立完成并口答結(jié)果）*例1 練一練計(jì)算直角三角形未知邊的長(zhǎng)度。題目(略)生：齊答計(jì)算結(jié)果。師：除了單純計(jì)算，勾股定理的價(jià)值更在于能幫助我們解決生活中的問(wèn)題。下面看例二。（出示幻燈片4）*例2 身邊數(shù)學(xué)寧晉縣城某超市為方便顧客購(gòu)物想建一傳送電梯，已知樓高AC是5米，電梯底部與樓底距離BC是12米，請(qǐng)問(wèn)傳送電梯的履帶AB需多長(zhǎng)？生：（計(jì)算后回答結(jié)果）師：結(jié)果很正確。這道題目使我們重新體會(huì)解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過(guò)程。結(jié)果是怎樣得到的？生：由勾股定理得到。師：既然用勾股定理，那么必有直角三角形。直角三角形在哪里？生：由題意，地面BC樓高CA履帶AB構(gòu)成直角三角形ABC，C=90師：很好，這樣我們把一個(gè)生活問(wèn)題抽象成了一個(gè)解直角三角形問(wèn)題，并用勾股定理解決。大家口述一下，應(yīng)用題的步驟怎么規(guī)范書寫?師生共同完成口述過(guò)程（教師出示相應(yīng)的幻燈片）師：同學(xué)們，前兩個(gè)問(wèn)題解決的都非常出色，如果說(shuō)前兩個(gè)例題我們把它看作思維上的電梯，那么現(xiàn)在咱們一起乘 “電梯”向高處走一走吧！下面看：*例3 “挑戰(zhàn)思維”（師出示題目）如圖所示：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c，你能表示出線段AC1的長(zhǎng)度嗎？（圖略）師：（展示教具，解釋題目要求。分發(fā)長(zhǎng)方體立體圖形卡片）生：（分小組討論）師：（巡視幾分鐘后）下面小組甲、乙分別說(shuō)一下你們的想法。生甲組：敘述求AC1的過(guò)程。生乙組：敘述求AC1的過(guò)程。師：（補(bǔ)充學(xué)生分析不完善的地方，并引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出規(guī)范分析過(guò)程；出示分析過(guò)程幻燈片，黑板內(nèi)板書結(jié)果。）師：剛才同學(xué)們分析出的這個(gè)題目結(jié)論是高中二年級(jí)立體幾何部分的一個(gè)結(jié)論。同學(xué)們能得出正確結(jié)論非常了不起！其實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間都是盤根錯(cuò)節(jié)，相互聯(lián)系的，只要同學(xué)們勤于思考，就會(huì)有了不起的發(fā)現(xiàn)，就像古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這個(gè)非常有用的勾股定理一樣。下面拿著這個(gè)結(jié)論，我們和另一個(gè)結(jié)論作一下對(duì)比，長(zhǎng)方形對(duì)角線的平方等于什么？（黑板內(nèi)畫圖并標(biāo)出長(zhǎng)與寬）生：a2+b2師：我們對(duì)比一下這兩個(gè)結(jié)論可以感受到兩維平面與三維空間有什么不同（出示幻燈片5中的 “探索成果”）。師：下面我們給大家留了這樣的思考題。大家看看有沒(méi)有思路（出示幻燈片6并讀題）？生：只要求出長(zhǎng)方體對(duì)角線，然后和7作比較就行了。師：大家的應(yīng)用意識(shí)很強(qiáng)，看來(lái)數(shù)學(xué)定理的確能為我們的生活服務(wù)，所以說(shuō)數(shù)學(xué)是一門很有用的學(xué)科。我們今天的討論就到這里了，同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)你有什么收獲吧？三、課時(shí)小結(jié)。生：（小結(jié)內(nèi)容）師：（出示幻燈片6中的“今天的收獲”。）四、布置作業(yè)：規(guī)范的解答思考題。師：（出示幻燈片7宣布下課）板書設(shè)計(jì)品味數(shù)學(xué)經(jīng)典勾股定理復(fù)習(xí)一、定理內(nèi)容。二、定理應(yīng)用例1練一練計(jì)算直角三角形未知邊的長(zhǎng)度。例2身邊數(shù)學(xué)寧晉縣某超市安裝電梯問(wèn)題。例3挑戰(zhàn)思維 求長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)度。*思考題：劉謙的魔術(shù)箱問(wèn)題。三、課時(shí)小結(jié)四、作業(yè)布置圖(2)是在北京召開的2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(TCM-2002)的會(huì)標(biāo),其圖案正是弦圖,它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就. 你能用不同方法表示大正方形的面積嗎? 一、學(xué)前準(zhǔn)備: 1、閱讀課本第54頁(yè)到第57頁(yè),完成下列問(wèn)題: (1)我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長(zhǎng)的稱為股,斜邊稱為弦。圖(1)稱為弦圖,最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作法時(shí)給出的。圖(2)是在北京召開的2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(TCM-2002)的會(huì)標(biāo),其圖案正是弦圖,它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就. 你能用不同方法表示大正方形的面積嗎? 2、剪四個(gè)完全相同的直角三角形,然后將它們拼成如圖所示的圖形。大正方形的面積可以表示為_,又可以表示為_.對(duì)比兩種表示方法,看看能不能得到勾股定理的結(jié)論。用上面得到的完全相同的四個(gè)直角三角形,還可以拼成如下圖所示的圖形,與上面的方法類似,也能說(shuō)明勾股定理是正確的方法(請(qǐng)逐一說(shuō)明) 。 歸納其共有的證明思路:利用圖形的割補(bǔ),借助前后的面積相等形成關(guān)于三邊的數(shù)量關(guān)系。一、教材分析（一）教材所處的地位這節(jié)課是九年制義務(wù)教育初級(jí)中學(xué)教材北師大版八年級(jí)第一章第1節(jié)探索勾股定理第一課時(shí)，勾股定理是幾何中幾個(gè)重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)時(shí)世界中也有著廣泛的作用。學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。（二）根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本課的教學(xué)目標(biāo)是：1、經(jīng)歷用數(shù)格子的辦法探索勾股定理的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)，主動(dòng)探究的習(xí)慣，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。2、探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說(shuō)理和簡(jiǎn)單的推理的意識(shí)及能力。3、在探索勾股定理的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想歸納驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法。4、通過(guò)介紹勾股定理在中國(guó)古代的研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國(guó)，熱愛祖國(guó)悠久文化的思想，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)。（三）本課的教學(xué)重點(diǎn)：了解勾股定理的由來(lái)，并能用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。本課的教學(xué)難點(diǎn)：用面積法（拼圖法）發(fā)現(xiàn)勾股定理。 二、教法與學(xué)法分析：教法分析：針對(duì)八年級(jí)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課可選擇引導(dǎo)探索法，由淺入深，由特殊到一般地提出問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流，這種教學(xué)理念反映了時(shí)代精神，有利于提高學(xué)生的思維能力，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性，基本教學(xué)流程是：提出問(wèn)題實(shí)驗(yàn)操作歸納驗(yàn)證問(wèn)題解決課堂小結(jié)布置作業(yè)六部分。學(xué)法分析：在教師的組織引導(dǎo)下，采用自主探索、合作交流的研討式學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生思考問(wèn)題，獲取知識(shí)，掌握方法，借此培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口的能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。 三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）提出問(wèn)題：1、首先創(chuàng)設(shè)這樣一個(gè)情境：人類一直想要弄清楚其他星球上是否存在著“人”，并試圖與“他們”取得聯(lián)系。那么我們?cè)趺礃硬拍芘c“外星人”接觸呢？我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形與外星人聯(lián)系。介紹勾股定理，進(jìn)行點(diǎn)題：（1）介紹周髀算經(jīng)中西周的商高（公元一千多年前）發(fā)現(xiàn)了勾三股四弦五這個(gè)規(guī)律（2）介紹西方畢達(dá)哥拉斯于公元前582493時(shí)期發(fā)現(xiàn)了勾股定理； （3）康熙數(shù)學(xué)專著勾股圖解有五種求解直角三角形的方法,積求勾股法是其獨(dú)創(chuàng)； （4）對(duì)比以上事實(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育，激勵(lì)他們奮發(fā)向上 2、問(wèn)題：某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來(lái)救火，了解到每層樓高h(yuǎn)=3米，消防隊(duì)員取來(lái)6.5米長(zhǎng)的云梯,如果梯子的底部離墻基的距離x=2.5米,請(qǐng)問(wèn)消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火?問(wèn)題設(shè)計(jì)具有一定的挑戰(zhàn)性,目的是激發(fā)學(xué)生的探究欲望,教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,也就是“已知一直角三角形的兩邊，如何求第三邊？”的問(wèn)題。學(xué)生會(huì)感到困難，從而教師指出學(xué)習(xí)了今天這一課后就有辦法解決了。這種以實(shí)際問(wèn)題為切入點(diǎn)引入新課，不僅自然，而且反映了數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際生活，數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生這一認(rèn)識(shí)的基本觀點(diǎn)，同時(shí)也體現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，而且解決問(wèn)題的過(guò)程也是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。（二）、勾股定理的探索，發(fā)現(xiàn)過(guò)程1、實(shí)驗(yàn)操作（探索-猜想）：（1）、投影課本圖1-1，圖1-2的有關(guān)直角三角形問(wèn)題，讓學(xué)生計(jì)算正方形A、B、C的面積，學(xué)生可能有不同的方法，不管是通過(guò)直接數(shù)小方格的個(gè)數(shù)，還是將C劃為4個(gè)全等的等腰直角三角形來(lái)求等等，各種方法都應(yīng)給予肯定，并鼓勵(lì)學(xué)生用語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C的面積之間的關(guān)系容易發(fā)現(xiàn)對(duì)于等腰三角形而言滿足此關(guān)系。這樣做有利于學(xué)生參與探索，感受學(xué)習(xí)的過(guò)程，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。（2）接著讓學(xué)生思考：如果是其它的一般直角三角形，是否也具備這一結(jié)論呢？于是投影圖1-3，1-4，同樣讓學(xué)生計(jì)算正方形的面積，但正方形C的面積不易求出，可先讓學(xué)生思考、小組合作再利用計(jì)算機(jī)演示處理過(guò)程（割補(bǔ)法）。這樣設(shè)計(jì)不僅有利于突破難點(diǎn)，而且為歸納結(jié)論打下基礎(chǔ)，讓學(xué)生體會(huì)到觀察、猜想、歸納的思路，也讓學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力在無(wú)形中得到提高，這對(duì)以后的學(xué)習(xí)有幫助。2、歸納驗(yàn)證：（1）引導(dǎo)學(xué)生議一議，通過(guò)小組間合作交流學(xué)習(xí)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生觀察、思考、歸納的積極性從而得出勾股定理的雛形。讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括出一般結(jié)論，盡管學(xué)生可能講的不完全正確，但對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行抽象、概括的能力是有益的，同時(shí)發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，也便于記憶和理解，這比教師直接給學(xué)生一個(gè)結(jié)論要好的多。（2）教師又問(wèn)：是不是所有的直角三角形都具有這種性質(zhì)呢？是不是所有的三角形都具有這種性質(zhì)呢？教師用計(jì)算機(jī)（幾何畫板動(dòng)態(tài)顯示）的優(yōu)越條件，提供足夠充分的典型材料形狀、大小、位置發(fā)生變化的各種直角三角形，讓學(xué)生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關(guān)系式。并通過(guò)與銳角、鈍角三角形的對(duì)比，強(qiáng)調(diào)直角三角形的這個(gè)特有性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律。（3）引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言表示，因?yàn)閷⑽淖终Z(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)基本能.接著教師向?qū)W生介紹“勾，股，弦”的含義.強(qiáng)調(diào)只有直角三角形才具備。這樣通過(guò)從特殊一般更一般的過(guò)程可有利于學(xué)生接受。（三）解決問(wèn)題：1、讓學(xué)生解決開頭的實(shí)際問(wèn)題，前呼后應(yīng)，學(xué)生從中能體會(huì)到成功的喜悅。完成課本“想一想”進(jìn)一步體會(huì)勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)是與實(shí)際生活緊密相連的。2、課堂練習(xí)1.錯(cuò)例辨析：（1）ABC的兩邊為3和4，求第三邊解：由于三角形的兩邊為3、4所以它的第三邊c=5（2）若告訴ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足，題目中并為交待C是斜邊綜上所述這個(gè)題目條件不足，第三邊無(wú)法求得。進(jìn)一步體會(huì)勾股定理成立的前題直角三角形。2.練習(xí)P61.11（四）課堂小結(jié)主要通過(guò)學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，從內(nèi)容、應(yīng)用、數(shù)學(xué)思想方法，獲取新知的途徑方面先進(jìn)行小結(jié)，后由教師總結(jié)。（五）布置作業(yè)：課本P6習(xí)題1.12，3，4一方面鞏固勾股定理，另一方面進(jìn)一步體會(huì)定理與實(shí)際生活的聯(lián)系 四、設(shè)計(jì)說(shuō)明1、本節(jié)課是公式課，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，我采用的教學(xué)流程是：提出問(wèn)題實(shí)驗(yàn)操作歸納驗(yàn)證問(wèn)題解決課堂小結(jié)布置作業(yè)等部