§922二重積分的計(jì)算.doc

9.2.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 有些二重積分，區(qū)域的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表達(dá)比較簡(jiǎn)單。這時(shí)，就可以利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分。（一）把二重積分化為極坐標(biāo)形式設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)。區(qū)域的邊界曲線為和，其中，在上連續(xù)。 假設(shè)從極出發(fā)且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的射線與的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)。 用以極點(diǎn)為中心的一族同心圓：常數(shù)，以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線：常數(shù)，把分成個(gè)小閉區(qū)域，除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積可計(jì)算如下： 其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值。在這小區(qū)域內(nèi)取圓周上一點(diǎn)，該點(diǎn)的直角坐標(biāo)設(shè)為，則由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系有 ， ， 故 即。上式又可寫成 （二）把二重積分的極坐標(biāo)形式化為二次積分 一般地，先對(duì)后對(duì)。1極點(diǎn)在積分區(qū)域的外部 設(shè)積分區(qū)域?yàn)椋?，其中函?shù)，在上連續(xù)。 則 若積分區(qū)域?yàn)椋簞t2極點(diǎn)在積分域D的內(nèi)部 設(shè)積分區(qū)域?yàn)椋?，則有 在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域的面積可以表示為 若閉區(qū)域如圖1，則 。 若閉區(qū)域如圖2，則 例1計(jì)算下列二重積分（1），D為圓所圍成的區(qū)域。解：把區(qū)域的邊界曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，得 ，于是有 ： .（2），D：，所圍成的區(qū)域。 解：， 。例2將二次積分化為極坐標(biāo)下的二次積分。 解：. .例3計(jì)算二重積分， 其中。 解： 。例4球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內(nèi) 的部分）立體的體積。解：由對(duì)稱性，得 其中積分區(qū)域?yàn)镈：。 。例5求三葉玫瑰線所圍成的面積。解： 例6計(jì)算無(wú)窮積分.解：因?yàn)榈脑瘮?shù)不能用初等函數(shù)表示，所以無(wú)法 直接計(jì)算這個(gè)廣義積分，在這里利用二重積分進(jìn)行計(jì)算。設(shè) ，。 用極坐標(biāo)計(jì)算。 ， ，