利用方程知識(shí)化無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù).doc

6利用方程知識(shí)化無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)(1) 三門(mén)縣亭旁鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 鄭永強(qiáng) 數(shù)學(xué)離不開(kāi)數(shù)，對(duì)數(shù)的研究是數(shù)學(xué)教學(xué)重要的內(nèi)容。在小學(xué)里，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)（正）可以化為有限小數(shù)或者無(wú)限循環(huán)小數(shù)；反過(guò)來(lái)，小數(shù)化分?jǐn)?shù)卻沒(méi)有很好完全解決，其中只解決了有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)這部分內(nèi)容，而無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)卻沒(méi)有完全解決，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)就是無(wú)理數(shù)了，不能化成分?jǐn)?shù)。而無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)這部分內(nèi)容要想徹底解決，只有在學(xué)了高中內(nèi)容的數(shù)列、極限、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式等知識(shí)后，才可能徹底理解一般計(jì)算公式。這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)間跨度是小學(xué)到高中。 下面，就遵循從具體例子到一般結(jié)論的研究方法（歸納法），用解方程的知識(shí)，研究一下循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)這部分內(nèi)容：1. 例一：化下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)：=0.9999999.在解決這個(gè)問(wèn)題前，我們可以先向?qū)W生提問(wèn)與1這兩個(gè)數(shù)誰(shuí)大，是否相等？估計(jì)初一大部分學(xué)生回答不等，或者1,【這個(gè)提問(wèn)，我在上高一數(shù)學(xué)時(shí)候也向一個(gè)班55個(gè)同學(xué)調(diào)查過(guò)，其中53個(gè)同學(xué)回答是1,只有兩個(gè)同學(xué)猜想回答說(shuō)1=。】那么它們到底那個(gè)大呢？從而激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而怎么解決這個(gè)問(wèn)題上來(lái)。我們用解方程的知識(shí)研究一下這個(gè)數(shù)到底是一個(gè)怎樣的數(shù)？解：設(shè)x=0.99999.(1)則10x= =9.99999.(2)把（2）-（1）得9x=9x=1,即=1所以，這個(gè)數(shù)實(shí)際上就是數(shù)1.練習(xí)：把下列這些循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)：， ，要求：分四小組，每小組兩個(gè)，用上面的方法，化一下上面八個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)。其中四個(gè)同學(xué)到黑板上面來(lái)書(shū)寫(xiě)演練，每人計(jì)算兩個(gè)，其中一個(gè)規(guī)范書(shū)寫(xiě)，另外一個(gè)簡(jiǎn)單書(shū)寫(xiě)。通過(guò)上面例子及練習(xí)，我們看到這些循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)后，具有一定的規(guī)律性。即=，=，=，=，=，=，=，=，=1，注意：老師重新寫(xiě)一遍結(jié)論，書(shū)寫(xiě)時(shí)候盡量寫(xiě)整齊，有利于學(xué)生記憶。這個(gè)結(jié)論很好記，希望同學(xué)們記住，及時(shí)記住，快速記住!這些就是循環(huán)節(jié)是1的純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的公式。在化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)候，這些公式是最基本的。可以統(tǒng)一成這樣記憶：=【注意：這里的字母a、b是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字，】注意：以后無(wú)論什么課，只要是需要記憶的東西，就要及時(shí)地記住，這個(gè)也是高效學(xué)習(xí)的要點(diǎn)。記憶是學(xué)習(xí)的必然要求！沒(méi)有必要的記憶，學(xué)習(xí)就失去效率。運(yùn)用：化下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)【循環(huán)節(jié)是1的混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)】1. 2.3.4.5.解：【選擇一個(gè)講解，其他讓四個(gè)同學(xué)到黑板上來(lái)演練。】設(shè)x=,則10x=，即10x=1+,10x=1+，x=,=等其他四個(gè)同學(xué)做好后，把結(jié)果放在一起，觀察他們有沒(méi)有規(guī)律性，【鼓勵(lì)學(xué)生要要大膽猜測(cè)，下面第二個(gè)等號(hào)暫時(shí)不寫(xiě)出來(lái)，等學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后再寫(xiě)出來(lái)】= = = = =注意：猜測(cè)結(jié)論，要進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，目光要對(duì)數(shù)字敏感，要大膽猜測(cè)。為以后一般性的結(jié)論【公式】證明留下懸念。再舉例練習(xí)驗(yàn)證：化下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)【循環(huán)節(jié)是1的混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)】1. =02，=，=【本組起鞏固、解惑作用，因?yàn)橐徊糠謱W(xué)生心中必定還有疑惑，慢、穩(wěn)、正確，穩(wěn)扎穩(wěn)打，實(shí)際上就是高效課堂的一種】2. =，=，=3. =，=同學(xué)們觀察上面式子的結(jié)論，看看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？大膽猜一猜結(jié)論形式也可以。一般地，小結(jié)：循環(huán)節(jié)是1的循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，分母9的個(gè)數(shù)是1個(gè)，分母是9或者90，或者900，或者9000.等例：=至于循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)后是否是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，這是約分的內(nèi)容，這里不研究。同學(xué)們課外可以隨便舉幾個(gè)例子，寫(xiě)出結(jié)論后再驗(yàn)證。以上研究的是循環(huán)節(jié)是1的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法，下面就研究循環(huán)節(jié)是2的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法【兩者類(lèi)似例二：化下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)1.2.3.4.5.解：（取第一個(gè)，其余作為四個(gè)小組練習(xí)用）設(shè)x=0.121212.,(1)則100x=12.121212.(2)把(2)-(1)得99x=12,x=同學(xué)們同理可以得到= =同學(xué)們看看，循環(huán)節(jié)是2的純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)有什么規(guī)律？一般地，循環(huán)節(jié)是2的純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的公式是：=【注意：這里的字母a、b只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字，這里ab也不是表示a與b的積】運(yùn)用：化下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)（稍有變化，但是循環(huán)節(jié)仍然是2，是循環(huán)節(jié)是2的混循環(huán)小數(shù)）1.2.3.解1：（選一個(gè)，其他兩個(gè)讓學(xué)生練習(xí))設(shè)x=則10x=即10x=1+也即10x=1+x=即=，再看同學(xué)們的計(jì)算結(jié)果：=，=觀察一下上面三個(gè)結(jié)論，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么計(jì)算規(guī)律嗎？練習(xí)：化下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)，猜猜下面計(jì)算結(jié)果（同學(xué)們可以課外驗(yàn)證），化成分?jǐn)?shù)后，分子形式怎樣，分母形式又怎樣？1.2.3.4.一般地：小結(jié)：循環(huán)節(jié)是2的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，分母9的個(gè)是2個(gè)，分母是99，或者990，或者9900，或者99000，等等。例如：=至于分子的規(guī)律性，從上面的例子可以看到，可以看出，待下面一般形式的無(wú)限循環(huán)小數(shù)化化分?jǐn)?shù)的公式證明后，再看就更清楚了。下面部分就不對(duì)初中學(xué)生講了，但是可以要求他們記住計(jì)算公式。事實(shí)上，上面的所有例子的計(jì)算，都是無(wú)窮遞縮等比數(shù)列：a,ar,ar2arn-1(1)求和公式的應(yīng)用，即a+ar+ar2+arn-1+=(1)例如： =0.111111=0.1+0.01+0.001+0.0001+=事實(shí)上，純循環(huán)小數(shù)S=，就等于S=【注意這里的字母a1,a2,a3,an只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字，】混循環(huán)小數(shù)S=，就等于S=【注意這里的字母不b1,b2,b3bm也只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字，