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第2講 函數(shù)的單調(diào)性與最值一、選擇題1下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是()Ayx2 By|x|1Cylg|x| Dy2|x|解析對于C中函數(shù),當x0時,ylg x,故為(0,)上的減函數(shù),且ylg |x|為偶函數(shù)答案C2已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),則滿足f(|x|)f(1)的實數(shù)x的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(,1)(1,)解析f(x)在R上為減函數(shù)且f(|x|)f(1),|x|1,解得x1或x1.答案D3若函數(shù)yax與y在(0,)上都是減函數(shù),則yax2bx在(0,)上是()A增函數(shù) B減函數(shù)C先增后減 D先減后增解析 yax與y在(0,)上都是減函數(shù),a0,b0,yax2bx的對稱軸方程x0,yax2bx在(0,)上為減函數(shù)答案 B4設函數(shù)f(x)g(x)x2f(x1),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是 ()A(,0 B0,1)C1,) D1,0解析g(x)如圖所示,其遞減區(qū)間是0,1)故選B.答案B5函數(shù)yx22x3(x0)的單調(diào)增區(qū)間是()A(0,) B(,1C(,0) D(,1解析二次函數(shù)的對稱軸為x1,又因為二次項系數(shù)為負數(shù),拋物線開口向下,對稱軸在定義域的右側(cè),所以其單調(diào)增區(qū)間為(,0)答案C6設函數(shù)yf(x)在(,)內(nèi)有定義,對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)fK(x)取函數(shù)f(x)2|x|,當K時,函數(shù)fK(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ()A(,0) B(0,) C(,1) D(1,)解析f(x)f(x)f(x)的圖象如右圖所示,因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)答案C二、填空題7設函數(shù)yx22x,x2,a,若函數(shù)的最小值為g(a),則g(a)_.解析函數(shù)yx22x(x1)21,對稱軸為直線x1.當2a0)對于下列命題:函數(shù)f(x)的最小值是1;函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù);若f(x)0在上恒成立,則a的取值范圍是a1;對任意的x10,x20且x1x2,恒有f0在上恒成立,則2a10,a1,故正確;由圖象可知在(,0)上對任意的x10,x20且x1x2,恒有f0且a1)的單調(diào)區(qū)間解 當a1時,函數(shù)ya1x2在區(qū)間0,)上是減函數(shù),在區(qū)間(,0上是增函數(shù);當0ax12,則f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a,由x2x12,得x1x2(x1x2)16,x1x20.要使f(x)在區(qū)間2,)上是增函數(shù),只需f(x1)f(x2)0恒成立,則a16.13已知函數(shù)f(x)a2xb3x,其中常數(shù)a,b滿足ab0.(1)若ab0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若abf(x)時的x的取值范圍解(1)當a0,b0時,因為a2x,b3x都單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當a0,b0.(i)當a0時,x,解得xlog;(ii)當a0,b0時,x,解得x0時,f(x)1.(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);(2)若f(4)5,解不等式f(3m2m2)3.解 (1)證明設x1,x2R,且x10,f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即f(x)是R上的增函數(shù)(2)f(4)f
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