高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.1任意角蝗學(xué)案蘇教版.docx

1.1 任意角、弧度典題精講例1 一條弦的長(zhǎng)度等于半徑r，求:(1)這條弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)；(2)這條弦和劣弧所組成的弓形的面積.思路分析:解決此類(lèi)問(wèn)題，首先要根據(jù)題意畫(huà)出相關(guān)的圖形，然后對(duì)涉及的量的大小進(jìn)行確定.由已知可知圓心角的大小為，然后用公式求解即可求弧長(zhǎng)，弓形面積可以由扇形面積減三角形面積求得.解:(1)如圖1-1-1，因?yàn)榘霃綖閞的圓O中弦AB=r，則OAB為等邊三角形，所以AOB=.則弦AB所對(duì)的劣弧長(zhǎng)為r.圖1-1-1(2)SAOB=OAOBsinAOB=r2，S扇形OAB=|r2=r2=r2，S弓形=S扇形OAB-SAOB=r2-r2=(-)r2. 綠色通道:圖形的分解與組合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法之一，本例把扇形看成三角形與弓形的組合，即可運(yùn)用已有知識(shí)解決要求解的問(wèn)題.此類(lèi)數(shù)形結(jié)合的題目，要盡可能地從圖中，從各種圖形的組合關(guān)系中找到解決問(wèn)題的突破口.變式訓(xùn)練 地球赤道的半徑是6 370 km，所以赤道上1的弧長(zhǎng)是_(精確到0.01 km).思路解析:1= rad，弧長(zhǎng)l=r|=6 370=1.85(km).答案:1.85 km例2 （2005全國(guó)高考卷，1） 已知為第三象限角，則所在的象限是( )A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限思路解析:因?yàn)榈谌笙藿桥c之間的角并不等價(jià)，由在第三象限,應(yīng)在區(qū)間(2k+,2k+)(kZ)內(nèi)，要判定在第幾象限，需分k是奇數(shù)，k是偶數(shù)兩種情況去討論解決，即2k+2k+k+k+,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，在第二象限，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，在第四象限.答案:D 綠色通道:(1)由的象限確定2的象限時(shí)，應(yīng)注意2可能不再是象限角，對(duì)此特殊情況應(yīng)特別指出.如=45，2=90就不再是象限角.(2)在本例的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步推導(dǎo)出各個(gè)象限角的半角范圍.可以借助圖1-1-2來(lái)記憶.圖中、分別指第一、二、三、四象限角的半角范圍.如當(dāng)為第一象限角時(shí)，為第一、三象限角的前半?yún)^(qū)域；當(dāng)為第二象限角時(shí)，為第一、三象限角的后半?yún)^(qū)域.依此類(lèi)推.圖1-1-2 黑色陷阱:(1)由是第二象限角，僅想到90180，從而得到4590和僅得到為第一象限角，而將是第三象限角的可能性丟掉.(2)解題時(shí)容易將的范圍誤認(rèn)為90180,即誤認(rèn)為是鈍角，導(dǎo)致錯(cuò)誤.同時(shí)在得出的范圍時(shí),不進(jìn)行分類(lèi)討論,或者討論時(shí)不按奇數(shù)和偶數(shù)分類(lèi).變式訓(xùn)練 1已知單位圓上一點(diǎn)A(1,0)按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，1秒鐘時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)(0)角，經(jīng)過(guò)2秒鐘到達(dá)第三象限，經(jīng)過(guò)14秒鐘轉(zhuǎn)到與最初位置重合的位置，求角的弧度數(shù).思路分析:這是一個(gè)涉及終邊相同的角和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題 ，可以根據(jù)題意畫(huà)圖分析，并由此列出角的等式或不等式.解:由0,得022，又因?yàn)?在第三象限，所以2.由14=2k(kZ)，得2=(kZ)，所以,即k.所以k=4或5;=或.變式訓(xùn)練 2若銳角的終邊與它的10倍角的終邊相同，求.思路分析:與角終邊相同的角均可以表示為2k+(kZ)的形式，注意題目中是銳角.可以根據(jù)題意列出方程解出，這一方法也體現(xiàn)了在三角函數(shù)中“方程思想”的應(yīng)用.解:由題意，得10=2k+(kZ)，=(kZ).又為銳角，k可以取1、2兩個(gè)值，即=40或=80.例3 已知扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？思路分析:根據(jù)題中的已知條件，列出扇形的半徑、圓心角及周長(zhǎng)的關(guān)系表達(dá)式，然后把扇形的面積表示成半徑的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最值的方法求解. 解:設(shè)扇形的圓心角為,半徑為r，由已知條件,得扇形的弧長(zhǎng)l=r.2r+r=20,=.S扇形=r2=r2=r(10-r)=-r2+10r.當(dāng)r=-=5時(shí)，S扇形最大=25，此時(shí)=2. 綠色通道:幾何圖形求最值的途徑有兩種:一是利用幾何意義，從圖形中直接找出(本例不好找)；二是利用函數(shù)求解，即設(shè)出未知量，建立函數(shù)關(guān)系式，然后用函數(shù)的方法解決.變式訓(xùn)練 一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在半圓的弧長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是_弧度，扇形的面積是_.思路解析:設(shè)扇形的圓心角是弧度，則扇形的弧長(zhǎng)是r，扇形的周長(zhǎng)是2r+r.由題意,知2r+r=r，=-2.扇形的面積為S=r2=r2(-2).答案:-2 r2(-2)問(wèn)題 探究問(wèn)題 1 在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水比賽中，常常聽(tīng)到“轉(zhuǎn)體三周”“轉(zhuǎn)體兩周半”的說(shuō)法，像這種動(dòng)作名稱(chēng)表示的角是多大？ 導(dǎo)思:解答此類(lèi)問(wèn)題 時(shí)，要考慮到問(wèn)題 的多種情況，不要上來(lái)就盲目地解答.首先對(duì)問(wèn)題 有個(gè)大體的了解，然后再聯(lián)系所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，可能起到事半功倍的效果.此題不要忽視了轉(zhuǎn)體的順、逆方向會(huì)影響到角的正負(fù)號(hào).利用角的定義及正角、負(fù)角的概念，這個(gè)問(wèn)題 就迎刃而解. 探究:如果是逆時(shí)針轉(zhuǎn)體，則分別是3603=1 080和3602.5=900；若是順時(shí)針轉(zhuǎn)體，則分別為-1 080和-900.問(wèn)題 2 在炎炎夏日，用紙扇驅(qū)走悶熱，無(wú)疑是很好的辦法.紙扇在美觀的設(shè)計(jì)上，可考慮用料、圖案和形狀.若從數(shù)學(xué)角度看，能否利用黃金比例(0.618)去設(shè)計(jì)一把有美感的白紙扇呢？此時(shí)的張角是多大呢？ 導(dǎo)思:在設(shè)計(jì)紙扇張開(kāi)角()時(shí)，可以考慮從一圓形(半徑為r)分割出來(lái)的扇形的面積(A1)與剩余面積(A2)的比值.若這一比值等于黃金比例