18．1勾股定理

第十八章 勾股定理181 勾股定理（一）一、教學目標1了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。2培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結規(guī)律的意識和能力。3介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學生的愛國熱情，促其勤奮學習。二、重點、難點1重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。2難點：勾股定理的證明。三、例題的意圖分析例1（補充）通過對定理的證明，讓學生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學生的思維，鍛煉學生的動手實踐能力；這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學生的民族自豪感，和愛國情懷。例2使學生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。進一步讓學生確信勾股定理的正確性。四、課堂引入目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。讓學生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的長。以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，兩段連結得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說一個直角三角形較短直角邊（勾）的長是3，長的直角邊（股）的長是4，那么斜邊（弦）的長是5。再畫一個兩直角邊為5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的長。你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關系，52+122和132的關系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。對于任意的直角三角形也有這個性質嗎？五、例習題分析例1（補充）已知：在ABC中，C=90，A、B、C的對邊為a、b、c。求證：a2b2=c2。分析：讓學生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。拼成如圖所示，其等量關系為：4S+S小正=S大正 4ab（ba）2=c2，化簡可證。發(fā)揮學生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明。 勾股定理的證明方法，達300余種。這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學生的民族自豪感，和愛國情懷。例2已知：在ABC中，C=90，A、B、C的對邊為a、b、c。求證：a2b2=c2。分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。左邊S=4abc2右邊S=（a+b）2左邊和右邊面積相等，即4abc2=（a+b）2化簡可證。六、課堂練習1勾股定理的具體內(nèi)容是： 。2如圖，直角ABC的主要性質是：C=90，（用幾何語言表示）兩銳角之間的關系： ；若D為斜邊中點，則斜邊中線 ；若B=30，則B的對邊和斜邊： ；三邊之間的關系： 。3ABC的三邊a、b、c，若滿足b2= a2c2，則 =90； 若滿足b2c2a2，則B是 角； 若滿足b2c2a2，則B是 角。4根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。七、課后練習1已知在RtABC中，B=90，a、b、c是ABC的三邊，則c= 。（已知a、b，求c）a= 。（已知b、c，求a）b= 。（已知a、c，求b）2如下表，表中所給的每行的三個數(shù)a、b、c，有abc，試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當a=19時，b，c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來。3、4、532+42=525、12、1352+122=1327、24、2572+242=2529、40、4192+402=41219，b、c192+b2=c23在ABC中，BAC=120，AB=AC=cm，一動點P從B向C以每秒2cm的速度移動，問當P點移動多少秒時，PA與腰垂直。4已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上。求證：AD2AB2=BDCD若D在CB上，結論如何，試證明你的結論。課后反思：八、參考答案課堂練習1略；2A+B=90；CD=AB；AC=AB；AC2+BC2=AB2。3B，鈍角，銳角；4提示：因為S梯形ABCD = SABE+ SBCE+ SEDA，又因為S梯形ACDG=（a+b）2，SBCE= SEDA= ab，SABE=c2, （a+b）2=2 abc2。課后練習1c=；a=；b=2 ；則b=，c=；當a=19時，b=180，c=181。35秒或10秒。4提示：過A作AEBC于E。181 勾股定理（二）一、教學目標1會用勾股定理進行簡單的計算。2樹立數(shù)形結合的思想、分類討論思想。二、重點、難點1重點：勾股定理的簡單計算。2難點：勾股定理的靈活運用。三、例題的意圖分析例1（補充）使學生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的關系。讓學生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學會利用不同的條件轉化為已知兩邊求第三邊。例2（補充）讓學生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。例3（補充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學生把前面學過的知識和新知識綜合運用，提高綜合能力。四、課堂引入復習勾股定理的文字敘述；勾股定理的符號語言及變形。學習勾股定理重在應用。五、例習題分析例1（補充）在RtABC，C=90已知a=b=5,求c。已知a=1,c=2, 求b。已知c=17,b=8, 求a。已知a：b=1：2,c=5, 求a。已知b=15，A=30，求a，c。分析：剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的關系。已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學生明確已知一邊和兩邊關系，也可以求出未知邊，學會見比設參的數(shù)學方法，體會由角轉化為邊的關系的轉化思想。例2（補充）已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況分別進形計算。讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。例3（補充）已知：如圖，等邊ABC的邊長是6cm。求等邊ABC的高。 求SABC。分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。欲求高CD，可將其置身于RtADC或RtBDC中，但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質，可求AD=CD=AB=3cm，則此題可解。六、課堂練習1填空題在RtABC，C=90，a=8，b=15，則c= 。在RtABC，B=90，a=3，b=4，則c= 。在RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，則a= ，b= 。一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為 。已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm，則第三邊長為 。已知等邊三角形的邊長為2cm，則它的高為 ，面積為 。2已知：如圖，在ABC中，C=60，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長。 3已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。七、課后練習1填空題在RtABC，C=90，如果a=7，c=25，則b= 。如果A=30，a=4，則b= 。如果A=45，a=3，則c= 。如果c=10，a-b=2，則b= 。如果a、b、c是連續(xù)整數(shù)，則a+b+c= 。如果b=8，a：c=3：5，則c= 。2已知：如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADDC， ABAC，B=60，CD=1cm，求BC的長。課后反思：八、參考答案課堂練習117； ； 6，8； 6，8，10； 4或； ，； 28； 348。課后練習124； 4； 3； 6； 12； 10； 2 181 勾股定理（三）一、教學目標1會用勾股定理解決簡單的實際問題。2樹立數(shù)形結合的思想。二、重點、難點1重點：勾股定理的應用。2難點：實際問題向數(shù)學問題的轉化。三、例題的意圖分析例1（教材P74頁探究1）明確如何將實際問題轉化為數(shù)學問題，注意條件的轉化；學會如何利用數(shù)學知識、思想、方法解決實際問題。例2（教材P75頁探究2）使學生進一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三邊的關系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。四、課堂引入勾股定理在實際的生產(chǎn)生活當中有著廣泛的應用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用解決了許多生活中的問題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你可以嗎？試一試。五、例習題分析例1（教材P74頁探究1）分析：在實際問題向數(shù)學問題的轉化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框為長方形，四個角都是直角。讓學生深入探討圖中有幾個直角三角形？圖中標字母的線段哪條最長？指出薄木板在數(shù)學問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？轉化為勾股定理的計算，采用多種方法。注意給學生小結深化數(shù)學建模思想，激發(fā)數(shù)學興趣。例2（教材P75頁探究2）分析：在AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理計算OB。 在COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理計算OD。則BD=ODOB，通過計算可知BDAC。進一步讓學生探究AC和BD的關系，給AC不同的值，計算BD。六、課堂練習1小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是 米。2如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，則這兩株樹之間的垂直距離是 米，水平距離是 米。2題圖 3題圖 4題圖3如圖，一根12米高的電線桿兩側各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是 。4如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術攻關，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元，隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費用是多少？七、課后練習1如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC=50米，B=60，則江面的寬度為 。2有一個邊長為1米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這個洞口，則圓形蓋半徑至少為 米。3一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點，PQ=16厘米，且RPPQ，則RQ= 厘米。4如圖，鋼索斜拉大橋為等腰三角形，支柱高24米，B=C=30，E、F分別為BD、CD中點，試求B、C兩點之間的距離，鋼索AB和AE的長度。（精確到1米）課后反思：八、參考答案：課堂練習：1； 26， ；318米； 411600；課后練習1米； 2；320； 483米，48米，32米；181 勾股定理（四）一、教學目標1會用勾股定理解決較綜合的問題。2樹立數(shù)形結合的思想。二、重點、難點1重點：勾股定理的綜合應用。2難點：勾股定理的綜合應用。三、例題的意圖分析例1（補充）“雙垂圖”是中考重要的考點，熟練掌握“雙垂圖”的圖形結構和圖形性質，通過討論、計算等使學生能夠靈活應用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有：3個直角三角形，三個勾股定理及推導式BC2-BD2=AC2-AD2，兩對相等銳角，四對互余角，及30或45特殊角的特殊性質等。例2（補充）讓學生注意所求結論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當輔助線求出三角形中的邊和角。讓學生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉化為直角三角形的問題。使學生清楚作輔助線不能破壞已知角。例3（補充）讓學生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉化為三角形面積之差。在轉化的過程中注意條件的合理運用。讓學生把前面學過的知識和新知識綜合運用，提高解題的綜合能力。例4（教材P76頁探究3）讓學生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應的理論。四、課堂引入復習勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應用。五、例習題分析例1（補充）1已知：在RtABC中，C=90，CDBC于D，A=60，CD=，求線段AB的長。分析：本題是“雙垂圖”的計算題，“雙垂圖”是中考重要的考點，所以要求學生對圖形及性質掌握非常熟練，能夠靈活應用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有：3個直角三角形，三個勾股定理及推導式BC2-BD2=AC2-AD2，兩對相等銳角，四對互余角，及30或45特殊角的特殊性質等。 要求學生能夠自己畫圖，并正確標圖。引導學生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1?；蛴驛B，可由，分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。例2（補充）已知：如圖，ABC中，AC=4，B=45，A=60，根據(jù)題設可知什么？分析：由于本題中的ABC不是直角三角形，所以根據(jù)題設只能直接求得ACB=75。在學生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置AB邊上的高這條輔助線，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及SABC。讓學生充分討論還可以作其它輔助線嗎？為什么？小結：可見解一般三角形的問題常常通過作高轉化為直角三角形的問題。并指出如何作輔助線？解略。例3（補充）已知：如圖，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構造直角三角形是解本題的關鍵，可以連結AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于E，根據(jù)本題給定的角應選后兩種，進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。教學中要逐層展示給學生，讓學生深入體會。解：延長AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四邊形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=小結：不規(guī)則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉化為三角形面積之差。例4（教材P76頁探究3）分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應的理論。變式訓練：在數(shù)軸上畫出表示的點。六、課堂練習1ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,則BC= ，SABC= 。2ABC中，若A=2B=3C，AC=cm，則A= 度，B= 度,C= 度，BC= ，SABC= 。3ABC中，C=90，AB=4，BC=，CDAB于D，則AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC= 。4已知：如圖，ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求SABC。七、課后練習1在RtABC中，C=90，CDBC于D，A=60，CD=，AB= 。2在RtABC中，C=90，SABC=30，c=13，且ab，則a= ，b= 。3已知：如圖，在ABC中，B=30，C=45，AC=，求（1）AB的長；（2）SABC。4在數(shù)軸上畫出表示的點。課后反思：八、參考答案：課堂練習：130cm，300cm2；290，60，30，4，；32，3，1，；4作BDAC于D，設AD=x，則CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，SABC=ACBD=254；課后練習：14； 25，12；3提示：作ADBC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=，BC=2+，SABC= =2+；4略。182 勾股定理的逆定理（一）一、教學目標1體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的證明方法。3理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關系。二、重點、難點1重點：掌握勾股定理的逆定理及證明。2難點：勾股定理的逆定理的證明。三、例題的意圖分析例1（補充）使學生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關系。例2（P82探究）通過讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學生的興趣和求知欲，鍛煉學生的動手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實踐上升到理論，提高學生的理性思維。例3（補充）使學生明確運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：先判斷那條邊最大。分別用代數(shù)方法計算出a2+b2和c2的值。判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。四、課堂引入創(chuàng)設情境：怎樣判定一個三角形是等腰三角形？怎樣判定一個三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進行對比，從勾股定理的逆命題進行猜想。五、例習題分析例1（補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半。分析：每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結論調(diào)換即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用。理順他們之間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假。解略。例2（P82探究）證明：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。分析：注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖形，然后寫已知求證。如何判斷一個三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉化為如何判斷一個角是直角。利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決。先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1=c，則通過三邊對應相等的兩個三角形全等可證。先讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學生的動手操作能力，由實踐到理論學生更容易接受。證明略。例3（補充）已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求證：C=90。分析：運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：先判斷那條邊最大。分別用代數(shù)方法計算出a2+b2和c2的值。判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。要證C=90，只要證ABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明a2+b2=c2即可。由于a2+b2= （n21）2（2n）2=n42n21，c2=（n21）2= n42n21，從而a2+b2=c2，故命題獲證。六、課堂練習1判斷題。在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角。命題：“在一個三角形中，有一個角是30，那么它所對的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}是真命題。勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。ABC的三邊之比是1：1：，則ABC是直角三角形。2ABC中A、B、C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（ ）A如果CB=A，則ABC是直角三角形。B如果c2= b2a2，則ABC是直角三角形，且C=90。C如果（ca）（ca）=b2，則ABC是直角三角形。D如果A：B：C=5：2：3，則ABC是直角三角形。3下列四條線段不能組成直角三角形的是（ ）Aa=8，b=15，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca=，b=，c=Da：b：c=2：3：44已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？ a=，b=，c=； a=5，b=7，c=9；a=2，b=，c=； a=5，b=，c=1。七、課后練習，1敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。如果a30，那么a20；如果三角形有一個角小于90，那么這個三角形是銳角三角形；如果兩個三角形全等，那么它們的對應角相等；關于某條直線對稱的兩條線段一定相等。2填空題。任何一個命題都有 ，但任何一個定理未必都有 ?！皟芍本€平行，內(nèi)錯角相等。”的逆定理是 。在ABC中，若a2=b2c2，則ABC是 三角形， 是直角；若a2b2c2，則B是 。若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，則ABC是 三角形。3若三角形的三邊是 1、2； ； 32，42，52 9，40，41； （mn）21，2（mn），（mn）21；則構成的是直角三角形的有（ ）A2個 B個個個4已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？a=9，b=41，c=40； a=15，b=16，c=6；a=2，b=，c=4； a=5k，b=12k，c=13k（k0）。課后反思： 八、參考答案：課堂練習：1對，錯，錯，對； 2D；3D； 4是，B；不是；是，C；是，A。課后練習：1如果a20，那么a30；假命題。如果三角形是銳角三角形，那么有一個角是銳角；真命題。如果兩個三角形的對應角相等，那么這兩個三角形全等；假命題。兩條相等的線段一定關于某條直線對稱；假命題。2逆命題，逆定理；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；直角，B，鈍角；直角。 3B 4是，B；不是，；是，C；是，C。182 勾股定理的逆定理（二）一、教學目標1靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。2進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識。二、重點、難點1重點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。2難點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。三、例題的意圖分析例1（P83例2）讓學生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。例2（補充）培養(yǎng)學生利用方程思想解決問題，進一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。四、課堂引入創(chuàng)設情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學知識和數(shù)學方法。五、例習題分析例1（P83例2）分析：了解方位角，及方位名詞；依題意畫出圖形；依題意可得PR=121.5=18，PQ=161.5=24， QR=30；因為242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據(jù)勾股定理 的逆定理，知QPR=90；PRS=QPR-QPS=45。小結：讓學生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。例2（補充）一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。分析：若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長；設未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形。解略。六、課堂練習1小強在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是 。2如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長為1米，則A、B、C三點能否構成直角三角形？為什么？3如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40，問：甲巡邏艇的航向？七、課后練習1一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為 ，此三角形的形狀為 。2一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC=15米，AD=13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？3如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。課后反思：八、參考答案：課堂練習：1向正南或正北。2能，因為BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；3由ABC是直角三角形，可知CAB+CBA=90，所以有CAB=40，航向為北偏東50。 課后練習：16米，8米，10米，直角三角形；2ABC、ABD是直角三角形，AB和地面垂直。3提示：連結AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此CAB=90，S四邊形=SADC+SABC=36平方米。182 勾股定理的逆定理（三）一、教學目標1應用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形。 2靈活應用勾股定理及逆定理解綜合題。3進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識。二、重點、難點1重點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。2難點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。三、例題的意圖分析例1（補充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。例2（補充）使學生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉化為研究三角形的問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間距離。例3（補充）勾股定理及逆定理的綜合應用，注意條件的轉化及變形。四、課堂引入勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔，經(jīng)常綜合應用來解決一些難度較大的題目。五、例習題分析例1（補充）已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷ABC的形狀。分析：移項，配成三個完全平方；三個非負數(shù)的和為0，則都為0；已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形。例2（補充）已知：如圖，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四邊形ABCD的面積。分析：作DEAB，連結BD，則可以證明ABDEDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC中，3、4、5勾股數(shù)，DEC為直角三角形，DEBC；利用梯形面積公式可解，或利用三角形的面積。例3（補充）已知：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=ADBD。求證：ABC是直角三角形。 分析：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2六、課堂練習1若ABC的三邊a、b、c，滿足（ab）（a2b2c2）=0，則ABC是（ ）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若ABC的三邊a、b、c，滿足a：b：c=1：1：，試判斷ABC的形狀。3已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且ABBC。求：四邊形ABCD的面積。4已知：在ABC中，ACB=90，CDAB于D，且CD2=ADBD。求證：ABC中是直角三角形。七、課后練習，1若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC的面積。2在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm。求證：ABC是等腰三角形。3已知：如圖，1=2，AD=AE，D為BC上一點，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。求證：AB2=AE2+CE2。4已知ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，試判定ABC的形狀。 課后反思：八、參考答案：課堂練習：1C；2ABC是等腰直角三角形； 3 4提示：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2，ACB=90。課后練習：16；2提示：因為AD2+BD2=AB2，所以ADBD，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=BC。 3提示：有AC2=AE2+CE2得E=90；由ADCAEC，得AD=AE，CD=CE，ADC=BE=90，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=AC，則AB2=AE2+CE2。4提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因為（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。又因為c2=14，所以a2+b2=c2 。勾股定理復習學案一、奮斗目標：1、明確勾股定理及其逆定理的內(nèi)容 2、能利用勾股定理解決實際問題二、知識小管家：通過本章的學習你都學到了三、學以致用：考點一、已知兩邊求第三邊1在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm，2cm ，則斜邊長為_2已知直角三角形的兩邊長為3、2，則另一條邊長是_3在數(shù)軸上作出表示的點4已知，如圖在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是邊BC上的高求 AD的長；ABC的面積考點二、利用列方程求線段的長ADEBC5如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？6如圖，某學校（A點）與公路（直線L）的距離為300米，又與公路車站（D點）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個小商店（C點），使之與該校A及車站D的距離相等，求商店與車站之間的距離考點三、判別一個三角形是否是直角三角形7、分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能夠成直角三角形的有-8、若三角形的三別是a2+b2,2ab,a2-b2(ab0),則這個三角形是-.9、如圖，在我國沿海有一艘不明國際的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西400.那么甲巡邏艇的航向是怎樣的？四、靈活變通10、直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形的面積為7，8，則以斜邊為邊長的正方形的面積為_11、如圖一個圓柱，底圓周長6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點，則最少要爬行 cm12、一種盛飲料的圓柱形杯，測得內(nèi)部底面半徑為2.5，68高為12，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出4.6，問吸管要做多長？13、如圖：帶陰影部分的半圓的面積是-（取3）14、若一個三角形的周長12cm,一邊長為3cm,其他兩邊之差為cm,則這個三角形是_五、能力提升15、已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是BC邊上的高求證：AB2-AC2=BC(BD-DC)16、如圖，四邊形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且你能說明AFE是直角嗎？復習第一步：勾股定理的有關計算例1：（2006年甘肅省定西市中考題）下圖陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 析解：圖中陰影是一個正方形，面積正好是直角三角形一條直角邊的平方，因此由勾股定理得正方形邊長平方為：172-152=64，故正方形面積為6勾股定理解實際問題例2（2004年吉林省中考試題）圖是一面矩形彩旗完全展平時的尺寸圖（單位：cm） 其中矩形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為矩形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿旗頂?shù)降孛娴母叨葹?20cm在無風的天氣里，彩旗自然下垂，如圖 求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h 析解：彩旗自然下垂的長度就是矩形DCEF的對角線DE的長度，連接DE，在RtDEF中，根據(jù)勾股定理，得DE=h=220-150=70(cm)所以彩旗下垂時的最低處離地面的最小高度h為70cm與展開圖有關的計算例3、（2005年青島市中考試題）如圖，在棱長為1的正方體ABCDABCD的表面上，求從頂點A到頂點C的最短距離析解：正方體是由平面圖形折疊而成，反之，一個正方體也可以把它展開成平面圖形，如圖是正方體展開成平面圖形的一部分，在矩形ACCA中，線段AC是點A到點C的最短距離而在正方體中，線段AC變成了折線，但長度沒有改變，所以頂點A到頂點C的最短距離就是在圖2中線段AC的長度在矩形ACCA中，因為AC=2，CC=1所以由勾股定理得AC= 從頂點A到頂點C的最短距離為復習第二步：1易錯點：本節(jié)同學們的易錯點是：在用勾股定理求第三邊時，分不清直角三角形的斜邊和直角邊；另外不論是否是直角三角形就用勾股定理；為了避免這些錯誤的出現(xiàn)，在解題中，同學們一定要找準直角邊和斜邊，同時要弄清楚解題中的三角形是否為直角三角形例4：在RtABC中， a，b，c分別是三條邊，B=90，已知a=6，b=10，求邊長c錯解：因為a=6，b=10，根據(jù)勾股定理得c=剖析：上面解法，由于審題不仔細，忽視了B=90，這一條件而導致沒有分清直角三角形的斜邊和直角邊，錯把c當成了斜邊正解：因為a=6，b=10，根據(jù)勾股定理得，c=溫馨提示：運用勾股定理時，一定分清斜邊和直角邊，不能機械套用c2=a2+b2例5：已知一個RtABC的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是 錯解：因為RtABC的兩邊長分別為3和4，根據(jù)勾股定理得: 第三邊長的平方是32+42=25剖析：此題并沒有告訴我們已知的邊長4一定是直角邊，而4有可能是斜邊，因此要分類討論正解：當4為直角邊時，根據(jù)勾股定理第三邊長的平方是25；當4為斜邊時，第三邊長的平方為：42-32=7，因此第三邊長的平方為：25或7溫馨提示：在用勾股定理時，當斜邊沒有確定時，應進行分類討論例6：已知a，b，c為ABC三邊，a=6，b=8，bc，且c為整數(shù)，則c=錯解：由勾股定理得c=剖析：此題并沒有告訴你ABC為直角三角形，因此不能亂用勾股定理正解：由bc，結合三角形三邊關系得8c6+8，即8c14，又因c為整數(shù)，故c邊長為9、10、11、12、13溫馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解題時一定注意已知條件中是否為直角三角形2思想方法：本節(jié)主要思想方法有數(shù)形結合的思想、方程的思想、化歸的思想及分類的思想；例7：如圖，有一個直角三角形