（新課程）高中數(shù)學(xué) 《第二章平面向量》精選題 蘇教版必修4.doc

（新課程）2013高中數(shù)學(xué) 第二章平面向量精選題教學(xué)類(lèi)型： 強(qiáng)化基礎(chǔ)型 引導(dǎo)思路型 錯(cuò)題講析型 督導(dǎo)訓(xùn)練型 效率提升型 單元測(cè)評(píng)型 綜合測(cè)評(píng)型 應(yīng)試指導(dǎo)型 專(zhuān)題總結(jié)型 其它：教學(xué)目標(biāo)：平面向量總結(jié) 。高中數(shù)學(xué)必修4 平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納 一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標(biāo)表示法 向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱(chēng)為平行向量記作由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱(chēng)為共線向量數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的數(shù)乘向量滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)學(xué)習(xí)本章主要樹(shù)立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問(wèn)題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)例1 給出下列命題： 若|，則=； 若a，b，c，d是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件； 若=，=，則=，=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/，其中正確的序號(hào)是 解：不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同 正確 ， 且，又 a，b，c，d是不共線的四點(diǎn)， 四邊形 abcd為平行四邊形；反之，若四邊形abcd為平行四邊形，則，且，因此， 正確 =， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同；又， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同，故 不正確當(dāng)/且方向相反時(shí)，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條件，而是必要不充分條件 不正確考慮=這種特殊情況 綜上所述，正確命題的序號(hào)是 點(diǎn)評(píng)：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念向量的基本概念較多，因而容易遺忘為此，復(fù)習(xí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類(lèi)比和聯(lián)想例2 設(shè)a、b、c、d、o是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：， 解：原式= 原式= 原式= 例3設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kr)，若，試求k解： 由向量共線的充要條件得： = (r)即 k+=(+k) (k-) + (1-k) = 又、不共線 由平面向量的基本定理 二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則3向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 運(yùn)算類(lèi)型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個(gè)向量,滿(mǎn)足:0時(shí),與同向;0時(shí),與異向;=0時(shí), =向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)或時(shí),=0且時(shí),例1 已知向量，且，求實(shí)數(shù)的值解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗?，即解得?已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)，則因?yàn)槭桥c的交點(diǎn)所以在直線上，也在直線上即得由點(diǎn)得，得方程組解之得故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為三平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=r，稱(chēng)為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱(chēng)為射影3數(shù)量積的幾何意義： 等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則=8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則aob= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題9垂直：如果與的夾角為900則稱(chēng)與垂直，記作10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：o平面向量數(shù)量積的性質(zhì)例1 判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（5）對(duì)任意向量都成立；（6）對(duì)任意向量，有解：錯(cuò)； 對(duì)； 錯(cuò)； 錯(cuò)； 錯(cuò)；對(duì)例2已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角解：由題意，且與的夾角為，所以，同理可得 而，設(shè)為與的夾角，則 點(diǎn)評(píng)：向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑例3 已知，按下列條件求實(shí)數(shù)的值 （1）；（2）；解：（1）；（2）；點(diǎn)評(píng)：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的基本運(yùn)算（數(shù)學(xué)4必修）第二章 平面向量 綜合訓(xùn)練b組一、選擇題1下列命題中正確的是（ ）a bc d2設(shè)點(diǎn)，,若點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）a b c或 d無(wú)數(shù)多個(gè)3若平面向量與向量的夾角是，且，則( )a b c d4向量，若與平行，則等于a b c d5若是非零向量且滿(mǎn)足， ，則與的夾角是（ ）a b c d6設(shè)，且，則銳角為（ ）a b c d二、填空題1若，且，則向量與的夾角為2已知向量，若用和表示，則=_。3若,，與的夾角為，若，則的值為 4若菱形的邊長(zhǎng)為，則_。5若=，=，則在上的投影為_(kāi)。三、解答題1求與向量，夾角相等的單位向量的坐標(biāo)2 試證明：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于它各邊的平方和3 設(shè)非零向量，滿(mǎn)足，求證： 4已知，其中(1)求證： 與互相垂直；(2)若與的長(zhǎng)度相等，求的值(為非零的常數(shù))提高訓(xùn)練c組一、選擇題1若三點(diǎn)共線，則有（ ）a b c d2設(shè)，已知兩個(gè)向量，則向量長(zhǎng)度的最大值是（ ）a. b. c. d.3下列命題正確的是（ ）a單位向量都相等 b若與是共線向量，與是共線向量，則與是共線向量（ ） c，則 d若與是單位向量，則4已知均為單位向量，它們的夾角為，那么（ ）a b c d5已知向量，滿(mǎn)足且則與的夾角為a b c d6若平面向量與向量平行，且，則( )a b c d或二、填空題1已知向量，向量，則的最大值是 2若，試判斷則abc的形狀_3若，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為_(kāi)。4若向量則 。5平面向量中，已知，且，則向量_。三、解答題1已知是三個(gè)向量，試判斷下列各命題的真假（1）若且，則（2）向量在的方向上的投影是一模等于（是與的夾角），方向與在相同或相反的一個(gè)向量2證明：對(duì)于任意的，恒有不等式3平面向量，若存在不同時(shí)為的實(shí)數(shù)和，使且，試求函數(shù)關(guān)系式。 4如圖，在直角abc中，已知，若長(zhǎng)為的線段以點(diǎn)為中點(diǎn)，問(wèn)的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值。 1、 填空題1若有以下命題： 兩個(gè)相等向量的模相等； 若和都是單位向量，則； 相等的兩個(gè)向量一定是共線向量； ，則； 零向量是唯一沒(méi)有方向的向量； 兩個(gè)非零向量的和可以是零。其中正確的命題序號(hào)是 。2. 在水流速度為4的河流中，有一艘船沿與水流垂直的方向以8的速度航行，則船自身航行速度大小為_(kāi)。3. 任給兩個(gè)向量和，則下列式子恒成立的有_。 4. 若，且，則四邊形的形狀為_(kāi)。5梯形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)。6. 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若是的重心，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)，_。7. 若向量，則_(用和表示)。8. 與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為 _。9. 在中，已知，則_。10.設(shè)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 _ _。11. 直線平行于向量，則直線的斜率為_(kāi)。12. 已知，則的取值范圍是 _。13.已知向量、不共線，且，則與的夾角為 _。14.在中， ，則下列推導(dǎo)正確的是_ _ 。 若則是鈍角三角形 若，則是直角三角形 若， 則是等腰三角形 若，則是直角三角形 若，則abc是正三角形二、解答題（本大題共6小題，共90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知 且，計(jì)算 16.設(shè)、分別是的邊、上的點(diǎn)，且，若記，試用，表示、。17. 已知，且與夾角為120求； ； 與的夾角。18. 已知向量=，= 。求與； 當(dāng)為何值時(shí)，向量與垂直？ 當(dāng)為何值時(shí)，向量與平行？并確定此時(shí)它們是同向還是反向？19. 已知=，= ，=，設(shè)是直線上一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)求使取最小值時(shí)的； 對(duì)（1）中的點(diǎn)，求的余弦值。20. 在中，為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 求：的最小值。21.如圖，在abc中，d、f分別是bc、ac的中點(diǎn)，ae=ad，=，=， （1）用、分別表示向量;（2）求證：b、e、f三點(diǎn)共線. 平面向量一、選擇題1【棗莊市理科】6已知的夾角的取值范圍是（ ）abcd2【蒼山縣理科】2已知平面向量等于（ ）.a9b1c1 d93【濟(jì)寧理科】11點(diǎn)m是邊長(zhǎng)為2的正方形abcd內(nèi)或邊界上一動(dòng)點(diǎn)，n是邊bc的中點(diǎn)，則的最大值是 a2 b4 c5 d64【臨沂一中理科】3 已知點(diǎn)a（3，0），b（0，3），c（cos，sin），o（0，0），若，則的夾角為（ ）abcd5【臨沂高新區(qū)理科】11在oab中，是ab邊上的高，若，則實(shí)數(shù)行等于 bcd6【煙臺(tái)理科】2若abc是銳角三角形，向量的夾角為 （ ）a銳角b直角c鈍角d以上均