高考數(shù)學(xué) 6.1不等關(guān)系與不等式配套課件 文 新人教A版.ppt

第六章不等式 推理與證明第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 1 兩個實數(shù)比較大小的法則 a b 0 a b 0 a b 0 2 不等式的基本性質(zhì) b a a c a c b c a c b d ac bd an bn 3 不等式的倒數(shù)性質(zhì) 1 a b ab 0 2 a 0 b 3 a b 0 0 c d 4 0 a x b或a x b 0 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 在一個不等式的兩邊同乘以一個非零實數(shù) 不等式仍然成立 2 同向不等式具有可加性和可乘性 3 若兩個數(shù)的比值大于1 那么分子就大于分母 4 一個數(shù)越大 它的倒數(shù)不一定越小 5 當x 3時 一定有 解析 1 錯誤 在一個不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時 不等式仍然成立 同乘以一個負數(shù)時不等號改變方向 2 錯誤 同向不等式具有可加性 但不一定具有可乘性 3 錯誤 只有當分子和分母都是正數(shù)時 這個結(jié)論才成立 4 正確 例如 2 3應(yīng)該得到或答案 1 2 3 4 5 1 若a 0 1 b 0 那么下列不等式中正確的是 a a ab2 ab b ab2 a ab c a ab ab2 d ab2 ab a 解析 選a 因為 1 b 0 所以b 0 b2 1 于是a ab2 ab 2 若a 1 b 下列不等式中不一定成立的是 a a b 1 b b a 1 b 1 c a 1 1 b d 1 a b a 解析 選c 由a 1知a b 1 b 故a正確 由a b知a 1 b 1 故b正確 由1 b知1 a b a 故d正確 c項錯誤 如當a 3 b 3時不成立 3 x y2 d x2 解析 選b 由不等式的性質(zhì)知 當x 2且y 2時必有x y 4 但當x y 4時 不一定有x 2且y 2 如當x 1 y 2時就不成立 4 與的大小關(guān)系是 解析 因為而所以即答案 5 已知 2 a 1 3 b 2 則a b的取值范圍是 a2 b2的取值范圍是 解析 因為 2 a 1 3 b 2 所以2 b 3 于是0 a b 2 又因為1 a2 4 4 b2 9 所以5 a2 b2 13 答案 0 2 5 13 考向1用不等式 組 表示不等關(guān)系 典例1 1 2013 廣州模擬 一個課外研究小組中男生人數(shù)為x人 女生人數(shù)為y人 要求該小組人員總數(shù)不得超過10人 男女生人數(shù)都不得低于3人 則這些關(guān)系用不等式組表示為 2 某學(xué)生三次數(shù)學(xué)測試的成績互不相同 記為a1 a2 a3 且a1 a2 a3 如果去掉最低分求平均分 則平均分提高了 如果去掉最高分求平均分 則平均分降低了 這個事實可以用不等式表示為 思路點撥 1 根據(jù)問題對人數(shù)的要求列出各個不等式組成不等式組即可 2 根據(jù)采取去分措施前后平均分的變化情況與原來的平均分的大小得出不等式 規(guī)范解答 1 選a 根據(jù)要求題目中的關(guān)系可知x y 10 x 3 y 3且x y都是自然數(shù) 可以用選項a中的不等式組表示 2 選a 去掉最高分后的平均分為三次成績的平均分為去掉最低分后的平均分為則 拓展提升 1 不等關(guān)系的含義 1 不等關(guān)系可以表示常量與常量之間的不等關(guān)系 如2 4 2 不等關(guān)系也可以表示變量與常量之間的不等關(guān)系 如2a 5 3 不等關(guān)系還可以表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系 如f x g x 2 文字語言與符號語言的轉(zhuǎn)化將實際問題中的不等關(guān)系寫成相應(yīng)的不等式 組 時 應(yīng)注意關(guān)鍵性的文字語言與對應(yīng)數(shù)學(xué)符號語言之間的正確轉(zhuǎn)換 常見的轉(zhuǎn)換關(guān)系如表 提醒 在不等式的應(yīng)用題中 用不等式表示不等關(guān)系時 不可忽略自變量的限制條件 變式訓(xùn)練 將一個三邊長度分別為5 12 13的三角形的各邊都縮短x 構(gòu)成一個鈍角三角形 試用不等式 組 表示x應(yīng)滿足的不等關(guān)系 解析 各邊都縮短x后 長度仍然為正數(shù) 只要最短邊大于零即可 因此5 x 0 而要構(gòu)成三角形 還要滿足 5 x 12 x 13 x 當三角形是鈍角三角形時 應(yīng)使最大角是鈍角 此時只需最長邊對的角是鈍角即可 因此 5 x 2 12 x 2 13 x 2 故x應(yīng)滿足的不等關(guān)系如下 考向2比較大小 典例2 1 若實數(shù)a 1 比較a 2與的大小 2 已知 0 且a 2sin2 sin2 b sin cos 試比較a與b的大小 思路點撥 1 運用作差法進行比較 同時注意對實數(shù)a進行討論 2 由于作差法不易比較 且a與b均為正數(shù) 可用作商法比較 規(guī)范解答 1 由于所以當a 1時 有當a 1時 有 2 由于 0 所以a 2sin2 sin2 0 b sin cos 0 而因為 0 所以sin 0 2sin 0 1 即0 1 故必有a b 互動探究 本例 2 中 若將 的取值范圍改為 那么a與b大小關(guān)系如何 解析 由于 所以a 2sin2 sin2 0 b sin cos 0 而因為 所以sin 2sin 1 2 即 1 故必有a b 拓展提升 1 作差法比較大小的方法步驟比較兩個實數(shù)或代數(shù)式值的大小問題的方法一般有兩種 作差法和作商法 其中作差法的主要步驟是 作差 有的可直接作差 有的需轉(zhuǎn)化才可作差 變形 目的是判斷差的符號 通常進行通分 因式分解 配方 分子 分母 有理化等變形 有時還要根據(jù)字母取值范圍進行討論以判斷差的符號 定號 若a b 0 則a b 若a b 0 則a b等 得結(jié)論 2 作商法比較大小的注意事項利用作商法比較大小要注意分清所研究變量的正負 然后根據(jù) 若 1 b 0 則a b 若 1 b 0 則a b的原則進行判斷 變式備選 設(shè)x 5 則p與q的大小關(guān)系是 解析 而所以必有p q 答案 p q 考向3不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用 典例3 1 已知a b c d為實數(shù) 且c d 則 a b 是 a c b d 的 a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件 2 2012 湖南高考 設(shè)a b 1 cloga b c 其中所有的正確結(jié)論的序號是 a b c d 3 已知 1 2x 1 1 則的取值范圍是 思路點撥 1 根據(jù)充分必要條件的定義進行判斷 利用不等式性質(zhì)肯定一個結(jié)論 或取特殊值否定一個結(jié)論 2 可直接利用不等式的性質(zhì)以及冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較 也可以采用特殊值方法進行比較 3 先求出x的范圍 再求的范圍 從而求出的取值范圍 規(guī)范解答 1 選b 由于c d 所以 d c 因此當a b時能夠推出a d b c 但不一定有a c b d 如a 3 b 2 c 4 d 1 但當c d且a c b d時 必有a b 所以是必要不充分條件 故選b 2 選d 由不等式a b 1知又cb 1 cb c 1 c 1 由對數(shù)函數(shù)的圖象與單調(diào)性知 正確 故選d 3 由 1 2x 1 1 得0 x 1 所以于是故答案 1 拓展提升 1 判斷命題真假的三種方法 1 直接運用不等式的性質(zhì)法 把要判斷的命題和不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來考慮 找到與命題相近的性質(zhì) 然后進行推理判斷 2 利用指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)的單調(diào)性法 當直接利用不等式性質(zhì)不能比較大小時 可以利用指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)的單調(diào)性等進行判斷 3 取特殊值法 即給要比較的幾個式子中涉及的變量取一些特殊值進行比較 判斷 2 正確運用倒數(shù)法則求范圍涉及 取倒數(shù)求范圍 等問題時 注意倒數(shù)法則的正確運用 一般地 1 若x a a 0 則 2 若x a a0 則或 變式訓(xùn)練 1 下列命題中為真命題的是 若a b 則 若a b 0 c d 0 則 若a b 且a b r 則 若 則1 sin 0 解析 由于所以 是錯誤的 由于a b 0 c d 0 所以a2 b2 0 所以故所以 正確 由于函數(shù)是減函數(shù) a b 所以故 正確 當時 1 sin 0 故 不正確 答案 2 若1 3 4 2 則 的取值范圍是 解析 因為 4 2 所以0 4 于是 4 0 又1 3 所以 3 3 答案 3 3 創(chuàng)新體驗 不等式與函數(shù)的融合 典例 2012 浙江高考 設(shè)a 0 b 0 e是自然對數(shù)的底數(shù) a 若ea 2a eb 3b 則a b b 若ea 2a eb 3b 則a b c 若ea 2a eb 3b 則a b d 若ea 2a eb 3b 則a b 思路點撥 規(guī)范解答 選a 由于a 0 b 0 且ea 2a eb 2b b 所以有ea 2a eb 2b 設(shè)函數(shù)f x ex 2x 顯然函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 又f a f b 所以有a b 故a正確 b錯誤 又ea 2a eb 2b b 所以ea 2a0可得x ln2 所以函數(shù)g x 在 0 ln2 上遞減 在 ln2 上遞增 因此由g a g b 不能確定a與b的大小 即c和d都錯誤 故選a 思考點評 1 方法感悟 本題充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用 即通過構(gòu)造函數(shù) 研究其單調(diào)性 通過單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值的大小關(guān)系得出自變量值的大小關(guān)系 一般地 函數(shù)與不等式是緊密聯(lián)系在一起的 很多不等式問題 都可以借助函數(shù)的方法進行求解 這種思想方法值得我們仔細體會 2 技巧提升 在通過構(gòu)造函數(shù)解決不等式問題時 注意觀察題目的特點 一般來說 要比較大小的兩個式子 或已知大小關(guān)系的兩個式子 在結(jié)構(gòu)上 形式上都非常類似 都可以看作是將某個函數(shù)解析式中的自變量換成了不同的數(shù) 字母等而得到的 因此可以通過研究函數(shù)的單調(diào)性 得到自變量的大小與函數(shù)值的大小之間的關(guān)系 構(gòu)造函數(shù)這種思想方法 不僅適用于不等式中的大小比較問題 也可以解決方程與等式問題 另外 構(gòu)造函數(shù)后 不僅可以研究其單調(diào)性 還可以研究其奇偶性 周期性等 然后再利用奇偶性 周期性等解決相關(guān)問題 1 2013 汕頭模擬 一杯質(zhì)量為a克的糖水中含有b克糖 此時稱為該糖水的 甜度 若在此糖水中加入c克水 則顯然糖水的 甜度 變小 若在此糖水中加入d克糖 則顯然該糖水的 甜度 變大 這個事實可以使用不等式表示為 a b c d 解析 選b 加水后的甜度為加糖后的甜度為故有不等式 2 2013 梅州模擬 已知a b c滿足c b a且ac 0 則下列選項中不一定能成立的是 a b c d 解析 選c c b a 且ac 0 c 0 a 0 但b2與a2的關(guān)系不確定 故不一定成立 3 2013 銅山模擬 若a b 0 且則實數(shù)m的取值范圍是 解析 由由a b 0 則上式等價于即 b m 0 答案 b 0 4 2013 陽信模擬 a杯中有濃度為a的鹽水x克 b杯中有濃度為b的鹽水y克 其中a杯中的鹽水更咸一些 若將a b兩杯鹽水混合在一起 其咸淡的程度可用不等式表示為 解析