（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué) 單元評(píng)估檢測(cè)(八).doc

單元評(píng)估檢測(cè)(八)第八章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.直線x+2ay-5=0與直線ax+4y+2=0平行,則a的值為()a.2b.2c.d.【解析】選d.因?yàn)橹本€x+2ay-5=0與直線ax+4y+2=0平行,所以,即2a2=4,解得a=,經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意.2.(2015湖南六校聯(lián)考)已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a.(1,0)b.(,0)c.(0,)d.(0,1)【解析】選b.因?yàn)閍=,b=1,所以c=且焦點(diǎn)在x軸上,所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0).3.(2015肇慶模擬)已知圓c的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn),且圓c與直線x+y+3=0相切,則圓c的方程是()a.(x+1)2+y2=2b.(x+1)2+y2=8c.(x-1)2+y2=2d.(x-1)2+y2=8【解析】選a.根據(jù)題意直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)為 (-1,0),因?yàn)閳A與直線x+y+3=0相切,所以半徑為圓心到切線的距離,即r=d=則圓的方程為(x+1)2+y2=2.4.已知橢圓=1的焦點(diǎn)是f1,f2,如果橢圓上一點(diǎn)p滿(mǎn)足pf1pf2,則下面結(jié)論正確的是()a.p點(diǎn)有兩個(gè)b.p點(diǎn)有四個(gè)c.p點(diǎn)不一定存在d.p點(diǎn)一定不存在【解析】選d.設(shè)橢圓的基本量為a,b,c,則a=5,b=4,c=3.以f1f2為直徑構(gòu)造圓,可知圓的半徑r=c=30,b0)的虛軸的上頂點(diǎn)是a,右焦點(diǎn)是f,o為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)p滿(mǎn)足ap=pf,若直線op的傾斜角是60,則該雙曲線的離心率是()【解析】選b.由題意可知a(0,b),f(c,0),又ap=pf,所以因?yàn)橹本€op的傾斜角是60,所以kop=,4b2=3c2,則a2=c2-b2=c2-,故離心率e=2.6.(2015蘭州模擬)已知圓o1:(x-a)2+(y-b)2=4,圓o2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1(a,br),那么兩圓的位置關(guān)系是()a.內(nèi)含b.內(nèi)切c.相交d.外切【解析】選c.因?yàn)閳Ao1:(x-a)2+(y-b)2=4,圓o2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1,圓o1的圓心坐標(biāo)是(a,b),半徑為2,圓o2的圓心坐標(biāo)是(a+1,b+2),半徑為1,所以?xún)蓤A的圓心距為:因?yàn)?3,所以?xún)蓤A的位置關(guān)系是相交.故選c.7.命題p:4r0)上恰好有2個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y=2的距離等于1,則p是q的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件【解析】選b.因?yàn)閳A心(3,-5)到直線4x-3y=2的距離等于5,所以圓(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有2個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y=2的距離等于1時(shí),4rb0,e1,e2分別為圓錐曲線=1的離心率,則lg e1+lg e2的值()a.大于0且小于1b.大于1c.小于0d.等于0【解析】選c.由題意,得(ab0),所以e1e2=所以lg e1+lg e2=lg(e1e2)=0,b0)的左支上一點(diǎn),f1,f2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且pf1pf2,pf2與兩條漸近線相交于m,n兩點(diǎn)(如圖),點(diǎn)n恰好平分線段pf2,則雙曲線的離心率是()【解析】選a.在f1f2p中,點(diǎn)n恰好平分線段pf2,點(diǎn)o恰好平分線段f1f2,所以onpf1,又on的斜率為,所以tanpf1f2=,在f1f2p中,設(shè)|pf2|=bt,|pf1|=at,根據(jù)雙曲線的定義可知|pf2|-|pf1|=2a,所以bt-at=2a,在rtf1f2p中,|pf2|2+|pf1|2=4c2,由消去t,得(a2+b2)=4c2,又c2=a2+b2,所以a2=(b-a)2,即b=2a,雙曲線的離心率是10.已知拋物線y2=2px(p0)與雙曲線=1(a0,b0)的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)a,b(a,b異于原點(diǎn)),拋物線的焦點(diǎn)為f.若雙曲線的離心率為2,|af|=7,則p=()a.3b.6c.12d.42【解題提示】由雙曲線的離心率可求出雙曲線的漸近線方程,從而可求出a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的定義可求p的值.【解析】選b.因?yàn)殡p曲線的離心率為2,所以e2=4,即b2=3a2,所以雙曲線=1(a0,b0)的兩條漸近線方程為y=x,代入y2=2px(p0),得x=p或x=0,故xa=xb=p,又|af|=xa+=7,所以p=6.【加固訓(xùn)練】(2014衡水模擬)若雙曲線=1(a0,b0)與橢圓=1(mb0)的離心率之積等于1,則以a,b,m為邊長(zhǎng)的三角形一定是()a.等腰三角形b.直角三角形c.銳角三角形d.鈍角三角形【解析】選b.設(shè)雙曲線離心率為e1,橢圓離心率為e2,(m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形.11.(2015蘭州模擬)已知雙曲線=1(a0,b0)與拋物線y2=2px(p0)有一個(gè)共同的焦點(diǎn)f,點(diǎn)m是雙曲線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),若|mf|=p,則此雙曲線的離心率等于()【解析】選a.因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p0)的焦點(diǎn)所以由題意知雙曲線=1的一個(gè)焦點(diǎn)為f(c,0),所以c=a,(1)即p2a.所以雙曲線方程為=1,因?yàn)辄c(diǎn)m是雙曲線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),若|mf|=p,則m點(diǎn)橫坐標(biāo)xm=,代入拋物線y2=2px得得9p4-148p2a2+64a4=0,解得p=4a或p=a,因?yàn)閜2a,所以p=a舍去,故p=4a.(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得c=2a,即e=2.12.若直線y=-x+1與橢圓c:=1(ab0)相交于a,b兩點(diǎn),且以ab為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)o(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓c的離心率e時(shí),橢圓c的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值是()【解析】選a.由,消去y整理得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,由=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)0,整理得a2+b21.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),所以y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1,又oaob,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,整理得a2+b2-2a2b2=0.因?yàn)閎2=a2-c2=a2-a2e2,代入上式得2a2=1+,所以a2=因?yàn)閑所以4,所以,符合條件a2+b21,所以,所以,故橢圓c的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值為.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13.若a,b為橢圓c:=1(ab0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),垂直于x軸的直線與橢圓交于點(diǎn)m,n,且kamkbn=,則橢圓c的離心率為.【解析】設(shè)m(x,y),則n(x,-y),解得離心率e=.答案: 14.(2014銀川模擬)設(shè)雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,過(guò)f1的直線l交雙曲線的左支于a,b兩點(diǎn),則|bf2|+|af2|的最小值為.【解析】由題意可得|af2|-|af1|=2a=4,|bf2|-|bf1|=2a=4,兩式相加得|af2|+|bf2|-|ab|=8,所以|af2|+|bf2|=8+|ab|當(dāng)且僅當(dāng)abx軸時(shí)取等號(hào),所以|bf2|+|af2|的最小值為11.答案:1115.(2015長(zhǎng)春模擬)已知雙曲線=1(a0,b0),且雙曲線的一條漸近線截圓(x-3)2+y2=8所得弦長(zhǎng)為4,則雙曲線的離心率為.【解析】雙曲線=1的漸近線方程為y=x,不妨設(shè)y=x,即bx-ay=0,又該漸近線截圓(x-3)2+y2=8所得弦長(zhǎng)為4,所以圓心到該直線的距離為d=2,即2=,即2c=3b,所以4c2=9b2=9(c2-a2),9a2=5c2,答案:16.已知拋物線c的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)f與雙曲線=1的右焦點(diǎn)重合,過(guò)定點(diǎn)p(2,0)且斜率為1的直線l與拋物線c交于a,b兩點(diǎn),則弦ab的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.【解析】由題意,設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p0),因?yàn)殡p曲線=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),所以=3,即p=6,所以?huà)佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x.過(guò)定點(diǎn)p(2,0)且斜率為1的直線l的方程為y=x-2,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),聯(lián)立消去y可得x2-16x+4=0,所以x1+x2=16,線段ab的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為答案:11三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2015福州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l與拋物線y2=4x相交于不同的a,b兩點(diǎn).(1)如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求oaob的值.(2)如果oaob=-4,證明:直線l必過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).【解析】(1)由題意:拋物線焦點(diǎn)為(1,0),設(shè)l:x=ty+1,代入拋物線y2=4x,消去x得y2-4ty-4=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則y1+y2=4t,y1y2=-4,所以oaob=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.(2)設(shè)l:x=ty+b,代入拋物線y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則y1+y2=4t,y1y2=-4b,所以oaob=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,所以b2-4b+4=0,所以b=2,所以直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0).所以若oaob=-4,則直線l必過(guò)一定點(diǎn)(2,0).18.(12分)在直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)o為圓心的圓與直線x-y=4相切.(1)求圓o的方程.(2)若圓o上有兩點(diǎn)m,n關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱(chēng),且|mn|=2,求直線mn的方程.(3)圓o與x軸相交于a,b兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)p使|pa|,|po|,|pb|成等比數(shù)列,求papb的取值范圍.【解析】(1)半徑r=2,故圓o的方程為x2+y2=4.(2)因?yàn)閳Ao上有兩點(diǎn)m,n關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱(chēng),故mn的斜率等于直線x+2y=0斜率的負(fù)倒數(shù),等于2,設(shè)mn的方程為y=2x+b,即2x-y+b=0.由弦長(zhǎng)公式可得,圓心o到直線mn的距離等于=1.由點(diǎn)到直線的距離公式可得故mn的方程為2x-y=0.(3)圓o與x軸相交于a(-2,0),b(2,0)兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)p使|pa|,|po|,|pb|成等比數(shù)列,所以|pa|pb|=|po|2,設(shè)點(diǎn)p(x,y),則有兩邊平方,化簡(jiǎn)可得x2=y2+2.由點(diǎn)p在圓內(nèi)可得x2+y24,故有0y2b0)的右焦點(diǎn)f2與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,過(guò)f2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于s,t兩點(diǎn),與拋物線交于c,d兩點(diǎn),且(1)求橢圓e的方程.(2)若過(guò)點(diǎn)m(2,0)的直線與橢圓e相交于兩點(diǎn)a,b,設(shè)p為橢圓e上一點(diǎn),且滿(mǎn)足oa+ob=top(o為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)|pa-pb|0,k20,所以k2,所以k2b0)的離心率為,右焦點(diǎn)為f,右頂點(diǎn)a在圓f:(x-1)2+y2=r2(r0)上.(1)求橢圓c和圓f的方程.(2)已知過(guò)點(diǎn)a的直線l與橢圓c交于另一點(diǎn)b,與圓f交于另一點(diǎn)p.請(qǐng)判斷是否存在斜率不為0的直線l,使點(diǎn)p恰好為線段ab的中點(diǎn),若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意可得c=1,又由題意可得,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以橢圓c的方程為=1,所以橢圓c的右頂點(diǎn)為a(2,0),代入圓f的方程,可得r2=1,所以圓f的方程為(x-1)2+y2=1.(2)假設(shè)存在直線l:y=k(x-2)(k0)滿(mǎn)足條件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.設(shè)b(x1,y1),則2+x1=,可得中點(diǎn)由點(diǎn)p在圓f上可得化簡(jiǎn)整理得k2=0,又因?yàn)閗0,所以不存在滿(mǎn)足條件的直線l.【一題多解】解決本題(2)還有如下方法:假設(shè)存在直線l滿(mǎn)足題意,由(1)可得oa是圓f的直徑,所以opab.由點(diǎn)p是ab的中點(diǎn),可得|ob|=|oa|=2.設(shè)點(diǎn)b(x1,y1),則由題意可得又因?yàn)橹本€l的斜率不為0,所以x120).設(shè)拋物線w的焦點(diǎn)在直線ab的下方.(1)求k的取值范圍.(2)設(shè)c為w上一點(diǎn),且abac,過(guò)b,c兩點(diǎn)分別作w的切線,記兩切線的交點(diǎn)為d,判斷四邊形abdc是否為梯形,并說(shuō)明理由.【解析】(1)拋物線y=x2的焦點(diǎn)為由題意,得直線ab的方程為y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直線ab與y軸相交于點(diǎn)(0,1-k).因?yàn)閽佄锞€w的焦點(diǎn)在直線ab的下方,所以1-k,解得k0,所以0kb0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓c的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+=0相切,a,b是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線l過(guò)b點(diǎn)且與x軸垂直.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)g是橢圓c上異于a,b的任意一點(diǎn),作ghx軸于點(diǎn)h,延長(zhǎng)hg到點(diǎn)q使得hg=gq,連接aq并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)m,n為線段mb的中點(diǎn),判定直線qn與以ab為直徑的圓o的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)由題意可得因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心,橢圓c的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+=0相切,所以=b,解得b=1.由a2=b2+c2,可得a=2.所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)直線qn與以ab為直徑的圓o相切,證明如下:由(1)可知a(-2,0),b(2,0),直線l的方程為x=2.設(shè)g(x0,y0)(y00),于是h(x0,0),q(x0,2y0),且有+y02=1,即4y02=4-x02.連接bq,設(shè)直線aq與直線bq的斜率分別為kaq,kbq,即aqbq,所以點(diǎn)q在以ab為直徑的圓上.因?yàn)橹本€aq的方程為于是直線oq與直線qn垂直,所以直線qn與以ab為直徑的圓o相切.22.(12分)已知橢圓c: =1(ab0)的右焦點(diǎn)為f,離心率為,過(guò)點(diǎn)f且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為,o為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓c的方程.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)m(0,2)作直線ab交橢圓c于a,b兩點(diǎn),求a