高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十五章 第1講 幾何證明選擇配套課件 理 新人教A版 .ppt

第1講幾何證明選講 考點(diǎn)梳理 1 平行線等分線段定理如果一組 在一條直線上截得的線段相等 那么在任一條 與這組平行線相交的 直線上截得的線段也 2 平行線分線段成比例定理兩條直線與一組平行線相交 它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成 1 平行截割定理 平行線 比例 相等 1 相似三角形的判定定理 兩角對(duì)應(yīng) 的兩個(gè)三角形相似 兩邊對(duì)應(yīng)成 且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 三邊對(duì)應(yīng)成 的兩個(gè)三角形相似 2 相似三角形的性質(zhì)定理 相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于 相似三角形周長(zhǎng)的比等于 相似三角形面積的比等于 2 相似三角形的判定與性質(zhì) 相等 比例 比例 相似比 相似比 相似比的平方 直角三角形一條直角邊的平方等于 斜邊上的高的平方等于 1 圓周角定理 圓周角的度數(shù)等于其所對(duì)弧的度數(shù)的 2 圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于 的度數(shù) 3 切線的判定與性質(zhì)定理 切線的判定定理過半徑外端且與這條半徑 的直線是圓的切線 切線的性質(zhì)定理圓的切線 于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 3 直角三角形射影定理 4 圓中有關(guān)的定理 該直角邊在斜邊上的射影 與斜邊的乘積 兩條直角邊在斜邊上 的射影的乘積 一半 它所對(duì)弧 垂直 垂直 4 切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線 切線長(zhǎng) 5 弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的度數(shù)的 6 相交弦定理 圓的兩條相交弦 每條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積 7 切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線與一條切線 切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的 相等 一半 相等 等比中項(xiàng) 8 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 圓內(nèi)接四邊形判定定理a 如果四邊形的對(duì)角 則此四邊形內(nèi)接于圓 b 如果四邊形的一個(gè)外角 它的內(nèi)角的對(duì)角 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理a 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 b 圓內(nèi)接四邊形的外角 它的內(nèi)角的對(duì)角 互補(bǔ) 互補(bǔ) 等于 等于 復(fù)習(xí)時(shí)仍以圓與三角形的綜合為主 難度中等 1 要掌握好基礎(chǔ)知識(shí) 如相似三角形的判定與性質(zhì)定理 圓周角與弦切角定理 圓的內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理 與圓有關(guān)的比例線段 這些定理是進(jìn)行幾何證明的依據(jù) 2 高考試題多以圓為載體 和三角形 四邊形相結(jié)合來命題 這類試題往往要綜合運(yùn)用多個(gè)定理或添設(shè)一定的輔助線才能解決 在解題時(shí)要注意總結(jié)一些添設(shè)輔助線的方法技巧 助學(xué) 微博 1 2009 江蘇卷 如圖 在四邊形abcd中 abc bad 求證 ab cd 證明由 abc bad 得 acb 考點(diǎn)自測(cè) bda 故a b c d四點(diǎn)共圓 從而 cab cdb 再由 abc bad 得 cab dba 因此 dba cdb ab cd 2 2012 鎮(zhèn)江市期末考試 已知梯形abcd為圓內(nèi)接四邊形 ad bc 過點(diǎn)c作該圓的切線 交ad的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e 求證 abc edc 證明因?yàn)閏e為圓的切線 所以 dce dac 因?yàn)閍d bc 所以 dac bca 所以 dce bca 因?yàn)樘菪蝍bcd為圓內(nèi)接四邊形 所以 edc abc 所以 abc edc 3 2013 鎮(zhèn)江調(diào)研 如圖 圓o的直徑ab 4 c為圓周上的一點(diǎn) bc 2 過點(diǎn)c作圓o的切線l 過點(diǎn)a作l的垂線ad ad分別與直線l 圓o交于點(diǎn)d e 求 dac的度數(shù)與線段ae的長(zhǎng) 例1 如圖 bd ce是 abc對(duì)應(yīng)邊上的高 求證 ade abc 考向一相似三角形的判定及性質(zhì) 方法總結(jié) 1 判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理 特別要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊 2 相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例 角相等 可間接證明線段相等 訓(xùn)練1 如圖 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分別是ab bc的中點(diǎn) ef與bd相交于點(diǎn)m 若db 9 求bm的長(zhǎng) 例2 2012 新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖 d e分別為 abc邊ab ac的中點(diǎn) 直線de交 abc的外接圓于f g兩點(diǎn) 若cf ab 證明 1 cd bc 2 bcd gbd 考向二與圓有關(guān)的相似三角形的判定 證明 1 如圖 因?yàn)閐 e分別為ab ac的中點(diǎn) 所以de bc 又已知cf ab 故四邊形bcfd是平行四邊形 所以cf bd ad 而cf ad 連結(jié)af 所以四邊形adcf是平行四邊形 故cd af 因?yàn)閏f ab 所以bc af 故cd bc 2 因?yàn)閒g bc 故gb cf 由 1 可知bd cf 所以gb bd bgd bdg 由bc cd知 cbd cdb 又因?yàn)?dgb efc dbc 故 bcd gbd 方法總結(jié) 在證明角或線段相等時(shí) 要注意等量代換 在證明線段的乘積相等時(shí) 通常用三角形相似或圓的切割線定理 證明 1 ace bcd 2 bc2 be cd 例3 如圖 ab是 o的直徑 c f為 o上的點(diǎn) ac是 baf的平分線 過點(diǎn)c作cd af交af的延長(zhǎng)線于d點(diǎn) cm ab 垂足為點(diǎn)m 證明 1 dc是 o的切線 2 am mb df da 考向三相交弦定理 割線定理 切割線定理 切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用 證明 1 如圖 連接oc oa oc oca oac 又 ac是 baf的平分線 dac oac dac oca ad oc 又cd ad oc cd 即dc是 o的切線 2 ac是 baf的平分線 cda cma 90 cd cm 由 1 知dc2 df da 又cm2 am mb am mb df da 方法總結(jié) 已知圓的切線時(shí) 第一要考慮過切點(diǎn)和圓心的連線得直角 第二應(yīng)考慮弦切角定理 第三涉及線段成比例或線段的積時(shí)要考慮切割線定理 訓(xùn)練3 如圖 設(shè) abc的外接圓的切線ae與bc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)e bac的平分線與bc交于點(diǎn)d 求證 ed2 ec eb 證明因?yàn)閍e是圓的切線 所以 abc cae 又因?yàn)閍d是 bac的平分線 所以 bad cad 從而 abc bad cae cad 因?yàn)?ade abc bad dae cae cad 所以 ade dae 故ea ed 因?yàn)閑a是圓的切線 所以由切割線定理知 ea2 ec eb 而ea ed 所以ed2 ec eb 例4 如圖 已知 abc的兩條角平分線ad和ce相交于h b 60 f在ac上 且ae af 證明 1 b d h e四點(diǎn)共圓 2 ec平分 def 考向四四點(diǎn)共圓的判定 證明 1 在 abc中 因?yàn)?b 60 所以 bac bca 120 因?yàn)閍d ce是角平分線 所以 hac hca 60 故 ahc 120 于是 ehd ahc 120 因?yàn)?ebd ehd 180 所以b d h e四點(diǎn)共圓 2 連接bh 則bh為 abc的平分線 得 hbd 30 由 1 知b d h e四點(diǎn)共圓 所以 ced hbd 30 又 ahe ebd 60 由已知可得ef ad 可得 cef 30 所以ec平分 def 方法總結(jié) 1 如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等 那么這四點(diǎn)共圓 2 如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ) 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 3 如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 訓(xùn)練4 如圖所示 已知ap是 o的切線 p為切點(diǎn) ac是 o的割線 與 o交于b c兩點(diǎn) 圓心o在 pac的內(nèi)部 點(diǎn)m是bc的中點(diǎn) 1 證明 a p o m四點(diǎn)共圓 2 求 oam apm的大小 1 證明連接op om ap與 o相切于p op ap 又 m是 o的弦bc的中點(diǎn) om bc 于是 oma opa 180 由圓心o在 pac的內(nèi)部 可知四邊形apom的對(duì)角互補(bǔ) a p o m四點(diǎn)共圓 2 解由 1 得a p o m四點(diǎn)共圓 可知 oam opm 又 op ap 由圓心在 pac的內(nèi)部 可知 opm apm 90 oam apm 90 以近幾年的高考來看 幾何證明的高考命題集中在以圓為載體和三角形 四邊形相結(jié)合的綜合性題目上 這類試題往往要綜合運(yùn)用多個(gè)定理和添加一定的輔助線才能解決 規(guī)范解答27化解與轉(zhuǎn)化法在幾何證明中的應(yīng)用 示例 2012 遼寧卷 如圖 o和 o 相交于a b兩點(diǎn) 過a作兩圓的切線分別交兩圓于c d兩點(diǎn) 連結(jié)db延長(zhǎng)交 o于點(diǎn)e 證明 1 ac bd ad ab 2 ac ae 審題路線圖 1 證明ac bd ad ab 轉(zhuǎn)化成比例 利用三角形相似得出 2 證明線段相等可以利用相似 等量代換等轉(zhuǎn)化 點(diǎn)評(píng) 本題考查平面幾何中的相似三角形知識(shí)及弦切角知識(shí) 關(guān)鍵是要把握相似三角形的判定定理 分清各種情況的符合條件 看兩個(gè)三角形已經(jīng)具備哪些條件 還差哪個(gè)條件 再去考慮 1 2012 江蘇卷 如圖 ab是圓o的直徑 d e為圓o上位于ab異側(cè)的兩點(diǎn) 連結(jié)bd并延長(zhǎng)至點(diǎn)c 使bd dc 連結(jié)ac ae de 求證 e c 高考經(jīng)典題組訓(xùn)練 證明如圖 連接od 因?yàn)閎d dc o為ab的中點(diǎn) 所以od ac 于是 odb c 因?yàn)閛b od 所以 odb b 于是 b c 因?yàn)辄c(diǎn)a e b d都在圓o上 且d e為圓o上位于ab異側(cè)的兩點(diǎn) 所以 e和 b為同弧所對(duì)的圓周角 故 e b 所以 e c 2 2010 江蘇卷 ab是 o的直徑 d為 o上一點(diǎn) 過點(diǎn)d作 o的切線交ab延長(zhǎng)線于c 若da dc 求證 ab 2bc 證明如圖 連接od bd ab是 o的直徑 adb 90 ab 2ob dc是 o的切線 cdo 90 又 da dc a c 于是 adb cdo 從而ab co 即2ob ob bc 得ob bc 故ab 2bc 3 2008 海南 寧夏卷 如圖 過圓o外一點(diǎn)m作它的一條切線 切點(diǎn)為a 過a作直線ap垂直直線om 垂足為p 1 證明 om op oa2 2 n為線