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第六章二重積分習(xí)題課 3 性質(zhì) 一 內(nèi)容提要 一 二重積分的概念 性質(zhì) 1 定義 2 幾何意義 曲頂柱體的體積 二 二重積分的計(jì)算 1 直角坐標(biāo)系中 1 積分區(qū)域D的類型 X 型區(qū)域 Y 型區(qū)域 一般區(qū)域分劃 積分區(qū)域的不等式表示的是二重積分化為二次積分確定積分限的基本依據(jù) 2 積分順序的確定 先積y還是先積x 要結(jié)合被積函數(shù)f x y 及積分區(qū)域兩個(gè)方面的特點(diǎn)加以考慮 如僅從積分區(qū)域的特點(diǎn)看 D是X 型區(qū)域時(shí)先積y D是Y 型區(qū)域先積x 首先是 能積出 其次是 易積出 D既是X 型區(qū)域又是Y 型區(qū)域時(shí) 選擇不需分塊或分塊較少的積分順序 3 交換積分順序 2 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 由所給的二次積分的順序及積分限 確定積分區(qū)域D 畫出圖形 再按新的積分順序?qū)用新的不等式表出 即定出新的積分限 1 積分順序通常是先 2 D的極坐標(biāo)表示 如D的邊界是由直角坐標(biāo)方程 y f x 給出 通?？蓮膸缀我饬x去確定D的極坐標(biāo)表示 圖形是重要的 或利用 三 有關(guān)二重積分的對稱性的應(yīng)用 選講 1 若D關(guān)于y軸對稱 其中D1是D的右半?yún)^(qū)域 即當(dāng) x y D時(shí) 必有 x y D 則 2 若D關(guān)于x軸對稱 D1是D的上半部分區(qū)域 即當(dāng) x y D時(shí) 必有 x y D 則 3 若D關(guān)于原點(diǎn)對稱 即當(dāng) x y D時(shí) 必有 x y D 則 其中D1是D的上半部分 或右半部分 區(qū)域 四 有關(guān)二重積分的一些證明題 4 若D關(guān)于直線y x對稱 即當(dāng) x y D時(shí) 必有 y x D 則 中值定理 變上限積分 換元等 例1 解 X 型 二 典型例題 解D的圖形如右 應(yīng)先積y 例3計(jì)算積分 解 因?yàn)榈脑瘮?shù)不是初等函數(shù) 故只能交換積分次序 積分區(qū)域如右圖 解 由上知區(qū)域的表達(dá)式為 積分區(qū)域如圖所示 例5 交換積分次序 解 原式 解 例7 計(jì)算二重積分 其中 1 D為圓域 2 D由直線 解 1 利用對稱性 圍成 2 積分域如

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