高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第二章 第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性課件 文.ppt

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 1 奇函數(shù) 偶函數(shù)的定義與性質(zhì) 原點(diǎn) y軸 原點(diǎn) 相同 相反 0 2 周期性 1 周期函數(shù) 若t為函數(shù)f x 的一個(gè)周期 則需滿足的條件 t 0 對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個(gè) 那么這個(gè) 就叫做它的最小正周期 3 周期不唯一 若t是函數(shù)y f x x r 的一個(gè)周期 則nt n z 且n 0 也是f x 的周期 f x t f x 最小的正數(shù) 最小的正數(shù) 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 偶函數(shù)圖像不一定過(guò)原點(diǎn) 奇函數(shù)的圖像一定過(guò)原點(diǎn) 2 函數(shù)f x 0 x 0 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 3 若函數(shù)y f x a 是偶函數(shù) 則函數(shù)y f x 關(guān)于直線x a對(duì)稱 4 若函數(shù)y f x b 是奇函數(shù) 則函數(shù)y f x 關(guān)于點(diǎn) b 0 中心對(duì)稱 5 對(duì)于函數(shù)y f x x 0 若2是f x 的一個(gè)周期 則 2也是f x 的一個(gè)周期 解析 1 錯(cuò)誤 當(dāng)奇函數(shù)的定義域不含0時(shí) 則圖像不過(guò)原點(diǎn) 2 錯(cuò)誤 函數(shù)f x 的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 3 正確 函數(shù)y f x a 關(guān)于直線x 0對(duì)稱 則函數(shù)y f x 關(guān)于直線x a對(duì)稱 4 正確 函數(shù)y f x b 關(guān)于點(diǎn) 0 0 中心對(duì)稱 則函數(shù)y f x 關(guān)于點(diǎn) b 0 中心對(duì)稱 5 錯(cuò)誤 若 2是函數(shù)f x 的周期 則f 1 f 1 2 f 1 不合題意 答案 1 2 3 4 5 1 已知函數(shù)y f x 是奇函數(shù) 則函數(shù)y f x 1 的圖像的對(duì)稱中心是 a 1 0 b 1 0 c 0 1 d 0 1 解析 選b 函數(shù)y f x 的圖像關(guān)于點(diǎn) 0 0 對(duì)稱 函數(shù)y f x 1 的圖像可由y f x 的圖像向左平移1個(gè)單位得到 故函數(shù)y f x 1 的圖像的對(duì)稱中心為 1 0 2 函數(shù)的圖像關(guān)于 a y軸對(duì)稱 b 直線y x對(duì)稱 c 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 d 直線y x對(duì)稱 解析 選c 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 0 且 函數(shù)f x 是奇函數(shù) 3 已知定義在r上的奇函數(shù)f x 滿足f x 4 f x 則f 8 的值為 a 1 b 0 c 1 d 2 解析 選b f x 4 f x f x 是以4為周期的周期函數(shù) f 8 f 0 又函數(shù)f x 是定義在r上的奇函數(shù) f 8 f 0 0 故選b 4 已知函數(shù)y f x 是定義在r上的偶函數(shù) 且在 0 上是減少的 若f a f 2 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a a 2 b a 2或a 2 c a 2 d 2 a 2 解析 選b 由題意知函數(shù)y f x 在 0 上是增加的 且f 2 f 2 故由f a f 2 得f a f 2 a 2 解得a 2或a 2 考向1函數(shù)奇偶性的判斷 典例1 判斷下列各函數(shù)的奇偶性 思路點(diǎn)撥 先求定義域 看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 在定義域下 解析式帶絕對(duì)值號(hào)的先盡量去掉 再判斷f x 與f x 的關(guān)系 分段函數(shù)應(yīng)分情況判斷 規(guī)范解答 1 由得x2 3 函數(shù)f x 的定義域?yàn)榇藭r(shí)f x 0 因此函數(shù)f x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 2 由得 1 x 0或0 x 1 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?1 0 0 1 此時(shí)x 2 0 x 2 2 x 又 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 3 顯然函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 0 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 當(dāng)x0 則f x x 2 x x2 x f x 當(dāng)x 0時(shí) x 0 則f x x 2 x x2 x f x 綜上可知 對(duì)于定義域內(nèi)的任意x 總有f x f x 成立 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 拓展提升 判斷函數(shù)奇偶性的方法 1 符號(hào)定義法 2 圖像法 3 性質(zhì)法 用奇 偶函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷其和差積商函數(shù)的奇偶性 提醒 性質(zhì)法 中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的 變式訓(xùn)練 1 若函數(shù)f x 3x 3 x與g x 3x 3 x的定義域均為r 則 a f x 與g x 均為偶函數(shù) b f x 為偶函數(shù) g x 為奇函數(shù) c f x 與g x 均為奇函數(shù) d f x 為奇函數(shù) g x 為偶函數(shù) 解析 選b f x 3 x 3x f x g x 3 x 3x g x f x 為偶函數(shù) g x 為奇函數(shù) 故選b 2 判斷下列函數(shù)的奇偶性 解析 由得 2 x 2且x 0 函數(shù)f x 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 且x 3 0 又 函數(shù)f x 為奇函數(shù) f x 的定義域?yàn)閞 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 當(dāng)x 0時(shí) x 0 f x x 2 2 x2 2 f x 當(dāng)x 0時(shí) x 0 f x x 2 2 x2 2 f x 當(dāng)x 0時(shí) f 0 0 也滿足f x f x 故該函數(shù)為奇函數(shù) 考向2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 典例2 1 若定義在r上的偶函數(shù)f x 和奇函數(shù)g x 滿足f x g x ex 則g x a ex e x b c d 2 2013 蘇州模擬 a 1 是 函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù) 的 條件 填 充分不必要 必要不充分 充要 或 既不充分也不必要 思路點(diǎn)撥 1 利用f x f x g x g x 構(gòu)造方程組求解 2 分清條件p與結(jié)論q 分別驗(yàn)證p q與q p是否成立 規(guī)范解答 1 選d f x 為偶函數(shù) g x 為奇函數(shù) 且f x g x ex f x g x e x 即f x g x e x 由 可得 2 當(dāng)a 1時(shí) 此時(shí)定義域?yàn)閞 且 f x 是其定義域上的奇函數(shù) 當(dāng)是其定義域上的奇函數(shù)時(shí) f x f x 且a 0 即 經(jīng)檢驗(yàn)a 1時(shí) f x 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 故f x 是奇函數(shù)時(shí) a 1 從而 a 1 是 函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù) 的充分不必要條件 答案 充分不必要 互動(dòng)探究 將 2 題改為 若在其定義域上為偶函數(shù) 求a b的值 解析 f x 為偶函數(shù) 即所以a 1 b 1 拓展提升 應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問(wèn)題及解題方法 1 求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解 2 求解析式 將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f x 的方程 組 從而得到f x 的解析式 3 求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 利用待定系數(shù)法求解 根據(jù)f x f x 0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式 由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程 組 進(jìn)而得出參數(shù)的值 4 畫(huà)函數(shù)圖像和判斷單調(diào)性 利用奇偶性可畫(huà)出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖像及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性 變式備選 1 設(shè)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) f x 2x2 x 則f 1 a 3 b 1 c 1 d 3 解析 選a 由奇函數(shù)的定義有f x f x 所以f 1 f 1 2 1 2 1 3 2 已知函數(shù)為奇函數(shù) 則a b 解析 設(shè)x 0 則 x 0 f x x 2 x x2 x 又f x f x x 0時(shí) f x f x x2 x ax2 bx a 1 b 1 a b 0 答案 0 考向3函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 典例3 1 2012 江蘇高考 設(shè)f x 是定義在r上且周期為2的函數(shù) 在區(qū)間 1 1 上 其中a b r 若則a 3b的值為 2 2013 寶雞模擬 定義在r上的偶函數(shù)f x 滿足f 2 x f 2 x 0 x r 且當(dāng)x 0 2 時(shí) 則f 2013 思路點(diǎn)撥 1 利用周期性可知f 1 f 1 列式求解 2 先根據(jù)f 2 x f 2 x 0及偶函數(shù)的定義求周期 再根據(jù)周期性求f 2013 規(guī)范解答 1 因?yàn)閒 x 的周期為2 所以即 又因?yàn)樗?3a 2b 2 又因?yàn)閒 1 f 1 所以即b 2a 將 代入 得a 2 b 4 a 3b 2 3 4 10 答案 10 2 函數(shù)f x 是偶函數(shù) f 2 x f 2 x f x 2 f x 4 f x f x 8 f x 即函數(shù)f x 的一個(gè)周期為8 答案 拓展提升 函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論若對(duì)于函數(shù)f x 定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有 1 f x a f x a 0 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個(gè)周期 2 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個(gè)周期 3 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個(gè)周期 提醒 應(yīng)用函數(shù)的周期性時(shí) 應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi) 變式訓(xùn)練 設(shè)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 且對(duì)任意實(shí)數(shù)x 恒有f x 2 f x 當(dāng)x 0 2 時(shí) f x 2x x2 1 求證 f x 是周期函數(shù) 2 當(dāng)x 2 4 時(shí) 求f x 的解析式 3 計(jì)算f 0 f 1 f 2 f 2013 解析 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期為4的周期函數(shù) 2 當(dāng)x 2 0 時(shí) x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函數(shù) f x f x 2x x2 f x x2 2x 又當(dāng)x 2 4 時(shí) x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期為4的周期函數(shù) f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 從而求得x 2 4 時(shí) f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期為4的周期函數(shù) f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2013 f 0 f 1 0 1 1 創(chuàng)新體驗(yàn) 分段函數(shù)的性質(zhì)判斷 典例 2012 福建高考 設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 a d x 的值域?yàn)?0 1 b d x 是偶函數(shù) c d x 不是周期函數(shù) d d x 不是單調(diào)函數(shù) 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 選c 由已知條件可知 d x 的值域是 0 1 選項(xiàng)a正確 當(dāng)x是有理數(shù)時(shí) x也是有理數(shù) 且d x 1 d x 1 故d x d x 當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí) x也是無(wú)理數(shù) 且d x 0 d x 0 即d x d x 故d x 是偶函數(shù) 選項(xiàng)b正確 當(dāng)x是有理數(shù)時(shí) 對(duì)于任一非零有理數(shù)a x a是有理數(shù) 且d x a 1 d x 當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí) 對(duì)于任一非零有理數(shù)b x b是無(wú)理數(shù) 所以d x b d x 0 故d x 是周期函數(shù) 但不存在最小正周期 選項(xiàng)c不正確 由實(shí)數(shù)的連續(xù)性易知 不存在區(qū)間i 使d x 在區(qū)間i上是增加的或減少的 故d x 不是單調(diào)函數(shù) 選項(xiàng)d正確 思考點(diǎn)評(píng) 1 方法感悟 本題充分考查了利用定義判斷函數(shù)奇偶性 周期性 單調(diào)性的方法 本題中自變量的范圍分別是有理數(shù)和無(wú)理數(shù) 因此在判斷奇偶性時(shí) 應(yīng)考慮 x與x的范圍是否一致 在判斷周期性時(shí)應(yīng)考慮x與x a或x b在a或b取何值時(shí)范圍一致 2 技巧提升 對(duì)于函數(shù)類創(chuàng)新題 常見(jiàn)的類型有討論新函數(shù)的性質(zhì) 利用新函數(shù)進(jìn)行計(jì)算 判斷新函數(shù)的圖像等 常見(jiàn)的方法有排除法 特征分析法 特殊值法或定義法 創(chuàng)新題目雖然構(gòu)思巧妙 但考查的還是基本知識(shí)和基本技能 解題的關(guān)鍵是抓住創(chuàng)新點(diǎn)充分利用定義 把新信息和所學(xué)知識(shí)相結(jié)合求解 1 2012 陜西高考 下列函數(shù)中 既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為 a y x 1 b y x3 c d y x x 解析 選d 選項(xiàng)a不是奇函數(shù) 是增函數(shù) 選項(xiàng)b是奇函數(shù) 不是增函數(shù) 選項(xiàng)c是反比例函數(shù) 為奇函數(shù) 不是增函數(shù) 選項(xiàng)d 去掉絕對(duì)值號(hào) 變?yōu)榉侄魏瘮?shù)符合題意 2 2013 南昌模擬 函數(shù)是奇函數(shù) 且在 0 上增加的 則a等于 a 0 b 1 c 1 d 1 解析 選c 由題意知 a 1 3 2013 合肥模擬 已知定義在r上的函數(shù)y f x 滿足下列三個(gè)條件 對(duì)于任意的x r都有f x 4 f x 對(duì)于任意的0 x1 x2 2都有f x1 f x2 函數(shù)y f x 2 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 則下列結(jié)論正確的是 a f 6 5 f 5 f 15 5 b f 5 f 6 5 f 15 5 c f 5 f 15 5 f 6 5 d f 15 5 f 5 f 6 5 解析 選a 由題意知 函數(shù)f x 是周期為4的函數(shù) 且在區(qū)間 0 2 上遞增 函數(shù)f x 的圖像關(guān)于直線x 2對(duì)稱 f 6 5 f 2 5 f 1 5 f 5 f 1 f 15 5 f 3 5 f 0 5 由f 0 5 f 1 f 1 5 知f 15 5 f 5 f 6 5 4 2012 浙江高考 設(shè)函數(shù)f x 是定義在r上的周期為2的偶函數(shù) 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x x 1 則 解析 函數(shù)f x 是周期為2的偶函數(shù) 答案 1 已