柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用經(jīng)典例題透析..doc

經(jīng)典例題透析類型一：利用柯西不等式求最值1求函數(shù)的最大值思路點(diǎn)撥：利用不等式解決最值問題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值也可以利用導(dǎo)數(shù)求解。解析：法一：且， 函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立， 即時函數(shù)取最大值，最大值為法二：且， 函數(shù)的定義域?yàn)橛桑眉?，解得時函數(shù)取最大值，最大值為.總結(jié)升華：當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解不等式中的等號能否取得是求最值問題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】（2011遼寧，24）已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|。（I）證明：-3f（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集。【答案】()當(dāng)時，所以5分()由()可知，當(dāng)時，的解集為空集；當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為綜上，不等式的解集為10分【變式2】已知，求的最值.【答案】法一：由柯西不等式于是的最大值為，最小值為.法二：由柯西不等式于是的最大值為，最小值為.【變式3】設(shè)2x+3y+5z=29，求函數(shù)的最大值【答案】根據(jù)柯西不等式 ，故。當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=3y+4=5z+6，即時等號成立，此時，評注：根據(jù)所求最值的目標(biāo)函數(shù)的形式對已知條件進(jìn)行配湊類型二：利用柯西不等式證明不等式利用柯西不等式證明某些不等式顯得特別方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等。（1）巧拆常數(shù)：2設(shè)、為正數(shù)且各不相等，求證： 思路點(diǎn)撥：、均為正，為證結(jié)論正確只需證：而，又，故可利用柯西不等式證明之。證明：又、各不相等，故等號不能成立。（2）重新安排某些項(xiàng)的次序：3、為非負(fù)數(shù)，+=1，求證：思路點(diǎn)撥：不等號左邊為兩個二項(xiàng)式積，直接利用柯西不等式，得不到結(jié)論，但當(dāng)把第二個小括號的兩項(xiàng)前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了。證明：+=1即（3）改變結(jié)構(gòu)：4、若，求證：思路點(diǎn)撥：初見并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了。，所證結(jié)論改為證。證明： （4）添項(xiàng)：5，求證：思路點(diǎn)撥：左端變形，只需證此式即可。證明：舉一反三：【變式1】設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：【答案】由柯西不等式：，即。同理，將上面三個同向不等式相加得，于是【變式2】設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：?！敬鸢浮坑煽挛鞑坏仁接谑羌?【變式3】已知正數(shù)滿足 證明?！敬鸢浮坷每挛鞑坏仁?又因?yàn)?在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故。類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用6ABC的三邊長為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證： 證明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左邊=故?！咀兪健緼BC之三邊長為4，5，6，P為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，P到三邊的距離分別為x，y，z，求的最小值?！敬鸢浮壳?x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(x2+y2+z2)77x2+y2+z2。類型四：排序不等式的簡單應(yīng)用7對，比較與的大小。思路點(diǎn)撥：題目中沒有給出a,b,c三個數(shù)的大小順序，且a,b,c在不等式中的“地位”是對等的，不妨設(shè)，再利用排序不等式加以證明解析：，不妨設(shè)，則由排序原理，亂序和順序和，得：舉一反三：【變式1】比較1010111112121313 與1013111212111310的大小?！敬鸢浮恳?0 11 12 13及 lg10 lg11 lg12 lg13，由排序不等式得：10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13lg(1010111112121313) lg(1013111212111310)即1010111112121313 1013111212111310。【變式2】已知，求證： 證明：由對稱性，不妨設(shè)，于是，故由排序不等式：順序和亂序和，得： 又因?yàn)?，再次由排序不等式：反序和亂序和，