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二元一次方程應(yīng)用-知識點歸納總結(jié)重點:列方程解應(yīng)用題知識要點梳理: 知識點一:列二元一次方程解應(yīng)用題的方法和一般步驟列方程解實際應(yīng)用題的關(guān)鍵是從問題中找出一個相等關(guān)系,然后恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù),把相等關(guān)系中的各個量用含有已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式表示,這樣就可列出方程,這一過程可以簡單表述為:問題方程解答在設(shè)未知數(shù)和解答時,應(yīng)注意量的單位綜上所述,列方程解應(yīng)用題的方法步驟可概括為:(1)審題,分析題中已知什么,未知什么,明確各量之間的關(guān)系,尋找等量關(guān)系(2)設(shè)未知數(shù),一般求什么就設(shè)什么為x,但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)(3)列方程,把相等關(guān)系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來,列出方程(4)解方程(5)檢驗,看方程的解是否符合題意(6)寫出答案注意:設(shè)未知數(shù)和寫答案時,單位要寫清楚 列方程時,方程兩邊所表示的量應(yīng)該相同,并且各項的單位要一致 對于求得的方程的解,還要看它是否符合題意知識點二:常見的一些等量關(guān)系1. 銷售中的盈虧問題: (1)(2)標(biāo)價成本(或進價)(1利潤率);(3)實際售價標(biāo)價打折率;(4)利潤售價成本(或進價)成本利潤率;注意:“商品利潤售價成本”中的右邊為正時,是盈利;當(dāng)右邊為負時,就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。2. 積分問題:積分問題多出現(xiàn)在球賽和知識競賽中,賽事的規(guī)則不同,得分也不一樣,一般地,球賽總得分勝場得分平場得分負場得分;知識競賽得分對題得分錯題得分不做題得分。注意:從比賽的規(guī)則入手正確找出相等關(guān)系是列方程的關(guān)鍵。3行程問題: (1)路程=速度時間 (2)相遇路程=速度和相遇時間(3)追及路程=速度差追及時間 (4)順流速度=靜水速度+水流速度 (5)逆流速度=靜水速度水流速度(6)順?biāo)俣饶嫠俣?水速。4形積變化中的方程(1)相關(guān)公式 長方體體積長寬高。 圓柱體體積底面積高。 長方形面積長寬;長方形周長2(長寬)。 圓的面積半徑2;圓的周長直徑。(2)“等積變形”中常見的情況 形狀發(fā)生了變化,而體積沒變。 形狀、面積發(fā)生了變化,而周長沒變。 形狀、體積發(fā)生了變化,但根據(jù)題意能找出體積之間的關(guān)系,把這個關(guān)系作為等量關(guān)系。 形狀、周長發(fā)生了變化,但概括題意能找出周長之間的關(guān)系,求面積。(3)形積變化問題 形積變化,即圖形的形狀改變時,面積也隨之發(fā)生變化。注意:在形積變化時,圖形的形狀和面積都發(fā)生了變化,應(yīng)注意在已知題目中找出不變的,也就是找出等量關(guān)系列出方程。5工程問題: 如果題目沒有明確指明總工作量,一般把總工作量設(shè)為1基本關(guān)系式:(1)總工作量=工作效率工作時間;(2)總工作量=各單位工作量之和6銀行存貸款問題: (1)利息=本金利率期數(shù) (2)實得利息=利息-利息稅(3)利息稅=利息利息稅率 (4)年利率月利率12(5)本息和(本利和)本金利息本金本金利率期數(shù)本金(1利率期數(shù))7數(shù)字問題:已知各數(shù)位上的數(shù)字。寫出兩位數(shù),三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù),例如:a,b分別為一個兩位數(shù)的個位上,十位上的數(shù)字,則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a8調(diào)配問題: 從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系,注意弄清調(diào)配對象流動的方向和數(shù)量9濃度問題: 溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量濃度= 溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量濃度知識點三:設(shè)計方案的選擇問題選擇設(shè)計方案的一般步驟:(1)運用二元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況(2)用特殊值試探法選擇方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論經(jīng) 典 例 題類型一:銷售中的盈虧問題1、某商品的進價是2000元,標(biāo)價為3000元,商店要求以利潤率等于5%的售價打折出售,售貨員應(yīng)該打幾折出售此商品? 思路:根據(jù)利潤率=,利潤=售價進價,若設(shè)售貨員可以打x折出售此商品,則售價為,利潤為元,解:設(shè)售貨員最低可以打x折出售此商品,得,??偨Y(jié)升華:打1折就是乘,打2折就是乘,打折就是乘。因為打x折出售,即售價。列方程解應(yīng)用題主要有兩方面的困難:一是找不到等量關(guān)系;二是找出等量關(guān)系后不會列方程,找等量關(guān)系要充分利用題目給出的已知條件,著重分析已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系,列出含有未知量的具有等量關(guān)系的兩個不同的代數(shù)式,用“”號連接兩個代數(shù)式,從而得到方程。類型二:積分問題2、陽光中學(xué)在興辦的足球比賽中規(guī)定:勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分。某班足球隊參加了12場比賽,一共得22分,已知這支球隊只輸了2場,那么這支球隊勝幾場?平幾場?解:設(shè)這支球隊勝x場,那么平了場數(shù)為(12-2)x)=10-x,根據(jù)題意,得3x(10x)122,解方程得x6,所以10x1064總結(jié)升華:題中的等量關(guān)系是:球隊得分勝場得分平場得分,把球賽與方程聯(lián)系起來,培養(yǎng)運用方程知識解答和分析實際問題的能力。類型三:行程問題3、A、B兩碼頭相距150km,甲、乙兩船分別從兩碼頭開始相向而行,2. 5 h相遇,已知甲的速度是乙的速度的1.5倍,問甲、乙兩船的速度各為多少?思路:這是行程問題中的相遇問題,設(shè)乙的速度為x kmh,則甲的速度1.5x kmh,相遇時,甲、乙各自的行程分別為2.51.5x km、2.5x km,它們的和等于總路程解:設(shè)乙船速度為x kmh,甲船速度為1.5x kmh由題意得2.51.5x + 2.5x=150,解得x=24總結(jié)升華:相遇問題等量關(guān)系:甲路程+乙路程=總路程。相遇路程=速度和相遇時間類型四:形積變化中的方程4、用直徑是20mm的圓鋼1米,能拉成直徑是2mm的圓鋼多少米?思路:本題是等積變形問題。等量關(guān)系是拉伸前的體積拉伸后的體積。涉及公式是圓柱體的體積Vr2h。解:設(shè)能拉成xmm,依題意得1000x,解得x100000,100000mm100m。答:能拉成直徑是2mm的圓鋼100m??偨Y(jié)升華:解應(yīng)用題時單位應(yīng)統(tǒng)一,比如本題如果沒有統(tǒng)一單位。設(shè)能拉成圓鋼x米,列方程1x,解得x100。盡管結(jié)果是對的,但是所列方程是錯誤的,與實際生活不符。類型五:工程問題5、一項工程,甲單獨做要8天完成,乙單獨做要12天完成,丙單獨做要24天完成,現(xiàn)在甲、乙合作3天后,甲因事離去,由乙、丙合作,問乙、丙還要做幾天才完成這項工程?思路:這是一道多人合作的工程問題,本題明顯的等量關(guān)系是甲、乙合作的工量+乙、丙合作的工作量=總工作量,設(shè)還需x天完成,那么甲、乙合作的工作量為。乙、丙合作的工作量為,由上面等量關(guān)系可列方程。解:設(shè)還需x天完成,由題意列方程得,解得x=3答:乙、丙還要做3天才能完成這項工程總結(jié)升華:弄清關(guān)系式:總工作量=各單位工作量之和;并且沒有告訴總工作量的工程,總工作量都看作“1”。類型六:銀行存貸款問題6、小張在銀行存了一筆錢,月利率為2%,利息稅為20%,5個月后,他一共取出了本息1080元,問它存入的本金是多少元? 思路:這是一個實際生活中常見的問題,這里利息稅是指把利息的20%上繳國家,本息則指本金與利息的和。解:設(shè)小張存入的本金為x元,則5個月后的利息為2%x5即0.1x元,這些利息需交利息稅0.1x20%即0.02x元由題意得:x+0.1x-0.02x=1080x=1000答:他存入銀行的本金為1000元。類型七:數(shù)字問題7、 一個三位數(shù),十位上的數(shù)是百位上的數(shù)的2倍,百位、個位上的數(shù)和比十位上的數(shù)大 2, 又個位、十位、百位上的數(shù)的和是14,求這個三位數(shù)。思路:本題要求一個三位數(shù),即要求出個、十、百位上的數(shù)字,根據(jù)第一個條件,設(shè)百位上的數(shù)為x更好一些,此時,十位上的數(shù)為2x,個位數(shù)字可由第三個條件得到14-2x-x,再由第二個條件列出方程。解:設(shè)百位上的數(shù)為x,則十位上的數(shù)為2x,個位上的數(shù)為14-2x-x由題意得:x+14-2x-x=2x+2x=3 這個三位數(shù)為365類型八:調(diào)配問題8、現(xiàn)有甲、乙兩項工程,甲的工作量是乙的2倍,第一組有19人,第二組有14人(假設(shè)人均工作效率相同),怎樣調(diào)配兩組的人數(shù),才能使兩項工程同時開工,又同時完成呢?思路:因為甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍,且人均工作效率相同,所以甲工程需要的人數(shù)是乙工程需要的人數(shù)的2倍解法一:設(shè)從第二組抽調(diào)x人去第一組,則抽調(diào)后第一組人數(shù)(19+x)人,第二組為(14- x)人, 由題意得:19+x=2(14- x), 解得x = 3答:從第二組抽調(diào)3人去第一組,由第一組去做甲工程,第二組去做乙工程解法二:設(shè)第一組調(diào)出y人去第二組,由第二組做甲工程,得,解得。答:從第一組抽調(diào)8人去第二組,由第一組去做乙工程,第二組去做甲工程總結(jié)升華:解題關(guān)鍵 從工作量的關(guān)系推出所需人數(shù)的關(guān)系。類型九:方案選擇9、為了準(zhǔn)備小穎6年后上大學(xué)的學(xué)費5000元,她的父母現(xiàn)在就參加了教育儲蓄,下面有兩種儲蓄方式:(1)先存一個3年期的,3年后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個3年期;(2)直接存一個6年期 參照下圖,你認為哪種儲蓄方式開始存入的本金比較少?思路:利用本息計算公式、利息計算公式:本息和
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