非線性方程實根的加速法.doc

山東師范大學數學科學學院實驗報告實驗課程： 非線性方程（組）的解法 實驗項目： 非線性方程實根的加速法 姓名 郭新國 學號：200708020244 班級： 二班 專業(yè)： 信計 指導教師： 朱愛玲 完成日期： 2010-6-20 實驗目的:掌握解非線性方程實根的簡單迭代法的加速法、牛頓法加速法（下山法）與重根求解方法的上機編程運算.實驗內容：問題分析和算法設計問題：1. 1. 用加權法加速技術求方程x = e-x在0.5附近的一個根 . 問題分析 ： 假設g(x)=exp(-x)，加權加速方法為迭代 x(k+1) = g(x(k)， 修正 x(k+1) = (x(k+1)-L*x(k)/(1-L)，其中L=dg/dx|(x_star)，x_star = 0.5迭代4次就可以使得精度達到1e-4.主要程序代碼：#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk,L,G,err; double g(double x); double dg(double x); k = 0; xk = 0.5; L = dg(xk); G = 1 - L; err = 1; while(err 0.0001) x = g(xk); / 迭代 x = (x - L*xk) / G; / 修正 err = fabs(x - xk); xk = x; k+; cout K-th iteration: k endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setprecision(12) x endl; cout g(x)= setprecision(12) g(x) endl; return 0;double g(double x) return (exp(-x);double dg(double x) return (-exp(-x);運行結果和總結運行結果：2. 用埃特金迭代法求方程x2=x3-1在x0=1.5附近的根./* 問題2 用Aitken Method迭代法求方程x2=x3-1在x0=1.5附近的根. (根所在的區(qū)間為1,2)方程等價于 x = (x2+1)(1/3)，簡單迭代法適用其上Aitken Method：x(k+3) = x(k) - (x(k+1)-x(k)2/(x(k+2)-2x(k+1)+x(k)，首兩項可用簡單迭代法給出*/#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk0,xk1,xk2,err; double f(double x); k = 0; xk0 = 1.5; xk1 = f(xk0); xk2 = f(xk1); err = 1.0; while(err 0.00001) / 迭代序列 xk0,xk1,xk2,x. x = xk0 - pow(xk1 - xk0),2)/(xk2 - 2*xk1 + xk0); xk0 = xk1; xk1 = xk2; xk2 = x; err = fabs(xk2 - xk1); k+; cout K-th iteration: k endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setprecision(12) x endl; cout f(x)= setprecision(12) f(x) endl; return 0;double f(double x) return cbrt(pow(x,2) + 1.0); / cbrt 立方根函數運行結果：3. 用Steffenson算法求方程x3 x 1=0在(1,1.5)內的根 ./* 問題3 用Steffenson算法求方程x3 x 1=0在(1,1.5)內的根Steffenson Method：yk = f(x(k), zk = f(yk), x(k+1) = x(k) - (yk - x(k)2/(zk - 2yk + x(k);*/#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk,yk,zk,err; double f(double x); k = 0; xk = 1.5; yk = f(xk); zk = f(yk); err = 1.0; while(err 0.0001) / 迭代序列 xk,x. x = xk - pow(yk - xk),2)/(zk - 2*yk + xk); yk = f(x); zk = f(yk); err = fabs(x - xk); xk = x; k+; cout K-th iteration: k endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setprecision(12) x endl; cout f(x)= setprecision(12) f(x) endl; return 0;double f(double x) return (pow(x,3) - 1.0); 運算結果：4. 分別用牛頓法與牛頓加速法（下山法）法求方程在附近的一個根./* 問題4 分別用牛頓法與牛頓加速法（下山法）法求方程x3 x 1=0在1.5附近的一個根f(x) = x3 - x - 1僅考慮牛頓加速法(下山法)：x(k+1) = x(k) - tk * f(x(k)/f (x(k)初值選為0.6*/#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk,fxk,t,direction,err; double f(double x); double df(double x); k = 0; xk = 0.6; err = 1.0; while(err 0.000001) / 迭代序列 xk,x. t = 1.0; fxk = f(xk); direction = fxk/df(xk); while ( true ) x = xk - t*direction; if (fabs(f(x) fabs(fxk) break; else t = t/2.0; continue; err = fabs(x - xk); xk = x; k+; / 每步迭代過程 cout K-th iteration: k endl; cout t = t endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setprecision(12) x endl; cout f(x)= setprecision(12) f(x) endl; cout endl; return 0;double f(double x) return (pow(x,3) - x - 1.0); double df(double x) return (3.0*pow(x,2) - 1.0);運算結果：5. 已知是方程的二重根，用牛頓切線法和重根修正公式求解./* 問題5. 已知x=sqrt(2)是方程f(x)=x4-4*x2+4=0 的二重根，用牛頓切線法和重根修正公式求解僅考慮重根修正公式：x(k+1) = x(k) - m*f(x(k)/f (x(k), m為根的重數*/#include #include #include using namespace std;int main() int k; double x,xk,m,err; double f(double x); double df(double x); k = 0; m = 2.0; xk = 1.5; err = 1.0; while (err 0.0001) / 迭代序列 xk,x. x = xk - m*f(xk)/df(xk); err = fabs(x - xk); xk = x; k+; cout K-th iteration: k endl; cout err= setprecision(12) err endl; cout x= setpreci